Дифференциальные уравнения, 2024, № 7

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 7   2024   Июль
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
 
Москва
Ф 
ГБУ
 «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 7, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Распределение спектра оператора Штурма–Лиувилля, возмущ¨
енного дельта-взаимодействием
А. С. Печенцов
867
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Схемы расщепления для эволюционных уравнений с факторизованным оператором
П. Н. Вабищевич
876
Оптимальный по порядку прямой метод решения особых интегро-дифференциальных
уравнений
Н. С. Габбасов
886
Задача о падении ленты лайнера на наклонную опору
М. П. Галанин, А. С. Родин
897
Геометрическая консервативность разностных методов решения задачи Стефана
на подвижных и фиксированных сетках
А. О. Гусев, О. С. Мажорова
911
Приближённое решение обратной граничной задачи для сингулярно возмущённой
системы уравнений с частными производными
А. М. Денисов, С. И. Соловьева
928
Применение разностной схемы с хорошо контролируемой диссипацией для решения
уравнений модели Капилы
Р. Р. Полехина, Е. Б. Савенков
937
Методы параметрической идентификации дробно-дифференциальных уравнений
Ю. В. Сластушенский, Д. Л. Ревизников, С. А. Семенов
954
Вычисление ведущего собственного значения и соответствующего собственного элемента
задач на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра
П. С. Соловьев, С. И. Соловьев
967
Об одной модели для описания турбулентных течений
Б. Н. Четверушкин, А. Е. Луцкий, Е. В. Шильников
990

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Разностная схема для разрывных решений уравнений Узаделя
М. М. Хапаев, М. Ю. Куприянов
1001

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №7, с. 867–875
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.923+517.925.44
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА
ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ, ВОЗМУЩ¨
ЕННОГО
ДЕЛЬТА-ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
© А. С. Печенцов
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
e-mail: pechentsovas@rambler.ru
Поступила в редакцию 11.02.2024 г., после доработки 11.03.2024 г.; принята к публикации 29.04.2024 г.
Посвящается 85-летию моего учителя
академика Виктора Антоновича Садовничего
В гильбертовом пространстве 𝐿2[0, +∞) рассмотрено возмущение оператора Штурма–
Лиувилля дельта-функцией Дирака. Гладкий потенциал, растущий на бесконечности,
обеспечивает дискретность спектра невозмущённого оператора. Найдено распределение
собственных значений возмущения и установлена асимптотика собственных значений в
зависимости от параметров возмущения.
Ключевые слова: самосопряжённый оператор, дискретный спектр, собственное значение,
асимптотика.
DOI: 10.31857/S0374064124070019, EDN: KOHKUF
1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассмотрим в пространстве 𝐿2[0, +∞) оператор ℋ, порождаемый выражением
𝑙𝑎,𝑏:= −𝑑2
𝑑𝑥2 +𝑞(𝑥)+𝑎𝛿(𝑥−𝑏)
и краевым условием Дирихле 𝑦(0) = 0, где 𝛿— дельта-функция Дирака, 𝑎> 0, 𝑏> 0, вещественнозначная функция (потенциал) 𝑞(𝑥) ∈𝐶2[0, +∞) монотонно стремится к +∞, причём
𝑞′(𝑥) > 0, 𝑞′′(𝑥) ⩾0 при 𝑥> 0. Невозмущённый оператор ℋ0, соответствующий значению
𝑎= 0, обладает дискретным спектром {𝜆0
𝑛}∞
𝑛=0 таким, что 𝜆0
𝑛+1 > 𝜆0
𝑛, 𝑛= 0, 1, 2, . . ., 𝜆0
𝑛→+∞,
𝑛→∞. Cобственная функция (с. ф.) 𝜑𝑛(𝑥), соответствующая собственному значению (с. з.)
𝜆0
𝑛, имеет 𝑛положительных нулей [1, § 5.12]. Следуя работам [2, 3], зададим оператор ℋ
в виде
ℋ𝑦= 𝑙𝑎,𝑏[𝑦]
с областью определения Dom ℋ𝑎,𝑏:={𝑦∈𝐿2[0, +∞): 𝑦(𝑥)∈𝐴𝐶[0, +∞), 𝑦′(𝑥)∈𝐴𝐶([0, +∞)∖{𝑏}),
𝑦′(𝑏+)−𝑦′(𝑏−) = 𝑎𝑦(𝑏), 𝑦(0) = 0, 𝑙𝑎,𝑏[𝑦] ∈𝐿2[0, +∞)}. Оператор ℋявляется самосопряжённым
полуограниченным снизу с дискретным спектром {𝜆𝑛}∞
𝑛=0 [4].
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть функция 𝑞(𝑥) трижды дифференцируема на полуоси [0, +∞), причём
𝑞′(𝑥)>0, 𝑞′′(𝑥)⩾0 при 𝑥>0 и 𝑞(𝑘)(𝑥)/𝑞(𝑘−1)(𝑥)=𝑂(𝑥−1), 𝑥→+∞, 𝑘=1, 2, 3. Тогда собственные
значения 𝜆𝑛оператора ℋудовлетворяют неравенствам
𝜆0
0 < 𝜆0 < 𝜆0
1,
𝜆0
𝑛⩽𝜆𝑛< 𝜆0
𝑛+1,
𝑛∈N.
867

ПЕЧЕНЦОВ
Теорема 2. Если 𝑞(𝑥) = 𝑐𝑥𝑘, 𝑘⩾1, 𝑐> 0, то собственные значения 𝜆𝑛оператора ℋпри
𝑛→∞имеют асимптотику
𝜆𝑛=𝛼(𝑘)𝑛
2𝑘
2(𝑘+2)𝑛−
2𝑘𝑎
𝛼(𝑘)
𝑛−2𝑘+2
0
𝑘+2
(︂
1−
𝑘
𝑘+2 sin
(︂
𝑏
ˆ
𝜆𝑛𝑏)+𝑜
(︁
𝑛−2𝑘+2
𝑘+2
)︁
)︂
,
𝜆𝑛−𝑞(𝑡) 𝑑𝑡
)︂
sin(
√︀
√︀
𝜋(𝑘+2)
√︀
где
Γ(3/2)Γ(1/𝑘)
𝛼(𝑘) =
(︂𝜋𝑘𝑐1/𝑘Γ(3/2+1/𝑘)
)︂2𝑘/(𝑘+2)
,
Γ(𝑧) — гамма-функция Эйлера.
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ −𝑦′′(𝑥)+𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥) В 𝐿2[0, +∞)
Для построения решения 𝑦(𝑥, 𝜆) ∈𝐿2[0, +∞) уравнения
−𝑦′′(𝑥)+𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥)
(1)
применим метод эталонных решений [5, 6]. В силу возрастания функции 𝑞(𝑥) уравнение
𝑔(𝑥) = 𝜆при 𝜆> 𝑞(0) имеет единственное решение 𝑝(𝜆), называемое точкой поворота, и эта
точка поворота простая, т.е. 𝑔′(𝑝(𝜆)) ̸= 0. Сделаем замену переменной
𝑝(𝜆)
ˆ
2
𝑥
𝜁= 𝜁(𝑥, 𝜆) = sgn(𝑥−𝑝(𝜆))
(︂3
|(𝜆−𝑞(𝑡))| 𝑑𝑡
)︂
2/3
.
√︀
В качестве эталонных решений возьмём функции
𝑢= 𝑢(𝑥, 𝜆) = 𝐵(𝑥, 𝜆)Ai(𝜁),
𝑣= 𝑣(𝑥, 𝜆) = 𝐵(𝑥, 𝜆)Bi(𝜁),
где 𝐵(𝑥, 𝜆)=
(︀
𝜁′(𝑥, 𝜆)
)︀−1/2, Ai(𝑧), Bi(𝑧) — функции Эйри, причём вронскиан 𝑊[Ai(𝑧), Bi(𝑧)]=
= 1/𝜋[7, гл. 11, § 1],
−𝑢′′ +(𝑞−𝜆)𝑢= 𝐾(𝑥, 𝜆)𝑢,
5
𝑝(𝜆)
ˆ
36
𝜆−𝑞
4
𝑞′′
16
𝜆−𝑞(𝑡) 𝑑𝑡,
0 ⩽𝑥< 𝑝(𝜆),
𝑥
(︂𝑞′
)︂
2
,
𝑄1(𝑥, 𝜆) =
𝜆−𝑞−5
𝜆−𝑞
𝑄2
1(𝑥, 𝜆) −1
𝐾(𝑥, 𝜆) =
√︀
5
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑥
ˆ
36
𝑞−𝜆
4
𝑞′′
16
𝑞(𝑡)−𝜆𝑑𝑡,
𝑝(𝜆) ⩽𝑥.
𝑄2
2(𝑥, 𝜆) + 1
(︂𝑞′
)︂
2
,
𝑄2(𝑥, 𝜆) =
𝑝(𝜆)
𝑞−𝜆−5
𝜆−𝑞
√︀
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Следовательно, решение 𝑦(𝑥, 𝜆) уравнения (1) формально удовлетворяет интегральному уравнению [8]
+∞
ˆ
𝑦(𝑥, 𝜆) = 𝑢(𝑥, 𝜆)−
𝑥
𝐺(𝑥, 𝑠, 𝜆)𝐾(𝑠, 𝜆)𝑦(𝑠, 𝜆) 𝑑𝑠,
(2)
где
𝐺(𝑥, 𝑠, 𝜆) = 𝑢(𝑥, 𝜆)𝑣(𝑠, 𝜆)−𝑢(𝑠, 𝜆)𝑣(𝑥, 𝜆).
Если потенциал 𝑞(𝑥) трижды дифференцируем на полуоси [0, +∞) и при 𝑥→+∞удовлетворяет условиям
𝑞′(𝑥)
𝑞(𝑥) = 𝑂(𝑥−1),
𝑞′′(𝑥)
𝑞′(𝑥) = 𝑂(𝑥−1),
𝑞′′′(𝑥)
𝑞′′(𝑥) = 𝑂(𝑥−1),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
869
то при 𝜆→+∞справедлива оценка [9, гл. 22, лемма 22.27(1)]
𝐽(𝜆) =
+∞
ˆ
𝑝(𝜆)
√
𝜆
0
)︂
.
|𝜆−𝑞(𝑠)|
𝑑𝑠= 𝑂
(︂
1
|𝐾(𝑠, 𝜆)|
√︀
Cледовательно, метод итераций для решения интегрального уравнения (2) приводит к решению 𝑦1(𝑥, 𝜆) уравнения (1), имеющему представление
𝑦1(𝑥, 𝜆) = 𝑢(𝑥, 𝜆)+𝑟1(𝑥, 𝜆),
(3)
в котором при 𝜆→+∞выполняется равномерная по 𝑥оценка
𝑝(𝜆)
√
𝜆
|𝑟1(𝑥, 𝜆)| = 𝑂
(︂
1
)︂
(4)
на всей полуоси 𝑥⩾0. При фиксированном 𝜆и 𝑥→+∞справедливо представление [9, гл. 22,
лемма 22.27(2)]
𝑞(𝑥)
𝑞(𝑥)
)︂
)︂
= 𝐵(𝑥, 𝜆)Ai(𝜁)
(︂
1+𝑂
(︂
1
)︂
)︂
.
(5)
𝑦1(𝑥, 𝜆) = 𝑢(𝑥, 𝜆)
(︂
1+𝑂
(︂
1
𝑥
√︀
𝑥
√︀
Для функции Эйри при 𝑥→+∞справедлива асимптотика [7, гл. 11, § 1]
Ai(𝑥) = exp{−2𝑥3/2/3}
2√𝜋𝑥1/4
(1+𝑂(𝑥−3/2)),
при 𝑥> 𝑝(𝜆) —
𝑥
ˆ
𝐵(𝑥, 𝜆) =
(︂
3/2
𝑞(𝑡)−𝜆𝑑𝑡
)︂
1/6
(𝑔(𝑥)−𝜆)−1/4,
𝑝(𝜆)
√︀
поэтому
𝑢(𝑥, 𝜆) =
1
𝑥
ˆ
𝑞(𝑡)−𝜆𝑑𝑡
}︂
(1+𝑜(1)),
𝑥→+∞,
𝑝(𝜆)
2√𝜋(𝑞(𝑥)−𝜆)1/4 exp
{︂
−
√︀
принадлежит пространству 𝐿2[0, +∞), и в силу (3), (4) решение 𝑦1(𝑥, 𝜆) ∈𝐿2[0, +∞).
3. УРАВНЕНИЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА ℋ
Рассмотрим второе решение 𝑦2(𝑥, 𝜆) уравнения (1) с условиями в точке 𝑏:
𝑦2(𝑏, 𝜆) = 0,
𝑦′
2(𝑏, 𝜆) = 1,
которое удовлетворяет интегральному уравнению [4, гл. 1, лемма 1.7(1)]
𝑥
ˆ
√
𝜆
+ 1
√
𝜆
𝑦2(𝑥, 𝜆) = sin
(︀√
𝜆(𝑥−𝑏)
)︀
𝑏
sin
(︀√
𝜆(𝑥−𝑠)
)︀
𝑞(𝑠)𝑦2(𝑠, 𝜆) 𝑑𝑠.
Cобственная функция 𝜓(𝑥, 𝜆) оператора ℋна луче 𝑥∈[𝑏, +∞) пропорциональна функции
𝑦1(𝑥, 𝜆), а на отрезке 0 ⩽𝑥⩽𝑏допускает представление
𝜓(𝑥, 𝜆) = 𝐶1(𝜆)𝑦1(𝑥, 𝜆)+𝐶2(𝜆)𝑦2(𝑥, 𝜆),
где коэффициенты 𝐶1(𝜆) и 𝐶2(𝜆) определяются из условий
𝜓(𝑥, 𝜆) ∈𝐶[0, +∞)
и
𝜓′(𝑏+, 𝜆)−𝜓′(𝑏−, 𝜆) = 𝑎𝜓(𝑏, 𝜆).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024

ПЕЧЕНЦОВ
Из системы линейных уравнений
𝐶1(𝜆)𝑦1(𝑏, 𝜆)+𝐶2(𝜆)𝑦2(𝑏, 𝜆) = 𝑦1(𝑏, 𝜆),
𝐶1(𝜆)𝑦′
1(𝑏, 𝜆)+𝐶2(𝜆)𝑦′
2(𝑏, 𝜆) = 𝑦′
1(𝑏, 𝜆)−𝑎𝑦1(𝑏, 𝜆)
находим
𝐶1(𝜆) = 1,
𝐶2(𝜆) = −𝑎𝑦1(𝑏, 𝜆).
Таким образом,
𝜓(𝑥, 𝜆) =
{︃
𝑦1(𝑥, 𝜆)−𝑎𝑦1(𝑏, 𝜆)𝑦2(𝑥, 𝜆),
0 ⩽𝑥⩽𝑏,
𝑦1(𝑥, 𝜆),
𝑥> 𝑏.
С учётом граничного условия 𝑦(0) = 0 заключаем, что спектр оператора ℋсовпадает с
множеством корней целой функции
Δ(𝜆) := 𝜓(0, 𝜆) = 𝑦1(0, 𝜆)−𝑎𝑦1(𝑏, 𝜆)𝑦2(0, 𝜆) = 0.
(6)
Собственные значения {𝜆0
𝑛}∞
𝑛=0 невозмущённого оператора ℋ0 представляют собой нули
функции 𝑦1(0, 𝜆), занумерованные в порядке возрастания, а фунции 𝜑𝑛(𝑥) = 𝑦1(𝑥, 𝜆0
𝑛) являются собственными функциями оператора ℋ0.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Доказательство теоремы 1 базируется на следующих трёх леммах.
Лемма 1. На луче (−∞, 𝜆0
0] оператор ℋне имеет собственных значений.
Доказательство. Поскольку при −∞< 𝜆< 𝜆0
0
𝑑
𝑑𝑥
𝑦1(𝑥, 𝜆)
𝑦2
1(𝑥, 𝜆)
= 𝑦1(𝑏, 𝜆)
𝑦2
1(𝑥, 𝜆),
(︂𝑦2(𝑥, 𝜆)
)︂
= 𝑊[𝑦1(𝑥, 𝜆), 𝑦2(𝑥, 𝜆)]
то по теореме Лагранжа существует точка 𝜉𝑏, 0 < 𝜉𝑏< 𝑏, такая, что
𝑦1(0, 𝜆) = 𝑦1(𝑏, 𝜆)𝑏
𝑦2
1(𝜉𝑏, 𝜆)
𝑦2(𝑏, 𝜆)
𝑦1(𝑏, 𝜆) −𝑦2(0, 𝜆)
и, следовательно,
𝜓(0, 𝜆)
𝑦1(0, 𝜆) = 1+𝑎𝑦2
1(𝑏, 𝜆)𝑏
𝑦2
1(𝜉𝑏, 𝜆) > 0,
поэтому 𝜓(0, 𝜆) не обращается в нуль на интервале (−∞, 𝜆0
1). Собственная функция 𝜑0(𝑥)=
= 𝑦1(𝑥, 𝜆0
0) невозмущённого оператора ℋ0 не имеет нулей при 𝑥> 0 и в силу (5) является
положительной при 𝑥> 0, и тогда 𝑦′
1(0, 𝜆0
0) > 0. Из равенства
𝑊[𝑦1(0, 𝜆), 𝑦2(0, 𝜆)] = 𝑊[𝑦1(𝑏, 𝜆), 𝑦2(𝑏, 𝜆)]
(7)
получаем 𝑦1(𝑏, 𝜆0
0) = −𝑦′
1(0, 𝜆0
0)𝑦2(0, 𝜆0
0). Следовательно, 𝑦2(0, 𝜆0
0) < 0, поэтому
Δ(𝜆0
0) := 𝜓(0, 𝜆0
0) = 𝑎𝑦′
1(0, 𝜆0
0)𝑦2
2(0, 𝜆0
0) > 0.
Таким образом, 𝜆0
0 не является собственным значением оператора ℋ. Лемма доказана.
Лемма 2. На интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1) оператор ℋимеет только одно собственное значение 𝜆0.
Доказательство. Найдём значение функции Δ(𝜆) в точке 𝜆= 𝜆0
1:
Δ(𝜆0
1) = 𝜓(0, 𝜆0
1) = −𝑎𝑦1(𝑏, 𝜆0
1)𝑦2(0, 𝜆0
1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
871
В силу (7) имеем 𝑦2(0, 𝜆0
1)=−𝑦1(𝑏, 𝜆0
1)/𝑦′
1(0, 𝜆0
1). Поэтому 𝜓(0, 𝜆0
1)=𝑎𝑦2
1(𝑏, 𝜆0
1)/𝑦′
1(0, 𝜆0
1), причём
𝑦′
1(0, 𝜆0
1)<0 (собственная функция 𝜑1(𝑥)=𝑦1(𝑥, 𝜆0
1) оператора ℋ0 имеет один положительный
нуль 𝑥0
1, в котором 𝑦′
1(𝑥0
1, 𝜆0
1) > 0, следовательно, 𝑦′
1(0, 𝜆0
1) < 0). Если 𝑏не является нулём
с. ф. 𝜑1(𝑥) = 𝑦1(𝑥, 𝜆0
1) невозмущённого оператора ℋ0, то Δ(𝜆0
1) < 0. Тогда на концах отрезка
[𝜆0
0, 𝜆0
1] непрерывная функция Δ(𝜆) принимает значения разных знаков, следовательно, на
интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1) существует нуль этой функции, обозначим его 𝜆0. Если 𝑏является нулём
с. ф. 𝜑1(𝑥) = 𝑦1(𝑥, 𝜆0
1), то Δ(𝜆0
1) = 0 и 𝜆0
1 является с. з. оператора ℋ. В этом случае возьмём
˜
𝜆из достаточно малой левой полуокрестности точки 𝜆0
1, в которой Δ(˜
𝜆) < 0. Тогда на
концах отрезка [𝜆0
0, ˜
𝜆] непрерывная функция Δ(𝜆) принимает значения разных знаков и на
интервале (𝜆0
0, ˜
𝜆) существует нуль этой функции. Покажем, что 𝜆0 является единственным
нулём функции Δ(𝜆) на интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1).
Предположим, что существует ещё один нуль функции Δ(𝜆) на интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1), обозначим его ̃︀
𝜆и для определённости будем считать, что 𝜆0 < ̃︀
𝜆. Нули решения уравнения (1)
являются непрерывными функциями от 𝜆[10, гл. 3, лемма 3.1] и при увеличении 𝜆каждый нуль 𝑥𝜆передвигается вправо [10, гл. 3, теорема 3.2]. Поэтому функция 𝜓(𝑥, ̃︀
𝜆) имеет
положительный нуль ̃︀
𝑥1,̃︀
𝜆— результат сдвига вправо нуля ̃︀
𝑥1,𝜆0 = 0 при увеличении 𝜆от 𝜆0
до ̃︀
𝜆. Решение 𝜑1(𝑥) = 𝑦1(𝑥, 𝜆0
1) уравнения (1) при 𝜆= 𝜆0
1 имеет только один положительный
нуль 𝑥0
1,𝜆0
1 — результат сдвига вправо нуля 𝑥0
1,𝜆0
0 = 0 решения 𝑦1(𝑥, 𝜆0
0) при увеличении 𝜆
от 𝜆0
0 до 𝜆0
1, причём ̃︀
𝑥1,̃︀
𝜆⩽𝑥0
1,𝜆0
1. По теореме Штурма [10, гл. 3, теорема 3.1] между двумя
нулями ̃︀
𝑥2,̃︀
𝜆= 0 < ̃︀
𝑥1,̃︀
𝜆решения 𝜓(𝑥, ̃︀
𝜆) уравнения (1) при 𝜆= ̃︀
𝜆< 𝜆0
1 заключён по крайней
мере один нуль решения 𝜑1(𝑥) = 𝑦1(𝑥, 𝜆0
1) уравнения (1) при 𝜆= 𝜆0
1. Полученное противоречие доказывает единственность нуля функции Δ(𝜆) на интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1), а следовательно,
единственность с. з. 𝜆0 оператора ℋна интервале (𝜆0
0, 𝜆0
1). Лемма доказана.
Лемма 3. На промежутке [𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1) оператор ℋимеет только одно собственное значение 𝜆𝑛, 𝑛∈N.
Доказательство. Рассмотрим функцию Δ(𝜆) на отрезке [𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1], 𝑛∈N. Из равенства
(7) следует, что
Δ(𝜆0
𝑛)Δ(𝜆0
𝑛+1) = 𝑎2 𝑦2
1(𝑏, 𝜆0
𝑛)𝑦2
1(𝑏, 𝜆0
𝑛+1)
𝜑′
𝑛(0)𝜑′
𝑛+1(0)
.
𝑦′
1(0, 𝜆0
𝑛)𝑦′
1(0, 𝜆0
𝑛+1) = 𝑎2 𝑦2
1(𝑏, 𝜆0
𝑛)𝑦2
1(𝑏, 𝜆0
𝑛+1)
Так как 𝜑′
𝑛(0)𝜑′
𝑛+1(0)<0, то Δ(𝜆0
𝑛)Δ(𝜆0
𝑛+1)<0, если 𝑏не является нулём с. ф. 𝜑𝑛(𝑥), 𝜑𝑛+1(𝑥).
В этом случае непрерывная функция Δ(𝜆) на концах отрезка [𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1], 𝑛=0, 1, 2, . . ., принимает значения с разными знаками. Следовательно, существует нуль 𝜆𝑛∈(𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1) функции
Δ(𝜆). Если 𝑏является нулём с. ф. 𝜑𝑛(𝑥), то Δ(𝜆0
𝑛) = 0 и 𝜆0
𝑛является с. з. оператора ℋ.
Доказательство единственности с. з. 𝜆𝑛на промежутке [𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1) проведём по индукции.
При 𝑛= 0 справедливость этого утверждения доказана в лемме 2. Предположим, что на
промежутке [𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1), 𝑛∈N, оператор ℋимеет только одно с. з. 𝜆𝑛, 𝑛∈N. Заметим, что
с. ф. 𝜑𝑛+1(𝑥) невозмущённого оператора ℋ0 имеет 𝑛+1 положительных нулей [1, § 5.12]
0=𝑥0
𝑛+1,0 <𝑥0
𝑛+1,1 <𝑥0
𝑛+1,2 <. . .<𝑥0
𝑛+1,𝑛+1, а с. ф. 𝜓𝑛(𝑥)=𝜓(𝑥, 𝜆𝑛) оператора ℋимеет 𝑛положительных нулей 0 = 𝑥𝑛,0 < 𝑥𝑛,1 < 𝑥𝑛,2 < . . . < 𝑥𝑛,𝑛. При переходе на следующий промежуток
[𝜆0
𝑛+1, 𝜆0
𝑛+2) с. ф. 𝜑𝑛+2(𝑥) невозмущённого оператора ℋ0 будет иметь 𝑛+2 положительных
нулей: 0 = 𝑥0
𝑛+2,0 < 𝑥0
𝑛+2,1 < 𝑥0
𝑛+2,2 < . . . < 𝑥0
𝑛+2,𝑛+2, а с. ф. 𝜓𝑛+1(𝑥) = 𝜓(𝑥, 𝜆𝑛+1) оператора ℋ
будет иметь 𝑛+1 положительных нулей: 0 = 𝑥𝑛+1,0 < 𝑥𝑛+1,1 < 𝑥𝑛+1,2 < . . . < 𝑥𝑛+1,𝑛+1. Допустим, что на промежутке [𝜆0
𝑛+1, 𝜆0
𝑛+2) существует ещё с. з. ̃︀
𝜆(помимо 𝜆𝑛+1) оператора ℋ,
для определённости считаем, что 𝜆𝑛+1 < ̃︀
𝜆. Тогда с. ф. ̃︀
𝜓(𝑥) = 𝜓(𝑥, ̃︀
𝜆), отвечающая с. з. ̃︀
𝜆,
будет иметь 𝑛+2 положительных нулей: 0=̃︁
𝑥0 <̃︁
𝑥1 <̃︁
𝑥2 <. . .< ̃︀
𝑥𝑛+2 (результат сдвига вправо
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024

ПЕЧЕНЦОВ
нулей 0=𝑥𝑛+1,0 <𝑥𝑛+1,1 <𝑥𝑛+1,2 <. . .<𝑥𝑛+1,𝑛+1 при увеличении 𝜆от 𝜆𝑛+1 до ̃︀
𝜆). По теореме
Штурма [10, гл. 3, теорема 3.1] между этими двумя нулями решения ̃︀
𝜓(𝑥) уравнения (1)
при 𝜆= ̃︀
𝜆<𝜆0
𝑛+2 заключён по крайней мере один нуль решения 𝜑𝑛+2(𝑥)=𝑦1(𝑥, 𝜆0
𝑛+2) того же
уравнения при 𝜆=𝜆0
𝑛+2. Следовательно, c. ф. 𝜑𝑛+2(𝑥) должна иметь не менее 𝑛+3 положительных нулей. Полученное противоречие доказывает единственность с. з. на промежутке
[𝜆0
𝑛, 𝜆0
𝑛+1), 𝑛∈N. Лемма доказана.
5. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ℋ
Из доказанной теоремы 1 следует, что с. з. 𝜆𝑛имеют представление 𝜆𝑛= 𝜆0
𝑛+ 𝜖𝑛,
0 ⩽𝜖𝑛< 𝜆0
𝑛+1 −𝜆0
𝑛, 𝑛= 0, 1, 2, . . .. Для нахождения асимптотики 𝜆0
𝑛при 𝑛→∞потребуется наложить дополнительные ограничения на “правильность” роста потенциала 𝑞(𝑥). Если
𝑞′′(𝑥) = 𝑜((𝑞′(𝑥))4/3) при 𝑥→+∞, то [1, § 7.3]
𝑝(𝜆0
𝑛)
ˆ
𝜋
𝜆0
𝑛−𝑞(𝑡) 𝑑𝑡,
𝑛→∞.
𝑛∼1
0
√︀
В частности, при 𝑞(𝑥) = 𝑐𝑥𝑘, 𝑘⩾1, 𝑐> 0, вычисляя
2𝑘,
(8)
𝐼(𝜆0
𝑛) =
𝑝(𝜆0
𝑛)
ˆ
𝜆0
𝑛−𝑐𝑡𝑘𝑑𝑡=
Γ(3/2) Γ(1/𝑘)
𝑘𝑐1/𝑘Γ(3/2+1/𝑘)(𝜆0
𝑛)
𝑘+2
0
√︁
получаем при 𝑛→∞эквивалентность
𝑘+2
.
(9)
Γ(3/2) Γ(1/𝑘)
𝜆0
𝑛∼𝛼(𝑘)𝑛
2𝑘
𝑘+2 ,
𝛼(𝑘) =
(︂𝜋𝑘𝑐1/𝑘Γ(3/2+1/𝑘)
)︂2𝑘
Пример 1 [11, 12]. Если 𝑞(𝑥) = 𝑥, то
144
108𝜋2 −1
𝜆0
𝑛=
(︂3
2𝜋𝑛
)︂
2/3(︂
1−1
6𝑛+
(︂
5
)︂1
𝑛2 +𝑂(𝑛−3)
)︂
,
𝑛→∞,
и справедлива асимптотика
6𝑛+ 𝑎sin2(𝑏(3𝜋𝑛/2)1/3)
𝜆𝑛=
(︂3
2𝜋𝑛
)︂
2/3(︂
1−1
(3𝜋𝑛/2)4/3
+𝑂(𝑛−5/3)
)︂
,
𝑛→∞.
Пример 2 [13]. Если 𝑞(𝑥) = (𝑥2 −2)/4, то 𝜆0
𝑛= 2𝑛−1, 𝑛∈N, и справедлива асимптотика
2𝑎𝜋−3/2 sin2(𝑏
√
𝜆𝑛= 2𝑛−1+
√
2𝑛)
√𝑛
+𝑂(𝑛−1),
𝑛→∞.
Для потенциалов 𝑞(𝑥) = 𝑐𝑥𝑘, 𝑘⩾1, 𝑐> 0, уточним асимптотику (9) для 𝜆0
𝑛при 𝑛→∞.
Из (3), (4) следует, что 𝜆0
𝑛являются корнями уравнения
2𝑘)︀
= 0.
𝐵(0, 𝜆0
𝑛)Ai(𝜁(0, 𝜆0
𝑛))+𝑂
(︀
(𝜆0
𝑛)−𝑘+2
При 𝑥< 𝑝(𝜆)
𝑝(𝜆)
ˆ
2
𝑥
𝜆−𝑐𝑡𝑘𝑑𝑡
)︂
1/6
(𝜆−𝑞(𝑥))−1/4,
(10)
𝐵(𝑥, 𝜆) =
(︂3
√︀
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
873
поэтому в силу (8)
𝐵(0, 𝜆0
𝑛) = (3𝐼(𝜆0
𝑛)/2)1/6
6𝑘)︀
(𝜆0
𝑛)1/4
= 𝑂
(︀
(𝜆0
𝑛)
1−𝑘
и, следовательно, 𝜆0
𝑛являются корнями уравнения
Ai(𝜁(0, 𝜆0
𝑛)) = 𝑂
(︀
(𝜆0
𝑛)−2𝑘+7
6𝑘)︀
,
𝑛→∞.
Корни последнего уравнения лежат вблизи нулей функции Эйри Ai(𝑥) при 𝜆0
𝑛→+∞и
имеют вид
𝜁(0, 𝜆0
𝑛) = 𝑎𝑛+𝜖𝑛,
Ai(𝑎𝑛) = 0,
𝜖𝑛→0,
𝑛→∞.
(11)
Для нулей функции Эйри известно полное асимптотическое разложение по степеням 𝑛при
𝑛→∞[7, с. 388]
𝑎𝑛∼−
(︂3
8𝜋(4𝑛−1)
)︂
2/3
,
𝑛→∞.
Так как
3𝑘,
2𝛼𝑘
2𝐼(𝜆0
𝑛)
)︂
2/3
= −
(︂3
)︂
2/3
(𝜆0
𝑛)
𝑘+2
𝜁(0, 𝜆0
𝑛) = −
(︂3
то в силу (11)
4
𝑘+2
,
𝑛→∞.
𝜆0
𝑛∼𝛼(𝑘)
(︂
𝑛−1
)︂2𝑘
Доказательство теоремы 2. Требуется найти асимптотику при 𝜆→+∞корней уравнения (6), в котором для решения 𝑦1(𝑥, 𝜆) справедливо представление (3) с оценкой (4), а
для решения 𝑦2(𝑥, 𝜆) справедливо представление [1, § 1.7, лемма 1.7(2)]
𝑦2(𝑥, 𝜆) = sin(
√
𝜆(𝑥−𝑏))
√
𝜆
+𝑂(𝜆−1),
причём оценки выполняются равномерно по 𝑥. Функция Эйри Ai(−𝑥) имеет следующее
асимптотическое представление при 𝑥→+∞[7, с. 377]:
4
3𝑥3/2 −𝜋
Ai(−𝑥) =
1
√𝜋𝑥1/4
{︂
cos
(︂2
)︂
+𝑂(𝑥−3)
}︂
.
Тогда, в силу (10), получаем асимптотическое представление при 𝜆→+∞эталонного решения
4
3(−𝜁(𝑥, 𝜆))3/2 −𝜋
{︂
cos
(︂2
)︂
+𝑂((−𝜁)−3)
}︂
,
𝑢(𝑥, 𝜆) = 𝐵(𝑥, 𝜆)Ai(𝜁(𝑥, 𝜆)) =
1
√𝜋(𝜆−𝑞(𝑥))1/4
а уравнение на собственные значения оператора ℋпри 𝜆→+∞можем записать как
4
4
3(−𝜁(0, 𝜆))3/2 −𝜋
3(−𝜁(𝑏, 𝜆))3/2 −𝜋
cos
(︂2
)︂
−𝑎
√
)︂
sin(
√
𝜆
cos
(︂2
𝜆𝑏) = 𝑂
(︀
𝜆−𝑘+2
2𝑘)︀
.
(12)
Корни уравнения (12) лежат вблизи нулей функции cos(2(−𝜁(0, 𝜆))3/2/3−𝜋/4) при 𝜆→+∞
и имеют вид
2
3(−𝜁(0, 𝜆𝑛))3/2 −𝜋
4 = 𝜋𝑛−𝜋
2 +𝜖𝑛,
𝜖𝑛→0,
𝑛→∞.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№7
2024