Дифференциальные уравнения, 2024, № 6

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 6   2024   Июнь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
 
Москва
Ф 
ГБУ
 «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 6, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Существование и единственность сильных решений стохастических
дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными
броуновскими движениями с индексами Xерста 𝐻> 1/4
М. М. Васьковский, П. П. Стрюк
723
Уточн¨
енное глобальное кольцо Пуанкаре–Бендиксона с предельным циклом системы Рэлея
Ю. Ли, А. А. Гринь, А. В. Кузьмич
736
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа–Ампера
магнитной гидродинамики
А. В. Аксенов, А. Д. Полянин
750
Существование ренормализованного решения квазилинейного эллиптического уравнения
без условия знака на младший член
Л. М. Кожевникова
764
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Существование оптимальных множеств для линейных вариационных уравнений
и неравенств
В. Г. Замураев
786
Решение задачи размещения спектра для линейной системы управления,
замкнутой обратной связью
С. П. Зубова, Е. В. Раецкая
798
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Явно-неявные схемы расч¨
ета динамики упруговязкопластических сред с разупрочнением
В. И. Голубев, И. С. Никитин, А. В. Шевченко, И. Б. Петров
817
Применение операторных неравенств к исследованию устойчивости разностных схем
для нелинейных краевых задач с нелинейностями неограниченного роста
П. П. Матус
830

ХРОНИКА
О семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском
государственном университете имени М.В. Ломоносова
844

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №6, с. 723–735
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.51
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА, УПРАВЛЯЕМЫХ
ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
С ИНДЕКСАМИ XЕРСТА 𝐻> 1/4
© М. М. Васьковский1, П. П. Стрюк2
1,2Белорусский государственный университет, г. Минск
e-mail: 1vaskovskii@bsu.by, 2pavel.stryouk@gmail.com
Поступила в редакцию 07.02.2024 г., после доработки 23.04.2024 г.; принята к публикации 29.04.2024 г.
Исследована проблема однозначной разрешимости задачи Коши для стохастического
дифференциального уравнения смешанного типа, управляемого стандартными и дробными броуновскими движениями с показателем Херста 𝐻> 1/4. Доказана теорема
существования и единственности сильных решений таких уравнений.
Ключевые слова: броуновское движение, грубая траектория, стохастическое дифференциальное уравнение, задача Коши, сильное решение.
DOI: 10.31857/S0374064124060017, EDN: KWWAAK
ВВЕДЕНИЕ
На заданном полном вероятностном пространстве (Ω, ℱ, 𝑃) рассмотрим многомерное стохастическое дифференциальное уравнение
𝑑𝑋𝑡= 𝑏(𝑋𝑡)𝑑𝑡+ℎ(𝑋𝑡)𝑑𝑊𝑡+𝜎(𝑋𝑡)𝑑𝐵𝐻
𝑡,
𝑡∈[0, 1],
(1)
где 𝑏: R𝑛→R𝑛, ℎ: R𝑛→R𝑛×𝑛, 𝜎: R𝑛→R𝑛×𝑛— детерминированные функции; 𝑊𝑡и 𝐵𝐻
𝑡
—
независимые 𝑛-мерные стандартное броуновское движение и дробное броуновское движение
с показателем Херста 𝐻∈(1/4, 1).
Так как траектории процессов 𝑊𝑡, 𝐵𝐻
𝑡
с вероятностью, равной единице, нигде не дифференцируемы, то для придания смысла уравнению (1) необходимо перейти к соответствующему
интегральному уравнению
𝑋𝑡= 𝑋0 +
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
0
𝑏(𝑋𝑠) 𝑑𝑠+
0
ℎ(𝑋𝑠) 𝑑𝑊𝑠+
0
𝜎(𝑋𝑠) 𝑑𝐵𝐻
𝑠,
где третье слагаемое в правой части — интеграл Ито, а четвёртое — некоторый потраекторный интеграл, при этом соответствующее уравнение (1) называют стохастическим дифференциальным уравнением смешанного типа. Если интеграл Ито понимается в смысле
Стратоновича, то соответствующее стохастическое дифференциальное уравнение называют
уравнением Стратоновича.
Отметим, что стохастические дифференциальные уравнения смешанного типа, управляемые одновременно стандартными и дробными броуновскими движениями, вызывают повышенный интерес, поскольку охватывают как стохастические дифференциальные уравнения
723

ВАСЬКОВСКИЙ, СТРЮК
Ито, так и классы стохастических уравнений, подверженных воздействию фрактальных
шумов. Тем самым уравнение (1) представляет гибкий инструмент для моделирования физических и химических явлений, финансово-экономических процессов [1, 2].
К настоящему времени построена достаточно обширная теория стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых персистентными дробными броуновскими движениями, т.е. имеющими показатели Херста б´
ольшие 1/2 [3–10]. Для таких
уравнений интеграл по 𝐵𝐻
𝑡
понимается как потраекторный интеграл Римана–Стилтьеса.
Если уравнение (1) управляется антиперсистентными дробными броуновскими движениями, что соответствует случаю 𝐻< 1/2, то отсутствие достаточной гладкости не позволяет
использовать теорию, основанную на потраекторных интегралах Римана–Стилтьеса. Однако
такие уравнения могут исследоваться в контексте теории грубых траекторий, разработанной
авторами [11–13] и др.
Оригинальная теория грубых траекторий, разработанная Т. Лайонсом [11], основана
на теории аппроксимаций (аналог теоремы Вонга–Закаи) и позволяет рассматривать лишь
уравнения (1) типа Стратоновича. Стоит отметить, что исследование стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа с показателями Херста б´
ольшими 1/3 стало
возможным благодаря тому, что М. Губинелли предложил альтернативный аналог теории
грубых траекторий [12] на основе введённой им производной Губинелли, который позволил исследовать негеометрические грубые траектории и стохастические дифференциальные
уравнения, отличные от уравнений Стратоновича. С использованием методов теории грубых
траекторий М. Губинелли была построена общая теория стохастических дифференциальных
уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями с показателем Херста 𝐻> 1/3 [14, 15].
Несмотря на то, что связь между стохастическими дифференциальными уравнениями
Ито и Стратоновича хорошо известна в случае когда 𝐻> 1/3 (см., например, [13, с. 59]),
установление аналогичной связи при 𝐻> 1/4 значительно усложняется из-за необходимости
перестраивать все компоненты грубой траектории, соответствующей уравнению Стратоновича.
До настоящего времени исследования уравнений (1) смешанного типа с показателями
Херста меньшими 1/3 не обнаружены в литературе, хотя аналогичные уравнения Стратоновича с показателями Херста 𝐻>1/4 исследовались в статье [16] на основе теории грубых
траекторий Т. Лайонса [11]. Кроме того, известны недавние работы [17–19], в которых исследовались одномерные уравнения (1), управляемые одномерными геометрическими грубыми
траекториями с произвольным положительным показателем Гёльдера.
Также стоит отметить, что понятия решения уравнения (1), вообще говоря, различаются
в зависимости от того применяется теория Лайонса или теория Губинелли, что связано с
различиями в определении потраекторных интегралов и функциональных пространств для
решений.
Настоящая статья посвящена исследованию проблемы существования и единственности
сильного решения задачи Коши уравнения (1) смешанного типа, управляемого дробными
броуновскими движениями с показателями Херста 𝐻> 1/4. Данная задача решается в два
этапа. На первом этапе мы доказываем, что решение уравнения (1) Стратоновича с достаточно гладкими коэффициентами является сильным, при этом решение понимается в
смысле Губинелли. Существование и единственность сильного решения в смысле Лайонса
уравнения Стратоновича немедленно вытекает из теоремы Лайонса (предложение 2). Основная сложность состоит в доказательстве того, что построенное решение является элементом
пространства слабо управляемых грубых траекторий 𝒟𝛼
B, определённого в п. 1, и в последующем предельном переходе под знаком потраекторного интеграла Губинелли, из чего,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
725
в свою очередь, следует, что найденное решение является решением в смысле Губинелли.
Для доказательства данного факта используется метод из [13, гл. 7], а также оценки слабо
управляемых грубых траекторий, полученных в [20, гл. 3, 4].
Казалось бы, более естественный и простой способ заключается в использовании результатов работы [20, гл. 5], в которой доказывается существование и единственность решений
в смысле Губинелли уравнения (1) Стратоновича. Однако методы работы [20] не позволяют
доказать, что построенное решение является неупреждающим функционалом от процессов
𝑊𝑡, 𝐵𝐻
𝑡, и, следовательно, такое решение может не являться сильным.
Второй этап заключается в перестроении грубой траектории, соответствующей уравнению
(1) Стратоновича, таким образом, чтобы полученная грубая траектория соответствовала
уравнению смешанного типа и при этом решение в смысле Губинелли уравнения смешанного
типа являлось решением в смысле Губинелли соответствующего уравнения Стратоновича.
Отметим, что полученная грубая траектория не является геометрической в случае когда
функция ℎотлична от нуля, а следовательно, к таким грубым траекториям неприменимы
методы работ [11, 13, 20], что определяет новизну основного результата настоящей статьи,
сформулированного в теореме 1.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Пусть 𝑑=1+2𝑛, 𝑛∈N. Определим 𝑑-мерный случайный процесс 𝐵𝑡=(𝑡, 𝑊𝑡, 𝐵𝐻
𝑡), обозначив
через 𝐻𝑖показатели Херста его компонент 𝐵(𝑖)
𝑡, т.е. 𝐻1 = 1, 𝐻2 = . . . = 𝐻𝑛+1 = 1/2, 𝐻𝑛+2 = . . .
. . . = 𝐻𝑑= 𝐻.
Полагая 𝑓= col(𝑏, ℎ, 𝜎), рассмотрим уравнение
𝑑𝑋𝑡= 𝑓(𝑋𝑡)𝑑𝐵𝑡,
𝑡∈[0, 1].
(2)
Далее будем придерживаться обозначений, введённых в [16].
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Зафиксируем произвольные 𝑇> 0 и 𝛼∈(0, 1]. Через 𝐶𝛼([0, 𝑇], 𝑉) и 𝐶𝛼
2 ([0, 𝑇], 𝑉), где
𝑉— конечномерное евклидово пространство, обозначим соответственно множества функций
𝑓: [0, 𝑇] →𝑉, 𝑔: [0, 𝑇]2 →𝑉таких, что гёльдеровские полунормы
|𝑔𝑠,𝑡|
|𝑓𝑡−𝑓𝑠|
‖𝑓‖𝛼:=
sup
𝑠,𝑡∈[0,𝑇], 𝑠̸=𝑡
|𝑡−𝑠|𝛼,
‖𝑔‖𝛼,2 :=
sup
𝑠,𝑡∈[0,𝑇], 𝑠̸=𝑡
|𝑡−𝑠|𝛼
конечны. Далее для функции двух переменных 𝑔𝑠,𝑡будем писать ‖𝑔‖𝛼вместо ‖𝑔‖𝛼,2. Для
функции одной переменной 𝑓𝑡через 𝑓𝑠,𝑡будем обозначать приращение 𝑓𝑡−𝑓𝑠.
Через 𝐶𝑘
𝑏(𝑉, 𝑊), где 𝑉, 𝑊— конечномерные евклидовы пространства, обозначим множество функций ℎ: 𝑉→𝑊таких, что норма
‖ℎ‖𝐶𝑘
𝑏:=
𝑖=0
‖𝐷𝑖ℎ‖∞
𝑘
∑︁
конечна, ‖𝐷𝑖ℎ‖∞= sup𝑋∈𝑉|𝐷𝑖ℎ(𝑋)|.
Положим 𝑛= [1/𝛼]. Обозначим через C 𝛼([0, 𝑇], 𝑉) множество 𝛼-непрерывных по Гёльдеру грубых траекторий, т.е. множество элементов X = (1, X1, . . . , X𝑛) таких, что X𝑖∈
∈𝐶𝑖𝛼
2 ([0, 𝑇], 𝑉⊗𝑖) для любого 𝑖= 1, 𝑛и для любых 𝑠, 𝑢, 𝑡∈[0, 𝑇] выполняется следующее
тождество Чена:
X𝑠,𝑡= X𝑠,𝑢⊞X𝑢,𝑡,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024

ВАСЬКОВСКИЙ, СТРЮК
где
(X𝑠,𝑢⊞X𝑢,𝑡)𝑖=
𝑗=0
X𝑗
𝑠,𝑢⊗X𝑖−𝑗
𝑢,𝑡.
𝑖
∑︁
Здесь ⊞задаёт умножение на тензорной алгебре 𝑇(𝑛)(𝑉) = ⨁︀𝑛
𝑖=0 𝑉⊗𝑖, где 𝑉⊗0 = R. Таким
образом, элемент X: [0, 𝑇]2 →𝑇(𝑛)(𝑉) однозначно определяется значениями X0,𝑡, 𝑡∈[0, 𝑇],
так как X𝑠,𝑡= (X0,𝑠)−1 ⊞X0,𝑡. Далее будем писать X𝑡вместо X0,𝑡.
Грубая траектория X = (1, X1, . . . , X𝑛) называется геометрической, если
Sym(X𝑖
𝑠,𝑡) = 1
𝑖!(X1
𝑠,𝑡)⊗𝑖,
𝑖= 1, 𝑛.
Множество геометрических грубых траекторий будем обозначать через C 𝛼
𝑔([0, 𝑇], 𝑉).
Будем говорить, что элемент X ∈C 𝛼([0, 𝑇], 𝑉) является грубой траекторией над 𝑋∈
∈𝐶𝛼([0, 𝑇], 𝑉), если X1
0,𝑡= 𝑋𝑡для любых 𝑡∈[0, 𝑇].
Если отображение 𝑋𝑡липшицево, то можно определить каноническую геометрическую
грубую тракеторию X = (1, X1, X2, . . . , X𝑛) над 𝑋следующим образом:
X𝑖
𝑠,𝑡=
ˆ
𝑠<𝑡1<...<𝑡𝑖<𝑡
𝑑𝑋𝑡1 ⊗. . .⊗𝑑𝑋𝑡𝑖,
0 ⩽𝑠⩽𝑡⩽1,
где интегралы в правой части понимаются как интегралы Римана–Стилтьеса. В дальнейшем
для липшицевых отображений 𝑋𝑡будем рассматривать только канонические геометрические
грубые траектории.
Пусть 𝑝=1/𝛼. Обозначим через Ω∞
𝑝(R𝑑) множество грубых траекторий X∈C 𝛼([0, 1], R𝑑),
таких что X1
0,𝑡— липшицево отображение, с метрикой
𝑑𝑝(X, Y) = sup
1⩽𝑘⩽[𝑝]
(︂
sup
𝐷
𝑙
|X𝑘
𝑡𝑙−1,𝑡𝑙−Y𝑘
𝑡𝑙−1,𝑡𝑙|𝑝/𝑘
)︂𝑘/𝑝
+ sup
𝑡∈[0,1]
|X1
0,𝑡−Y1
0,𝑡|,
∑︁
где супремум берётся по всем конечным разбиениям 𝐷точками 𝑡𝑙отрезка [0, 1]. Обозначим
через Ω𝑝(R𝑑) замыкание множества Ω∞
𝑝(R𝑑) относительно метрики 𝑑𝑝.
1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛАБО УПРАВЛЯЕМЫХ ГРУБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Пусть 𝑋∈𝐶𝛼([0, 𝑇], 𝑉), а X = (1, X1, . . . , X𝑛) — грубая траектория над 𝑋. Пусть 𝑊—
конечномерное евклидово пространство. Будем говорить, что функция 𝑌𝑡∈𝐶𝛼([0, 𝑇], 𝑊) слабо
управляется грубой траекторией X ∈C 𝛼([0, 𝑇], 𝑉), если существуют функции 𝑌(1) : [0, 𝑇] →
→ℒ(𝑉, 𝑊), . . . , 𝑌(𝑛−1) : [0, 𝑇] →ℒ(𝑉⊗(𝑛−1), 𝑊) такие, что
𝑌𝑠,𝑡= 𝑌(1)
𝑠
X1
𝑠,𝑡+. . .+𝑌(𝑛−1)
𝑠
X𝑛−1
𝑠,𝑡+𝑅𝑌,𝑛
𝑠,𝑡,
𝑌(1)
𝑠,𝑡= 𝑌(2)
𝑠
X1
𝑠,𝑡+. . .+𝑌(𝑛−1)
𝑠
X𝑛−2
𝑠,𝑡+𝑅𝑌,𝑛−1
𝑠,𝑡
,
. . .
. . . ,
𝑌(𝑛−2)
𝑠,𝑡
= 𝑌(𝑛−1)
𝑠
X1
𝑠,𝑡+𝑅𝑌,2
𝑠,𝑡,
𝑌(𝑛−1)
𝑠,𝑡
= 𝑅𝑌,1
𝑠,𝑡,
а каждый из остаточных членов 𝑅𝑌,𝑖имеет конечную гёльдеровскую полунорму ‖𝑅𝑌,𝑖‖𝑖𝛼,
𝑖= 1, 𝑛. Функцию 𝑌(𝑖) будем называть производной Губинелли порядка 𝑖от 𝑌.
Определим банахово пространство
𝒟𝛼
X([0, 𝑇], 𝑊) =
{︂
(𝑌, 𝑌(1), . . . , 𝑌(𝑛−1)): 𝑌∈𝐶𝛼([0, 𝑇], 𝑊),
𝑖=1
‖𝑅𝑌,𝑖‖𝑖𝛼< ∞
}︂
𝑛
∑︁
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
727
с нормой
‖Y‖𝒟𝛼
X :=
𝑖=0
|𝑌(𝑖)
0 |+
𝑖=1
‖𝑅𝑌,𝑖‖𝑖𝛼,
𝑛−1
∑︁
𝑛
∑︁
где Y = (𝑌, 𝑌(1), . . . , 𝑌(𝑛−1)) ∈𝒟𝛼
X([0, 𝑇], 𝑊), 𝑌(0)
𝑡
= 𝑌𝑡.
1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ГРУБЫМ ТРАЕКТОРИЯМ
Пусть 𝑉, 𝑊— некоторые конечномерные евклидовы пространства, X = (1, X1, . . . , X𝑛) ∈
∈C 𝛼([0, 𝑇], 𝑉), 𝑌∈𝐶𝛼([0, 𝑇], ℒ(𝑉, 𝑊)), (𝑌, 𝑌(1), . . . , 𝑌(𝑛−1)) ∈𝒟𝛼
X([0, 𝑇], ℒ(𝑉, 𝑊)). Возьмём некоторые 𝑠, 𝑡∈[0, 𝑇], 𝑠< 𝑡, через 𝒫обозначим произвольное конечное разбиение отрезка [𝑠, 𝑡]
точками.
Потраекторным интегралом
´ 𝑡
𝑠𝑌𝑟𝑑X𝑟будем называть следующий предел интегральных
сумм (если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [𝑠, 𝑡]
точками):
𝑡
ˆ
𝑖=0
𝑌(𝑖)
𝑢X𝑖+1
𝑢,𝑣.
𝑠
𝑌𝑟𝑑X𝑟:= lim
|𝒫|→0
[𝑢,𝑣]∈𝒫
∑︁
𝑛−1
∑︁
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Определим кусочно-линейные аппроксимации процесса 𝐵𝑡соотношением
𝐵𝑚,𝑡= 𝐵𝑡𝑚
𝑙−1 +(𝑡−𝑡𝑚
𝑙−1)𝐵𝑡𝑚
𝑙−1,𝑡𝑚
𝑙,
𝑡∈[𝑡𝑚
𝑙−1, 𝑡𝑚
𝑙),
𝑙= 1, 2𝑚,
𝑡𝑚
𝑙= 𝑙/2𝑚.
Для каждого 𝑖=1, 2, 3 определим так называемый процесс порядка 𝑖над 𝐵𝑚,𝑡следующим
образом:
B𝑖
𝑚;𝑠,𝑡=
ˆ
𝑠<𝑡1<...<𝑡𝑖<𝑡
𝑑𝐵𝑚,𝑡1 ⊗. . .⊗𝑑𝐵𝑚,𝑡𝑖,
0 ⩽𝑠⩽𝑡⩽1,
пусть B𝑚;𝑠,𝑡= (1, B1
𝑚;𝑠,𝑡, B2
𝑚;𝑠,𝑡, B3
𝑚;𝑠,𝑡).
Так как существуют постоянные 𝐶> 0 и 𝜌> 1/4 такие, что для любых 𝑠, 𝑡∈[0, 1], 𝜏> 0
выполняются неравенства
𝜏
2
,
|𝑡−𝑠| ⩽𝜏,
то согласно теореме 2 из [16] для любого 𝑝> 1/𝐻существует п.н. предел
E(|𝐵𝑡−𝐵𝑠|2) ⩽𝐶|𝑡−𝑠|2𝜌,
E((𝐵𝑡−𝐵𝑠)(𝐵𝑡+𝜏−𝐵𝑠+𝜏)) ⩽𝐶𝜏2𝜌
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑡−𝑠
⃒
⃒
⃒
⃒
lim
𝑚→∞𝑑𝑝(B𝑚, B) = 0
для некоторого процесса B𝑠,𝑡= (1, B1
𝑠,𝑡, B2
𝑠,𝑡, B3
𝑠,𝑡) со значениями в 𝑇(3)(R𝑑) и B1
0,𝑡= 𝐵𝑡.
В силу теоремы 2 из [16] процесс B удовлетворяет тождеству Чена
B𝑠,𝑢⊞B𝑢,𝑡= B𝑠,𝑡,
𝑠⩽𝑢⩽𝑡.
Возьмём некоторое значение 𝛼∈(1/4, 𝐻) и зафиксируем его. Так как для любого 𝑝>1/𝐻
сглаженные грубые траектории B𝑚= (1, B1
𝑚, B2
𝑚, B3
𝑚) сходятся п.н. по метрике 𝑝-вариации
к B и B𝑚∈C 𝛼
𝑔([0, 1], R𝑑) п.н., то B ∈C 𝛼
𝑔([0, 1], R𝑑) п.н.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024

ВАСЬКОВСКИЙ, СТРЮК
Определим процесс ̃︀
B𝑠,𝑡= (1, ̃︀
B1
𝑠,𝑡, ̃︀
B2
𝑠,𝑡, ̃︀
B3
𝑠,𝑡) следующим образом:
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
𝑠
𝐴𝑠,𝑟⊗𝑑𝐵𝑟+
𝑠
𝐵𝑠,𝑟⊗𝑑𝐴𝑟,
̃︀
B1
𝑠,𝑡= B1
𝑠,𝑡,
̃︀
B2
𝑠,𝑡= B2
𝑠,𝑡+𝐴𝑠,𝑡,
̃︀
B3
𝑠,𝑡= B3
𝑠,𝑡+
где 𝐴𝑡— диагональная 𝑑×𝑑-матрица с ненулевыми элементами 𝐴(𝑖,𝑖)
𝑡
= −1/2𝑡, 𝑖= 2, 𝑛+1.
Предложение 1. ̃︀
B ∈C 𝛼([0, 1], R𝑑) п.н.
Доказательство. Достаточно проверить тождество Чена для ̃︀
B. Действительно,
̃︀
B𝑠,𝑢⊞̃︀
B𝑢,𝑡= (1, ̃︀
B1
𝑠,𝑢+ ̃︀
B1
𝑢,𝑡, ̃︀
B2
𝑠,𝑢+ ̃︀
B2
𝑢,𝑡+ ̃︀
B1
𝑠,𝑢⊗̃︀
B1
𝑢,𝑡, ̃︀
B3
𝑠,𝑢+ ̃︀
B3
𝑢,𝑡+ ̃︀
B1
𝑠,𝑢⊗̃︀
B2
𝑢,𝑡+ ̃︀
B2
𝑠,𝑢⊗̃︀
B1
𝑢,𝑡) =
𝑢
ˆ
𝑢
ˆ
𝑠
𝐴𝑠,𝑟⊗𝑑𝐵𝑟+
𝑠
𝐵𝑠,𝑟⊗𝑑𝐴𝑟+
=
(︂
1, B1
𝑠,𝑡, B2
𝑠,𝑢+B2
𝑢,𝑡+𝐴𝑠,𝑡+B1
𝑠,𝑢⊗B1
𝑢,𝑡, B3
𝑠,𝑢+B3
𝑢,𝑡+
+
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
𝑢
𝐴𝑢,𝑟⊗𝑑𝐵𝑟+
𝑢
𝐵𝑢,𝑟⊗𝑑𝐴𝑟+B1
𝑠,𝑢⊗B2
𝑢,𝑡+B2
𝑠,𝑢⊗B1
𝑢,𝑡+B1
𝑠,𝑢⊗𝐴𝑢,𝑡+𝐴𝑠,𝑢⊗B1
𝑢,𝑡
)︂
=
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
𝑠
𝐴𝑠,𝑟⊗𝑑𝐵𝑟+
𝑠
𝐵𝑠,𝑟⊗𝑑𝐴𝑟
)︂
= ̃︀
B𝑠,𝑡.
=
(︂
1, ̃︀
B1
𝑠,𝑡, B2
𝑠,𝑡+𝐴𝑠,𝑡, B3
𝑠,𝑡+
Предложение доказано.
Наряду с уравнением (2) рассмотрим следующие уравнения в грубых траекториях:
𝑑𝑋𝑡= 𝑓(𝑋𝑡)𝑑̃︀
B𝑡,
𝑡∈[0, 1],
(3)
где
𝑑𝑋𝑡= ̃︀
𝑓(𝑋𝑡)𝑑B𝑡,
𝑡∈[0, 1],
(4)
2
𝜕ℎ𝑗𝑖
𝜕𝑋𝑘
ℎ𝑘𝑖,
𝑗= 1, 𝑛.
𝑖,𝑘=1
𝑛
∑︁
̃︀
𝑓= col(̃︀
𝑏, ℎ, 𝜎),
̃︀
𝑏𝑗= 𝑏𝑗−1
Определение 1. Решением уравнения (4) будем называть случайный процесс 𝑋𝑡, заданный на вероятностном пространстве (Ω, ℱ, 𝑃), такой, что п.н. выполняются условия:
1) 𝑋∈𝐶𝛼([0, 1], R𝑛);
2) процессы 𝑋𝑡, ̃︀
𝑓(𝑋𝑡) слабо управляются грубой траекторией B;
3) для любого 𝑡∈[0, 1] имеет место равенство
𝑋𝑡= 𝑋0 +
𝑡
ˆ
0
̃︀
𝑓(𝑋𝑠) 𝑑B𝑠,
где интеграл в правой части — потраекторный интеграл, при этом 𝑋′
𝑡= ̃︀
𝑓(𝑋𝑡), 𝑋′′
𝑡=( ̃︀
𝑓(𝑋𝑡))′ =
= 𝐷̃︀
𝑓(𝑋𝑡)𝑋′
𝑡, ( ̃︀
𝑓(𝑋𝑡))′′ = 𝐷̃︀
𝑓(𝑋𝑡)𝑋′′
𝑡+𝐷2 ̃︀
𝑓(𝑋𝑡)(𝑋′
𝑡)⊗2. Пусть 𝜉: Ω →R𝑛— ℱ0-измеримая случайная величина. Решение 𝑋𝑡уравнения (4) с начальным условием 𝑋0 = 𝜉называется
единственным, если для любого решения 𝑌𝑡уравнения (4) с начальным условием 𝑌0 = 𝜉
выполняется равенство 𝑃(𝑋𝑡= 𝑌𝑡, 𝑡∈[0, 1]) = 1. Решение 𝑋𝑡уравнения (4) с начальным
условием 𝑋0 = 𝜉будем называть сильным, если процесс 𝑋𝑡согласован с потоком 𝜎-алгебр,
порождённым случайной величиной 𝜉и процессом 𝐵𝑡.
Определение 2. Сильным решением уравнения (1) будем называть случайный процесс
𝑋𝑡, заданный на вероятностном пространстве (Ω, ℱ, 𝑃) и согласованный с потоком 𝜎-алгебр,
порождённым начальным условием 𝑋0 и процессом 𝐵𝑡, такой, что п.н. выполняются условия:
1) 𝑋∈𝐶𝛼([0, 1], R𝑛);
2) процессы 𝑋𝑡, 𝑓(𝑋𝑡) слабо управляются грубой траекторией ̃︀
B;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
729
3) для любого 𝑡∈[0, 1] имеет место равенство
𝑋𝑡= 𝑋0 +
𝑡
ˆ
0
𝑓(𝑋𝑠) 𝑑̃︀
B𝑠.
Справедливы следующие утверждения.
Предложение 2 [11, с. 298]. Пусть 𝑝⩾1; 𝑓: R×R𝑛→ℒ(R𝑑, R𝑛) — функция, имеющая
непрерывные и ограниченные частные производные любого порядка 𝑘, 𝑘= 0, [𝑝]+1; 𝑥∈R𝑛.
Обозначим через 𝐹: Ω∞
𝑝(R𝑑)→Ω∞
𝑝(R𝑛) отображение Ито, действующее по правилу: 𝐹(X)=
= Y, где Y — грубая траектория над единственным решением 𝑌𝑡дифференциального уравнения 𝑑𝑌𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑌𝑡)𝑑𝑋𝑡, 𝑡∈[0, 1], управляемого липшицевым отображением X1
0,𝑡= 𝑋𝑡, с начальным условием 𝑌0 = 𝑥. Тогда отображение 𝐹является непрерывным и существует
единственное продолжение ^
𝐹отображения 𝐹на (Ω𝑝(R𝑑), 𝑑𝑝), которое также является
непрерывным.
Предложение 3. Пусть ̃︀
𝑓∈𝐶4
𝑏(R𝑛, R𝑛×𝑑). Тогда для любого 𝑥0 ∈R𝑛существует единственное сильное решение 𝑋𝑡уравнения (4) с начальным условием 𝑋0 = 𝑥0.
Доказательство. В доказательстве этого предложения все соотношения, содержащие
случайные процессы, понимаются в смысле п.н. Так как процессы 𝐵𝑚,𝑡кусочно-линейные,
то для любого натурального 𝑚уравнение
𝑑𝑋𝑡= ̃︀
𝑓(𝑋𝑡)𝑑B𝑚,𝑡,
𝑡∈[0, 1],
имеет единственное сильное решение 𝑋𝑚,𝑡с начальным условием 𝑋𝑚,0 =𝑥0, которое совпадает
с единственным сильным решением интегрального уравнения
𝑋𝑡= 𝑥0 +
𝑡
ˆ
0
̃︀
𝑓(𝑋𝑠) 𝑑𝐵𝑚,𝑠,
𝑡∈[0, 1].
По предложению 2 существует непрерывное детерминированное отображение 𝐺: Ω𝑝(R𝑑)→
→Ω𝑝(R𝑛) такое, что
X𝑚= 𝐺(B𝑚),
где X𝑚= (1, X1
𝑚, X2
𝑚, X3
𝑚) — каноническая геометрическая грубая траектория над 𝑋𝑚.
Так как для любого 𝑝′ >1/𝐻последовательность грубых траекторий B𝑚, 𝑚∈N, сходится
к B в (Ω𝑝′(R𝑑), 𝑑𝑝′), то согласно предложению 2 последовательность X𝑚, 𝑚∈N, сходится к
некоторой грубой траектории X в (Ω𝑝′(R𝑛), 𝑑𝑝′).
Докажем, что 𝑋𝑡=X1
0,𝑡является сильным решением уравнения (4) с начальным условием
𝑋0 = 𝑥0.
Для любого натурального 𝑚имеем
𝑋𝑚,𝑡= 𝑥0 +
𝑡
ˆ
0
̃︀
𝑓(𝑋𝑚,𝑠) 𝑑B𝑚,𝑠,
𝑡∈[0, 1].
(5)
Обозначим 𝑌𝑚,𝑠= ̃︀
𝑓(𝑋𝑚,𝑠), 𝑌𝑠= ̃︀
𝑓(𝑋𝑠). Покажем, что (𝑋𝑚, 𝑋′
𝑚, 𝑋′′
𝑚), (𝑌𝑚, 𝑌′
𝑚, 𝑌′′
𝑚) ∈𝒟𝛼
B𝑚,
(𝑋, 𝑋′, 𝑋′′), (𝑌, 𝑌′, 𝑌′′)∈𝒟𝛼
B, где 𝑋′
𝑚= ̃︀
𝑓(𝑋𝑚), 𝑋′′
𝑚=𝐷̃︀
𝑓(𝑋𝑚)𝑋′
𝑚, и аналогично определяются
𝑌′
𝑚, 𝑌′′
𝑚, 𝑋′, 𝑋′′, 𝑌′, 𝑌′′.
Докажем, что X𝑚= (𝑋𝑚, 𝑋′
𝑚, 𝑋′′
𝑚) ∈𝒟𝛼
B𝑚. Очевидно, что ‖𝑅𝑋𝑚,1‖𝛼= ‖𝑋′′
𝑚‖𝛼⩽𝐶для
любых 𝑚. Оценим
|𝑋′
𝑚,𝑠,𝑡−𝑋′′
𝑚,𝑠B1
𝑚,𝑠,𝑡|
‖𝑅𝑋𝑚,2‖2𝛼= sup
𝑠<𝑡
|𝑡−𝑠|2𝛼
⩽‖𝑋′
𝑚‖2𝛼+‖𝑋′′
𝑚‖∞‖B1
𝑚‖2𝛼⩽𝐶𝑚,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№6
2024