Дифференциальные уравнения, 2024, № 5

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 5   2024   Май
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
 
Москва
Ф 
ГБУ
 «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 5, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Построение диагональных функционалов Ляпунова–Красовского для одного класса
позитивных дифференциально-алгебраических систем
А. Ю. Александров
579
Метод построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений
В. М. Буданов
590
Теоремы существования и единственности решений стохастических
дифференциально-разностных гибридных систем
А. А. Леваков, Д. А. Долженкова
604
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Типичные провальные асимптотики квазиклассических приближений к решениям
нелинейного уравнения Шр¨
едингера
C. H. Мелихов, Б. И. Сулейманов, А. М. Шавлуков
618
О структуре ядра задачи Шварца для эллиптических систем первого порядка на плоскости
В. Г. Николаев
632
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Задачи мультипликативного управления для диффузионно-дрейфовой модели зарядки
неоднородного полярного диэлектрика
Р. В. Бризицкий, Н. Н. Максимова
643
Cтабилизация нелинейных динамических систем с уч¨
етом ограничений на состояния
при помощи метода бэкстеппинга
А. Е. Голубев
660
О кусочно-кубических оценках функции цены в задаче целевого управления
нелинейной системой
П. А. Точилин, И. А. Чистяков
672
Финитная стабилизация и назначение конечного спектра единым регулятором
по неполным измерениям для линейных систем нейтрального типа
В. Е. Хартовский
686

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Аппроксимация функционально-алгебраических задач на собственные значения
Д. М. Коростелева
707
О существовании периодических решений системы обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка с квазиоднородной нелинейностью
А. Н. Наимов, М. В. Быстрецкий
714

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №5, с. 579–589
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.929.4
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПОЗИТИВНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© А. Ю. Александров
Санкт-Петербургский государственный университет
e-mail: a.u.aleksandrov@spbu.ru
Поступила в редакцию 04.02.2024 г., после доработки 09.04.2024 г.; принята к публикации 29.04.2024 г.
Рассматривается связанная система, описывающая взаимодействие нелинейной дифференциальной подсистемы с нелинейностями секторного типа и линейной разностной
подсистемы. Предполагается, что система является позитивной. Строится диагональный
функционал Ляпунова–Красовского и определяются условия, при выполнении которых
с помощью такого функционала можно доказать абсолютную устойчивость изучаемой
системы. В случае нелинейностей степенного вида выводятся оценки скорости стремления решений к началу координат. Проводится анализ устойчивости соответствующей
системы с переключениями параметров. Находятся достаточные условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения при любом допустимом законе
переключения.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система, абсолютная устойчивость,
позитивная система, функционал Ляпунова–Красовского, переключения.
DOI: 10.31857/S0374064124050013, EDN: LBUEJV
ВВЕДЕНИЕ
Связанные системы, описывающие взаимодействие дифференциальных и разностных подсистем, относятся к классу дифференциально-алгебраических систем [1, § 1.6; 2, § 3.4; 3].
Системы такого рода широко используются для моделирования процессов химической технологии и гидродинамики, линий без потерь в электротехнике, применяются в задачах
стабилизации самолётов, а также в ряде других инженерных приложений [1, §§ 1.6, 2.5; 4].
Кроме того, к такому виду систем приводятся дифференциальные уравнения с запаздыванием нейтрального типа [2, с. 71].
Актуальной проблемой, возникающей при анализе динамики указанных систем, является
проблема устойчивости их решений. Методы исследования устойчивости и стабилизации хорошо разработаны для линейных дифференциально-алгебраических систем (см., например,
[2, § 3.4; 5–8] и цитируемую в них литературу). Для нелинейных систем ряд результатов, основанных на развитии второго метода Ляпунова, получен в статьях [5, 9]. Условия
устойчивости были сформулированы в терминах существования функционалов Ляпунова–
Красовского, обладающих определёнными свойствами. Однако следует заметить, что до сих
пор не разработано общих конструктивных подходов к построению требуемых функционалов.
Важным подклассом дифференциально-алгебраических систем являются позитивные системы. Устойчивость таких систем изучалась в работах [10–13]. В [10] и [11] с помощью
579

АЛЕКСАНДРОВ
метода сравнения были установлены условия экспоненциальной устойчивости нелинейных
систем и линейных систем с переменным запаздыванием. В статье [12] для нахождения условий робастной устойчивости линейных систем применялся специальный подход, основанный
на использовании математических моделей в форме “вход–выход”. В [13] для нелинейной
позитивной дифференциально-алгебраической системы с переключениями параметров строился линейный функционал Ляпунова–Красовского, существование которого гарантировало
асимптотическую устойчивость рассматриваемой системы при любом допустимом законе
переключения.
В то же время эффективным подходом к исследованию устойчивости позитивных систем является использование диагональных функций Ляпунова и функционалов Ляпунова–
Красовского. Этот подход хорошо разработан для позитивных дифференциальных и разностных систем без запаздывания [14]. В статье [15] для позитивных линейных систем с
запаздыванием было введено понятие диагональной устойчивости по Риккати. В работах
[15–17] были получены условия такой устойчивости для некоторых классов линейных и
нелинейных систем с запаздыванием.
Целью настоящей статьи является анализ диагональной устойчивости позитивной дифференциально-алгебраической системы специального вида.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим систему
˙
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑓(𝑥(𝑡))+𝐵𝑦(𝑡−𝜏),
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑓(𝑥(𝑡))+𝐷𝑦(𝑡−𝜏).
(1)
Здесь 𝑡⩾𝑡0 ⩾0, 𝑥(𝑡) ∈R𝑚, 𝑦(𝑡) ∈R𝑘, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷— постоянные матрицы соответствующих размерностей, 𝜏— постоянное положительное запаздывание, 𝑓(𝑥) — непрерывная при
‖𝑥‖ < 𝐻(0 < 𝐻⩽+∞, ‖·‖ — евклидова норма вектора) векторная функция сепарабельного
вида, т.е. 𝑓(𝑥) = (𝑓1(𝑥1), . . . , 𝑓𝑚(𝑥𝑚))т, где 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚— компоненты вектора 𝑥. Предполагается, что скалярные функции 𝑓𝑖(𝑥𝑖) удовлетворяют секторным условиям: 𝑥𝑖𝑓𝑖(𝑥𝑖) > 0 при
𝑥𝑖̸= 0, 𝑖= 1, 𝑚. Функции 𝑓(𝑥) с указанными свойствами будем называть допустимыми. Таким образом, рассматриваем связанную систему, описывающую взаимодействие нелинейной
дифференциальной системы типа Персидского ˙
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑓(𝑥(𝑡)) (см. [14, с. 97]) и линейной
разностной системы с непрерывным временем 𝑦(𝑡) = 𝐷𝑦(𝑡−𝜏).
Каждое решение системы (1) при 𝑡⩾𝑡0 определяется начальными условиями: 𝑥(𝑡0) = 𝑥0,
𝑦(𝑡0 + 𝜉) = 𝜙(𝜉) при 𝜉∈[−𝜏, 0), где 𝑥0 ∈R𝑚, а функция 𝜙(𝜉) принадлежит пространству
𝐶([−𝜏, 0), R𝑘) непрерывных и ограниченных вектор-функций 𝜙: [−𝜏, 0) ↦→R𝑘с равномерной
нормой ‖𝜙‖𝜏= sup𝜉∈[−𝜏,0) ‖𝜙(𝜉)‖. Под решением понимается пара функций 𝑥(𝑡), 𝑡∈[𝑡0, 𝑇),
и 𝑦(𝑡), 𝑡∈[𝑡0 −𝜏, 𝑇) (𝑡0 < 𝑇⩽+∞), которые удовлетворяют начальным условиям и системе (1) при 𝑡̸= 𝑡0 +𝑘𝜏, 𝑘= 0, 1, . . ., причём 𝑥(𝑡) является непрерывной функцией, имеющей
кусочно-непрерывную производную, а функция 𝑦(𝑡) является кусочно-непрерывной. Через 𝑦𝑡
обозначим отрезок соответствующей компоненты решения, т.е. 𝑦𝑡: 𝜉↦→𝑦(𝑡+𝜉) при 𝜉∈[−𝜏, 0).
Из предположений относительно правой части системы (1) следует существование её решений
(см. [5]).
В настоящей статье неравенства для векторов будем понимать покомпонентно.
Определение 1. Система (1) называется позитивной, если её решения с неотрицательными начальными данными остаются неотрицательными при возрастании времени.
Замечание 1. Известно (см. [11, 13]), что система (1) позитивна тогда и только тогда,
когда матрица 𝐴метцлерова (все её внедиагональные элементы неотрицательны), а матрицы
𝐵, 𝐶, 𝐷являются неотрицательными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО
581
Из свойств функций 𝑓1(𝑥1), . . . , 𝑓𝑚(𝑥𝑚) следует, что рассматриваемая система имеет
нулевое решение.
Определение 2. Будем говорить, что система (1) абсолютно устойчива, если её нулевое решение асимптотически устойчиво при любой допустимой функции 𝑓(𝑥) и любом
неотрицательном запаздывании 𝜏.
Хорошо известно (см., например, [5]), что система (1) может быть абсолютно устойчивой
только в случае, когда 𝐷является матрицей Шура (все её собственные числа по модулю
меньше единицы). Далее считаем, что это условие выполнено.
В работе [12] с использованием линейного функционала Ляпунова–Красовского доказано,
что позитивная система (1) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда матрица
𝑄= 𝐴+𝐵(𝐼−𝐷)−1𝐶
(2)
является гурвицевой. Здесь 𝐼— единичная матрица соответствующей размерности. В настоящей статье, развивая результаты, полученные в [12, 15–17] для различных классов
позитивных систем с запаздыванием, исследуем условия диагональной устойчивости рассматриваемой дифференциально-алгебраической системы.
Диагональный функционал Ляпунова–Красовского строим по формуле
𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡) =
𝑥𝑖(𝑡)
ˆ
𝑡
ˆ
𝑗=1
𝜔𝑗
𝑖=1
𝜆𝑖
0
𝑓𝑖(𝑢) 𝑑𝑢+
𝑡−𝜏
𝑦2
𝑗(𝜉) 𝑑𝜉,
(3)
𝑘
∑︁
𝑚
∑︁
где 𝜆𝑖, 𝜔𝑗— постоянные коэффициенты, 𝑥𝑖(𝑡) и 𝑦𝑗(𝑡) — компоненты векторов 𝑥(𝑡) и 𝑦(𝑡)
соответственно.
Определение 3. Будем говорить, что система (1) диагонально устойчива, если существует функционал вида (3), гарантирующий абсолютную устойчивость этой системы.
Покажем, что для позитивной системы (1) диагональная устойчивость эквивалентна абсолютной устойчивости. Кроме того, в случае функций 𝑓1(𝑥1), . . . , 𝑓𝑚(𝑥𝑚) степенного вида
с помощью построенного функционала оценим скорость стремления решений к началу координат. Также рассмотрим систему с переключениями параметров и определим условия
существования для соответствующего семейства подсистем общего диагонального функционала Ляпунова–Красовского.
2. КРИТЕРИЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Будем использовать подходы, разработанные в статьях [16, 17].
Теорема 1. Для диагональной устойчивости позитивной системы (1) необходимо и
достаточно, чтобы она была абсолютно устойчива.
Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна. Покажем достаточность.
Если система абсолютно устойчива, то матрица 𝑄, определённая по формуле (2), гурвицева. Заметим, что из свойств матрицы 𝐷следует (см. [14, § 2.2]), что матрица (𝐼−𝐷)−1
является неотрицательной, значит матрица 𝑄— метцлерова. Поэтому [14, § 2.2] существуют
векторы 𝜁> 0 и 𝜂> 0 такие, что 𝑄𝜁< 0, 𝑄т𝜂< 0.
Выберем коэффициенты 𝜆𝑖в функционале (3) в виде 𝜆𝑖= 𝜂𝑖/𝜁𝑖, где 𝜂𝑖, 𝜁𝑖— компоненты векторов 𝜂, 𝜁соответственно, 𝑖= 1, 𝑚. Продифференцируем этот функционал в силу
системы (1) и получим
.
2
(︃
𝑓(𝑥(𝑡))
)︃
т
𝐺
(︃
𝑓(𝑥(𝑡))
)︃
𝑦(𝑡−𝜏)
𝑦(𝑡−𝜏)
˙
𝑉=𝑓т(𝑥(𝑡))Λ
(︀
𝐴𝑓(𝑥(𝑡))+𝐵𝑦(𝑡−𝜏)
)︀
+𝑦т(𝑡)Ω𝑦(𝑡)−𝑦т(𝑡−𝜏)Ω𝑦(𝑡−𝜏)= 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024

АЛЕКСАНДРОВ
Здесь Λ и Ω — диагональные матрицы с элементами 𝜆𝑖и 𝜔𝑗соответственно на главных
диагоналях,
𝐺=
.
(︃
𝐴тΛ+Λ𝐴+2𝐶тΩ𝐶
Λ𝐵+2𝐶тΩ𝐷
)︃
𝐵тΛ+2𝐷тΩ𝐶
2(𝐷тΩ𝐷−Ω)
Нужно подобрать коэффициенты 𝜔𝑗так, чтобы матрица 𝐺была отрицательно определена.
Заметим, что 𝐺— симметричная и метцлерова матрица, поэтому [14, § 2.2] для доказательства её отрицательной определённости достаточно найти положительный вектор 𝜃такой,
что
𝐺𝜃< 0.
(4)
Пусть 𝐿= (𝐼−𝐷)−1(𝐶+𝛾𝐼), где 𝛾— положительный параметр. Если 𝜃= col(𝜁, 𝐿𝜁), то
𝜃> 0 и
𝐺𝜃=
=
(︃
𝐴т𝜂+Λ𝐴𝜁+2𝐶тΩ𝐶𝜁+Λ𝐵𝐿𝜁+2𝐶тΩ𝐷𝐿𝜁
)︃
𝐵т𝜂+2𝐷тΩ𝐶𝜁+2 (𝐷тΩ𝐷−Ω) 𝐿𝜁
.
=
(︃
Λ𝑄𝜁+𝐴т𝜂+𝛾Λ𝐵(𝐼−𝐷)−1𝜁+2𝐶тΩ(𝐶+𝐷𝐿)𝜁
)︃
𝐵т𝜂+2(𝐷т −𝐼)Ω𝐿𝜁−2𝛾𝐷тΩ𝜁
Выберем положительные числа 𝜔1, . . . , 𝜔𝑘так, чтобы имело место равенство
2Ω𝐿𝜁= (𝐼−𝐷т)−1(𝐵т𝜂+𝛾1𝑘),
где 1𝑘— 𝑘-мерный вектор, все компоненты которого равны единице. Тогда
𝐺𝜃=
.
)︃
(︃
Λ𝑄𝜁+𝑄т𝜂+𝛾Λ𝐵(𝐼−𝐷)−1𝜁−2𝛾𝐶тΩ𝜁+𝛾𝐶т(𝐼−𝐷т)−11𝑘
−𝛾1𝑘−2𝛾𝐷тΩ𝜁
Таким образом, если
𝛾
(︀
Λ𝐵(𝐼−𝐷)−1𝜁+𝐶т(𝐼−𝐷т)−11𝑘
)︀
< −Λ𝑄𝜁−𝑄т𝜂,
то выполнено условие (4), а производная функционала (3) удовлетворяет неравенству
˙
𝑉⩽−𝑎
(︀
‖𝑓(𝑥(𝑡))‖2 +‖𝑦(𝑡−𝜏)‖2)︀
,
𝑎= const > 0.
(5)
Применяя теорему 3 из работы [5], получаем, что нулевое решение рассматриваемой системы
асимптотически устойчиво при любой допустимой функции 𝑓(𝑥) и любом неотрицательном
запаздывании 𝜏. Теорема доказана.
3. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
Известно [5], что если система (1) линейна (𝑓𝑖(𝑥𝑖) = 𝑥𝑖, 𝑖= 1, 𝑚) и асимптотически устойчива, то она экспоненциально устойчива. В данном пункте рассмотрим допустимые функции
𝑓1(𝑥1), . . . , 𝑓𝑚(𝑥𝑚) степенного вида. Пусть
𝑓𝑖(𝑥𝑖) = 𝑥𝜇𝑖
𝑖,
𝑖= 1, 𝑚,
(6)
где 𝜇𝑖— рациональные числа с нечётными числителями и знаменателями, причём 𝜇𝑖⩾1
и max𝑖=1,𝑚𝜇𝑖> 1. Покажем, что в этом случае с помощью построенного функционала
Ляпунова–Красовского можно получить оценки времени переходных процессов для соответствующей системы (1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО
583
Теорема 2. Пусть система (1) позитивна, матрица (2) гурвицева, а функции 𝑓1(𝑥1), . . .
. . . , 𝑓𝑚(𝑥𝑚) имеют вид (6). Тогда для любого 𝛿> 0 найдутся положительные числа 𝑀1
и 𝑀2 такие, что для решений с начальными данными, удовлетворяющими условиям
𝑡0 ⩾0,
‖𝑥0‖+‖𝜙‖𝜏< 𝛿,
(7)
при всех 𝑡⩾𝑡0 справедливы оценки
|𝑥𝑖(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙)| ⩽𝑀1(1+𝑡−𝑡0)−1/(𝜌1(𝜇𝑖+1)),
𝑖= 1, 𝑚,
(8)
‖𝑦(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙)‖ ⩽𝑀2(1+𝑡−𝑡0)−𝜌2/𝜌1,
(9)
где 𝜌1 = max𝑖=1,𝑚(𝜇𝑖−1)/(𝜇𝑖+1), 𝜌2 = min𝑖=1,𝑚𝜇𝑖/(𝜇𝑖+1).
Доказательство. Рассмотрим функционал 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡), построенный по формуле (3).
В соответствии с доказательством теоремы 1 выбираем положительные коэффициенты 𝜆𝑖,
𝜔𝑗так, чтобы была справедлива оценка (5).
Далее проведём некоторую модификацию этого функционала. Положим
𝑡
ˆ
𝑡−𝜏
(𝜉−𝑡+𝜏)‖𝑦(𝜉)‖2 𝑑𝜉,
(10)
̃︀
𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡)+𝛽
где 𝛽— положительный параметр.
Дифференцируя функционал (10) в силу системы (1), получаем
𝑡
ˆ
𝑖=1
𝑥2𝜇𝑖
𝑖
(𝑡)+‖𝑦(𝑡−𝜏)‖2
)︂
−𝛽
𝑡−𝜏
‖𝑦(𝜉)‖2 𝑑𝜉,
˙
̃︀
𝑉⩽−(𝑎−𝛽𝜏)
(︂𝑚
∑︁
где значение 𝑎то же, что и в (5).
Пусть 0 < 𝛽< 𝑎/(2𝜏). Тогда
𝑡
ˆ
2𝑎
𝑖=1
𝑥2𝜇𝑖
𝑖
(𝑡)−𝛽
𝑡−𝜏
‖𝑦(𝜉)‖2 𝑑𝜉.
(11)
𝑚
∑︁
˙
̃︀
𝑉⩽−1
Кроме того, при выбранном значении 𝛽для самого функционала справедливы соотношения
𝑎1
𝑡
ˆ
𝑡
ˆ
𝑖=1
𝑥𝜇𝑖+1
𝑖
(𝑡)+
𝑖=1
𝑥𝜇𝑖+1
𝑖
(𝑡)+
𝑡−𝜏
‖𝑦(𝜉)‖2 𝑑𝜉
)︂
,
(12)
(︂𝑚
∑︁
(︂𝑚
∑︁
𝑡−𝜏
‖𝑦(𝜉)‖2 𝑑𝜉
)︂
⩽̃︀
𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡) ⩽𝑎2
где 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0.
Из выполнения оценок (11) и (12) следует (см. [5, теорема 3]), что нулевое решение
изучаемой системы асимптотически устойчиво в целом. Значит, для любого 𝛿> 0 найдутся
положительные числа ˜
𝛿и ˜
𝑏такие, что если выполнены условия (7), то при всех 𝑡⩾𝑡0 имеем
‖𝑥(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙)‖+‖𝑦(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙)‖ < ˜
𝛿и
˙
̃︀
𝑉(𝑥(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙), 𝑦𝑡(𝑡0, 𝑥0, 𝜙)) ⩽−˜
𝑏̃︀
𝑉1+𝜌1(𝑥(𝑡, 𝑡0, 𝑥0, 𝜙), 𝑦𝑡(𝑡0, 𝑥0, 𝜙)).
(13)
Интегрируя дифференциальное неравенство (13) и используя нижнюю оценку функционала
из формулы (12), нетрудно показать, что число 𝑀1 >0 можно выбрать так, чтобы для решений с начальными данными, удовлетворяющими условиям (7), при всех 𝑡⩾𝑡0 выполнялись
соотношения (8).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024

АЛЕКСАНДРОВ
Матрица 𝐷является матрицей Шура. Поэтому [14, § 2.1] существует постоянная симметричная положительно определённая матрица Ξ, для которой матрица 𝐷тΞ𝐷−Ξ отрицательно
определена. Пусть ^
𝑉(𝑦) = 𝑦тΞ𝑦. Тогда
^
𝑉(𝑦(𝑡)) ⩽𝑏1 ^
𝑉(𝑦(𝑡−𝜏))+𝑏2‖𝑓(𝑥(𝑡))‖2,
где 0<𝑏1 <1, 𝑏2 >0. Последовательно применяя это неравенство на промежутках [𝑝𝜏, (𝑝+1)𝜏],
𝑝= 0, 1, . . ., и учитывая оценки (8), получаем, что найдётся число 𝑀2 > 0 такое, что если
начальные данные решения системы (1) удовлетворяют условиям (7), то при всех 𝑡⩾𝑡0
выполнено соотношение (9). Теорема доказана.
Замечание 2. Как уже отмечалось, в работе [12] для позитивной и абсолютно устойчивой
системы (1) был построен линейный функционал Ляпунова–Красовского. Используя этот
функционал и проводя рассуждения, аналогичные приведённым в доказательстве теоремы 2,
можно также получить оценки вида (8), (9), но с б´
ольшими показателями степеней. Значит,
применение построенного в настоящей статье функционала позволяет точнее оценить время
переходных процессов.
4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ
Далее рассмотрим систему
˙
𝑥(𝑡) = 𝐴𝜎𝑓(𝑥(𝑡))+𝐵𝜎𝑦(𝑡−𝜏),
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑓(𝑥(𝑡))+𝐷𝑦(𝑡−𝜏).
(14)
Здесь 𝑡⩾𝑡0 ⩾0, 𝜎= 𝜎(𝑡) — заданная при 𝑡⩾𝑡0 кусочно-постоянная функция, определяющая
закон переключения, 𝜎(𝑡): [𝑡0, +∞)↦→{1, . . . , 𝑁}, 𝐴𝑠, 𝐵𝑠— постоянные матрицы соответствующих размерностей, 𝑠=1, 𝑁, а остальные обозначения те же, что и для системы (1). Таким
образом, переключения параметров происходят в первой группе уравнений, а во второй
группе матрицы 𝐶и 𝐷являются постоянными. В частности, такая ситуация имеет место,
когда система (14) линейна и получена в результате перехода от системы дифференциальных
уравнений с запаздыванием нейтрального типа
𝑑
𝑑𝑡
(︀
𝑦(𝑡)−𝐷𝑦(𝑡−𝜏)
)︀
= ˜
𝐴𝜎𝑦(𝑡)+ ˜
𝐵𝜎𝑦(𝑡−𝜏)
с помощью замены переменной 𝑥(𝑡)=𝑦(𝑡)−𝐷𝑦(𝑡−𝜏). Отметим, что в этом случае матрица 𝐶
будет единичной.
В соответствии со стандартными предположениями (см. [18]) считаем, что функция 𝜎(𝑡)
на любом ограниченном промежутке может иметь только конечное число точек разрыва.
Такие законы переключения будем называть допустимыми.
В каждый момент времени динамика системы (14) описывается одной из подсистем
семейства
˙
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑓(𝑥(𝑡))+𝐵𝑠𝑦(𝑡−𝜏),
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑓(𝑥(𝑡))+𝐷𝑦(𝑡−𝜏),
𝑠= 1, 𝑁.
(15)
Начальные условия и решения для системы (14) определяются так же, как и для системы (1). Из предположений относительно правой части системы следует существование её
решений (см. [5]).
По-прежнему предполагаем, что 𝐷— матрица Шура, и рассматриваем случай, когда
система (14) является позитивной.
Замечание 3. Известно (см. [11, 12]), что для позитивности системы (14) необходимо
и достаточно, чтобы матрицы 𝐴1, . . . , 𝐴𝑁были метцлеровыми, а матрицы 𝐵1, . . . , 𝐵𝑁, 𝐶,
𝐷— неотрицательными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО
585
Определение 4. Будем говорить, что система (14) абсолютно устойчива, если её нулевое решение асимптотически устойчиво при любой допустимой функции 𝑓(𝑥), любом
неотрицательном запаздывании 𝜏и любом допустимом законе переключения.
Определение 5. Будем говорить, что система (14) диагонально устойчива, если существует функционал вида (3), гарантирующий абсолютную устойчивость этой системы.
Для нахождения условий диагональной устойчивости воспользуемся специальным подходом, который был впервые предложен в работе [19] и получил дальнейшее развитие в [20, 21].
Рассмотрим системы неравенств
(𝐴𝑠+𝐵𝑠(𝐼−𝐷)−1𝐶)𝜁⩽𝛼1𝜁,
𝑠= 1, 𝑁,
(16)
𝐴т
𝑠𝜂+𝐶т(𝐼−𝐷т)−1 max
𝑟=1,𝑁
{𝐵т
𝑟𝜂} ⩽𝛼2𝜂,
𝑠= 1, 𝑁.
(17)
Заметим, что максимум в (17) понимается покомпонентно.
Теорема 3. Пусть система (14) позитивна. Если существуют векторы 𝜁> 0, 𝜂> 0 и
числа 𝛼1, 𝛼2 такие, что 𝛼1+𝛼2 <0 и выполнены неравенства (16), (17), то данная система
диагонально устойчива.
Доказательство. Функционал Ляпунова–Красовского выбираем в виде (3), причём коэффициенты 𝜆𝑖определяем по формулам 𝜆𝑖=𝜂𝑖/𝜁𝑖, где 𝜂𝑖, 𝜁𝑖— компоненты положительных
векторов 𝜂, 𝜁, удовлетворяющих условиям (16) и (17) соответственно, 𝑖= 1, 𝑚. Обозначим
через 𝑊𝑠(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡) производную этого функционала в силу 𝑠-й подсистемы семейства (15).
Имеем
.
𝑊𝑠(𝑥(𝑡), 𝑦𝑡) = 1
2
)︃
)︃
т
𝐺𝑠
(︃
𝑓(𝑥(𝑡))
𝑦(𝑡−𝜏)
(︃
𝑓(𝑥(𝑡))
𝑦(𝑡−𝜏)
Здесь
,
𝐺𝑠=
(︃
𝐴т
𝑠Λ+Λ𝐴𝑠+2𝐶тΩ𝐶
Λ𝐵𝑠+2𝐶тΩ𝐷
)︃
𝐵т
𝑠Λ+2𝐷тΩ𝐶
2 (𝐷тΩ𝐷−Ω)
а Λ и Ω — диагональные матрицы с элементами 𝜆𝑖и 𝜔𝑗соответственно на главных диагоналях. Нужно подобрать положительные коэффициенты 𝜔𝑗так, чтобы матрицы 𝐺1, . . . , 𝐺𝑁
были отрицательно определены.
Как и при доказательстве теоремы 1, положим 𝐿= (𝐼−𝐷)−1(𝐶+ 𝛾𝐼), 𝛾= const > 0,
𝜃= col(𝜁, 𝐿𝜁). Тогда 𝜃> 0 и
.
𝐺𝑠𝜃=
)︃
(︃
𝐴т
𝑠𝜂+Λ
(︀
𝐴𝑠+𝐵𝑠(𝐼−𝐷)−1𝐶
)︀
𝜁+𝛾Λ𝐵𝑠(𝐼−𝐷)−1𝜁+2𝐶тΩ(𝐶+𝐷𝐿)𝜁
𝐵т
𝑠𝜂+2(𝐷т −𝐼)Ω𝐿𝜁−2𝛾𝐷тΩ𝜁
Выберем положительные числа 𝜔1, . . . , 𝜔𝑘так, чтобы имело место равенство
2Ω𝐿𝜁= (𝐼−𝐷т)−1(︁
max
𝑟=1,𝑁
{𝐵т
𝑟𝜂}+𝛾1𝑘
)︁
.
Получим
𝐺𝑠𝜃⩽
⩽
(︃
𝛼1𝜂+𝐴т
𝑠𝜂+𝛾Λ𝐵𝑠(𝐼−𝐷)−1𝜁+2𝐶тΩ𝐿𝜁−2𝛾𝐶тΩ𝜁
)︃
−𝛾1𝑘−2𝛾𝐷тΩ𝜁
⩽
⩽
(︃
𝛼1𝜂+𝐴т
𝑠𝜂+𝐶т(𝐼−𝐷т)−1 max𝑟=1,𝑁{𝐵т
𝑟𝜂}+𝛾Λ𝐵𝑠(𝐼−𝐷)−1𝜁−2𝛾𝐶тΩ𝜁
)︃
−𝛾1𝑘−2𝛾𝐷тΩ𝜁
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№5
2024