Дифференциальные уравнения, 2024, № 4

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 4   2024   Апрель
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 4, 2024
ЛЮДИ НАУКИ
К восьмидесятипятилетию Виктора Антоновича Садовничего
435
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Асимптотически устойчивые решения с пограничными и внутренними слоями
в прямых и обратных задачах для сингулярно возмущ¨
енного уравнения теплопроводности
с нелинейной тепловой диффузией
М. А. Давыдова, Г. Д. Рублев
439
Формула Кристоффеля–Дарбу для полиномиальных собственных функций
линейных дифференциальных уравнений второго порядка
В. Е. Круглов
463
О существовании нелинеаризуемых решений в неклассической двухпараметрической
нелинейной краевой задаче
В. Ю. Мартынова
472
Оптимизационная обратная спектральная задача для одномерного оператора Шр¨
едингера
на всей оси
В. А. Садовничий, Я. Т. Султанаев, Н. Ф. Валеев
492
О реализации конечных существенных спектров показателей колеблемости двумерных
дифференциальных систем
А. Х. Сташ, Н. А. Лобода
500
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Обратная задача для волнового уравнения с двумя нелинейными членами
В. Г. Романов
508
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Начальная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа св¨
ертки
третьего порядка
С. Н. Асхабов
521
Корректная разрешимость вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений,
возникающих в теории вязкоупругости
Д. В. Георгиевский, Н. А. Раутиан
533

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Стабилизация переключаемой системы с соизмеримыми запаздываниями
при медленных переключениях
А. В. Ильин, А. С. Фурсов
550
Сингулярно возмущ¨
енная задача оптимального слежения
В. А. Соболев
561

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №4, с. 435–437
ЛЮДИ НАУКИ
К ВОСЬМИДЕСЯТИПЯТИЛЕТИЮ
ВИКТОРА АНТОНОВИЧА САДОВНИЧЕГО
3 апреля 2024 г. исполнилось 85 лет выдающемуся учёному, всемирно известному специалисту в области математического анализа, функционального анализа, дифференциальных
уравнений, прикладной математики, информатики, теоретической и прикладной механики,
главному редактору журнала “Дифференциальные уравнения”, ректору Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, академику РАН, крупнейшему организатору
науки и образования, видному общественному деятелю Виктору Антоновичу Садовничему.
Виктор Антонович родился и вырос в селе Краснопаловка Харьковской области. После
окончания школы в связи с затруднительным материальным положением в семье работал на шахте в г. Горловка. В 1958 г. поступил на механико-математический факультет
Московского университета, с отличием его окончил и всю дальнейшую жизнь посвятил
Московскому университету. Преподавательскую деятельность В.А. Садовничий начал на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета.
В 1967 г. он блестяще защитил кандидатскую диссертацию на тему “Регуляризованные суммы собственных значений общих задач для обыкновенных дифференциальных уравнений”
под руководством проф. А.Г. Костюченко, а уже в 1974 г. — докторскую диссертацию на тему “О некоторых вопросах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих
от спектрального параметра”.
Все годы работы в Московском университете В.А. Садовничий успешно сочетает научнопедагогическую и административно-организационную деятельность. В 1972 г. он стал заме435

К ВОСЬМИДЕСЯТИПЯТИЛЕТИЮ В.А. САДОВНИЧЕГО
стителем декана механико-математического факультета, в 1981–1982 гг. заведовал кафедрой
функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики, в 1982 г. был назначен на должность проректора, а в 1984 г. — на должность
первого проректора. С 1982 г. и по настоящее время В.А. Садовничий возглавляет кафедру
математического анализа механико-математического факультета. В 1994 г. Виктор Антонович избран членом-корреспондентом, а в 1997 г. — действительным членом Российской
академии наук. В период с 2008 по 2013 гг. являлся вице-президентом РАН.
В начале 1992 г., в сложнейшее для страны время политических и экономических перемен,
В.А. Садовничий был избран ректором Московского университета на первых в истории
университета демократических выборах на альтернативной основе, а после ещё трижды
избирался, а также неоднократно назначался ректором МГУ Указами Президента России.
Благодаря самоотверженной работе Виктора Антоновича Московскому университету в тяжёлые для образования и науки 90-е годы удалось не только сохранить свой высокий
учебный и научный потенциал, но и подняться на новый уровень развития. При руководстве В.А. Садовничего были построены новая Фундаментальная библиотека, Шуваловский,
Ломоносовский, 3-й и 4-й гуманитарные корпусы, Медицинский научно-образовательный
центр, новое общежитие на пять тысяч мест и здание лицея для одарённых детей. По
его инициативе в МГУ созданы как новые факультеты по актуальным направлениям, так
и новые научно-исследовательские институты, открыты филиалы университета в странах
СНГ и Европы и совместный университет в г. Шэньчжэне Китая. При руководстве Виктора
Антоновича был запущен масштабный федеральный проект — новая технологическая долина МГУ в центре Москвы. Общая площадь территории инновационного научного центра
будет составлять 17 гектаров, а центр будет включать 9 кластеров: “Ломоносов”, “Нанотех”, “Инфотех”, “Биомед”, “Космос”, “Геотех”, “Междисциплинарный кластер”, “Инжиниринг”
и “Образовательный”, первый построенный из которых — “Ломоносов” (размещается на территории в 65 тысяч квадратных метров) — уже успешно функционирует и является местом
притяжения компаний, занимающихся передовыми технологиями и разработками.
По инициативе Виктора Антоновича созданы Российский союз ректоров, Российский
союз олимпиад школьников и Евразийская ассоциация университетов. В.А. Садовничий —
почётный доктор многих российских и зарубежных университетов, почётный член многих
зарубежных академий наук, входит в состав Совета при Президенте Российской Федерации
по науке и образованию.
В.А. Садовничий — лауреат Государственной премии СССР (1989), Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники (2002), премии Правительства Российской Федерации в области образования (2006, 2012), премии Правительства Российской
Федерации в области науки и техники (2011), Государственной премии Республики Казахстан (2004), Государственной премии Республики Башкортостан в области науки и техники
(2011), награждён золотой медалью РАН имени М.В. Келдыша за цикл работ по спектральной теории операторов (с подробным списком работ В.А. Садовничего можно ознакомиться
по адресу https://istina.msu.ru/profile/SVA/). Указом Президента РФ от 3 апреля 2024 г.
В.А. Садовничему присвоено звание Героя труда Российской Федерации. Среди правительственных наград Виктора Антоновича: орден Александра Невского, ордена “За заслуги перед
Отечеством” II, III, IV степеней, два ордена Трудового Красного Знамени; ордена Русской
православной церкви: орден святого благоверного князя Даниила Московского II степени
(1997), ордена святителя Иннокентия — митрополита Московского и Коломенского II степени (1999) и I степени (2024), орден Преподобного Сергия Радонежского II степени (2002).
В.А. Садовничий имеет награды зарубежных государств: степень Командора ордена Почётного Легиона (Франция), орден Восходящего Солнца II степени “Золотые и серебряные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№4
2024

К ВОСЬМИДЕСЯТИПЯТИЛЕТИЮ В.А. САДОВНИЧЕГО
437
лучи” (Япония), орден Франциска Скорины (Республика Беларусь), орден “Достык” (Казахстан), орден “Барыс” (Казахстан), орден “Честь и слава” I степени (Абхазия), орден Дружбы
(Южная Осетия), орден Дружбы (Узбекистан). Виктор Антонович — Почётный гражданин
г. Москвы.
Под руководством Виктора Антоновича почти 70 его учеников успешно защитили кандидатские диссертации и более 20 — докторские. Он подготовил и в разные годы прочитал
на механико-математическом факультете МГУ несколько спецкурсов, а также обязательные
курсы по математическому анализу и функциональному анализу, которые легли в основу
большого ряда монографий, учебников и учебных пособий.
В.А. Садовничий известен не только как гениальный автор научных математических
работ, но и как автор содержательных работ по проблемам развития образования в нашей
стране, поддержке и развитию фундаментальных и прикладных исследований, академической науке, гуманитарному образованию, сохранению научного потенциала, проблемам развития и укрепления научных и педагогических связей внутри страны и между народами,
поддержке молодежи.
Выдающийся талант, огромное трудолюбие, искреннее желание принести пользу науке
и образованию в родной стране — всё это отличает В.А. Садовничего как авторитетнейшего
общественного деятеля, пользующегося заслуженным признанием и уважением.
Желаем дорогому Виктору Антоновичу крепкого здоровья, неиссякаемой энергии, долгих
активных лет жизни и успехов во всех его начинаниях.
Редакционная коллегия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№4
2024

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №4, с. 438
Авторы публикуемых в этом номере
статей посвящают их юбилею
Главного редактора журнала
“Дифференциальные уравнения”
академика Российской академии наук
Виктора Антоновича Садовничего

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №4, с. 439–462
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.54
АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ
С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ
В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩ¨
ЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОВОЙ ДИФФУЗИЕЙ
М. А. Давыдова1, Г. Д. Рублев2
1Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
2Институт физики атмосферы имени А.М. Обухова РАН, г. Москва
e-mail: 1m.davydova@physics.msu.ru, 2rublev.gd15@physics.msu.ru
Поступила в редакцию 30.09.2023 г., после доработки 30.11.2023 г.; принята к публикации 26.12.2023 г.
Предложен новый подход к исследованию прямых и обратных задач для сингулярно
возмущённого уравнения теплопроводности с нелинейно зависящей от температуры тепловой диффузией, основанный на развитии и использовании методов асимптотического
анализа в нелинейных сингулярно возмущённых задачах реакция–диффузия–адвекция.
Суть подхода рассмотрена на примере класса одномерных стационарных задач с нелинейными граничными условиями, для которого выделен случай применимости асимптотического анализа. Сформулированы достаточные условия существования классических
решений погранслойного типа и типа контрастных структур, построены асимптотические
приближения произвольного порядка точности таких решений, обоснованы алгоритмы
построения формальных асимптотик и исследована асимптотическая устойчивость по
Ляпунову стационарных решений с пограничными и внутренними слоями как решений
соответствующих параболических задач. Рассмотрен класс нелинейных задач, учитывающих боковой теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Доказана теорема существования и единственности классического решения с пограничными слоями
в задачах такого типа. В качестве приложений исследования представлены методы
решения конкретных прямой и обратной задач нелинейного теплообмена, связанных
с повышением эффективности эксплуатации прямолинейных нагревательных элементов
в плавильных печах — теплообменниках: расчёт тепловых полей в нагревательных элементах и метод восстановления коэффициентов тепловой диффузии и теплообмена по
данным моделирования.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности с нелинейной тепловой диффузией, задача
нелинейной теплопроводности, задача нелинейного теплообмена, сингулярно возмущённая задача, решение с пограничными и внутренними переходными слоями, тепловая
структура, асимптотический метод, коэффициентная обратная задача теплообмена.
DOI: 10.31857/S0374064124040018, EDN: PGHBJK
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы особый интерес вызывают задачи нелинейного тепломассопереноса
в связи с появлением новых аналитических методов их исследования, а также интенсивным
развитием методов численного моделирования, способствующих получению и применению
новых результатов как в технических разработках, в промышленности и энергетике, так
439

ДАВЫДОВА, РУБЛЕВ
и при решении современных задач экологии, биологии, химии и материаловедения (см., например, [1–7]). Первые работы в этом направлении появились ещё в начале прошлого века
(см., например, [8]). Основные методы исследования диффузионных моделей, предложенные
в те годы, наиболее полно рассмотрены в [9]. Новый важный этап в изучении задач нелинейного тепломассопереноса был связан с разработкой методов, направленных на поиск точных
[1] и приближённых [10] автомодельных решений. Интерес к этому ограниченному классу решений обусловлен тем, что он наиболее прост для изучения эффектов нелинейности.
С использованием автомодельных решений были описаны диссипативные структуры в нелинейных средах и, в частности, тепловые структуры, связанные с явлением пространственной
локализации тепла при воздействии нелинейных тепловых источников (см., например, [1]).
Одновременно развивались альтернативные методы исследования таких задач, основанные, например, на использовании группового анализа (см., например, [4]). Среди приближённых методов отметим методы теории возмущений [2, 11], которые оказались эффективными,
например, при изучении свойств композиционных материалов с мелкими включениями, при
рассмотрении регулярных тепловых режимов, соответствующих развитой стадии процесса,
при изучении задач типа реакция–диффузия экологии и генетики.
Отметим также результаты численного моделирования в задачах нелинейной теплопроводности (см., например, [2, 3]) как результаты основного подхода при изучении нелинейных
процессов. Одним из наиболее значимых примеров использования такого подхода является
математическое моделирование процесса эволюции тепловых структур (см., например, [1, 2]),
в частности, многомерных [12].
В настоящей работе рассмотрен новый подход к исследованию задач нелинейного теплообмена, основанный на дальнейшем развитии и использовании методов асимптотического
анализа [13–15] для систем тихоновского типа [13] с нелинейными граничными условиями
в условно устойчивом случае. Возможности нового подхода продемонстрированы на примере класса одномерных сингулярно возмущённых стационарных задач для квазилинейного
уравнения теплопроводности с учётом конвекции. Изучены различные нелинейные краевые режимы, соответствующие наличию тепловых потоков на границе или конвективного
теплообмена с постоянным или нелинейно зависящим от температуры коэффициентом теплообмена.
Квазилинейное уравнение теплопроводности может быть сведено к уравнению с квадратичной зависимостью от градиента решения. Впервые одномерная стационарная задача
Дирихле для уравнения такого типа исследовалась в работе [14], где на основе метода
сшивания доказано существование классического решения с внутренним переходным слоем.
Многомерный аналог такой задачи изучался в работе [5] с использованием метода дифференциальных неравенств [15], на основе которого доказано существование устойчивых решений
с пограничными и внутренними слоями. В настоящей работе впервые рассматриваются
стационарные сингулярно возмущённые задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в наиболее общей постановке с учётом нелинейной диффузии, конвекции и заданием
нелинейных условий на границе расчётной области. Для данного класса задач исследуются
вопросы о существовании классических решений с пограничными и внутренними слоями
(одномерные тепловые структуры) и об асимптотической устойчивости по Ляпунову таких
стационарных решений с использованием метода [15] и принципа сравнения (см., например,
[16, 17]).
В последнее время в теории сингулярных возмущений сформировалось и активно развивается новое направление, ориентированное на разработку эффективных численных алгоритмов решения прямых и обратных задач для нелинейных сингулярно возмущённых
уравнений типа реакция–диффузия–адвекция на основе предварительного асимптотическоДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№4
2024

АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ
441
го анализа (см., например, [18, 19]). Новый численно-асимптотический подход основан на
использовании информации о свойствах решений прямых сингулярно возмущённых задач,
полученной в результате строгого асимптотического анализа. В итоге удаётся свести исходную задачу к задаче с более простым численным решением и значительно сэкономить
вычислительные ресурсы, сократить время счёта, повысить стабильность работы вычислительного процесса по сравнению с обычными вариационными методами [20]. Данный подход
использует априорную информацию о положении внутреннего слоя решения прямой задачи. Другая модификация данного метода впервые предложена в статье [21], где в задаче
восстановления параметров модели применяется параметризованное асимптотическое приближение решения прямой задачи. Данный подход оказался эффективным при решении
некоторых прикладных задач геофизики [6, 21, 22]. Он же использован в настоящей работе
при решении конкретной обратной задачи нелинейного теплообмена, связанной с повышением эффективности эксплуатации прямолинейных нагревательных элементов в плавильных
печах — теплообменниках с конвективным или излучающим режимами. Разработан новый
метод восстановления теплофизических характеристик нелинейных сред (коэффициентов
тепловой диффузии и теплообмена) по данным моделирования.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пространственно-одномерное стационарное тепловое поле в нелинейной диссипативной
среде описывается задачей
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(︂
𝑘(𝑢, 𝑥)𝑑𝑢
)︂
−𝐴𝑑𝑢
𝑑𝑥= −𝑓(𝑢, 𝑥),
𝑥∈(0, 𝑙),
𝑁[𝑢]
⃒
⃒
𝑥=0 = 0,
𝑢|𝑥=𝑙= 𝑔,
(1)
где 𝑢(𝑥) — значение температуры в точке с координатой 𝑥; 𝑘(𝑢, 𝑥) — коэффициент теплопроводности, 0 < 𝑘1 < 𝑘(𝑢, 𝑥) < 𝑘2; 𝐴— локальная скорость среды, 𝑓(𝑢, 𝑥) — мощность
распределённых источников тепла; 𝑔— значение температуры при 𝑥= 𝑙. В качестве нелинейного оператора 𝑁[𝑢] при 𝑥= 0 может быть задан один из следующих операторов:
𝑑𝑥
𝑁[𝑢]
⃒
⃒
𝑥=0 =
[︂
𝑘(𝑢, 𝑥)𝑑𝑢
соответствующий наличию теплового потока плотности 𝑞при 𝑥= 0;
]︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑥=0
+𝑞,
𝑑𝑥
𝑁[𝑢]
⃒
⃒
𝑥=0 =
[︂
𝑘(𝑢, 𝑥)𝑑𝑢
]︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑥=0
−𝛼0(𝑢(0)−𝑈),
соответствующий наличию конвективного теплообмена с окружающей средой (с температурой 𝑈и коэффициентом теплообмена 𝛼0 > 0) при 𝑥= 0;
𝑑𝑥
𝑁[𝑢]
⃒
⃒
𝑥=0 =
[︂
𝑘(𝑢, 𝑥)𝑑𝑢
]︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑥=0
−𝛼1(𝑢(0))(𝑢(0)−𝑈),
соответствующий наличию конвективного теплообмена с учётом излучения границы 𝑥= 0
по закону Стефана–Больцмана, где 𝛼1(𝑢)=𝛼0+𝜎(𝑢+𝑈)(𝑢2+𝑈2), 𝜎— постоянная Стефана–
Больцмана.
Заметим, что в случае 𝐴= 𝐴(𝑥) в правой части уравнения из задачи (1) появляется
слагаемое, пропорциональное div 𝐴, но и в этом случае уравнение сводится к уравнению
того же типа при условии, что скорость 𝐴(𝑥) задана.
Определяя безразмерные температуру и длину как отношение соответствующих размерных величин к 𝑈и 𝑙(предполагается, что температура не сильно отличается от температуры
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№4
2024