Дифференциальные уравнения, 2024, № 3

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 3   2024   Март
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 3, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Исследование асимптотических свойств решения одной задачи с параметром
для оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом
И. С. Ломов
291
Прямая задача теории рассеяния для системы дифференциальных уравнений Дирака
на полуоси в случае конечной плотности
А. Э. Маматов
298
О разрешимости периодической задачи для системы нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
Э. Мухамадиев, А. Н. Наимов
312
Инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем
c тремя степенями свободы
М. В. Шамолин
322
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
О разрешимости начальных и граничных задач для абстрактного
функционально-дифференциального уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу
А. В. Глушак
346
Решение краевой задачи для эллиптического уравнения с вырождением
малого нецелого порядка
Д. П. Емельянов
365
О динамическом растяжении тонкого круглого идеально ж¨
есткопластического слоя
из трансверсально-изотропного материала
И. М. Цветков
375
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Сублоренцевы экстремали, заданные антинормой
А. В. Подобряев
386
О точной глобальной управляемости полулинейного эволюционного уравнения
А. В. Чернов
399

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Балансно-характеристический метод расч¨
ета гемодинамики в сосуде с подвижными стенками
В. М. Головизнин, В. В. Конопляников, П. А. Майоров, С. И. Мухин
418

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №3, с. 291–297
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.927.25
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
С СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
И. С. Ломов
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
e-mail: lomov@cs.msu.ru
Поступила в редакцию 02.09.2023 г., после доработки 18.11.2023 г.; принята к публикации 07.12.2023 г.
Оператор Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом определён на отрезке числовой прямой. Заданы условия сопряжения во внутренней точке отрезка. Потенциал
оператора может иметь неинтегрируемую особенность. Для сильного решения задачи
Коши для уравнения с параметром получены асимптотические формулы и оценки на
каждом из отрезков гладкости решения.
Ключевые слова: дифференциальный оператор, сингулярный коэффициент, асимптотическое представление решения, условия сопряжения, лемма Гронуолла–Беллмана.
DOI: 10.31857/S0374064124030015, EDN: PSEVBO
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В книге [1, с. 28–38] представлены исследования автора по вопросам спектральной теории дифференциальных операторов второго порядка на отрезке с нелокальными краевыми
условиями, в частности, изучены спектральные свойства оператора Штурма–Лиувилля с интегрируемым на отрезке потенциалом. Цель данной статьи — показать, что часть из этих
свойств справедлива и для оператора Штурма–Лиувилля с потенциалами, имеющими неинтегрируемые особенности. Получены асимптотические формулы для решения задачи Коши
для уравнения с параметром, которые позволяют получить асимптотические представления
для собственных функций оператора с краевыми условиями и для сопряжённого оператора.
Установив асимптотические формулы для собственных значений, доказав справедливость
неравенства Бесселя для прямого и сопряжённого операторов и справедливость теоремы
полноты для каждого из операторов, применим теорему Бари и придём к теореме о безусловной базисности систем собственных функций операторов в пространстве ℒ2.
Изучим свойства решения при произвольных значениях спектрального параметра 𝜆следующей модельной задачи:
−𝑦′′(𝑥)+𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥),
𝑥∈(0, 1),
(1)
𝑦(0) = 0,
𝑦′(0) = 1,
𝑦[1/2] = 0,
𝑦′[1/2] = 𝑦′(0) = 1.
(2)
Будем изучать сильное решение задачи — решение, удовлетворяющее уравнению (1)
почти всюду на интервале 𝐺= (0, 1) при выполнении условий (2) в обычном смысле.
Задачу (1), (2) рассматриваем на множестве функций 𝑦(𝑥), абсолютно непрерывных
вместе с первой производной на каждом из отрезков [0, 1/2] и [1/2, 1] и принадлежащих
классу ℒ2(𝐺) функций, интегрируемых с квадратом на множестве 𝐺.
291

ЛОМОВ
Через 𝑦[1/2] обозначен скачок функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥=1/2: 𝑦[1/2]=𝑦(1/2+0)−𝑦(1/2−0),
𝑞(𝑥) — комплекснозначная функция из класса ℒ1
1−𝜀(𝐺) =
{︀
𝑓(𝑥) :
´ 1
0 𝑥1−𝜀|𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥< ∞
}︀
для
некоторого числа 𝜀∈[0, 1]. Таким образом, потенциал 𝑞(𝑥) может иметь неинтегрируемую
особенность в нуле.
Отметим, что краевая задача для уравнения (1) с потенциалом 𝑞(𝑥)∈ℒ1
1−𝜀(𝐺), 𝜀∈(1/2, 1],
исследована в статье [2]. Рассмотрены гладкие на интервале 𝐺решения. Получены асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений соответствующего
оператора. Решена обратная задача по нахождению потенциала. Некоторые идеи из этой
статьи используются для получения оценок решения задачи (1), (2).
В работе [3] изучена краевая задача для уравнения (1) с потенциалом из класса ℒ1,𝜚(𝐺),
т.е. 𝜚(𝑥)𝑞(𝑥) ∈ℒ1(𝐺), где через 𝜚(𝑥) обозначено расстояние от точки 𝑥до границы интервала 𝐺. Рассмотрены гладкие на интервале 𝐺решения, найдены условия безусловной
базисности в пространстве ℒ2(𝐺) системы корневых функций оператора.
В статье [4] для общего дифференцильного оператора второго порядка на интервале 𝐺
(в случае оператора Шрёдингера потенциал 𝑞(𝑥) ∈ℒ1,√𝜚(𝐺)) найдены условия, гарантирующие безусловную базисность системы корневых функций в пространстве ℒ2(𝐺). Рассмотрены
нерегулярные решения. В [3, 4] корневые функции понимаются в обобщённом по В.А. Ильину
смысле [5, с. 347].
Основы теории сингулярных задач Коши и теории сингулярных краевых задач на примере
двухточечных задач и задач об ограниченных и монотонных решениях дифференциальных
уравнений второго порядка изложены в фундаментальной работе [6].
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Выведем асимптотические формулы для функции 𝑦(𝑥, 𝜇, 𝑞)≡𝑦(𝑥) — решения задачи (1),
(2). Здесь 𝜇2 = 𝜆, Re 𝜇⩾0.
Методом вариации постоянных найдём интегральные уравнения для функции 𝑦(𝑥) на
каждом из отрезков [0, 1/2] и [1/2, 1]. Пусть 𝜇̸= 0, ищем решение задачи в виде 𝑦(𝑥) =
= 𝑐1(𝑥) sin(𝜇𝑥)+𝑐2(𝑥) cos(𝜇𝑥) и получим следующие уравнения:
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
sin(𝜇(𝑥−𝑡))
𝑥
ˆ
𝜇
+
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡,
𝑥∈[0, 1/2],
(3)
0
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
sin 𝜇(𝑥−𝑡)
𝑥
ˆ
𝜇
+ sin(𝜇(𝑥−1/2))
𝜇
+
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡,
𝑥∈[1/2, 1],
(4)
0
где функция 𝑦(𝑡) при 𝑡∈[0, 1/2] в уравнении (4) является решением уравнения (3).
Прежде чем переходить к получению асимптотических формул для функции 𝑦(𝑥), убедимся в том, что особенность потенциала 𝑞(𝑥) в точке 𝑥= 0 не мешает существованию
интегралов в правых частях равенств (3), (4). Из леммы 1.1 [6] следует, что для решения уравнения (1) с потенциалом 𝑞(𝑥) из рассматриваемого класса справедлива оценка
|𝑦(𝑥)| ⩽𝑐𝑥для значений 𝑥> 0, близких к точке 𝑥= 0. Это означает, что поведение функции
𝑦(𝑥) в окрестности нуля компенсирует возможную особенность потенциала.
Будем использовать обозначение 𝜈= | Im 𝜇|.
Лемма 1. Пусть коэффициент 𝑞(𝑥) уравнения (1) принадлежит пространству ℒ1
1−𝜀(𝐺)
для некоторого числа 𝜀∈[0, 1]. Тогда для произвольного комплексного числа 𝜇̸=0 дифференциальное уравнение (1) при начальных условиях (2) в промежутке [0, 1/2] имеет единственное
решение 𝑦(𝑥), допускающее оценки
|𝑦(𝑥)| ⩽𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑥)|𝜇|−𝛿𝑥1−𝛿,
𝑥∈[0, 1/2],
𝛿∈[0, 𝜀],
(5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
293
𝜇
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)|𝑑𝑡,
𝑥∈[0, 1/2],
𝛿∈[0, 𝜀],
(6)
⃒
⃒
⃒
⃒𝑦(𝑥)−sin(𝜇𝑥)
⃒
⃒
⃒
⃒⩽𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑥)|𝜇|−1−𝛿
𝑥
ˆ
где 𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑥) = exp
{︀
𝜈𝑥+|𝜇|−𝛿´ 𝑥
0 𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)|𝑑𝑡
}︀
.
Доказательство. В силу леммы 1.1 [6] задача (1), (2) имеет единственное решение 𝑦.
Прежде чем доказывать оценки леммы, установим некоторые неравенства, связанные с функцией sin 𝑧, 𝑧= 𝑥+𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦∈R:
| sin 𝑧| ⩽|𝑧| ch 𝑦⩽|𝑧|𝑒|𝑦|,
𝑧∈C.
(7)
Действительно, для значений |𝑧| ⩽1 получаем оценку (7), исходя из известных соотношений
| sin 𝑧|2 = sh2 𝑦+sin2 𝑥⩽𝑦2 ch2 𝑦+𝑥2 ch2 𝑦= (𝑥2 +𝑦2) ch2 𝑦,
где использованы неравенства ch 𝑦⩾1 и | th 𝑦| ⩽|𝑦| для 𝑦∈[−1, 1].
Для |𝑧| > 1 имеем | sin 𝑧/𝑧| ⩽| sin 𝑧| ⩽ch 𝑦, тем самым устанавливаем оценку (7) для
остальных значений 𝑧.
При 𝜇∈C, 𝜇̸= 0, 0 ⩽𝑡𝑗−𝑡𝑗+1 ⩽1, 𝑡𝑗, 𝑡𝑗+1 ∈[0, 1], из неравенства (7) следует оценка
| sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|
|𝜇|𝑡𝑗
⩽𝑒𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1).
(8)
Если число 𝛿∈[0, 1], то из (8) получим
| sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|
|𝜇|𝑡1−𝛿
𝑗
⩽𝑒𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1).
Уточним последнюю оценку. Используя неравенство | sin 𝑧| ⩽ch 𝑦, справедливое для всех
значений 𝑧∈C, 𝑦= Im 𝑧, и оценку (8), будем иметь
| sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|
|𝜇|𝛿
| sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|1−𝛿
(|𝜇|𝑡𝑗)1−𝛿
⩽
|𝜇|𝑡1−𝛿
𝑗
= | sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|𝛿
⩽
1
|𝜇|𝛿𝑒𝛿𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1)𝑒(1−𝛿)𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1) =
1
|𝜇|𝛿𝑒𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1),
т.е.
| sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))|
|𝜇|𝛿𝑒𝜈(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1),
𝜇̸= 0.
(9)
|𝜇|𝑡1−𝛿
𝑗
⩽
1
Из оценки (9) при 𝛿∈[0, 1], 𝜇∈C, 𝜇̸= 0, получим
| sin(𝜇𝑡𝑛)|
|𝜇|𝛿𝑒𝜈𝑡𝑛.
(10)
|𝜇|𝑡1−𝛿
𝑛
⩽
1
Для установления оценки (5) используем представление (3) и неравенство (10). Имеем
𝑥
ˆ
|𝑦(𝑥)| ⩽𝑒𝜈𝑥|𝜇|−𝛿𝑥1−𝛿+|𝜇|−𝛿
𝑥
ˆ
0
𝑒𝜈(𝑥−𝑡)(𝑥−𝑡)1−𝛿|𝑞(𝑡)𝑦(𝑡)| 𝑑𝑡⩽𝑒𝜈𝑥|𝜇|−𝛿𝑥1−𝛿
(︂
1+
0
𝑒−𝜈𝑡|𝑞(𝑡)𝑦(𝑡)| 𝑑𝑡
)︂
и, следовательно,
𝑒−𝜈𝑥|𝜇|𝛿𝑥𝛿−1|𝑦(𝑥)| ⩽1+|𝜇|−𝛿
𝑥
ˆ
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)|
(︀
𝑒−𝜈𝑡|𝜇|𝛿𝑡𝛿−1|𝑦(𝑡)|
)︀
𝑑𝑡,
𝑥∈(0, 1/2].
Из этого неравенства, в силу леммы Гронуолла–Беллмана [7, с. 49; 8, с. 46], вытекает
оценка (5).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024

ЛОМОВ
С учётом полученной оценки (5) находим
sin(𝜇(𝑥−𝑡))
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
0
0
𝑒𝜈(𝑥−𝑡)|𝑞(𝑡)||𝑦(𝑡)| 𝑑𝑡⩽1
0
𝑒𝜈(𝑥−𝑡)|𝑞(𝑡)|𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑡)𝑡1−𝛿
|𝜇|
|𝜇|
|𝜇|𝛿𝑑𝑡=
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒⩽1
⃒
⃒
⃒
⃒
=
1
𝑥
ˆ
𝑡
ˆ
0
𝑡1−𝛿
1
|𝑞(𝑡1)| 𝑑𝑡1
0
𝑒𝜈(𝑥−𝑡)𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)| exp
{︂
𝜈𝑡+ 1
}︂
𝑑𝑡⩽
|𝜇|1+𝛿
|𝜇|𝛿
⩽
1
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡= 𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑥)
1
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡.
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡
}︂
𝑥
ˆ
|𝜇|1+𝛿exp
{︂
𝜈𝑥+ 1
|𝜇|𝛿
|𝜇|1+𝛿
Отсюда и из представления (3) получаем оценку (6):
sin(𝜇(𝑥−𝑡))
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝜇
0
0
𝑡1−𝛿|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡,
𝑥∈[0, 1/2].
|𝜇|1+𝛿
⃒
⃒
⃒
⃒𝑦(𝑥)−sin(𝜇𝑥)
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒⩽𝑟(𝛿, 𝜇, 𝑥)
1
Лемма доказана.
Используем интегральное уравнение (4) для получения оценок решения задачи (1), (2)
при 𝑥∈[1/2, 1]. Обозначим
sin 𝜇(𝑥−𝑡)
1/2
ˆ
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡,
𝑥∈[1/2, 1],
0
𝑐𝑞= ‖̃︀
𝑞‖1 𝑒‖̃︀
𝑞‖1,
̃︀
𝑞(𝑥) = 𝑥1−𝜀𝑞(𝑥),
𝑦0(𝑥) =
где ‖·‖1 — норма в пространстве ℒ1(𝐺).
Лемма 2. Пусть коэффициент 𝑞(𝑥) уравнения (1) принадлежит пространству ℒ1
1−𝜀(𝐺)
для некоторого числа 𝜀∈[0, 1]. Тогда для любого комплексного параметра 𝜇, |𝜇| ⩾1, задача
(1), (2) имеет единственное решение 𝑦(𝑥), допускающее оценки
1/2
ˆ
|𝑦(𝑥)| ⩽2+𝑐𝑞
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡,
𝑥∈[1/2, 1].
|𝜇|1+𝜀
|𝜇| 𝑒2𝜈+‖̃︀
𝑞‖1,
|𝑦0(𝑥)| ⩽𝑟(𝜀, 𝜇, 1)
Для этого решения справедливо равенство
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
𝜇
+ sin(𝜇(𝑥−1/2))
𝜇
+𝑦0(𝑥)+𝑂(𝜇−2),
𝑥∈[1/2, 1],
(11)
где слагаемое 𝑂(𝜇−2) удовлетворяет оценке
|𝑂(𝜇−2)| ⩽2𝑐𝑞
2+𝑐𝑞
|𝜇|2 𝑒3𝜈,
𝑥∈[1/2, 1].
Доказательство. Запишем интегральное уравнение (4) для функции 𝑦(𝑥) в следующем
виде:
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
sin(𝜇(𝑥−𝑡))
𝑥
ˆ
𝜇
+ sin(𝜇(𝑥−1/2))
𝜇
+𝑦0(𝑥)+
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡.
(12)
1/2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
295
Применив неравенства (5) и (7), получим оценку слагаемого 𝑦0(𝑥):
𝑒𝜇(𝑥−𝑡)
1/2
ˆ
|𝑦0(𝑥)| ⩽
0
|𝜇|
|𝑞(𝑡)|𝑟(𝜀, 𝜇, 𝑡) 𝑡1−𝜀
|𝜇|𝜀𝑑𝑡=
=
1
1/2
ˆ
𝑡
ˆ
0
𝑡1−𝜀
1
|𝑞(𝑡1)| 𝑑𝑡1
0
𝑒𝜈(𝑥−𝑡)𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| exp
{︂
𝜈𝑡+ 1
}︂
𝑑𝑡⩽
|𝜇|1+𝜀
|𝜇|𝜀
⩽
1
1/2
ˆ
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡⩽
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡
}︂
1/2
ˆ
|𝜇|1+𝜀exp
{︂
𝜈𝑥+ 1
|𝜇|𝜀
⩽
1
1
ˆ
1/2
ˆ
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡= 𝑟(𝜀, 𝜇, 1)
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡,
𝑥∈[1/2, 1],
0
𝑡1−𝜀|𝑞(𝑡)| 𝑑𝑡
}︂
1/2
ˆ
|𝜇|1+𝜀exp
{︂
𝜈+ 1
|𝜇|𝜀
|𝜇|1+𝜀
здесь 𝜇̸= 0 — любое комплексное число. Если |𝜇| ⩾1, то справедлива оценка |𝑦0(𝑥)| ⩽
⩽𝑐𝑞|𝜇|−1−𝜀𝑒𝜈.
Представим решение интегрального уравнения (12) в виде ряда
𝑦(𝑥) =
𝜇
+ sin(𝜇(𝑥−1/2))
𝜇
+𝑦0(𝑥),
𝑥∈[1/2, 1],
𝑛=0
𝑐𝑛(𝑥),
𝑐0(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
∞
∑︁
sin(𝜇(𝑡𝑗−𝑡𝑗+1))
𝑐𝑛(𝑥) =
𝑥
ˆ
𝑡1
ˆ
𝑡𝑛−1
ˆ
𝜇
𝜇
𝑐0(𝑡𝑛)
𝑗=1
[︂sin(𝜇(𝑥−𝑡1))
1/2
𝑑𝑡1
1/2
𝑑𝑡2 . . .
1/2
𝑛−1
∏︁
𝑛
∏︁
𝑗=1
̃︀
𝑞(𝑡𝑗)
]︂
𝑑𝑡𝑛.
Для коэффициента 𝑐0(𝑥) имеет место неравенство
|𝑐0(𝑥)| ⩽2+𝑐𝑞
|𝜇|
𝑒𝜈,
𝑥∈[1/2, 1],
|𝜇| ⩾1.
Чтобы получить оценки для остальных слагаемых ряда, воспользуемся неравенствами
(9), (10) и равенством
𝑥
ˆ
𝑡1
ˆ
𝑡𝑛−1
ˆ
𝑛!
0
𝑓(𝑡1)
0
𝑓(𝑡2) . . .
0
𝑓(𝑡𝑛) 𝑑𝑡𝑛𝑑𝑡𝑛−1 . . . 𝑑𝑡1 = 1
(︂
𝑥
ˆ
0
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
)︂
𝑛
,
𝑛⩾1,
для доказательства которого нужно последовательно вводить новые переменные
𝜉1 =
𝑡𝑛−1
ˆ
𝑡𝑛−2
ˆ
𝑡1
ˆ
0
𝑓(𝑡𝑛) 𝑑𝑡𝑛,
𝜉2 =
0
𝑓(𝑡𝑛−1) 𝑑𝑡𝑛−1,
. . . ,
𝜉𝑛−1 =
0
𝑓(𝑡2) 𝑑𝑡2
и интегрировать функции 𝜉𝑘в промежутках
[︀
0,
´ 𝑡𝑛−𝑘
0
𝑓(𝑡𝑛−𝑘+1) 𝑑𝑡𝑛−𝑘+1
]︀
.
Тем самым будет установлена оценка для решения уравнения
|𝑦(𝑥)| ⩽
𝑛=0
|𝑐𝑛(𝑥)| ⩽2+𝑐𝑞
|𝜇|
𝑒2𝜈+‖̃︀
𝑞‖1,
|𝜇| ⩾1,
𝑥∈[1/2, 1].
∞
∑︁
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024

ЛОМОВ
Полученную для функции 𝑦(𝑥) оценку применим для доказательства равенства (11):
sin(𝜇(𝑥−𝑡))
𝑥
ˆ
1/2
|𝜇|2 𝑒3𝜈,
|𝜇|
𝑒2𝜈+‖̃︀
𝑞‖1 𝑒𝜈
|𝜇|‖̃︀
𝑞‖1 = 2𝑐𝑞
2+𝑐𝑞
|𝑦(𝑥)−𝑐0(𝑥)| =
⃒
⃒
⃒
⃒
𝜇
𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑑𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒⩽2+𝑐𝑞
где |𝜇| ⩾1, 𝑥∈[1/2, 1]. Эта оценка доказывает соотношение (11). Лемма доказана.
Отметим, что лемму 2 можно было бы доказать с помощью неравенства Гронуолла–
Беллмана, как и при доказательстве леммы 1. При этом можно допустить наличие аналогичной сингулярной особенности у потенциала 𝑞(𝑥) и в точке 𝑥= 1.
Сформулируем доказанные утверждения в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть коэффициент 𝑞(𝑥) уравнения (1) принадлежит пространству ℒ1
1−𝜀(𝐺)
для некоторого числа 𝜀∈[0, 1]. Тогда для любого комплексного параметра 𝜇̸=0 задача (1), (2)
имеет единственное решение 𝑦(𝑥), для которого справедливы следующие асимптотические
формулы:
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
𝜇1+𝜀
𝜇
+𝑂
(︂𝑒𝜈
)︂
,
𝑥∈[0, 1/2],
𝑦(𝑥) = sin(𝜇𝑥)
𝜇
+ sin(𝜇(𝑥−1/2))
𝜇1+𝜀
𝜇2
𝜇
+𝑂
(︂𝑒𝜈
)︂
+𝑂
(︂𝑒3𝜈
)︂
,
𝑥∈[1/2, 1],
здесь |𝜇| ⩾1, 𝜈= | Im 𝜇|, оценки выражений 𝑂(·) в правых частях равенств равномерны по
переменной 𝑥.
Замечание. Рассмотрим уравнение (1) с краевыми условиями 𝑦(0) = 0, 𝑦(1) = 0 и условиями сопряжения (2) в точке 𝑥=1/2. Если полученное в теореме 1 решение задачи (1), (2)
удовлетворяет условию 𝑦(1) = 0, то для решения краевой задачи справедливы соотношения
теоремы 1. В противном случае аналогичные оценки можно получить, изменив интегральные
уравнения (3), (4). Решение ̃︀
𝑦(𝑥) краевой задачи можно представить в виде ̃︀
𝑦(𝑥)= ̃︀
𝑦′(0)𝑦(𝑥),
где 𝑦(𝑥) — решение задачи (1), (2). При этом равенство 𝑦(1) ≡𝑦(1, 𝜇) = 0 будет уравнением
на собственные значения соответствующего дифференциального оператора.
ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2022-284.
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломов, И.С. Спектральный метод В.А. Ильина. Несамосопряжённые операторы. I. Оператор второго порядка. Базисность и равномерная сходимость спектральных разложений / И.С. Ломов. —
М. : МАКС Пресс, 2019. — 230 с.
2. Жорницкая, Л.А. Об одной теореме единственности для оператора Штурма–Лиувилля на отрезке
с потенциалом, имеющим неинтегрируемую особенность / Л.А. Жорницкая, В.С. Серов //
Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, №12. — С. 2125–2134.
3. Kritskov, L.V. Estimates for root functions of a singular second-order differential operator /
L.V. Kritskov // Functional Analysis in Interdisciplinary Applications / Eds. T.S. Kalmenov,
E.D. Nursultanov, M.V. Ruzhansky, M.A. Sadybekov. — Cham : Springer, 2017. — P. 245–257.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
297
4. Ломов, И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т. 27,
№9. — С. 1550–1563.
5. Ильин, В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов / В.А. Ильин. М. : Наука,
1991. — 386 с.
6. Кигурадзе, И.Т. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка / И.Т. Кигурадзе, Б.Л. Шехтер // Итоги науки и техники. Сер. Соврем.
проблемы математики. Новые достижения. — 1987. — Т. 30. — С. 105–201.
7. Кигурадзе, И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений / И.Т. Кигурадзе. — Тбилисси : Изд-во Тбилисск. ун-та. 1975. — 351 с.
8. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман ; пер.
с англ. А.Д. Мышкиса. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1954. — 216 с.
STUDY OF THE ASYMPTOTIC PROPERTIES OF THE SOLUTION
TO A PROBLEM WITH A PARAMETER FOR THE STURM–LIOUVILLE OPERATOR
WITH A SINGULAR POTENTIAL
I. S. Lomov
Lomonosov Moscow State University, Russia
e-mail: lomov@cs.msu.ru
The Sturm–Liouville operator with a singular potential on an interval with conjugation conditions
at the interior point of the interval is considered. The operator potential may have a non-integrable
singularity. For a strong solution of the Cauchy problem for an equation with a parameter, asymptotic
formulas and estimates are obtained on each of the smoothness segments of the solution.
Keywords: differential equation, singular coefficient, asymptotic representation of solution, conjugation
conditions, Gronwall–Bellman lemma.
FUNDING
This work was carried out with financial support from the Ministry of Science and Higher Education of the
Russian Federation within the framework of the program for the Moscow Center for Fundamental and Applied
Mathematics under agreement no. 075-15-2022-284.
REFERENCES
1. Lomov, I.S., Spektral’nyy metod V.A. Il’ina. Nesamosopryazhonnyye operatory. I. Operator vtorogo poryadka.
Bazisnost’ i ravnomernaya skhodimost’ spektral’nykh razlozheniy (The Il’in Spectral Method. Non-Self-Adjoint
Operators. I. Operator of the Second Order. Basis Property and Uniform Convergence of Spectral Expansions),
Moscow: MAKS Press, 2019.
2. Zhornitskaya, L.A. and Serov, V.S., On a uniqueness theorem for the Sturm–Liouville operator on an interval
with a potential having a non-integrable singularity, Differ. Uravn., 1993, vol. 29, no. 12, pp. 2125–2134.
3. Kritskov, L.V., Estimates for root functions of a singular second-order differential operator, Functional Analysis
in Interdisciplinary Applications, T.S. Kalmenov, E.D. Nursultanov, M.V. Ruzhansky, and M.A. Sadybekov eds.,
Cham: Springer, 2017, pp. 245–257.
4. Lomov, I.S., A Theorem on the Unconditional Basis Property of the Root Vectors of Loaded Second-Order
Differential Operators, Differ. Equat., 1991, vol. 27, no. 9, pp. 1098–1107.
5. Il’in, V.A., Spectral Theory of Differential Operators, New York: Springer, 1995.
6. Kiguradze, I.T. and Shekhter, B.L., Singular boundary value problems for ordinary differential equations of the
second order, Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. probl. mat. Nov. dostizh., 1987, vol. 30, pp. 105–201.
7. Kiguradze, I.T., Nekotoryye singulyarnyye krayevyye zadachi dlya obyknovennykh differentsial’nykh uravneniy
(Some Singular Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations), Tbilissi: Izd-vo Tbilissk. un-ta,
1975.
8. Bellman, R., Stability Theory of Differential Equations, New York–Toronto–London: McGraw Hill, 1953.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№3
2024