Дифференциальные уравнения, 2024, № 2

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 2   2024   Февраль
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора), 
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б. 
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 2, 2024
НЕКРОЛОГ
Всеволод Алексеевич Солонников
147
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Логистическое уравнение с сильно запаздывающей обратной связью
С. А. Кащенко
148
О спектре несамосопряж¨
енного оператора Дирака с двухточечными краевыми условиями
А. С. Макин
157
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Решение некоторых задач в полуполосе в квадратурах для уравнения колебаний струны
О. М. Джохадзе, С. С. Харибегашвили
175
Разрешимость начально-краевой задачи для модифицированной модели Кельвина–Фойгта
с памятью вдоль траекторий движения жидкости
М. В. Турбин, А. С. Устюжанинова
187
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О разрешимости на спектре граничных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
тр¨
ехмерной задачи дифракции
А. А. Каширин, С. И. Смагин
211
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Градиент в задаче управления процессами, описываемыми линейными
псевдогиперболическими уравнениями
А. М. Романенков
224
О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимизации
систем вольтеррова типа с операторными ограничениями
В. И. Сумин, М. И. Сумин
237
Каскадный супер-скручивающий наблюдатель для линейных мультиагентных систем
без коммуникации
В. В. Фомичев, А. И. Самарин
260

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений третьего порядка
Я. Т. Султанаев, Н. Ф. Валеев, Э. А. Назирова
273
ХРОНИКА
О семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления
при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова
280

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №2, с. 147
НЕКРОЛОГ
ВСЕВОЛОД АЛЕКСЕЕВИЧ СОЛОННИКОВ
(08.06.1933 – 16.01.2024)
Редакционная коллегия журнала “Дифференциальные уравнения” с глубоким прискорбием сообщает, что 16 января 2024 года ушёл из жизни выдающийся советский и российский математик Всеволод Алексеевич Солонников. Его вклад в развитие теории уравнений
в частных производных и математической физики огромен. В.А. Солонникову принадлежит
разработка коэрцитивных оценок решений и теории разрешимости для линейных параболических уравнений и систем общего вида. Частично эти результаты вошли в получившую
мировую известность монографию “Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа” (в соавторстве с О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой). Всемирно признаны и его
результаты в математической гидродинамике и теории задач со свободными границами.
В.А. Солонников — автор более 290 научных работ, в том числе двух монографий. Он
был приглашённым докладчиком на многих международных конференциях, в том числе
на Международном конгрессе математиков в Беркли (1986). В 2003 году В.А. Солонников
удостоен премии Гумбольдтовского научного фонда (Германия) и ему присвоено звание профессора университета города Феррары (Италия), а в 2017 году он был избран иностранным
членом Лиссабонской академии наук.
В 2009 году В.А. Солонников стал лауреатом премии имени М.А. Лаврентьева РАН
за цикл работ “Задачи со свободной границей для уравнений Навье–Стокса” (совместно
с В.В. Пухначёвым), в 2013 году ему присуждена премия Правительства Санкт-Петербурга
за выдающиеся научные результаты в номинации “Математика и механика” — премия имени П.Л. Чебышёва. В 2015 году ему присвоено почётное звание “Заслуженный деятель науки
Российской Федерации”.
Светлую память о Всеволоде Алексеевиче Солонникове — Учёном, Учителе и Человеке —
сохранят его друзья, коллеги, ученики.
147

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №2, с. 148–156
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.929
ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С СИЛЬНО
ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
С. А. Кащенко
Региональный научно-образовательный математический центр
при Ярославском государственном университете имени П.Г. Демидова, г. Ярославль
e-mail: kasch@uniyar.ac.ru
Поступила в редакцию 20.06.2023 г., после доработки 19.07.2023 г.; принята к публикации 11.10.2023 г.
Исследована локальная динамика логистического уравнения с запаздыванием и с дополнительной обратной связью, содержащей большое запаздывание. Выделены критические
случаи в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия. Показано, что они имеют бесконечную размерность. Хорошо известные методы изучения локальной динамики,
основанные на применении теории инвариантных интегральных многообразий и нормальных форм, здесь не применимы, поэтому использованы и развиты предложенные
автором методы бесконечномерной нормализации. Построены специальные нелинейные
краевые задачи параболического типа, играющие роль нормальных форм. Они определяют главные члены асимптотических разложений решений исходного уравнения,
которые называют квазинормальными формами.
Ключевые слова: динамика, устойчивость, запаздывание, квазинормальные формы, логистическое уравнение.
DOI: 10.31857/S0374064124020014, EDN: QQOZTV
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Логистическое уравнение с запаздыванием
˙
𝑢(𝑡) = −𝑟𝑢(𝑡−1)[1+𝑢(𝑡)]
(1)
возникает в задачах математической экологии, биофизики, оптики и лазерной физики [1–4].
Здесь 𝑟> 0 — мальтузианский коэффициент, и для решений уравнения (1) выполнено неравенство 𝑢(𝑡) ⩾−1. При условии
0 < 𝑟< 𝜋
2
(2)
нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, а при 𝑟> 𝜋/2 — неустойчиво, и
в (1) имеется устойчивый цикл. Асимптотика решения при 𝑟≫1 приведена в работах [4, 5].
В данной статье рассмотрим ситуацию, когда выполняется условие (2) и уравнение (1)
содержит сильно запаздывающую обратную связь
˙
𝑢(𝑡) = −𝑟𝑢(𝑡−1)[1+𝑢(𝑡)]+𝑎𝑢(𝑡−𝑇),
𝑇≫1,
(3)
а, значит, величина 𝜀= 𝑇−1 является малым параметром:
0 < 𝜀≪1.
(4)
148

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
149
Роль большого запаздывания интересна. С одной стороны, результаты, полученные для
б´
ольших значений 𝑇, позволяют сформулировать выводы о тенденциях изменения динамики при увеличении запаздывания, а с другой, как оказалось, — удаётся в явном виде
получить значения параметров, определяющих динамические свойства исходного уравнения
и сформулировать аналитические результаты.
Удобно в уравнении (3) провести нормировку времени 𝑡→𝑇𝑡. В результате получим
сингулярно возмущённое уравнение с малым параметром при производной
𝜀˙
𝑢(𝑡)+𝑟𝑢(𝑡−𝜀)[1+𝑢(𝑡)] = 𝑎𝑢(𝑡−1).
(5)
Отметим, что вырожденное при 𝜀= 0 уравнение не даёт информации о поведении решений.
Тем не менее идеи и методы теории сингулярных возмущений [6–8] будут существенно
применяться.
При выполнении условия (4) исследуем поведение всех решений уравнения (5) с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности в пространстве 𝐶([−1, 0])
нулевого состояния равновесия.
При изучении решений из окрестности нулевого состояния равновесия важное значение
имеют линеаризованное уравнение
𝜀˙
𝑢(𝑡)+𝑟𝑢(𝑡−𝜀) = 𝑎𝑢(𝑡−1)
и расположение корней характеристического квазиполинома этого уравнения:
𝜀𝜆+𝑟𝑒−𝜀= 𝑎𝑒−𝜆.
(6)
В силу неравенств (2) при 𝑎=0 все корни (6) имеют отрицательные вещественные части.
Покажем, что найдётся такое значение 𝑎= 𝑎0 > 0, что при малых 𝜀и |𝑎| < 𝑎0 все корни (6)
имеют отрицательные вещественные части, а при условиях (4) и |𝑎| > 𝑎0 есть корень уравнения (6) с положительной вещественной частью. При 𝑎=𝑎0 будет реализован критический
случай в задаче об устойчивости, когда нет корней с положительной и отделённой от нуля вещественной частью, но есть корень, вещественная часть которого стремится к нулю при 𝜀→0.
В п. 2 будет найдено значение 𝑎0 и показано, что в критическом случае бесконечно много
корней уравнения (6) стремятся к мнимой оси при 𝜀→0. Это означает, что критический
случай имеет бесконечную размерность. Известные методы локального анализа, основанные
на применении теории инвариантных интегральных многообразий [9, 10] и нормальных форм
[11], здесь оказываются не применимы. Исследования будут опираться на методы бесконечной
нормализации, развитые в работах [12–14]. Отметим, что после публикации статей [15–18]
уравнения с больш´
им запаздыванием изучались с теоретической и прикладной точек зрения
во многих работах (см., например, [19–24]).
2. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ
Положив в (6) 𝜆= 𝑖𝜀−1𝜔, получим равенство
𝑃(𝑖𝜔) = 𝑎exp{−𝑖𝜀−1𝜔},
где 𝑃(𝑖𝜔) = 𝑖𝜔+𝑟exp{−𝑖𝜔}. Пусть 𝑃(𝑖𝜔) = 𝜌(𝜔) exp{𝑖Ω(𝜔)}, |𝑃(𝑖𝜔)| = 𝜌(𝜔). Обозначим через
𝜌0 наименьшее значение 𝜌(𝜔), т. е.
𝜌0 = min
𝜔𝜌(𝜔) = 𝜌(𝜔0).
Отметим, что 𝜔0 = 0 при 0 < 𝑟⩽1/2 и 𝜔0 > 0 при 1/2 < 𝑟< 𝜋/2. Кроме того, имеем 𝜌0 = 0
при 𝑟= 0 и 𝑟= 𝜋/2. Сформулируем одно простое утверждение.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№2
2024

КАЩЕНКО
Лемма 1. Пусть выполнено условие (2) и для некоторого фиксированного параметра
𝑎имеет место неравенство |𝑎| < 𝜌0. Тогда при достаточно малых 𝜀вещественные части
всех корней уравнения (6) отрицательны и отделены от нуля при 𝜀→0.
Если же |𝑎|>𝜌0, то при достаточно малых 𝜀найдётся корень (6), вещественная часть
которого положительна и отделена от нуля при 𝜀→0.
Обоснование первого утверждения леммы 1 сразу следует из определения величины 𝜌0.
Для обоснования второго утверждения сначала введём обозначение: через 𝜃= 𝜃(𝜀) ∈[0, 2𝜋)
будем обозначать такое значение, которое дополняет до целого кратного 2𝜋выражение
𝜔0𝜀−1. Отметим, что при 𝜔0 = 0 значение 𝜃= 0. Тогда просто показать, используя теорию
возмущений, что уравнение (6) имеет корень 𝜆(𝜀), для которого верна асимптотика
𝜆(𝜀) = 𝜆0 +𝑖(𝜔0𝜀−1 +𝜃−Ω(𝜔))+𝑂(𝜀),
где 𝜆0 = ln(𝑎𝜌−1
0 ) > 0.
Исследования в случаях 𝑎> 0 и 𝑎< 0 не различаются, поэтому достаточно ограничиться
изучением случая 𝑎> 0.
Из леммы 1 вытекает, что при 0 ⩽𝑎< 𝜌0 локальная динамика решений (3) тривиальна:
все решения из некоторой окрестности нулевого состояния равновесия стремятся к нулю
при 𝑡→∞, а в случае 𝑎> 𝜌0 задача о динамике перестаёт быть локальной.
Рассмотрим критический случай, когда для произвольного фиксированного значения 𝜌1
выполняется равенство
𝑎= 𝜌0 +𝜀2𝜌1.
(7)
В этом случае нет корня уравнения (6), вещественная часть которого положительна и отделена от нуля при 𝜀→0, но есть корни, вещественные части которых стремятся к нулю
при 𝜀→0.
Найдём асимптотику всех тех корней (6), которые стремятся к мнимой оси при 𝜀→0.
Лемма 2. Пусть выполнены условия (2), (4) и (7). Тогда уравнение (6) имеет бесконечно
много корней 𝜆𝑛(𝜀), 𝑛=0, ±1, ±2, . . . , вещественные части которых стремятся к нулю при
𝜀→0, и справедливы асимптотические равенства
𝜆𝑛(𝜀) = 𝑖𝜔0 +𝜀𝑖
(︀
𝜃−Ω(𝜔0)+2𝜋𝑛
)︀
+𝜀2𝜆1𝑛+𝜀3𝜆2𝑛+. . . ,
где
𝜆1𝑛= −𝑖Ω′(𝜔0)
(︀
𝜃−Ω(𝜔0)+2𝜋𝑛
)︀
,
𝜆2𝑛= −1
2
(︀
𝜌′′(𝜔0)𝜌−1
0 +𝑖Ω′′(𝜔0)
)︀(︀
𝜃−Ω(𝜔0)+2𝜋𝑛
)︀2 +𝑖
(︀
Ω′(𝜔0)
)︀2(︀
𝜃−Ω(𝜔0)+2𝜋𝑛
)︀
+𝜌1𝜌−1
0 .
Обоснование этой леммы основано на применении стандартных методов теории возмущений. Отметим, что 𝜌(0) = 𝑟, 𝜌′(0) = 0, 𝜌′′(0) = (1−2𝑟)𝑟−1, Ω′(0) = (1−𝑟)𝑟−1.
Каждому корню 𝜆𝑛(𝜀) уравнения (6) отвечает решение Эйлера линеаризованного уравнения
𝑢𝑛(𝑡, 𝜀) = exp{𝜆𝑛(𝜀)𝑡},
а значит, решениями линеаризованного уравнения являются семейства функций
𝑢(𝑡, 𝜀) =
𝑛=−∞
𝜉𝑛𝑢𝑛(𝑡, 𝜀) =
𝑛=−∞
𝜉𝑛exp{𝜆𝑛(𝜀)𝑡}
(8)
∞
∑︁
∞
∑︁
при произвольных значениях коэффициентов 𝜉𝑛. Преобразуем выражение (8):
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝐸(𝑡, 𝜀)
𝑛=−∞
𝜉𝑛(𝜏) exp{𝑖2𝜋𝑛𝑥} = 𝐸(𝑡, 𝜀)𝜉(𝜏, 𝑥).
(9)
∞
∑︁
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№2
2024

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
151
Здесь 𝜏=𝜀2𝑡, 𝑥=(1−𝜀Ω′(𝜔0))𝑡, 𝜉𝑛(𝜏)=𝜉𝑛exp
{︀
(𝜆2𝑛+𝑂(𝜀))𝜏
}︀
— коэффициенты Фурье функции
𝜉(𝜏, 𝑥). Важно отметить, что функция 𝜉(𝜏, 𝑥) 1-периодична по 𝑥,
𝐸(𝑡, 𝜀) = exp
{︀
𝑖
(︀
𝜔0 +𝜀(𝜃−Ω(𝜔0))−𝜀2Ω′(𝜔0)(𝜃−Ω(𝜔0))
)︀
𝑡
}︀
.
(10)
Представление (10) следует непосредственно из (8) и из приведённой в лемме 2 асимптотики
корней 𝜆𝑛(𝜀).
Основываясь на (9), решения нелинейного уравнения (3) тоже будем искать в виде
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝜀
(︀
𝐸(𝑡, 𝜀)𝜉(𝜏, 𝑥)+𝑐𝑐
)︀
+𝜀2(︀
𝑢20(𝜏, 𝑥)+𝑢21(𝜏, 𝑥)𝐸2(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐
)︀
+
+𝜀3(︀
𝑢31(𝜏, 𝑥)𝐸(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐+𝑢32(𝜏, 𝑥)𝐸3(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐
)︀
+. . .
(11)
В (11) и ниже через 𝑐𝑐обозначаем выражение, комплексно-сопряжённое к предыдущему
слагаемому.
3. ПОСТРОЕНИЕ КВАЗИНОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
Для построения асимптотики решений нелинейного уравнения (3) будем опираться на
представление (11) “критических” решений линеаризованного уравнения. Рассмотрим отдельно случаи 0 < 𝑟< 1/2 и 1/2 < 𝑟< 𝜋/2. Эти два случая принципиально отличаются друг от
друга.
3.1. ПОСТРОЕНИЕ КВАЗИНОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ПРИ 0 < 𝑟< 1/2
При условии 0 < 𝑟< 1/2 выполнены равенства 𝜔0 = 0, Ω(𝜔0) = 0, 𝜌0 = 1. Тогда из (10)
следует, что 𝐸(𝑡, 𝜀) ≡1, поэтому решения нелинейного уравнения (3) будем искать в виде
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝜀2𝜉(𝜏, 𝑥)+𝜀4𝑢2(𝜏, 𝑥)+. . .
(12)
Здесь учитываем, что
𝑑𝜉
𝑑𝑡= 𝜀2 𝜕𝜉
𝜕𝑥,
𝜕𝜏+(1−𝜀Ω′(𝜔0)) 𝜕𝜉
2𝜀2(1−𝜀Ω′(𝜔0))𝜉′′
𝑥𝑥+𝑂(𝜀3),
𝜉|𝑡−𝜀= 𝜉
(︀
𝜏−𝜀3, 𝑥−𝜀(1−𝜀Ω′(𝜔0))
)︀
= −𝜀3𝜉′
𝜏−𝜀(1−𝜀Ω′(𝜔0))𝜉′
𝑥+ 1
𝜉|𝑡−1 = 𝜉(𝜏−𝜀2, 𝑥−(1−𝜀Ω′(𝜔0))) = 𝜉(𝜏−𝜀2, 𝑥+𝜀Ω′(𝜔0)).
Подставим формальное выражение (12) в (3) и соберём коэффициенты при одинаковых
степенях 𝜀. На первом шаге, собирая коэффициенты при 𝜀2, получаем верное равенство. На
следующем шаге, собирая коэффициенты при 𝜀4, приходим к соотношению
𝜕𝜉
𝜕𝜏= 1
2
1−2𝑟2
𝑟2
𝜕2𝜉
𝜕𝑥2 + 1−𝑟2
𝑟2
𝜕𝜉
𝜕𝑥+ 𝜌1
𝑟𝜉−𝜉2.
(13)
Для неизвестной функции 𝜉(𝜏, 𝑥) выполнены краевые условия
𝜉(𝜏, 𝑥+1) ≡𝜉(𝜏, 𝑥).
(14)
Отсюда вытекает следующая
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4), 0 < 𝑟< 1/2, 𝑎= 𝑟+𝜀2𝜌1. Пусть 𝜉(𝜏, 𝑥) —
ограниченное при 𝜏→∞, 𝑥∈[0, 1], решение краевой задачи (13), (14). Тогда функция
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝜀2𝜉(𝜏, 𝑥)
удовлетворяет уравнению (3) с точностью до 𝑂(𝜀4).
Это утверждение означает, что краевая задача (13), (14) является квазинормальной
формой в рассматриваемом случае.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№2
2024

КАЩЕНКО
3.2. ПОСТРОЕНИЕ КВАЗИНОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ПРИ 1/2 < 𝑟< 𝜋/2
Подставим в уравнение (3) вместо 𝑢(𝑡, 𝜀) функцию (11) и будем последовательно приравнивать в получившемся формальном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях 𝜀.
При первой степени 𝜀получаем верное равенство, а собирая коэффициенты при 𝜀2, приходим
к уравнениям для определения 𝑢20(𝜏, 𝑥) и 𝑢21(𝜏, 𝑥):
(𝜌0(𝜔)−𝑟)𝑢20 = 2𝑟cos Ω(𝜔0)|𝜉|2,
(2𝑖𝜔0 +𝑟exp{−2𝑖𝜔0})𝑢21 = 𝜉2𝐸2(𝑡, 𝜀) exp{𝑖Ω(𝜔0)}.
Отсюда получаем, что
𝑢20(𝜏, 𝑥) = 𝑈20|𝜉(𝜏, 𝑥)|2,
𝑈20 = 2𝑟cos Ω(𝜔0),
𝑢21(𝜏, 𝑥) = 𝑈21𝜉2(𝜏, 𝑥)𝐸2(𝑡, 𝜀),
𝑈21 = (2𝑖𝜔0 +𝑟exp{−2𝑖𝜔0})−1 exp{𝑖Ω(𝜔0)}.
Сделаем ещё один шаг. Соберём коэффициенты при 𝜀3. В итоге получим уравнения относительно 𝑢31(𝜏, 𝑥) и 𝑢32(𝜏, 𝑥). Функция 𝑢32(𝜏, 𝑥) определяется просто, явное выражение для
неё опустим. Для разрешимости уравнения относительно 𝑢31(𝜏, 𝑥) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось соотношение
𝜕𝜉
𝜕𝜏= 𝐵1
𝜕2𝜉
𝜕𝑥2 +𝐵2
𝜕𝜉
𝜕𝑥+𝐵3𝜉+𝜎𝜉|𝜉|2,
(15)
где
𝐵1 = 1
2
(︀
𝜌′′(𝜔0)𝜌−1
0 +𝑖Ω′′(𝜔0)
)︀
,
𝐵2 = (Ω′(𝜔0))2 +2𝑖𝐵1(𝜃−Ω(𝜔0)),
𝐵3 = 𝜌1𝜌−1
0 −𝐵1(𝜃−Ω(𝜔0))2 +𝑖(Ω′(𝜔0))2(𝜃−Ω(𝜔0)),
𝜎=
(︀
1+exp{−𝑖Ω(𝜔0)}
)︀
𝑈20 +
(︀
exp{−2𝑖Ω(𝜔0)}+exp{𝑖Ω(𝜔0)}
)︀
𝑈21.
Функция 𝜉(𝜏, 𝑥) удовлетворяет периодическим краевым условиям
𝜉(𝜏, 𝑥+1) ≡𝜉(𝜏, 𝑥).
(16)
Через 𝜀𝑛(𝜃0) обозначим такую последовательность 𝜀𝑛= 𝜀𝑛(𝜃0) →0, что 𝜃(𝜀𝑛) = 𝜃0. Напомним, что 𝜏= 𝜀2𝑡, 𝑥= (1−𝜀Ω′(𝜔0))𝑡.
Сформулируем итоговое утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнены неравенства 1/2<𝑟<𝜋/2 и условия (4) и (7). Фиксируем
произвольно 𝜃= 𝜃0 ∈[0, 2𝜋]. Пусть 𝜉(𝜏, 𝑥) — ограниченное при 𝜏→∞, 𝑥∈[0, 1], решение
краевой задачи (15), (16) при 𝜃= 𝜃0. Тогда функция
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝜀
(︀
𝜉(𝜏, 𝑥)𝐸(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐
)︀
+𝜀2(︀
𝑢20(𝜏, 𝑥)+𝑢21(𝜏, 𝑥)𝐸2(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐
)︀
+
+𝜀3(︀
𝑢31(𝜏, 𝑥)𝐸(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐+𝑢32(𝜏, 𝑥)𝐸3(𝑡, 𝜀)+𝑐𝑐
)︀
удовлетворяет на последовательности 𝜀𝑛= 𝜀𝑛(𝜃0) уравнению (3) с точностью до 𝑂(𝜀4
𝑛).
Теорема 2 утверждает, что краевая задача (15), (16) в рассматриваемом случае является
квазинормальной формой для уравнения (3).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№2
2024

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
153
3.3. ПОСТРОЕНИЕ КВАЗИНОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ПРИ 𝑟= 𝜋/2
Коротко изучим решение уравнения (3) при условии 𝑟= 𝜋/2. Имеем равенство 𝜌0 = 0.
Пусть 𝑎= 𝜀𝜌1. В этом случае уравнение (3) принимает вид
˙
𝑢(𝑡)+ 𝜋
2 𝑢(𝑡−1)+ 𝜋
2 𝑢(𝑡)𝑢(𝑡−1) = 𝜀𝜌1𝑢(𝑡−𝜀−1).
Линеаризованное в нуле уравнение имеет характеристический квазиполином
𝜆+ 𝜋
2 𝑒−𝜆= 𝜀𝜌1𝑒−𝜀−1𝜆,
у которого бесконечно много корней 𝜆𝑛(𝜀) и ¯
𝜆𝑛(𝜀) (𝑛= 0, ±1, ±2, . . .) стремятся к мнимой
оси при 𝜀→0. Легко проверяется, что
𝜆𝑛(𝜀) = 𝑖𝜋
2 +𝜀(𝜃+𝜆1𝑛)+. . . ,
2
)︁
(𝜆1 +𝜃) = 𝜌1𝑒−𝜆.
а значения 𝜆1𝑛находятся из уравнения
(︁
1−𝑖𝜋
Здесь величина 𝜃= 𝜃(𝜀) ∈[0, 2𝜋) дополняет до целого кратного 2𝜋значение 𝜋(2𝜀)−1.
Решение нелинейного уравнения (3) ищем в виде
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝜀1/2(︀
𝜉(𝜏)𝑒𝑖𝑡+𝑐𝑐
)︀
+𝜀𝑢2(𝑡, 𝜏)+𝜀3/2𝑢3(𝑡, 𝜏)+. . . ,
(17)
где 𝜏= 𝜀𝑡, а функции 𝑢2,3(𝑡, 𝜏) 4-периодичны по первому аргументу. Подставляя (17) в (3)
и совершая стандартные действия, на третьем шаге получаем уравнение для определения
неизвестной амплитуды 𝜉(𝜏):
2
𝜕𝜏= −𝜃𝜉+𝜌1𝑒−𝑖𝜀−1𝜉(𝜏−1)+𝜎𝜉|𝜉|2,
(18)
)︁𝜕𝜉
(︁
1−𝑖𝜋
в котором
𝜋2
𝜎= −𝜋
)︁)︁
−1
.
2
(︀
3𝜋−2+𝑖(𝜋+6)
)︀(︁
10
(︁
1+ 4
Это уравнение с запаздыванием, равным единице, является квазинормальной формой в рассматриваемом случае. Его решение определяет главные члены асимптотического разложения
решений нелинейного уравнения (3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Показано, что бесконечно много корней характеристического квазиполинома линеаризованного уравнения стремятся к мнимой оси при 𝜀→0. Реализуются бесконечномерные
резонансные соотношения 1 : 1 : 1 : . . . , поскольку главные члены асимптотики корней 𝜆𝑛(𝜀)
одни и те же:
𝜆𝑛(𝜀) = 𝑖(𝜔0𝜀−1 +𝜃)(1+𝑂(𝜀)).
Отсюда следует, что критические случаи имеют бесконечномерную размерность.
С применением методов бесконечномерной нормализации построены квазинормальные
формы — специальные нелинейные краевые задачи, которые определяют главные члены
асимптотических разложений решений исходного логистического уравнения. Этими квазинормальными формами являются нелинейные задачи параболического типа (13), (14) и (15),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№2
2024