Дифференциальные уравнения, 2024, № 1

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 1   2024   Январь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора), 
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б. 
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 1, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Голоморфная регуляризация сингулярно возмущ¨
енных интегро-дифференциальных уравнений
В. С. Бесов, В. И. Качалов
3
Отражающая функция и обобщение понятия первого интеграла
В. И. Мироненко, В. В. Мироненко
13
Эквивалентные дифференциальные уравнения в задачах теории управления и теории гамильтоновых
систем
М. Г. Юмагулов, Л. С. Ибрагимова
24
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Обратная задача определения двух коэффициентов при младших членах параболо-гиперболического
уравнения
Д. К. Дурдиев
41
Применение дифференциально-геометрических методов теории управления в теории дифференциальных уравнений с частными производными. III
В. И. Елкин
55
Структура внутреннего переходного слоя в задаче реакция–диффузия в случае сбалансированной реакции со слабым разрывом
Е. И. Никулин, В. Т. Волков, Д. А. Карманов
64
Решения аналогов временных уравнений Шр¨
едингера, соответствующих паре гамильтоновых систем
𝐻2+2+1 иерархии вырождений изомонодромной системы Гарнье
В. А. Павленко
76
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Метод функционалов Ляпунова и ограниченность решений и их первых и вторых производных линейного уравнения третьего порядка типа Вольтерры на полуоси
С. Искандаров, А. Т. Халилов
90
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Управление спектром системы нейтрального типа
А. В. Метельский
99
О задаче управления нелинейной системой посредством дискретного управления в условиях воздействия помехи
К. А. Щелчков
126

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Об оценках погрешностей операторов дискретизации решения уравнения Пуассона
А. Б. Утесов
135
ЛЮДИ НАУКИ
К девяностолетию Анатолия Ивановича Перова
143

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №1, с. 3–12
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925+517.968
ГОЛОМОРФНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩ¨
ЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
© 2024 г. В. С. Бесов, В. И. Качалов
Для решения весьма важных с точки зрения приложений интегро-дифференциальных сингулярно возмущённых уравнений давно применяется метод регуляризации С.А. Ломова.
При этом представляющие решения этих уравнений ряды по степеням малого параметра
сходились асимптотически. Однако, в соответствии с основной концепцией метода, для
построения общей теории сингулярных возмущений требуется указать условия обычной
сходимости таких рядов, что и рассматривается в данной статье.
Ключевые слова: метод регуляризации С.А. Ломова, интегро-дифференциальное уравнение, псевдоголоморфное решение, существенно особое многообразие.
DOI: 10.31857/S0374064124010014, EDN: RPVANH
1. Введение. Постановка задачи. Для изучения сингулярно возмущённых задач, многие из которых являются дифференциальными, разработаны различные асимптотические методы, с помощью которых строятся решения этих задач в виде рядов по степеням малого
параметра [1–3]. При этом каждый метод по своему описывает сингулярную зависимость решений от малого параметра, что позволяет судить о пограничном слое, присутствующем в
каждом таком решении. В настоящее время одним из наиболее используемых методов решения сингулярно возмущённых задач является «метод погранфункций» Васильевой–Бутузова–
Нефёдова, с помощью которого решаются многие типы как обыкновенных дифференциальных
уравнений и систем, так и уравнений в частных производных [4, 5].
Метод регуляризации С.А. Ломова описывает пограничный слой с помощью спектра предельного оператора и сводит исходную сингулярно возмущённую задачу к регулярно возмущённой, а теория таких задач разработана достаточно хорошо [6, гл. VII, § 1]. Более того,
появилась возможность построения так называемых псевдоаналитических (псевдоголоморфных) решений, т.е. решений, представимых в виде рядов по степеням малого параметра, сходящихся в обычном смысле [7, гл. I, § 4, 5], что дополняет аналитическую теорию Пуанкаре
[8, гл. III, §§ 2; 9].
Понятие псевдоголоморфного решения поясним в самом общем случае. Пусть в банаховом
пространстве 𝐸задана эволюционная задача
𝜀𝜕𝑡𝑢= 𝐹(𝑡, 𝑢),
𝑡∈(0, 𝑇],
𝑢
⃒
⃒
𝑡=0= 𝑢0,
(1)
где 𝐹(𝑡, 𝑢) — нелинейный оператор, действующий в 𝐸при каждом 𝑡∈[0, 𝑇]. Обозначим через 𝜔0 множество на комплексной плоскости переменной 𝜀, у которого точка 𝜀= 0 является
предельной.
Определение 1. Решение 𝑢(𝑡, 𝜀) задачи Коши (1) называется псевдоголоморфным на множестве 𝜔0, если для него имеет место представление в виде ряда
𝑢(𝑡, 𝜀) = 𝑢0(𝑡, 𝜀−1) + 𝜀𝑢1(𝑡, 𝜀−1) + . . . + 𝜀𝑛𝑢𝑛(𝑡, 𝜀−1) + . . . ,
который сходится при каждом фиксированном 𝜀∈𝜔0 равномерно на некотором отрезке
[0, 𝑇𝜀] ⊂[0, 𝑇].
3

БЕСОВ, КАЧАЛОВ
В линейном случае для построения псевдоголоморфных решений использовались пространства векторов экспоненциального типа [10], в нелинейном — метод голоморфной регуляризации
[11]. Тем самым появилась возможность построения точных решений сингулярно возмущённых
задач [12].
Рассмотрим при малых положительных значениях параметра 𝜀следующую сингулярно
возмущенную задачу:
𝜀˙
𝑢= 𝐴(𝑡)𝑢+ 𝜀2
𝑡
∫︁
0
𝒦(𝑡, 𝜏)𝑢(𝜏, 𝜀)𝑑𝜏,
𝑢(0, 𝜀) = 𝑢0,
(2)
где 𝑢=
(︀𝑢1
. . .
𝑢𝑚
)︀𝑇, 𝑢0 =
(︀
𝑢0
1
. . .
𝑢0
𝑚
)︀𝑇— вектор-столбцы из комплексного пространства C𝑚; 𝐴(𝑡) — матрица размера 𝑚× 𝑚с элементами 𝑎𝑖𝑗(𝑡), 1 ⩽𝑖, 𝑗⩽𝑚, определёнными
на отрезке [0, 𝑇]; 𝒦(𝑡, 𝜏) — ядро интегрального оператора Вольтерры, представляющее собой
матрицу размера 𝑚× 𝑚также с комплекснозначными элементами 𝑘𝑖𝑗(𝑡, 𝜏) (1 ⩽𝑖, 𝑗⩽𝑚),
определёнными в квадрате 𝜒= [0, 𝑇] × [0, 𝑇].
Условие (𝛼). Матрицы 𝐴(𝑡) и 𝒦(𝑡, 𝜏) непрерывны по своим переменным на множестве
[0, 𝑇] соответственно.
Условие (𝛽). Оператор 𝐴(𝑡) имеет простую структуру, т.е. его собственные векторы ℬ= {𝑏1(𝑡), . . . , 𝑏𝑚(𝑡)}, соответствующие собственным значениям {𝜆1(𝑡), . . . , 𝜆𝑚(𝑡)},
при каждом 𝑡∈[0, 𝑇] образуют базис в пространстве C𝑚. Обозначим через ℬ* = {𝑏*
1(𝑡), . . .
. . . , 𝑏*
𝑚(𝑡)} биортогонально сопряжённый базис.
Интегро-дифференциальные уравнения изучались в работах [1, гл. 4; 13; 14] в предположении стабильности спектра оператора 𝐴(𝑡). При этом были построены регуляризованные
ряды, сходящиеся асимптотически к точному решению 𝑢(𝑡, 𝜀).
2. Голоморфная регуляризация линейной однородной системы. Сначала рассмотрим систему с положительным малым параметром
𝜀˙
𝑦= 𝐴(𝑡)𝑦,
𝑦=
(︀𝑦1
. . .
𝑦𝑚
)︀𝑇,
(3)
и построим для неё псевдоголоморфную фундаментальную матрицу 𝑍(𝑡, 𝜀−1, 𝜀).
В соответствии с алгоритмом метода голоморфной регуляризации запишем уравнение первых интегралов этой системы
𝜀𝜕𝑡𝑈+ 𝐿𝑈= 0,
(4)
где
𝐿=
𝑖=1
(𝐴𝑦, 𝑒𝑖)𝜕𝑦𝑖
𝑚
∑︁
— линейный дифференциальный оператор первого порядка в частных производных; ( · , · ) —
скалярное произведение в C𝑚, 𝑒𝑖=
(︀0
. . .
1
. . .
0)︀𝑇— 𝑖-й орт в C𝑚. Будем искать его
решение в виде ряда по степеням 𝜀:
𝑈(𝑡, 𝑦, 𝜀) = 𝑈0(𝑡, 𝑦) + 𝜀𝑈1(𝑡, 𝑦) + . . . + 𝜀𝑛𝑈𝑛(𝑡, 𝑦) + . . .
(5)
Подставив ряд (5) в уравнение (4), получим, в соответствии с методом неопределённых коэффициентов, серию задач для определения коэффициентов этого ряда:
𝐿𝑈0 = 0,
𝐿𝑈1 = −𝜕𝑡𝑈0,
. . . ,
𝐿𝑈𝑛= −𝜕𝑡𝑈𝑛−1,
. . .
(6)
Для построения 𝑚независимых интегралов системы (3) будем последовательно полагать,
что функция 𝑈0 равна
𝜙𝑝(𝑡) =
𝑡
∫︁
0
𝜆𝑝(𝜏)𝑑𝜏,
𝑝= 1, 𝑚,
с учетом кратности корней характеристического уравнения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024

ГОЛОМОРФНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
5
Лемма 1. Если 𝜆𝑝(𝑡) — собственное значение оператора 𝐴(𝑡) и {𝑏𝑝1(𝑡), . . . , 𝑏𝑝𝑟(𝑡)} —
соответствующие ему собственные векторы, то каждая функция 𝑈[𝑝]
𝑠(𝑡, 𝑦) = ln(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠(𝑡)),
𝑠= 1, 𝑟, является решением уравнения
𝐿𝑈[𝑝]
𝑠
= 𝜆𝑝(𝑡).
Доказательство. Действительно, при фиксированном 𝑠имеем
𝐿𝑈[𝑝]
𝑠
=
1
(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠(𝑡))
(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠)
𝑖=1
(𝐴(𝑡)𝑦, 𝑒𝑖)(𝑒𝑖, 𝑏*
𝑝𝑠(𝑡)) =
1
𝑖=1
(𝑦, 𝑒𝑖)(𝑒𝑖, 𝐴*(𝑡)𝑏*
𝑝𝑠) =
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
=
1
(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠)
(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠) = 𝜆𝑝(𝑡).
𝑖=1
𝜆𝑝(𝑡)(𝑦, 𝑒𝑖)(𝑒𝑖, 𝑏*
𝑝𝑠) = 𝜆𝑝(𝑡)(𝑦, 𝑏*
𝑝𝑠)
𝑚
∑︁
Лемма 2. Система функций {𝑈[𝑝](𝑡, 𝑦)}, 𝑝= 1, 𝑚, является независимой.
Доказательство. Запишем якобиан данной системы функций
(𝑒1, 𝑏*
1)
(𝑦, 𝑏*
1)
· · ·
(𝑒1, 𝑏*
1)
𝜕(𝑈[1], . . . , 𝑈[𝑚])
= det(𝐵*(𝑡))
𝜕(𝑦1, . . . , 𝑦𝑚)
=
(𝑦, 𝑏*
1)
.
.
.
...
.
.
.
(𝑒𝑚, 𝑏*
𝑚)
𝑖=1
(𝑦, 𝑏𝑚
𝑖(𝑡))
̸= 0,
(𝑦, 𝑏*
𝑚)
· · ·
(𝑒𝑚, 𝑏*
𝑚)
(𝑦, 𝑏*
𝑚)
𝑚
∏︀
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
где 𝐵*(𝑡) = ‖𝑏*
1(𝑡), . . . , 𝑏*
𝑚(𝑡)‖ — матрица, столбцами которой служат столбцы сопряжённого базиса. А это и означает независимость системы функций {𝑈[𝑝](𝑡, 𝑦)}, 𝑝= 1, 𝑚. Лемма
доказана.
Итак, в соответствии с леммой 1 в качестве решений второго уравнения серии (6) можно
взять функции 𝑈[𝑝]
1 (𝑡, 𝑦) = 𝑈[𝑝](𝑡, 𝑦) + 𝛼𝑝(𝑡), 𝑝= 1, 𝑚, где 𝛼1(𝑡), . . . , 𝛼𝑚(𝑡) — произвольные
дифференцируемые функции переменной 𝑡.
Для решения остальных уравнений этой серии воспользуемся интегральным представлением решений уравнений в частных производных первого порядка [15, c. 362].
Добавим для системы (3) начальное условие
𝑦(0, 𝜀) = 𝑦0.
(7)
Проведём через точку 𝑦0 ∈C𝑚голоморфно-гладкую поверхность Λ с координатами ̃︀
𝑦=
= (̃︀
𝑦1, . . . , ̃︀
𝑦𝑚−1) на ней и запишем систему уравнений характеристик
𝑑𝑦
𝑑𝑠= 𝐴(𝑡)𝑦,
(8)
соответствующую оператору 𝐿. Будем считать, что фазовые траектории этой системы трансверсальны (некасательны) к ней при каждом 𝑡∈[0, 𝑇].
Система (8) является автономной: здесь 𝑡выступает в роли параметра, а 𝑠⩾0 — в роли
независимой переменной. Поскольку оператор 𝐴(𝑡) при каждом 𝑡имеет простую структуру,
то общее решение системы (8) задается формулой
𝑦= 𝐵(𝑡)𝑒𝑠𝐷(𝑡)𝐶,
где 𝐵(𝑡) — матрица, столбцами которой служат собственные векторы оператора 𝐴(𝑡); матрица 𝐷(𝑡) диагональная и имеет следующий вид:
𝐷(𝑡) =
⎛
⎞
⎝
𝜆1(𝑡)
· · ·
0
.
.
.
...
.
.
.
0
· · ·
𝜆𝑚(𝑡)
⎠,
𝐶— столбец произвольных констант.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024

БЕСОВ, КАЧАЛОВ
Добавим для системы (8) начальное условие
𝑦
⃒
⃒
𝑠=0∈Λ.
(9)
Если Λ = {Θ ∈C𝑚: Θ = Θ(̃︀
𝑦),
̃︀
𝑦∈̃︀
𝜔}, где ̃︀
𝜔— некоторая область пространства C𝑚−1, то
условие (9) можно представить в виде
Для решения задачи Коши (8), (10) имеем представление
𝑦
⃒
⃒
𝑠=0= Θ(̃︀
𝑦),
̃︀
𝑦∈̃︀
𝜔.
(10)
Составим алгебраическую систему
𝑌(𝑠, ̃︀
𝑦, 𝑡) = 𝐵(𝑡)𝑒𝑠𝐷(𝑡)𝐵−1(𝑡)Θ(̃︀
𝑦).
𝐵(𝑡)𝑒𝑠𝐷(𝑡)𝐵−1(𝑡)Θ(̃︀
𝑦) = 𝑦,
и пусть
𝑠= 𝑆(𝑦, 𝑡),
̃︀
𝑦= ̃︀
𝑌(𝑦, 𝑡)
— её решение относительно (𝑠, ̃︀
𝑦).
Обозначим при каждом 𝑡∈[0, 𝑇] через ΩΛ
𝑡
область в C𝑚, которую заполняют фазовые
траектории системы уравнений характеристик (8), проходящие через Λ, и пусть
𝑡∈[0,𝑇]
ΩΛ
𝑡.
ΩΛ =
⋃︁
Далее введём операторы замены переменных с помощью указанных функций, обозначив
через 𝑅(𝑡) оператор замены переменных (𝑠, ̃︀
𝑦) на переменную 𝑦, а оператор обратной замены — через 𝑅−1(𝑡):
𝑅[Ψ(𝑠, ̃︀
𝑦, 𝑡)] = Ψ(𝑆(𝑦, 𝑡), ̃︀
𝑌(𝑦, 𝑡), 𝑡),
𝑅−1[Ψ(𝑦, 𝑡)] = Ψ(𝑌(𝑠, ̃︀
𝑦, 𝑡), 𝑡).
Замечание 1. Если переменная 𝑠будет индексироваться, то и введённые операторы также
будут индексироваться.
Обозначим через 𝐼𝑠
𝑛оператор интегрирования по переменной 𝑠𝑛, когда нижний предел
равен нулю, а верхний — 𝑠𝑛−1, 𝑛= 2, 3, . . . В итоге для решений уравнений серии (6), начиная
со второго, имеем
𝑈2(𝑡, 𝑦) = −𝑅(𝑡)𝐼𝑠
1𝑅−1
1 (𝑡)𝜕𝑡𝑈1,
𝑈3(𝑡, 𝑦) = 𝑅(𝑡)𝐼𝑠
1𝑅−1
1 (𝑡)𝜕𝑡𝑅1(𝑡)𝐼𝑠
2𝑅−1
2 (𝑡)𝜕𝑡𝑈1,
. . . ,
𝑈𝑛(𝑡, 𝑦) = (−1)𝑛−1𝑅(𝑡)𝐼𝑠
1𝑅−1
1 (𝑡)𝜕𝑡𝑅1(𝑡)𝐼𝑠
2𝑅−1
2 (𝑡)𝜕𝑡. . . 𝑅𝑛−2(𝑡)𝐼𝑠
𝑛−1𝑅−1
𝑛−1(𝑡)𝜕𝑡𝑈1,
. . .
При этом 𝑈𝑛(𝑡, 𝑦) = 0 на поверхности Λ при всех 𝑛= 2, 3, . . . Выберем 𝑈1(𝑡, 𝑦) обращающимся в нуль в начальной точке (0, 𝑦0):
𝑈[𝑝]
1 (𝑡, 𝑦) = −ln (𝑦, 𝑏*
𝑝(𝑡))
(𝑦0, 𝑏*
𝑝(0)),
𝑝= 1, 𝑚.
Условие (𝛾). Предположим, что все введённые функции, зависящие от переменной 𝑡,
допускают голоморфное продолжение с отрезка [0, 𝑇] на круг 𝑃= {𝑡∈C :
|𝑡| ⩽2𝑇}.
Фиксируем 𝑛и строим на комплексной плоскости переменной 𝑡
(𝑛−1) окружность
𝛾𝑘= {𝑡∈C : |𝑡| = 𝑟𝑘},
где
𝑟𝑘= 𝑇+
𝑇𝑘
𝑛−1,
𝑘= 1, 𝑛−1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024

ГОЛОМОРФНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
7
Соседние окружности находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, равном 𝑇/(𝑛−1).
Обозначим через 𝐽𝑡
𝑘следующий интегральный оператор:
𝑔(𝑡𝑘)
(𝐽𝑡
𝑘𝑔)(𝑡𝑘−1) =
1
2𝜋𝑖
∮︁
(𝑡𝑘−𝑡𝑘−1)2 𝑑𝑡𝑘,
𝑘= 1, 𝑛−1,
𝑡0 = 𝑡∈[0, 𝑇].
𝛾𝑘
Тогда, в соответствии с интегральной формулой Коши, имеем
𝑈𝑛(𝑡, 𝑦) = (−1)𝑛𝑅(𝑡)𝐼𝑠
1𝑅−1
1 (𝑡)𝐽𝑡
1𝑅1(𝑡1)𝐼𝑠
2𝑅−1
2 (𝑡1)𝐽𝑡
2 . . . 𝑅𝑛−2(𝑡𝑛−2)𝐼𝑠
𝑛−1𝑅−1
𝑛−1(𝑡𝑛−2)𝐽𝑡
𝑛−1𝑈1.
Оценим 𝑈𝑛(𝑡, 𝑦):
|𝑈𝑛(𝑡, 𝑦)| ⩽
1
(2𝜋)𝑛−1 |𝐼𝑠
1𝐼𝑠
2 . . . 𝐼𝑠
𝑛−1| 𝐻𝑛−1 max
|𝑡|⩽2𝑇|𝑈1(𝑡, 𝑦)|,
где
|𝑑𝑡1|
𝐻𝑛−1 =
∮︁
𝛾1
|𝑡1 −𝑡|2 . . .
|𝑑𝑡𝑛−1|
|𝑡𝑛−1 −𝑡𝑛−2|2 =
𝑟1𝑑𝛼
𝑟𝑛−1𝑑𝛼
=
2𝜋
∫︁
2𝜋
∫︁
𝑟2
1 + 𝑡2 −2𝑟1𝑡cos 𝛼. . .
0
0
𝑟2
𝑛−1 + 𝑟2
𝑛−2 −2𝑟𝑛−2𝑟𝑛−1 cos 𝛼=
=
(2𝜋)𝑛−1𝑟1𝑟2 . . . 𝑟𝑛−1
𝑇(2𝑇)𝑛−2𝑇𝑛−1
.
(𝑟2
1 −𝑡2)(𝑟2
2 −𝑟2
1) . . . (𝑟2
𝑛−1 −𝑟2
𝑛−2) ⩽(2𝜋)𝑛−1(2𝑇)𝑛−1(𝑛−1)𝑛−1
𝑠𝑛−2
∫︁
𝑠
∫︁
𝑠1
∫︁
(𝑛−1)!,
0
𝑑𝑠1
0
𝑑𝑠2 . . .
0
𝑑𝑠𝑛−1
то
Поскольку при 𝑠⩾0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
𝑠𝑛−1
|𝑈𝑛(𝑡, 𝑦)| ⩽(𝑛−1)𝑛−1𝑠𝑛−1
2𝑇𝑛−1(𝑛−1)! .
Из этой оценки как раз и следует, что ряд (5) сходится в некоторой окрестности точки 𝜀= 0.
Таким образом, имеет место утверждение о существовании аналитических по 𝜀первых
интегралов у сингулярно возмущённой системы (3).
Теорема 1. Если выполнены условия (𝛼), (𝛽) и (𝛾), то система (3) имеет в области ΩΛ
𝑚независимых интегралов {𝑈[𝑖](𝑡, 𝑦, 𝜀)}𝑚
𝑖=1, аналитических в точке 𝜀= 0.
Для дальнейшего нам понадобится следующее
Условие (𝛿). Re 𝜆𝑝(𝑡) ⩽0, 𝑝= 1, 𝑚.
Очевидно, что при выполнении условия (𝛿) область ΩΛ является ограниченной при любом
𝑠⩾0, если ограничена поверхность Λ. Это следует из устойчивости системы уравнений
характеристик.
3. Псевдоголоморфные решения линейных систем.
Определение 2. Решение 𝑦(𝑡, 𝜀) системы (3) называется псевдоголоморфным (псевдоаналитическим) в точке 𝜀= 0, если существует функция ̃︀
𝑌(𝑡, 𝜂, 𝜀), голоморфная в точке 𝜀= 0
при каждом 𝑡∈[0, 𝑇] и любом 𝜂= (𝜂1, . . . , 𝜂𝑚) из некоторого неограниченного множества
𝐺⊂C𝑚такая, что существуют 𝜙(𝑡) = (𝜙1(𝑡), . . . , 𝜙𝑚(𝑡)) и 𝑇𝜀> 0, что для любых 𝜀> 0 и
𝑡∈[0, 𝑇𝜀] выполняется равенство 𝑦(𝑡, 𝜀) = ̃︀
𝑌(𝑡, 𝜙(𝑡)/𝜀, 𝜀).
Для доказательства следующей теоремы дадим определение введённому С.А. Ломовым понятию существенно особого многообразия.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024

БЕСОВ, КАЧАЛОВ
Определение 3. Пусть 𝜓(𝑡) — комплекснозначная функция вещественной переменной
𝑡∈[0, 𝑇] такая, что 𝜓(0) = 0. Существенно особым многообразием, порождаемым точкой
𝜀= 0, называется множество
𝑄+(𝜓, 𝑇, 𝜀) = {𝑞∈C : 𝑞= 𝑒𝜓(𝑡)/𝜀,
𝑡∈[0, 𝑇],
𝜀> 0}
(знак “+” означает, что значение 𝜀положительно).
Ясно, что если Re 𝜓(𝑡) ⩽0 для любого 𝑡∈[0, 𝑇], то 𝑄+(𝜓, 𝑇, 𝜀) ⊂˙
𝑆— замкнутому
единичному кругу с выколотым центром.
Теорема 2. Если выполнены условия (𝛼), (𝛽), (𝛾) и (𝛿), то решение 𝑦(𝑡, 𝜀) задачи Коши (3), (7) является псевдоголоморфным в точке 𝜀= 0 .
Доказательство. Запишем систему 𝑚независимых интегралов системы (3):
ln (𝑦, 𝑏*
1(𝑡))
𝜀
𝑡
∫︁
(𝑦0, 𝑏*
1(0)) −𝜀𝑈[1]
2 (𝑡, 𝑦) + . . . = 1
0
𝜆1(𝜏)𝑑𝜏,
. . . ,
ln (𝑦, 𝑏*
𝑚(𝑡))
𝜀
𝑡
∫︁
(𝑦0, 𝑏*
𝑚(0)) −𝜀𝑈[𝑚]
2
(𝑡, 𝑦) + . . . = 1
0
𝜆𝑚(𝜏)𝑑𝜏.
Пропотенциируем эти уравнения по основанию 𝑒:
(𝑦, 𝑏*
1(𝑡))
𝜀
(𝑦0, 𝑏*
1(0)) + 𝜀Φ[1](𝑡, 𝑦, 𝜀) = exp
{︂1
𝑡
∫︁
0
𝜆1(𝜏)𝑑𝜏
}︂
,
. . . ,
(𝑦, 𝑏*
𝑚(𝑡))
𝜀
(𝑦0, 𝑏*
𝑚(0)) + 𝜀Φ[𝑚](𝑡, 𝑦, 𝜀) = exp
{︂1
𝑡
∫︁
0
𝜆𝑚(𝜏)𝑑𝜏
}︂
,
(11)
где Φ[𝑘](𝑡, 𝑦, 𝜀)
(𝑘= 1, 𝑚) — голоморфные в точке 𝜀= 0 функции, причём равномерно
голоморфные по переменным 𝑡и 𝑦на множествах вида [0, 𝑇]×𝑅, 𝑅— компакт области Ω.
Введём новые переменные
𝜀
𝑞𝑘= exp
{︂1
𝑡
∫︁
0
𝜆𝑘(𝜏)𝑑𝜏
}︂
,
𝑘= 1, 𝑚,
перепишем систему (11) в виде
(𝑦, 𝑏*
1(𝑡))
(𝑦0, 𝑏*
𝑚(0)) + 𝜀Φ[𝑚](𝑡, 𝑦, 𝜀) = 𝑞𝑚
(12)
(𝑦0, 𝑏*
1(0)) + 𝜀Φ[1](𝑡, 𝑦, 𝜀) = 𝑞1,
. . . ,
(𝑦, 𝑏*
𝑚(𝑡))
и применим к ней теорему о неявной функции. Положим в этой системе 𝜀= 0:
(𝑦, 𝑏*
1(𝑡))
(𝑦0, 𝑏*
𝑚(0)) = 𝑞𝑚.
(𝑦0, 𝑏*
1(0)) = 𝑞1,
. . . ,
(𝑦, 𝑏*
𝑚(𝑡))
Её решение 𝑌0(𝑡, 𝑞) = {𝑌0,1(𝑡, 𝑞), . . . , 𝑌0,𝑚(𝑡, 𝑞)} имеет следующий вид:
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑌0,1(𝑡, 𝑞)
.
.
.
𝑌0,𝑚(𝑡, 𝑞)
(𝑦0, 𝑏*
1(0))𝑞1
.
.
.
(𝑦0, 𝑏*
𝑚(0))𝑞𝑚
⎜
⎝
⎟
⎠= [𝐵*(𝑡)]−1
⎜
⎝
⎟
⎠.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024

ГОЛОМОРФНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
9
Пусть 𝜙𝑝(𝑡) =
∫︀𝑡
0 𝜆𝑝(𝜏)𝑑𝜏, 𝑝= 1, 𝑚. Обозначим через 𝑄+
𝑝(𝜙𝑝(𝑡), 𝑇, 𝜀) = {𝑞𝑝∈C : 𝑞𝑝=
= 𝑒𝜙𝑝(𝑡)/𝜀,
𝑡∈[0, 𝑇],
𝜀> 𝑜}
𝑝-е существенно особое многообразие, порождаемое точкой
𝜀= 0. И пусть 𝑄+ = 𝑄+
1 × . . . × 𝑄+
𝑚⊂C𝑚— декартово произведение этих многообразий.
Замечание 2. При фиксированных 𝜀> 0 многообразия 𝑄+
𝑝представляют собой кривые,
принадлежащие замкнутым единичным кругам
˙
𝑆𝑝= {𝑞𝑝∈C : 0 < |𝑞𝑝| ⩽1} с выколотыми
центрами.
Обозначим
˙
𝑆= ˙
𝑆1 × . . . × ˙
𝑆𝑚⊂C𝑚.
Выберем 𝑎— достаточно малое положительное число и построим кольца
𝑆𝑎
𝑝= {𝑞𝑝∈C : 𝑎⩽|𝑞𝑝| ⩽1},
𝑝= 1, 𝑚.
Пусть 𝑆𝑎= 𝑆𝑎
1 × . . . × 𝑆𝑎
𝑚— компактное множество из
˙
𝑆.
В соответствии с теоремой о неявной функции у каждой точки (𝑡, 𝑞) множества 𝑃𝑇
𝑎=
= [0, 𝑇] × 𝑆𝑎существует окрестность 𝜎𝑡𝑞, в которой система (12) имеет голоморфное по 𝜀
решение 𝑌(𝑡, 𝑞, 𝜀) = {𝑌1(𝑡, 𝑞, 𝜀), . . . , 𝑌𝑚(𝑡, 𝑞, 𝜀)}. Из открытого покрытия {𝜎𝑡𝑞} компакта 𝑃𝑇
𝑎
выберем конечное подпокрытие {𝜎𝑡𝑞}𝑁
1 . Тогда функция 𝑌(𝑡, 𝑞, 𝜀) будет голоморфной по 𝜀
в окрестности |𝜀| < 𝜀0 равномерно на множестве 𝑃𝑇
𝑎, где 𝜀0 — наименьший радиус голоморфности в конечном подпокрытии.
Пусть в системе (3) 𝜀фиксировано и 0 < 𝜀< 𝜀0. Тогда, как следует из предыдущего, для
её решения 𝑦(𝑡, 𝜀) будет иметь место следующее представление:
𝑦(𝑡, 𝜀) =
∞
∑︁
𝑡
∫︀
0
𝜆𝑚(𝜏)𝑑𝜏
}︀
, 𝑝=1,𝑚
,
(13)
𝑛=0
𝜀𝑛𝑌𝑛(𝑡, 𝑞)
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑞={𝑞1,...,𝑞𝑚}, 𝑞𝑝=exp
{︀
1
𝜀
причём этот ряд сходится равномерно на отрезке [0, 𝑇𝜀] ⊂[0, 𝑇], где 𝑇𝜀— такое значение
независимой переменной 𝑡, что при каждом 𝑝= 1, 𝑚кривая
𝜀
Γ𝜀
𝑝=
{︂
𝑞𝑝∈C : 𝑞𝑝= exp
{︂1
𝑡
∫︁
0
𝜆𝑚(𝜏)𝑑𝜏
}︂
,
𝑡∈[0, 𝑇𝜀]
}︂
принадлежит кольцу 𝑆𝑎
𝑝. Теорема доказана.
Замечание 3. Если 𝑇𝜀< 𝑇, то для построения решения системы (3) на всём промежутке
[0, 𝑇] требуется применить алгоритм псевдоголоморфного продолжения [16, 17].
Последовательно полагая в (7), что 𝑦0
равно векторам 𝑒1, . . . , 𝑒𝑚, построим фундаментальную матрицу
𝑊(𝑡, 𝜀−1, 𝜀)
системы (3). Очевидно, что матрицант этой системы
𝑍(𝑡, 𝜏, 𝜀−1, 𝜀) = 𝑊(𝑡, 𝜀−1, 𝜀)𝑊−1(𝜏, 𝜀−1, 𝜀) также будет псевдоголоморфным в точке 𝜀= 0.
При этом имеют место следующие разложения по степеням 𝜀:
𝑊(𝑡, 𝜀−1, 𝜀) = 𝑊0(𝑡, 𝜀−1) + 𝜀𝑊1(𝑡, 𝜀−1) + . . . ,
(14)
𝑍(𝑡, 𝜏, 𝜀−1, 𝜀) = 𝑍0(𝑡, 𝜏, 𝜀−1) + 𝜀𝑍1(𝑡, 𝜏, 𝜀−1) + . . .
(15)
Нетрудно видеть, что
𝑍0(𝑡, 𝜏, 𝜀−1) = 𝑊0(𝑡, 𝜀−1)𝑊−1
0 (𝜏, 𝜀−1).
(16)
4. Псевдоголоморфное решение сингулярно возмущённого интегро-дифференциального уравнения. Перейдём к изложению основного результата работы. Будем искать
решение задачи Коши (2) в виде ряда по степеням 𝜀:
𝑢= 𝑢0 + 𝜀𝑢1 + . . . + 𝜀𝑛𝑢𝑛+ . . .
(17)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№1
2024