Расчет и моделирование линейных электрических цепей с применением ПК

Л. П. Гаврилов  
 
 
 
 
 
 
 
 
Расчет и моделирование  
линейных электрических  
цепей с применением ПК 
 
 
 
Учебник и практикум  
для бакалавриата и магистратуры 
 
 
 
Рекомендовано учебно-методическим отделом  
высшего образования в качестве учебника для  
студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по электротехническим специальностям 
и направлениям 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
СОЛОН-Пресс 
2018 

УДК 621.38 
ББК 32. 844-02 
     Г 12 
 
Сведения об авторе: 
Гаврилов Л.П. д.т.н., проф. ВА РВСН им. Петра Великого  
 
Л. П. Гаврилов  
Расчет и моделирование линейных электрических цепей с применением 
ПК. — М.: СОЛОН-Пресс, 2018 – 634 с.: ил.  
 
ISBN 978-5-91359-272-9 
 
В книге изложены основы теории линейных электрических цепей. Изложение 
теоретических сведений сопровождается иллюстрацией симуляции процессов в 
линейных электрических цепях с использованием систем схемотехнического моделирования MultiSim и MicroCap. Книга содержит большое количество решенных примеров и задач по теории электрических цепей и задания для самостоятельной работы студентов. 
Изложенный материал соответствует программе курса «Теоретические основы 
электротехники», «Электротехника и электроника» для электротехнических вузов. Ряд глав содержит материал, который может использоваться для углубленного изучения теории электрических цепей.  
В книгу включены исследования автора по применению метода степенных рядов и разложений по ортогональным полиномам к расчету переходных процессов 
в электрических цепях. Более полные сведения по применению метода степенных 
рядов и разложений в ряды по ортогональным полиномам к анализу процессов в 
электрических цепях и автоматизации анализа на их основе приведены в Приложении, где указаны работы автора по этой тематике. 
Книга будет полезна студентам технических вузов, аспирантам, специалистам в 
области электроэнергетики, электротехники, электроники. 
 
 
По вопросам приобретения обращаться: 
ООО «СОЛОН-Пресс» 
123001, г. Москва, а/я 82 
Телефоны:(495) 617-39-64, (495) 617-39-65 
E-mail: avtor@solon-press.ru, 
www.solon-press.ru 
 
 
ISBN 978-5-91359-272-9 
© СОЛОН-Пресс, 2018  
 
© Гаврилов Л. П., 2018 

Отзыв 
ОТЗЫВ 
на рукопись книги  
Гаврилова Л.П. «Расчет и моделирование линейных  
электрических цепей с применением ПК» 
Содержание книги основано на работе автора “Расчет и моделирование линейных электрических цепей с применением ПК“, вышедшей в 2004 году в издательстве “СолонПресс”, 429 с. Вышедшая в 2004 году книга переработана и дополнена новыми материалами. Изменения относятся как к теоретической части книги, так и к применению систем 
схемотехнического моделирования для симуляции процессов в электрических цепях. Основные изменения относятся к добавлению теоретических разделов и учету новых возможностей, которые предоставляют системы схемотехнического проектирования MultiSim 
и MicroCap последних версий. В 2017 году к ним относятся система MultiSim 14 и MicroCap 11.  
Рукопись книги содержит 18 глав. В 11 главах изложены теоретические основы электрических цепей. В этих главах рассмотрены следующие темы: 
- основные свойства и законы электрических цепей. Эта глава дополнена разделом 
“Уравнения сохранения энергии для электрических цепей”. В этом разделе автор излагает 
в простой и понятной форме запись уравнений сохранения энергии электрических и магнитных цепей на основании аналогии с уравнениями сохранения энергии для механических цепей. Анализ цепей методом графов дополнен рядом теоретических сведений по 
теории графов. Приведен ряд задач с решениями; 
- методы расчета цепей постоянного тока. Изложение методов расчета дано в матрично 
– векторной форме, что формализует расчет и делает его удобным для расчетов с использованием вычислительной техники. Приведены результаты расчетов ряда схем с использованием систем схемотехнического проектирования. Это делает расчет наглядным и удобным для обучения студентов; 
- цепи переменного синусоидального тока. Рассмотрены методы анализа и расчета установившихся процессов в цепях синусоидального тока, включая резонансные режимы и 
расчет индуктивно – связанных цепей; 
- четырехполюсники. Рассмотрена запись различных систем уравнений четырехполюсников, связь между коэффициентами различных систем уравнений, схемы соединения четырехполюсников. Эта глава дополнена разделом по составлению направленных графов 
четырехполюсников; 
- активные четырехполюсники. Рассмотрены неавтономные и автономные активные четырехполюсники, исследование схем с операционным усилителем; 
- электрические фильтры. Рассмотрена конструкция пассивных L-C фильтров, фильтры 
типов “k” и “m”, полиномиальные фильтры, сложные R-C фильтры; 
- сигналы и их характеристики. Приведены соотношения для дискретных сигналов, 
свертки дискретных сигналов. Рассмотрены цепи периодического несинусоидального тока, 
расчет цепей периодического несинусоидального тока; 
- методы анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Рассмотрены 
классический, операторный, спектральный методы анализа, метод интеграла Дюамеля, метод переменных состояния. Глава дополнена разделом по применению систем схемотех3 

Отзыв 
нического проектирования к нахождению полюсов и нулей операторных передаточных 
функций; 
- численные методы анализа переходных процессов в электрических цепях. Исследуется 
устойчивость численных методов, дискретные модели элементов электрических цепей. В 
главе приведены выдержки из работ автора по применению метода степенных рядов и разложений в ряды по ортогональным функциям. Это направление анализа нашло применение в ряде теоретических работ по анализу электрических цепей, в том числе в работах 
академика Пухова Г.Е.; 
- цепи с распределенными параметрами. Рассмотрен расчет установившихся и переходных процессов в цепях с распределенными параметрами; 
- анализ случайных процессов в электрических цепях. Приведены основные величины, 
характеризующие случайные процессы, шумы в электрических цепях, моделирование случайных процессов с использованием систем схемотехнического проектирования MultiSim 
и MicroCap; 
- трехфазные цепи. Рассмотрены основные величины, характеризующие трехфазные цепи, схемы соединения, методы расчета установившихся процессов в трехфазных цепях, 
мощности, измерение мощностей трехфазной системы, коэффициент мощности. По сравнению с предшествующим изданием в этой главе добавлен пример расчета мощностей 
трехфазной системы, определение коэффициента мощности, повышение коэффициента 
мощности. 
Теоретические положения этих глав сопровождается примерами и заданиями для самостоятельной работы студентов. 
В главах 3, 5, 9, 11, 13, 17 дано описание систем схемотехнического проектирования 
MultiSim и MicroCap, приведены примеры, иллюстрирующие расчет и симуляцию установившихся и переходных процессов в электрических цепях. Примеры демонстрируют возможности этих систем при изучении материала глав 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16 , 18, расширяют возможности изучения процессов в электрических цепях. 
Ряд глав книги содержит материал, предназначенный для углубленного изучения теории 
электрических цепей. Этот материал будет полезен как студентам и аспирантам, изучающим курс теоретических основ электротехники и теории электрических цепей, так и специалистам по электротехнике, электронике, машинным методам анализа процессов в электрических цепях.  
Особо следует отметить включение в книгу материалов по применению разложений 
функций времени в степенные ряды и ряды по ортогональным функциям к расчету переходных процессов в электрических цепях. Этот материал расширяет возможности анализа 
процессов в электрических цепях. Применение разложений в ряды позволяет строить эффективные алгоритмы численного анализа электрических цепей, что показано в работах 
автора. Рукопись книги рекомендуется к изданию. 
 
Д.т.н., профессор, заслуженный работник 
ВШ РФ, заслуженный деятель науки 
и образования        
Феоктистов Н.А. 
27 июня 2017 г. 
4 

Предисловие 
Предисловие 
Книга является вторым изданием работы [4]. Она переработана и дополнена новыми разделами. Переработка, в первую очередь, относится к учету новых возможностей схемотехнического проектирования с использованием  систем  MultiSim 14 и 
Micro-Cap 11. Книга может быть полезной студентам высших технических учебных 
заведений, обучающихся по электротехническим, радиотехническим и приборостроительным специальностям, студентам, изучающим основы автоматизации  схемотехнического проектирования электронных схем. 
В книгу включены обязательные для изучения курсов ТОЭ и “Теория электрических цепей” главы 1,2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 18. В этих главах изложена теория: 
- электрических цепей постоянного тока; 
- синусоидального тока; 
- периодического несинусоидального тока; 
-цепей непериодического тока; 
- переходных процессов в электрических цепях; 
- цепей с распределенными параметрами; 
- трехфазных цепей. 
 
Ряд разделов в этих главах предназначен для углубленного изучения теории электрических цепей. Эти разделы могут представлять интерес для специалистов соответствующих специальностей.  
Во втором издании включен ряд новых разделов, примеров и заданий для самостоятельной работы студентов. К новым материалам относятся: 
- глава 1 дополнена теоретическими сведениями по теории графов, рядом примеров и заданием для самостоятельной работы; 
- глава  4 дополнена сведениями по составлению направленных графов для четырехполюсников; 
- глава 5 дополнена примером и заданием для самостоятельной работы студентов 
по исследованию цепей синусоидального тока с использованием систем схемотехнического проектирования; 
- глава 12 дополнена материалом по применению метода неопределенных коэффициентов к нахождению оригиналов функций по их операторным отображениям и 
применению  системы MultiSim 12 к нахождению нулей и полюсов передаточных 
функций, записанных в операторной форме; 
- глава 18 дополнена материалом по моделированию процессов в трехфазных цепях с использованием систем MultiSim  и MicroCap , приведен пример по повышению коэффициента мощности cos ij трехфазной системы, дана самостоятельная работа по исследованию трехфазных цепей и использованием системы MultiSim. 
Главы 3, 5, 9, 11, 13, 17, в которых рассматривается применение систем схемотехнического проектирования и симуляции процессов в электрических цепях MultiSim 
и Micro Cap , в основном, переработаны. В  них включен материал, отражающий но5 

Предисловие 
вые возможности этих систем, включая возможности последних версий этих систем 
MultiSim 14 и Micro Cap 11. Теоретический материал книги иллюстрируется анализом схем при использовании систем схемотехнического проектирования MultiSim и 
Micro Cap в главах 3, 5, 9, 11, 13, 17, либо помещен непосредственно в главы 1,2, 4, 
6, 7, 8, 10, 12, 15, 18 совместно с изложением теоретического материала.   
Материал глав 14 “Численные методы расчета переходных процессов” и 16 “Анализ случайных процессов в электрических цепях” может представлять интерес для 
студентов и специалистов по автоматизации схемотехнического проектирования 
электронных схем. Этот материал может использоваться при применении систем 
схемотехнического проектирования MultiSim и Micro –Cap к симуляции процессов в 
линейных электрических цепях. Основные виды анализа в этих системах выполняются в результате численного интегрирования систем уравнений, описывающих 
процессы в анализируемых схемах. Системы MultiSim и Micro –Cap позволяют 
настраивать параметры численного интегрирования и устанавливать требуемые для 
расчета значения шага интегрирования, конечного времени интегрирования, числа 
выводимых результатов интегрирования. Оценки этих параметров выполняются при 
использовании приводимых в главе 14 материалов. 
В главах 10 и 14 в сжатой форме отражены результаты исследований, выполненных автором, по расчету электрических и электронных схем с использованием разложений в  степенные ряды, ряды по ортогональным полиномам и автоматизации 
анализа схем с использованием этих разложений.  
 
В Приложении приведен перечень работ автора [1-3] по применению метода степенных рядов и разложений в ряды по ортогональным функциям к  анализу  переходных процессов в электрических и электронных схемах. Применение разложений 
в степенные ряды дано в работах 2а-2в, применение разложений в ряды по ортогональным функциям приведено в работах 3а-3е, автоматизация анализа схем с применением этих разложений описана в работах 1а-1з.. 
6 

Глава 1.  
Основные свойства и законы линейных  
электрических цепей 
1.Основные понятия, определения и положения, используемые в теории 
электрических цепей.  
Включает разделы: 
Электрический заряд Q, Электрический ток, Потенциал, Напряжение, Энергия 
электрического поля, Электродвижущая сила, Мощность электрической цепи. 
2. Виды сигналов и их краткая характеристика; 
3. Активные и пассивные элементы электрических схем. 
Включает разделы: 
Пассивные элементы, Активные элементы. Идеальные и реальные источники 
ЭДС и тока, их вольтамперные характеристики, Взаимные преобразования реальных 
источников ЭДС и тока; 
4. Условно положительные направления токов и напряжений в схеме; 
5. Топологические элементы электрических схем; 
6. Законы Кирхгофа; 
7. Топологические матрицы. Запись уравнений по 1 и 2 законам  
Кирхгофа в матрично-векторной форме; 
8. Баланс мощностей. 
9. Уравнения сохранения энергии для электрических цепей 
 
1.1. Основные понятия, определения и положения,  
используемые в теории электрических цепей  
Электромагнитная энергия находит  широкое применение в практической деятельности человека. Электромагнитное поле представляет собой совокупность электрического и магнитного полей, непрерывно превращающихся одно в другое. Для 
диапазонов низких и средних частот электрические и магнитные поля могут рассматриваться раздельно, а процессы в электротехнических устройствах в этих случаях описываются при помощи понятий электрических и магнитных цепей. Под 
электрической или магнитной цепью понимают устройства, предназначенные для 
передачи или преобразования электрической и магнитной энергии или электрических сигналов. 
1.1.1 Электрический заряд Q 
Все материальные тела состоят из элементарных частиц, которые обладают особым свойством - электрическим зарядом. Электрический заряд характеризует взаи7 

Глава 1. Основные свойства и законы линейных электрических цепей 
мосвязь элементарных частиц как с собственным, так и с внешним  электромагнитным полем. Заряды подразделяются на положительные и отрицательные. Заряды 
одного знака отталкиваются, разных знаков притягиваются. Количественно заряд 
измеряется в кулонах, Кл или Ампер·Сек. Заряд электрона равен 1.6Е-19 Кл. Два тела, несущих заряды q1 и q2, взаимодействуют друг с другом. Сила взаимодействия 
двух тел F, геометрические размеры которых малы по сравнению с расстоянием 
между ними R, определяется законом Кулона (1775 г.): 
 
F=k q1q2/R2  
(1.1) 
Это выражение справедливо для тел, геометрические размеры которых малы по 
сравнению с расстоянием между зарядами. Сила взаимодействия зарядов  в системе 
СИ определяется в ньютонах, Н. Она зависит от свойств среды, в которой находятся 
заряды. Свойства среды, в которой находятся заряды, характеризуется при помощи 
коэффициента, который называется абсолютная диэлектрическая проницаемость и 
обозначается символом e а. Этот коэффициент определяется при помощи соотношения 
  
e а=e 0e r  
(1.2) 
 В этом выражении e 0 - диэлектрическая постоянная, она в системе СИ равна 
12
0
8.855 10
/
.
фарада метр
e
-
=
<
, e r- относительная диэлектрическая постоянная, характеризующая свойства конкретного материала. Значения относительной диэлектрической проницаемости İr для ряда материалов приведены в таблице 1.1. 
 
Таблица 1.1 Значения относительной диэлектрической проницаемости İr  
для ряда материалов 
Диэлектрик 
Воздух 
Трансформаторное масло 
Миканит 
Фарфор 
Мрамор 
Стекло 
Резина 
Бумага 
парафинированная 
Значение İr 
1 
2,2 
2,7 
4,3 
5,2 
5,8 
8,3 
6-10 
 
 
Коэффициент пропорциональности k в выражении (1.1) равен k=
ଵ
ସగఌೝఌబ. Для разноименных зарядов q1 и q2 величина силы F условно принимается отрицательной, 
что указывает на притяжение точечных тел, а для одноименных зарядов сила F положительна, что свидетельствует об отталкивании тел, рис.1.1 а,б.  
8 

1.1. Основные понятия, определения и положения, … 
 
Рис.1.1 Притяжение и отталкивание зарядов 
В примере 1 показано определение силы взаимодействия двух точечных зарядов, 
помещенных в трансформаторное масло. 
Пример 1.1. Требуется определить силу взаимодействия двух точечных тел с зарядами  q1=25 ڄ 10í8 Кл и  q2= -5ڄ10í 8 Кл, помещенных в трансформаторное масло на 
расстоянии r = 1 см друг от друга.  
Решение. В соответствии с таблицей 1.1 относительная диэлектрическая проницаемость трансформаторного масла равна 2,2. Абсолютная диэлектрическая проницаемость трансформаторного масла İa =İ0 İr  = 2,2ڄ8,85 ڄ10-12 =19,47 10-12  Ф/м. Расстояние между зарядами: r= 1см=10-2 м. Сила взаимодействия электрических зарядов:  
F= q1q2/4ʌe а r2= 25 ڄ 10í8 ڄ ሺǦ5ڄ10í 8) /4ʌ ڄ19,47 ڄ10-12ڄ10-4= -0,511ڄ Н 
Так как заряды имеют разные знаки, то сила направлена на притяжение зарядов и 
направлена по прямой, соединяющей центры зарядов. 
Для сопоставления отметим, что сила притяжения к земле тела с массой 70 Кг 
равна F=mڄg= 70ڄ9,81= 686,7 Н. Здесь g-ускорение гравитационного притяжения 
g = 9,80665 м/с² 
1.1.2 Электрический ток 
Электрический ток это направленное движение положительных зарядов. Количественно ток определяется как скорость изменения заряда i=dq/dt. Ток измеряется в 
амперах, А. Плотность тока d  это ток, протекающий через единицу нормальной к 
направлению протекания тока поверхности 
di
ds
d =
 . Плотность тока измеряется в 
А/M2, А/mm2 . Для медных проводов номинальная плотность тока считается равной 
6 А/ мм2, для алюминиевых 4-6 А/ мм2. 
Кроме понятия плотность тока на практике используется понятие предельно допустимого значения тока. Так, для медных жил однофазного кабеля сечением 
1,5 мм2 значение допустимого длительного тока составляет 19 А, для трехфазного 
кабеля 18 А.  
1.1.3 Потенциал 
Каждая точка электрической цепи может быть охарактеризована скалярной величиной – потенциалом j. Потенциал точки неизменного во времени электрического 
поля определяется как работа по перемещению единичного положительного заряда 
из этой точки в бесконечность или точку с нулевым потенциалом. Потенциал измеряется в вольтах, В. Потенциал одной из точек цепи может быть принят равным нулю. 
9 

Глава 1. Основные свойства и законы линейных электрических цепей 
1.1.4 Напряжение 
Напряжение между двумя точками электрической цепи a и b равно разности потенциалов между этими точками: 
 
uab = ja - jb.  
(1.3) 
На рис.1.2 изображена схема, на которой показано напряжение между узлами 
схемы а и б, как разность потенциалов этих узлов. Напряжение обозначено стрелкой, направленной от узла а к узлу b. 
 
Рис.1.2 Обозначение напряжения на схеме 
Напряжение измеряется в вольтах, В. 
1.1.5 Энергия электрического поля 
Если между двумя точками цепи a и b, обладающими потенциалами
a
j  и
b
j , переносится заряд Q, то при этом совершается работа 
(
)
a
b
A
Q
j
j
=
-
˜
. Электрическая 
энергия при этом Wэл изменяется на величину Wэл=А. 
 
(
)
a
b
A
Q
j
j
=
-
˜
     Wэл=А  
    (1.4) 
1.1.6 Электродвижущая сила 
Когда между двумя точками цепи a и b сопротивление равно нулю, а энергия заряда Q на этом участке цепи возрастает на величину Wab, то говорят об электродвижущей силе E=Wab/Q. Очевидно, что напряжение между точками a и b равно электродвижущей силе Uab=E. 
 
 E=Wab/Q   
(1.5) 
1.1.7 Мощность электрической цепи 
Скорость изменения энергии характеризует мощность p=dW/dt. Пусть напряжение участка электрической цепи между точками a и b равно Uab. При переносе заряда Q из точки a в точку b совершается работа, мощность которой равна: p=d[Uab 
Q]/dt=Uab dQ/dt=Uab I. Мощность измеряется в ваттах, Вт. 
 
 p=Uab I  
(1.6) 
 
1.2 Виды сигналов 
При помощи сигналов передается информация. Электрические сигналы подразделяются на детерминированные и случайные. Детерминированный сигнал является 
определенным в любой момент времени. Он может быть задан аналитически, таб10