Биофизика, 2024, № 5

ɊɈɋɋɂɃɋɄȺə ȺɄȺȾȿɆɂə ɇȺɍɄ
 
ȻɂɈɎɂɁɂɄȺ
 
Ɍɨɦ 69    
ɜɵɩ.     2024    ɋɟɧɬɹɛɪɶ—Ɉɤɬɹɛɪɶ
ɀɭɪɧɚɥ ɨɫɧɨɜɚɧ ɜ ɹɧɜɚɪɟ 1956 ɝɨɞɚ
ȼɵɯɨɞɢɬ 6 ɪɚɡ ɜ ɝɨɞ
ISSN: 0 
006-3029
1956-1962 ɝɝ. — ɝɥ. ɪɟɞ. Ⱥ.Ɇ. ɄɍɁɂɇ
1962-1976 ɝɝ. — ɝɥ. ɪɟɞ. Ƚ.Ɇ. ɎɊȺɇɄ
19 
76-1977 ɝɝ. — ɝɥ. ɪɟɞ. Ʌ.Ⱥ. ȻɅɘɆȿɇɎȿɅɖȾ
197 
7-1989 ɝɝ. — ɝɥ. ɪɟɞ. Ⱥ.Ⱥ. ɄɊȺɋɇɈȼɋɄɂɃ
1989-2022 ɝɝ. — ɝɥ. ɪɟɞ. ȿ.ȿ. ɎȿɋȿɇɄɈ
ɀɭpɧ 
ɚɥ ɢɡɞɚɟɬɫɹ ɩɨɞ pɭɤɨɜɨɞcɬɜɨɦ
Ɉɬɞɟɥɟɧɢɹ ɛɢɨɥɨɝɢɱɟcɤɢx ɧɚɭɤ ဂȺɇ
Ƚɥɚɜɧɵɣ ɪɟɞɚɤɬɨɪ
ɉ.ə. Ƚɪɚɛɚɪɧɢɤ
Ɋɟɞɚɤ 
ɰɢɨɧɧɚɹ ɤɨɥɥɟɝɢɹ
ȼ.ɋ. Ⱥɤɚɬɨɜ, ȼ.Ƚ. Ⱥɪɬɸɯɨɜ, Ⱥ.Ɏ. ȼɚɧɢɧ, ɂ.Ɇ. ȼɢɯɥɹɧɰɟɜ,
Ɉ.ȼ. Ƚɚɥɡɢɬɫɤɚɹ, ɇ.Ƚ. ȿɫɢɩɨɜɚ (ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɵɣ ɫɟɤɪɟɬɚɪɶ), ȼ.Ɇ. Ʉɨɦɚɪɨɜ,
Ɇ.ɋ. Ʉɨɧɞɪɚɬɶɟɜ, ɇ.ɂ. Ʉɭɤɭɲɤɢɧ, ȼ.ɘ. Ɇɚɤɟɟɜ, Ⱦ.ɘ. ɇɟɱɢɩɭɪɟɧɤɨ,
Ɉ.ɇ. Ɉɡɨɥɢɧɶ, ɇ.ȼ. ɉɟɧɶɤɨɜ, ɋ. ɉɟɬɪɨɜɫɤɢɣ, ɂ.ɘ. ɉɟɬɪɭɲɚɧɤɨ,
Ƚ.ɘ. Ɋɢɡɧɢɱɟɧɤɨ, Ⱥ.Ȼ. Ɋɭɛɢɧ, ȿ.ɂ. ɋɥɨɛɨɠɚɧɢɧɚ, Ⱥ.ɂ. ɋɭɲɤɨɜ,
ȼ.Ⱥ. Ɍɜɟɪɞɢɫɥɨɜ, ȼ.Ƚ. Ɍɭɦɚɧɹɧ, ɋ.ɇ. ɍɞɚɥɶɰɨɜ,
ȿ.ȿ. Ɏɟɫɟɧɤɨ ɦɥ. (ɡɚɦɟɫɬɢɬɟɥɶ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɪɟɞɚɤɬɨɪɚ), ȿ.ə. Ɏɪɢɫɦɚɧ,
Ʉ.ȼ. ɒɚɣɬɚɧ (ɡɚɦɟɫɬɢɬɟɥɶ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɪɟɞɚɤɬɨɪɚ), Ɇ.Ƚ. ɒɚɪɚɩɨɜ
Ɋɟɞɚɤ 
ɰɢɨɧɧɵɣ ɫɨɜɟɬ
Ɏ.ɂ. Ⱥɬɚɭɥɥɚɯɚɧɨɜ, ɘ.Ⱥ. ȼɥɚɞɢɦɢɪɨɜ, ɂ.Ⱦ. ȼɨɥɨɬɨɜɫɤɢɣ,
Ⱥ.ɘ. Ƚɪɨɫɛɟɪɝ, Ⱥ.Ƚ. Ⱦɟɝɟɪɦɟɧɞɠɢ, Ƚ.Ɋ. ɂɜɚɧɢɰɤɢɣ, Ⱥ.Ⱥ. Ʉɪɚɫɧɨɜɫɤɢɣ,
Ⱥ.Ⱥ. Ɇɚɤɚɪɨɜ, Ⱦ.ɂ. Ɋɨɳɭɩɤɢɧ, Ⱥ.Ȼ. Ɋɭɛɢɧ, ȼ.Ɉ. ɋɚɦɨɣɥɨɜ,
ȿ.ȿ. Ɏɟɫɟɧɤɨ, Ⱥ.ȼ. Ɏɢɧɤɟɥɶɲɬɟɣɧ, Ɇ.Ⱦ. Ɏɪɚɧɤ-Ʉɚɦɟɧɟɰɤɢɣ
Ɂɚɜɟɞɭɸɳɚɹ ɪɟɞɚɤɰɢɟɣ Ɇ.Ⱥ. ɉɭɰɟɧɤɨɜɚ
Ⱥɞɪɟɫ ɪɟɞɚɤɰɢɢ: 142290, ɉɭɳɢɧɨ, ɉɪɨɫɩ. ɇɚɭɤɢ, 3, ɨɮ. 226
Ɍɟɥɟɮɨɧ +7(963)698-77-22
E-mail: biophysica1@mail.ru
Ɇɨɫɤɜ 
ɚ
ɎȽȻɍ  
«ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ «ɇɚɭɤɚ»
© Ɋɨɫɫɢɣɫɤɚɹ ɚɤɚɞɟɦɢɹ ɧɚɭɤ 2024
© Ɋɟɞɤɨɥɥɟɝɢɹ ɠɭɪɧɚɥɚ
    «Ȼɢɨɮɢɡɢɤɚ» (ɫɨɫɬɚɜɢɬɟɥɶ) 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 69, номер 5, 2024
МОЛЕКУЛЯРНАЯ БИОФИЗИКА
Численное моделирование диффузии электроактивной молекулы 
в биоподобных гидрогелевых средах
И.А. Черенков, М.Д. Кривилев, М.М. Игнатьева,
А.Ю. Емельянова, В.Г. Сергеев
939
Адсорбция белков на нитроцеллюлозные мембраны из потока раствора –
теория и эксперимент
К.А. Прусаков, С.В. Замалутдинова, А.Е. Сидорова, Д.В. Багров
949
Сравнительная оценка силовых характеристик взаимодействия липополисахарида 
Yersinia pseudotuberculosis c антителами методами оптической ловушки 
и атомно-силовой микроскопии
А.А. Бывалов, В.С. Белозёров, И.В. Конышев, Б.А. Ананченко
959
Исследование методом разностной ИК-Фурье-спектроскопии вторичной структуры
мембранного белка бактериородопсина при облучении микроволнами 8–18 ГГц
Е.Л. Терпугов, О.В. Дегтярева, Е.Е. Фесенко
968
Оценка аффинности связывания в комплексах ACE2–RBD S-белка 
коронавирусов с использованием сверточных нейронных сетей
Е.А. Богданова, А.В. Чернухин, К.В. Шайтан, В.Н. Новоселецкий
979
БИОФИЗИКА КЛЕТКИ
Пермеабилизация мембран клеток Pseudomonas aeruginosa
под воздействием ударных волн 
С.Н. Летута, А.Т. Ишемгулов, О.К. Давыдова, А.Н. Никиян, М.Е. Григорьев
990
Эффекты салициловой и ацетилсалициловой кислот в митохондриальных 
и эритроцитарных мембранах
Т.В. Ильич, А.И. Савко, Т.А. Коваленя, Е.А. Лапшина, И.Б. Заводник
997
Наличие белков септинов в зоне нервно-мышечных синапсов соматической 
мышцы дождевого червя Lumbricus terrestris
Л.Ф. Нуруллин, Е.М. Волков
1011
Исследование цитотоксичности наночастиц селена, синтезированных
с использованием искусственного металлсвязывающего 
опухолеспецифичного белка W8-3C
Н.В. Позднякова, Ю.К. Бирюкова, З.А. Соколова, М.А. Барышникова,
А.В. Белякова, Е.С. Щербакова, М.С. Смирнова, А.Б. Шевелев

БИОФИЗИКА CЛОЖНЫX CИCТЕМ
Параметризация модели времени цветения образцов дикого нута 
с переносом знаний от нескольких источников
З.А. Саранин, М.Г. Самсонова, К.Н. Козлов
1029

Модели генных сетей цветения и возможности их адаптации для анализа
механизмов яровизации у бобовых
В.В. Гурский, М.А. Дук, М.П. Банкин, М.Г. Самсонова, С.Ю. Суркова
1037
Типовой патологический процесс при глутаматной нейротоксичности:
роль активных форм азота и кислорода
В.П. Реутов, Н.В. Пасикова, Е.Г. Сорокина
1044
Механизмы образования и функционирования в живых организмах 
˺инитрозильных комплексов железа как «рабочей формы» оксида азота 
А.Ф. Ванин
1078
Поведение популяции простейших микроорганизмов под действием
электромагнитного излучения сотовых телефонов
Л.А. Морозова, С.В. Савельев
1097
Исследование особенностей формирования поведенческих навыков у крыс 
в трехлучевом лабиринте
С.П. Драган, Д.Б. Комаров, И.А. Веселовский, А.В. Богомолов
1104
Влияние полисахарида из Helianthus tuberosus L. на антипролиферативную 
активность производного N-гликозида индоло[2,3-а]карбазола ЛХС-1269
М.П. Киселева, И.С. Голубева, В.П. Дерягина, А.В. Ланцова,
Л.В. Эктова, Е.А. Корнюшенков, Л.М. Борисова, Е.А. Генералов
1109
МЕДИЦИНСКАЯ БИОФИЗИКА 
Свойства резорбируемых кондуитов на основе нановолокон из поли(--лактида) 
и волокон из хитозана для регенерации периферических нервов
Н.А. Тагандурдыева, М.А. Трубе, И.О. Шемякин, Д.Н. Соломицкий, 
Г.В. Медведев, Е.М. Иванькова, И.П. Добровольская, В.Е. Юдин
1118
ДИСКУССИИ
Просвещение и коммерция
Г.Р. Иваницкий
1130
ХРОНИКА
Памяти ученого-биофизика, педагога, организатора науки, 
профессора Э.К. Рууге
В.П. Реутов
1140

Contents
Vol. 69, No. 5, 2024
Molecular Biophysics
Numerical Simulation of the Diffusion of Electroactive Molecule in Biosimilar Hydrogel Media
 I.A. Cherenkov, M.D. Krivilev, M.M. Ignat'eva, A.Yu. Emel'yanova, and V.G. Sergeev
939
Adsorption of Proteins onto Nitrocellulose Membranes from a Flowing Solution – 
Theory and Experiment
 K.A. Prusakov, S.V. Zamalutdinova, A.E. Sidorova, and D.V. Bagrov
949
Comparative Evaluation of Interaction Force Characteristics for the Lipopolysaccharide
of Yersinia pseudotuberculosis and Antibodies by Optical Trapping and Atomic Force Microscopy
 A.A. Byvalov, V.S. Belozerov, I.V. Konyshev, and B.A. Ananchenko
959
FT-IR Difference Spectroscopy for Studying the Secondary Structure of the Membrane Protein
Bacteriorhodopsin When Submitted to Microwave Radiation at 8–18 GHz
 E.L. Terpugov, O.V. Degtyareva, and E.E. Fesenko
968
Assessment of Binding Affinity in the Complexes of CoV-S-Protein’s RBD 
and the ACE2 Using Convolutional Neural Networks
 E.A. Bogdanova, A.V. Chernukhin, K.V. Shaitan, and V.N. Novoseletsky
979
Cell Biophysics
Shock Wave-induced Cell Membrane Permeabilization of Pseudomonas aeruginosa
 S.N. Letuta, A.T. Ishemgulov, O.K. Davydova, A.N. Nikiyan, and M.E. Grigoriev
990
Effects of Salicylic and Acetylsalicylic Acids in Mitochondrial and Erythrocyte Membranes
 T.V. Ilyich, A.I. Savko, T.A. Kovalenya, E.A. Lapshina, and I.B. Zavodnik
997
The Presence of Septin Proteins in the Neuromuscular Junction of Somatic Muscle 
in the Earthworm Lumbricus terrestris
 L.F. Nurullin and E.M. Volkov
1011
Study of Cytotoxicity of Selenium Nanoparticles Synthesized Using Artificial 
Metal-Binding Tumor-Specific Protein W8-3C
 N.V. Pozdnyakova, Yu.K. Biryukova, Z.A. Sokolova, M.A. Baryshnikova,
E.S. Shcherbakova, M.S. Smirnova, and A.B. Shevelev
1018
Complex Systems Biophysics
Parameterization of a Model for Wild Chickpea Flowering Time 
by Transferring the Knowledge Learned from Multiple Sources
 Z.A. Saranin, M.G. Samsonova, and K.N. Kozlov
1029
Models of Flowering Gene Networks and Their Adaptation for the Analysis
of Vernalization Mechanisms in Legumes
 V.V. Gursky, M.A. Duk, M.P. Bankin, M.G. Samsonova, and S.Yu. Surkova
1037

Typical Pathological Process in Glutamate Neurotoxicity: the Role of Reactive 
Nitrogen and Oxygen Species
 V.P. Reutov, N.V. Pasikova, and E.G. Sorokina
1044
Mechanisms of the Formation and Function of Dinitrosyl Iron Complexes 
as a “Working Form” of Nitric Oxide in Living Organisms
 A.F. Vanin
1078
Influence of Mobile Phone Electromagnetic Radiation Exposure on Behavior 
of Protozoan Population
 L.A. Morozova and S.V. Savel’ev
1097
Study of Peculiarities of the Formation of Behavioral Skills in Rats in the Three-Arm Maze 
 S.P. Dragan, D.B. Komarov, I.A. Veselovsky, and A.V. Bogomolov
1104
Influence of Polysaccharide from Helianthus tuberosus L. on Antiproliferative Activity
of N-Glycoside Indolo[2,3-a]carbazole Derivative LCS-1269
 M.P. Kiseleva, I.S. Golubeva, V.P. Deryagina, A.V. Lantsova, L.V. Ektova,
E.A. Kornyushenkov, L.M. Borisova, and E.A. Generalov
1109
Medical Biophysics 
Properties of Resorbable Conduits Based on Poly(L--actide) Nanofibers and Chitosan Fibers 
for Peripheral Nerve Regeneration
 N.A. Tagandurdyyeva, M.A. Trube, I.O. Shemyakin, D.N. Solomitskiy, G.V. Medvedev, 
E.M. Ivan’kova, I.P. Dobrovolskaya, and V.Ye. Yudin
1118
Discussion
Education and Commerce
 G.R. Ivanitskii
1130
Chronicle
For Memory Prof. E.К. Ruuge
V.P. Reutov


БИОФИЗИКА, 2024, том 69, № 5, с. 939–948
МОЛЕКУЛЯРНАЯ БИОФИЗИКА
УДК 577.32+57.083.1
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОАКТИВНОЙ 
МОЛЕКУЛЫ В БИОПОДОБНЫХ ГИДРОГЕЛЕВЫХ СРЕДАХ 
© 2024  г.   И.А. Черенков*, #, М.Д. Кривилев*, **, М.М. Игнатьева*,
А.Ю. Емельянова*, В.Г. Сергеев*
*Удмуртский государственный университет, Университетская ул., 1, Ижевск, 426034, Россия
** Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН,
ул. Татьяны Барамзиной, 34, Ижевск, 426067, Россия
#E-mail: ivch75@yandex.ru
Поcтупила в pедакцию 10.12.2023 г.
Поcле доpаботки 31.01.2024 г.
Пpинята к публикации 07.02.2024 г.
На основе экспериментальных данных циклической вольтамперометрии получены значения коэффициентов диффузии толуидинового синего в гидрогелях альгината, желатина и их комбинаций.
С использованием экспериментальных значений коэффициентов в цифровой модели проведены
расчеты значений токов восстановления, показавшие соответствие результатам экспериментов.
Предложено использование времени выхода силы тока на стационарное значение как показателя
диффузионных свойств гидрогелевой среды. Результаты предполагается использовать для разработки методов оценки диффузионных свойств гидрогелевых сред: биочернил и тканеинженерных
конструкций.
Ключевые слова: циклическая вольтамперометрия, диффузионные процессы, биосовместимые гидрогели, биочернила, численное моделирование.
DOI: 10.31857/S0006302924050013,  EDN: MLQQQN
Биоэлектрохимический анализ является перспективным аналитическим инструментом для
неразрушающего контроля биологических тканей и тканеинженерных конструкций различной
степени сложности, позволяющим оценить проницаемость межклеточного матрикса или гидрогеля биочернил для электроактивных молекулзондов. Такой анализ может быть полезен для
оценки качества биочернил, гидрогелевых скаффолдов и контроля постпроцессинга при биопечати тканеинженерных конструкций [1–5], а в
перспективе – для диагностики и мониторинга
процессов воспаления, регенерации, диспластических явлений в соединительной ткани.
Чаще всего в биоэлектрохимических исследованиях оценивают электрохимическое поведение
молекул-медиаторов в зависимости от окислительно-восстановительной активности ферментов или клеток, рассматривая биологические
компоненты как катализаторы редокс-превращений медиатора, активность которых отражается
на электродных процессах [6–8]. ФундаментальСокращения: ФСБ – фосфатно-солевой буферный раствор, 
ТС – краситель толуидиновый синий, ЦВА – циклическая
вольтамперометрия. 
ные принципы влияния физико-химических характеристик среды на электродные процессы, в
том числе и особенности диффузии электроактивных частиц в вязких средах, рассмотрены в работах В.Г. Левича [9]. Представляет интерес их
приложение к биоподобным гидрогелеобразователям различного состава, используемым в трехмерном культивировании, а также являющимися
компонентами биочернил для аддитивных биомедицинских технологий. 
В случае адаптации биоэлектрохимического
анализа к задачам исследования тканевых систем
или их инженерных аналогов необходимо принимать во внимание и свойства гидрогелевой
среды – ее вязкость, катионно-анионный состав
и другие физико-химические свойства, способные оказать влияние на диффузию медиатора к
электродной поверхности [9–11]. 
Представляется возможным определение численных параметров диффузии в гидрогелевой
среде, содержащей биополимеры-гелеобразователи или их комбинации, по данным электрохимических измерений. Это позволяет провести
расчеты влияния гелевой среды на формирование
электрохимического 
сигнала, 
определяемого
939

ЧЕРЕНКОВ и др.
диффузией растворимого окислительно-восстановительного медиатора. Такие расчеты могут
быть использованы для оптимизации условий
биоэлектрохимического анализа, при конструировании диффузионных электрохимических сенсоров и разработке методов неразрушающего
контроля гидрогелевых сред.
Целью нашей работы является исследование
диффузии электроактивных молекул в биоподобных гидрогелевых средах различного состава и
оценка влияния диффузионных ограничений на
формирование электрохимического сигнала с помощью компьютерного моделирования. 
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Электрохимические 
измерения. 
Электрохимические эксперименты проводили с использованием планарных электродных систем, изготовленных 
методом 
трафаретной 
печати
(ООО «КолорЭлектроникс», Москва, Россия) и
включающих графитсодержащие рабочий и вспомогательный электроды, а также хлорсеребряный
электрод сравнения. Перед измерениями электроды подвергали циклированию в диапазоне потенциалов +1200…–1200 мВ в среде фосфатно-солевого буферного раствора (ФСБ) для стабилизации характеристик. 
В качестве гелеообразователей использовали
желатин (3% масс.) и альгинат натрия (3% масс.)
в виде растворов на ФСБ, которые готовили непосредственно перед экспериментом. При использовании раствора альгината исследовали
гидрогель альгината кальция, формирование которого происходило непосредственно на рабочем
электроде при нанесении 100 мкл 2 М раствора
хлорида кальция с последующим удалением избытка раствора. В отдельных сериях экспериментов использовали комбинированные гидрогели –
«альгинат натрия–желатин» и «альгинат кальция–желатин» в различных соотношениях. 
Роль электрохимического медиатора выполнял фенотиазиновый краситель толуидиновый
синий (ТС), для которого в специальной серии
экспериментов определяли основные электрохимические характеристики.
Электрохимические измерения производили в
режиме циклической вольтамперометрии (ЦВА)
на потенциостате-гальваностате P-45Х (Electrochemical Instruments, Черноголовка, Россия). Использовали диапазон потенциалов 0… –450 мВ
(относительно Ag/AgCl) со скоростью развертки
потенциала от 2 до 100 мВ/с в зависимости от задач эксперимента. Измеряемым параметром были значения силы тока на рабочем электроде. Для
оценки изменений силы тока в гидрогелевых средах анализировали 10 циклов развертки сразу после внесения раствора ТС, а затем по 4 цикла с
интервалом в 300 с до установления постоянных
значений силы тока. Концентрация ТС во всех
измерениях была постоянной и составляла
0.1 мМ. Фоновым электролитом служил ФСБ
(рН 7.2).
Анализ данных ЦВА проводили с использованием программы ES8 (Electrochemical Instruments, Черноголовка, Россия) и программы
eL-Chem Viewer 3.3 [12]. 
Данные электрохимических экспериментов
использовали для расчетов коэффициентов диффузии, применявшихся далее при расчетах в цифровой модели.
Математическая модель. Содержательная постановка задачи. Каплю гидрогеля на основе альгината натрия и/или желатина наносят на графитовый электрод. Далее электрод размещают в
электрохимической ячейке в буферном растворе,
содержащем растворенный краситель (ТС). Необходимо провести компьютерное моделирование диффузии электроактивных молекул ТС в
капле гидрогелевой среды и формирования электрохимического отклика (значений силы тока) с
учетом следующих варьируемых входных данных:
– геометрических 
параметров 
планарного
электрода и капли гидрогеля; 
– объема гидрогеля, нанесенного на электрод
(V);
– концентрации красителя толуидинового синего в буферном растворе (C0
TC);
– коэффициента диффузии (D) красителя,
значения которого варьируют для разных гидрогелевых систем.
Поскольку исследуется электрохимический
отклик системы, требуется решить задачу диффузии в нестационарной постановке. Выходными
данными задачи для последующего анализа являются:
– распределение концентрации ТС в произвольный момент времени внутри капли гидрогеля;
– зависимость концентрации ТС от времени в
контрольных точках на поверхности электрода;
– интегральный концентрационный поток на
поверхности электрода;
– полный электрический ток, возникающий в
электрохимической цепи как функция времени,
для сравнения с экспериментальными значениями силы тока, полученными при ЦВА.
Физико-химическая постановка задачи. Планарный электрод имеет круглую поверхность, на
которую наносится гидрогель. По периметру рабочей зоны электрода присутствует электроизолирующий бортик, который отделяет рабочую зону электрода от остальной поверхности датчика.
Таким образом, электрохимическая реакция
БИОФИЗИКА 
 том 69 
 № 5 
 2024

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИИ
941
Рис. 1. (а) – Геометрия расчетной области, использованная для моделирования диффузии в капле гидрогеля на
электроде; (б) – схема нумерации границ расчетной области. 
ной 
области, 
граница 
№2 
соответствует
поверхности электрода, а граница №3 показывает переход от среды гидрогеля к фоновому электролиту. Исходя из этих данных, далее будут заданы различные типы граничных условий.
Расчет коэффициентов проводился с помощью уравнения Рэндлса–Шевчика, позволяющего по значениям пиковых токов, полученных
при ЦВА, рассчитать коэффициент диффузии
красителя: 
3
3
(1)
= −
0.446
 ,
n F vD
Ip
cA
RT
где Ip – пиковые значения силы тока (А), с – концентрация ТС (моль/м3), А – площадь рабочего
электрода (м2), n – число электронов, участвующих в электрохимической реакции, F – постоянная Фарадея (Кл/моль), v – скорость развертки
потенциала (В/с), D – коэффициент диффузии
(м2/с), R – универсальная газовая постоянная
(Дж/моль·К), T – температура (К) [13]. Для расчетов использованы полученные в эксперименте
пиковые значения силы тока: 0.92 мкА – буферный раствор без гелеобразователей, 0.55 мкА –
гидрогель альгината кальция, 0.58 мкА – гидрогель желатина, 0.73 мкА – гидрогель «альгинат–
желатин» без стабилизации ионами кальция,
0.61 мкА – гидрогель «альгинат–желатин», стабилизированный ионами кальция. Температуру
принимали равной 295 К. Остальные данные
приведены в табл. 1.
Коэффициенты диффузии D заданы в параметрах модели и характеризуют проницаемость
гидрогелей разного состава для ТС. В моделировании рассматривали четыре системы, коэффициенты диффузии для которых рассчитывали на
основе данных электрохимических экспериментов: 
происходит только на поверхности рабочей зоны.
С учетом этого была построена 3D-модель капли
гидрогеля, изометрическая проекция которой
приведена на рис. 1а. Капля с большой степенью
достоверности может быть описана эллипсоидом
вращения с высоким коэффициентом сжатия,
поэтому при математическом моделировании целесообразно перейти от полной 3D-постановки в
цилиндрической системе координат (r, z, φ) к
2D-постановке в системе координат (r, z) с учетом
вращательной симметрии объекта. Для нестационарной задачи диффузии, решаемой для капли в
форме полуэллипсоида и с учетом вращательной
симметрии начальных и граничных условий, решение в плоских сечениях капли, проходящих через ось симметрии, перпендикулярную плоскости электрода, будет совпадать. Причиной такой
симметрии является исходная постановка задачи,
которая предполагает отсутствие зависимости от
угловой координаты φ, определяющей угловое
перемещение вокруг оси z (рис. 1а), следовательно, решение также не будет зависеть от этой координаты. В таком случае достаточно найти решение задачи в расчетной области, равной четверти
плоского сечения, как показано на рис. 1б.
Размер рабочего электрода определяет радиус
наносимой капли, который составляет R =
= 0.975 мм. В модели площадь вычисляется через
радиус рабочей области электрода по формуле
S = πR2. Площадь рабочего электрода S = 3 мм2.
Высота hd капли как полуэллипсоида зависит от
объема наносимого гидрогеля V. Высота полуэллипсоида hd определяется как hd = 1.5V/S. В результате для гидрогеля объемом 1 мкл высота hd
капли приблизительно равна 0.5 мм. 
На рис. 1б представлена нумерация границ
расчетной области Ω, на которых задаются различные граничные условия, исходя из протекающих на них физико-химических процессов. Граница №1 соответствует оси симметрии расчетБИОФИЗИКА 
 том 69 
 № 5
 2024

ЧЕРЕНКОВ и др.
Таблица 1. Входные параметры модели исследуемого процесса
TB
Выражение
Значение
Описание
DTB
1.52·10–9 [м2/с]
1.52·10–9 м2/с
Коэффициент диффузии ТС в фоновом электролите
CTB
bulk
0.1 [моль/м3]
0.1 моль/м3
Концентрация ТС в фоновом электролите
V
10–6 [л]
1·10–9 м3
Объем капли гидрогеля
hd
V/((2/3)·π·Rd2)
5.02·10–4 м
Высота капли гидрогеля
Rd
0.975 [мм]
9.75·10–4 м
Радиус электрода
S
Rd2·π
2.99·10–6 м2
Площадь поверхности электрода
– гидрогель на основе альгината, стабилизированный ионами кальция (D = 0.43·10–9 м2/с); 
(СФСБ = 0.1 моль/л) значительно превышает
концентрацию ТС (СТС = 0.0001 моль/л). В
таких условиях число переноса для ТС снижается, и при математическом описании
электрохимических систем в уравнении массопереноса 
пренебрегают 
миграционным
слагаемым [13]. В этом случае процесс диффузии описывается уравнением диффузии,
где диффузионный поток подчиняется закону Фика: 
(2)
t
∂
−∇⋅
∂=
J,
C
J = –DС,
(3)
где C – концентрация ТС в гидрогеле, J – диффузионный поток ТС, D – коэффициент диффузии.
В начальный момент времени t = 0 гидрогель не
содержит краситель, следовательно, справедливо
условие
С|Ω (t = 0) = 0.
(4)
В связи с тем, что объем наносимого раствора электроактивной метки во много раз
больше объема геля, на боковой границе полуэллипсоида была задана постоянная концентрация ТС в объеме наносимого раствора,
использованная во всех электрохимических
экспериментах (CТС = 10–4 М). Следовательно, на поверхности капли гидрогеля (граница №3) во время эксперимента соблюдается условие 
TC
(5)
0
Ω
.
С
t
C
( )
∂
=
3
На границе №1 принимается граничное условие 2 рода с нулевым массовым потоком через
границу, что соответствует уравнению
J n|∂Ω1 = 0,
(6)
– желатиновый гидрогель (D = 0.51·10–9 м2/с); 
– гидрогель на основе смеси желатина и альгината натрия без сшивки ионами кальция
(D = 0.75·10–9 м2/с);
– гидрогель на основе смеси желатина и альгината, 
стабилизированный 
ионами 
кальция
(D = 0.55·10–9 м2/с). 
Для сравнения использовали фосфатно-солевой буферный раствор без гелеобразователя: коэффициент диффузии (D = 1.52·10−9 м2/c) для
водных растворов рассчитан на основе результатов ЦВА. По литературным данным [14] оценочные значения коэффициента диффузии ТС для
водных сред, полученные по данным расчетов на
основе приближения Стокса–Эйнштейна, дают
сопоставимое значение (D = 1.42·10−9 м2/c).
Математическая постановка задачи. В
данной модели гель представлен пассивным,
т.е. не учитываются его возможные взаимодействия с ТС – например, адсорбция молекул анионными группами альгината. Рассматривается исключительно диффузионная
задача в отсутствие как конвективного переноса, так и движения электроактивной метки
в электрическом поле согласно следующим
основаниям: во-первых, естественная конвекция подавлена, так как разность плотностей в микрокапле пренебрежимо мала, а вязкость гидрогелей существенно выше вязкости буферного раствора. В таких условиях
электролит можно считать неподвижным [9].
Во-вторых, миграция ионов всегда учитывается в общем случае, если фоновый электролит не участвует в переносе заряда. В нашем
случае концентрация фонового электролита
БИОФИЗИКА 
 том 69 
 № 5 
 2024

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИИ
943
Рис. 2. Циклическая вольтамперометрия толуидинового синего в среде фосфатно-солевого буферного раствора
(0.15 М, рН 7.2) при разных скоростях развертки потенциала (2–100 мВ/с). На врезке – зависимость пиковых
значений силы тока от квадратного корня скорости развертки потенциалов.
Полученные данные позволяют считать электрохимическое поведение ТС близким к обратимому, а лимитирующей стадией – диффузию молекул ТС к электроду [9, 13]. 
где n – вектор нормали к центру плоскости
электрода. Рабочая поверхность электрода (граница №2) характеризуется наличием электрохимической реакции, при которой ТС восстанавливается, т.е. концентрация его окисленной формы
снижается до нуля. В результате на указанной
границе должно быть задано условие для концентрации окисленной формы ТС: 
С|∂Ω2 (t) = 0.
(7)
Для обратимых электрохимических процессов
справедливо уравнение Рэндлса–Шевчика, связывающее показатели силы тока с коэффициентом диффузии электроактивной молекулы [13].
Это позволяет оценить диффузионные параметры гидрогелевых сред с помощью ЦВА в эксперименте и получить ориентировочные значения коэффициента диффузии ТС для последующих расчетов в математической модели. 
Алгоритмическая постановка задачи и компьютерная реализация. Варьируемым параметром в
нашей модели являлся коэффициент диффузии
ТС, который зависел от состава гидрогеля. Вспомогательные параметры модели приведены в
табл. 1.
Все этапы моделирования диффузии ТС в гидрогеле осуществляли при помощи программного
пакета COMSOL Multiphysics 5.5 (академическая
лицензия №9602303 CKL).
В среде гидрогелей кривые ЦВА, отражающие
электрохимические превращения ТС, имеют характерный вид (рис. 3) с нарастанием анодных и
катодных токов во времени. При этом положение
пиков по оси потенциалов остается практически
неизменным. 
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Исследования электрохимического поведения
ТС в среде фосфатно-солевого буферного раствора показали формирование при ЦВА выраженных анодных и катодных пиков, соответствующих восстановлению и окислению ТС на электроде (рис. 2а). 
В серии экспериментов была определена зависимость пиковых значений силы тока от квадратного корня скорости развертки потенциала
(рис. 2б).
Расчетные значения коэффициента диффузии, полученные на основании экспериментальных данных, показывают (табл. 2), что все исследованные 
гидрогелевые 
среды 
накладывают
диффузионные ограничения на процессы электрохимических превращений ТС. Наибольшее
влияние отмечено для гидрогеля альгината
кальция, который обеспечивает снижение коэффициента диффузии по сравнению с фоновым
электролитом примерно в три раза. При этом коэффициент диффузии в среде желатина с альгинатом без сшивки ионами кальция значительно
БИОФИЗИКА 
 том 69 
 № 5
 2024