Школьные олимпиады СПбГУ 2023. Математика

С А Н К Т П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т
Ш К О Л Ь Н Ы Е О Л И М П И А Д Ы С П б Г У 2 0 2 3
М
А Т Е М А Т И К А
У че б н о- ме т о д и чес к ое п ос о б ие
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О С А Н К Т
П Е Т Е Р Б У Р Г С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А

УДК 51
ББК 22.1
Ш673
С о с т а в и т е л и:
А. В. Антропов, Н. Ю. Власова,
М. В. Гончарова, А. В. Дементьев, Т. О. Евдокимова,
Г. М. Каратаева, К. П. Кохась, А. А. Родионова,
А. Г. Савельева, К. А. Сухов, А. И. Храбров
Ш673
Школьные олимпиады СПбГУ 2023. Математика: учеб.-метод. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2024. — 160 с.
ISBN 978-5-288-06395-4
В пособии представлены примеры заданий отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2022/2023 учебный год. Все задачи сопровождаются подробными решениями; также даются общие методические
указания с разбором типичных ошибок участников.
Издание предназначено для подготовки к участию в Олимпиадах школьников СПбГУ.
УДК 51
ББК 22.1
c
⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2024
ISBN 978-5-288-06395-4

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
История Олимпиады школьников СПбГУ
по математике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Порядок проведения Олимпиады .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Условия задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Общие методические указания
и типичные ошибки участников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Литература, рекомендуемая для подготовки
к Олимпиаде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

ПРЕДИСЛОВИЕ
Олимпиада
по
математике
для
школьников,
которую
Санкт-Петербургский государственный университет проводит
ежегодно вот уже более 30 лет, дает возможность участникам
проверить и оценить свои знания и силы. Задания Олимпиады, хотя и являются нестандартными, основаны на школьной
программе, поэтому их интересно решать учащимся с разным
уровнем подготовки — неудивительно, что каждый год в Олимпиаде принимают участие тысячи ребят из разных регионов.
В настоящий сборник вошли задачи отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2022/2023 учебный год. В разделы с условиями и решениями заданий отборочного этапа включены отдельные, наиболее интересные, по мнению составителей, задачи этого этапа. Они разбиты на группы в соответствии с тем количеством
баллов, которое дается за решение задачи, — чем сложнее задача, тем больше баллов. Что касается заключительного этапа, то в соответствующих разделах для него приведен полный
набор вариантов. Все задачи, представленные в сборнике, сопровождаются ответами и подробными решениями; для некоторых задач приводятся два или три способа решения. Кроме
того, даются общие методические указания и разбор типичных ошибок, которые были обнаружены в работах участников
Олимпиады.
Олимпиада школьников СПбГУ по математике вот уже который год подряд получает первый — самый высокий — уровень в перечне олимпиад школьников, утверждаемом Министерством науки и высшего образования РФ. Это дает возможность победителям и призерам заключительного этапа Олимпиады претендовать на получение особых прав при поступлении в высшие учебные заведения.
Данное издание предназначено для подготовки к участию
в олимпиадах школьников по математике и может быть полезно как учащимся, так и преподавателям, а также студентам
младших курсов.
5

ИСТОРИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ СПбГУ
ПО МАТЕМАТИКЕ
На протяжении всего времени своего существования СанктПетербургский (Ленинградский) государственный университет
традиционно уделял большое внимание привлечению в Университет способной молодежи. Особую роль в этом играла работа со школьниками. По инициативе профессора Г. М. Фихтенгольца при ЛГУ был создан первый школьный математический кружок. В 1934 году Ленинградский университет провел
первую в стране математическую олимпиаду, оргкомитет которой возглавил ряд крупных ученых: Б. Н. Делоне, Г. М. Фихтенгольц, В. А. Тартаковский, В. И. Смирнов.
Первая олимпиада по математике Ленинградского государственного университета для учащихся выпускных классов
состоялась весной 1990 года. В ней приняли участие около
200 учащихся, в основном из ведущих физико-математических
школ города. В определенной степени эта олимпиада была
и профориентационным мероприятием, но основная ее цель
была в другом. Дело в том, что с конца 1970-х годов городская олимпиада школьников по математике стала по сути дела спортивным соревнованием. Для успешного выступления на
ней была необходима специальная тренировка в решении задач
по тематике, слабо связанной с материалом, который изучается
в школе (даже в физико-математической). Задачи же олимпиады выпускников были не «олимпиадными» и не школьными,
а «почти школьными», поэтому эта олимпиада начала привлекать учащихся обычных школ — ведь в ней интересно было
участвовать всем тем, кто хорошо знал и понимал школьную
математику, а также умел логически рассуждать. Со временем
олимпиада завоевала авторитет среди школьников, и успешное
6

выступление на ней стало приравниваться к высшему баллу на
вступительном экзамене по математике в Университет.
С 1998 года олимпиада получила статус региональной и стала проводиться не только в Санкт-Петербурге, но и в других
городах России. С 2004 года олимпиада получила название
«Олимпиада Санкт-Петербургского государственного университета по математике», а с 2009 года — «Олимпиада школьников Санкт-Петербургского государственного университета по
математике». В этот период активно участвовать в олимпиаде стали ученики не только выпускных, но и средних классов
(с 6-го по 10-й). С 2011 года отборочный этап Олимпиады стал
проводиться как в очной, так и в заочной форме — через Интернет. Тем самым обеспечивается широкая география Олимпиады: например, в 2022/2023 учебном году в отборочном этапе приняли участие почти 11 000 школьников практически из
всех субъектов Российской Федерации, а также из девятнадцати государств ближнего и дальнего зарубежья; около 500
из них участвовало в заключительном этапе. Победителями
и призерами заключительного этапа Олимпиады стали ребята из 26 субъектов РФ, а также из Республики Беларусь.
Организацией Олимпиады долгие годы руководил членкорреспондент РАН, профессор Г. А. Леонов, который привлек
к этой работе профессиональных математиков, представителей научно-технической сферы и практикующих педагогов-математиков. В результате, несмотря на высокий уровень заданий Олимпиады, большинство задач, предлагаемых участникам, оказывается полезным для них и с методической точки
зрения. Кроме того, в заданиях Олимпиады регулярно встречаются задачи, которые появились непосредственно в ходе научных исследований.
Жюри Олимпиады с самого начала ее проведения возглавляли известные специалисты по преподаванию математики —
среди них профессор О. А. Иванов и профессор Ю. В. Чурин.
Председателем Методической комиссии Олимпиады в настоящее время является профессор Н. А. Широков.

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАДЫ
В 2022/2023 учебном году Олимпиада школьников СПбГУ
по математике проходила в заочной форме через Интернет
в два этапа — отборочный и заключительный. Отборочный
этап проводился в октябре — январе; при этом каждый участник мог выбирать удобное для себя время для того, чтобы приступить к выполнению заданий Олимпиады. Итоги отборочного этапа были опубликованы в конце января. Победители и призеры отборочного этапа приглашались к участию в заключительном этапе, который проводился в феврале в заранее объявленную дату. Также в заключительном этапе могли участвовать без прохождения отборочного этапа победители и призеры заключительного этапа Олимпиады прошлого года при
условии, что они еще продолжают обучение в школе. Окончательные итоги Олимпиады были подведены в начале апреля.
Как на отборочном, так и на заключительном этапе использовались разные наборы задач для учащихся 6–7-х, 8–9-х
и 10–11-х классов.
Вариант отборочного этапа состоял из задач разного типа,
которые располагались в порядке возрастания сложности; при
этом задание для каждого участника формировалось автоматически системой проведения Олимпиады через Интернет. Для
участников 6–7-х классов варианты состояли из трех задач, которые оценивались в 15, 35 и 50 баллов: в первой задаче достаточно было дать только ответ, а в двух других требовалось
также привести полное решение. В варианты, предлагавшиеся
участникам 8–9-х и 10–11-х классов, входило по четыре задачи,
которые оценивались в 10, 20, 30 и 40 баллов. Первая задача
для участников 8–9-х классов была тестовой — в ней нужно было выбрать правильные варианты ответа из предложенных; во
8

второй задаче требовалось дать свой ответ, решение приводить
было не нужно; в третьей и четвертой задачах участник должен был представить полные решения. В первой и во второй
задачах для участников 10–11-х классов нужно было дать свой
ответ, решение приводить не требовалось; в остальных задачах
участник должен был представить полные решения. Для всех
участников на решение варианта отборочного этапа отводилось
90 минут. Перед тем, как приступить к выполнению заданий
отборочного этапа, участники имели возможность прорешать
для тренировки демонстрационные варианты, которые были
составлены из заданий отборочного этапа Олимпиады прошлого года.
Вариант заключительного этапа состоял из задач различной тематики, каждая из которых оценивалась одинаковым количеством баллов. При этом вариант для участников из 6–7-х
и 10–11-х классов состоял из пяти задач, а для участников из
8–9-х классов — из шести задач. На решение варианта для всех
участников отводилось 230 минут.
Как в отборочном этапе, так и в заключительном допускалось только однократное участие. Подробнее о порядке проведения Олимпиады можно посмотреть в Регламенте Олимпиады школьников СПбГУ на официальном сайте. Кроме того,
там же публикуются и актуальные критерии оценивания олимпиадных заданий.
Сайт Олимпиады школьников СПбГУ:
https://olympiada.spbu.ru
Интернет-страница
Олимпиады школьников СПбГУ по математике:
https://olympiada.spbu.ru/predmety/2-uncategorised/4matematika

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
Отборочный этап
6–7-й классы
1. Если срубить все деревья на одном гектаре леса, то можно изготовить 100 кубометров досок. Считая, что все деревья
в лесу одинаковые, расположены равномерно и что из каждого дерева можно получить 0, 4 м3 досок, определите площадь
в квадратных метрах, на которой произрастает одно дерево.
В ответе запишите целую часть полученного числа. (Целой частью числа называется наибольшее целое, не превосходящее
данного числа.) (15 баллов.)
2. Ведьма Гингема заколдовала настенные часы так, что минутная стрелка движется в правильном направлении 5 минут,
потом 3 минуты в противоположном направлении, потом снова 5 минут в правильном и так далее. Сколько минут покажет стрелка через 2022 минуты после того, как она указывала
ровно на 12 часов перед началом пятиминутного промежутка
правильного хода? (15 баллов.)
3. В стране имеются 4 южных города и 5 северных. Транспортное сообщение связывает каждый южный город с каждым северным городом в обоих направлениях; между другими парами
городов транспортного сообщения нет. Билет в одну сторону из
любого города A в любой город B стоит N рублей. Билет по тарифу «туда и обратно» по маршруту A →B →A стоит 1, 6N
рублей. Путешественник стартует из южного города, собирается объехать все южные города и вернуться в точку старта.
10