Астрономический журнал, 2024, № 1

Российская академия наук 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ 
ЖУРНАЛ
Том 101 № 1 2024 Январь
Основан в январе 1924 г.
Выходит 12 раз в год 
ISSN: 0004-6299
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор 
Д. В. Бисикало
Редакционная коллегия:
Г. С. Бисноватый-Коган,  Д.З. Вибе  (ответственный секретарь), 
Р. Д. Дагкесаманский, А.Г. Косовичев, А.В. Тутуков, 
А.М. Черепащук (заместитель главного редактора)
Зав. редакцией В.Р. Соколова
E-mail: astrojourn@pran.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© 
Российская академия наук, 2024
©  
Редколлегия “Астрономического журнала” 
(составитель),  2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 101, номер 1, 2024
Изображение черной дыры, освещенной параболическим экраном
Е. В. Михеева, С. В. Репин, В. Н. Лукаш 
2
Изменения орбитальных периодов затменно-двойных систем RW Cap, BG Peg и CU Peg
А. И. Халиуллина 
12
Моделирование магнитосферы экзопланеты HAT-P-11b
Е. С. Беленькая,  
И. И. Алексеев, В. В. Калегаев 
25
МГД-моделирование эволюции молекулярных волокон
И. М. Султанов,  С. А. Хайбрахманов 
34
Яркость фона неба Кавказской горной обсерватории МГУ в ближнем инфракрасном диапазоне
А. М. Татарников,  С. Г. Желтоухов,  Г. Э. Никишев,  А. Н. Тарасенков,  А. В. Шаронова 
42
Правило Гневышева-Оля: современный статус
Ю. А. Наговицын,  А. А. Осипова,  В. Г. Иванов 
56
 

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2024, том 101, № 1, с. 2–11
 
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ, ОСВЕЩЕННОЙ 
ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ЭКРАНОМ
© 2024 г. Е. В. Михеева1,*, С. В. Репин1,**, В. Н. Лукаш1,***
1 Астрокосмический центр Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия
*E-mail: helen@asc.rssi.ru
** E-mail: sergerepin1@gmail.com
***E-mail: lukash@asc.rssi.ru
Поступила в редакцию 19.07.2023 г.
После доработки 01.12.2023 г.
Принята в печать 27.12.2023 г.
Предложена модель поверхности, освещающей черную дыру (“параболический экран”), которая позволяет естественным способом избежать появления краевых эффектов, связанных с фотонами, движущимися вдоль плоскости освещающего черную дыру экрана. Распределение температуры вдоль радиуса 
соответствует распределению для релятивистского диска (диска Новикова-Торна). Показано, что 
структура формирующейся тени черной дыры существенно отличается от случая, когда источником 
фотонов является удаленный экран, поскольку в рассмотренной модели фотоны, подвергшиеся сильному 
гравитационному линзированию черной дыры, излучаются “обратной” стороной экрана, которая в 
отсутствие черной дыры не была бы видна. В приближении тонкого экрана построены изображения 
тени Шварцшильдовской черной дыры в случаях, когда угол между осью симметрии освещающего 
экрана и направлением на наблюдателя составляет 5q, 30q, 60q и 80q. Для Керровской черной дыры 
изображения приведены для углов 60q и 80q.
Ключевые слова: черные дыры
DOI: 10.31857/S0004629924010012  EDN: LGETWU
1. ВВЕДЕНИЕ
Зависимость изображения (и возможность его 
восстановления) тени ЧД от многих параметров 
подогревает интерес к моделированию теней, в котором количество таких параметров минимизировано, с целью выявить влияние на изображение 
ограниченного числа величин. Главными факторами, влияющими на вид тени ЧД, являются сильное гравитационное линзирование фотонов в поле 
ЧД и вид источника фотонов, подсвечивающих ЧД.
Ранее нами уже была рассмотрена задача о моделировании тени ЧД, в которой она освещается 
удаленным экраном, излучающим в полусферу [3]. 
Как было показано, в этом случае: 
• ЧД проявляет себя как гравитационная линза 
для прямых лучей, исходящих от экрана к наблюдателю, что приводит к формированию яркого кольцагало снаружи темной тени ЧД. 
• Внутри тени формируются более слабые фотонные кольца [4], образованные фотонами, обошедшими ЧД несколько раз. Яркость колец зависит 
от величины спина ЧД и наклона оси вращения ЧД 
к лучу зрения. 
Моделирование теней черных дыр (ЧД) — важная 
проблема современной астрофизики. Первоначально оно носило, главным образом, иллюстративный характер, позволяя делать предсказания Общей 
теории относительности более наглядными, но по 
мере развития наблюдательной базы исследовательский интерес сместился в сторону построения теней 
ЧД с учетом инструментальных ограничений — шумов, разрешения, частот наблюдения и пр. Параллельно шло развитие представлений о физических 
условиях в аккреционных дисках и джетах, подсвечивающих ЧД.
Многочисленные факторы делают задачу построения и восстановления изображения тени ЧД довольно сложной, в результате чего к настоящему 
моменту имеются восстановленные (на основе наблюдательных данных) изображения только двух 
ЧД — M87* [1] и SgrA* [2]. Этот короткий список 
планируется дополнить за счет активных сверхмассивных ЧД с большими угловыми размерами, наблюдения которых будут проводиться на более высоких частотах ( 350 ГГц) и при бо
 льших проекциях 
баз, причем последнее условие будет достигнуто 
выводом телескопа за пределы Земли.
В данной работе, логически продолжающей [3], 
в качестве источника фотонов рассмотрен экран, 
2

 
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ, ОСВЕЩЕННОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ЭКРАНОМ  
3
 
2
1
=
1
,
2
y
x
b
§
·

¨
¸
©
¹  
(2)
где b — параметр параболы, связанный с величиной 
ее “раскрытия”. Координаты x и y представлены в 
единицах 2r0 и записаны в виде x = R sin T и y = R cos T, 
где R  = r/2r0 — безразмерный радиус, r0 — радиальная 
координата внутреннего края экрана. Ось y на рис. 1 
совпадает с осью симметрии диска. Внутренний край 
экрана имеет координату x  = 1/2. Наличие щели 
между световой поверхностью (light surface) ЧД и 
экраном, 
 
0
2 ,
ls
r
r
t
 
(3)
где rls = 3rS /2 — минимальный радиус круговой орбиты для фотонов, позволяет фотонам обращаться 
вокруг ЧД. Фотоны, прошедшие внутрь световой 
поверхности, падают на ЧД и не могут развернуться 
к наблюдателю (темный круг на рис. 1). Область 
между ЧД и экраном полностью прозрачна1.
Поскольку координаты экрана состоят только из 
переменных метрики 2-сферы ЧД (см. ур-е (1)), 
форма экрана (огибающая зоны, закрашенной 
светло-серым на рис. 1) может быть параметризована 
следующим образом: 
 
(4)
 
1
cos
,
sin
2
,
2
R
B
b R
b B
b
§
·
E  

E  r


¨
¸
©
¹
являющийся моделью аккреционного диска, но отличающийся некоторыми упрощающими задачу 
построения тени положениями. Плоскость симметрии экрана лежит в экваториальной плоскости 
ЧД. Он является безмассовым, не обладает собственным вращением; огибающая вертикального 
сечения экрана может быть описана параболой, сам 
экран является оптически толстым, а излучаемые 
фотоны характеризуются температурой, которая 
зависит от радиальной координаты r, что приводит 
к новым свойствам изображений ЧД. Как и в [3], 
для построения фотонных траекторий была численно решена система из шести обыкновенных дифференциальных уравнений (см. также [5] и ссылки 
там же). Отметим, что использованный метод вычисления сингулярных интегралов для численного 
интегрирования уравнений геодезических был предложен ранее в работах [6, 7].
По постановке задачи данная работа сходна с пионерской работой [8], где также была рассмотрена 
задача о виде тени Шварцшильдовской черной дыры, 
освещенной тонким диском. За прошедшие годы в 
области построения теней черных дыр — не только 
с метрикой Шварцшильда, но и в более общих случаях — были получены новые результаты (см. обзор 
[9] и ссылки там же). Современные вычислительные 
возможности позволяют прослеживать сложные траектории фотонов [10] и, таким образом, моделировать 
детальные изображения теней и строить карты относительных интенсивностей разных участков изображений для последующего использования карт в определении масс и спинов черных дыр.
2.  
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЭКРАН
В предположении безмассового экрана метрика 
пространства-времени вокруг ЧД имеет вид: 
где 
=
(
, )
2
2 2
S
S S
E
 T  
, 
2
2
=
B
R
b
b


. В искривленном пространстве-времени ЧД эти уравнения связывают угловую координату любой точки 
профиля экрана над центральной проскостью диска 
с радиусом кривизны в данной точке, r, с параметром толщины диска b, т.е. E = E(R, b) При этом 
координаты декартовой системы отсчета (x, y), связанной с ЧД, могут использоваться как координаты 
радиуса-вектора 
=( , )
R
x y
G
 с x = R cos E и y = R sin E, 
для которых выполняются соотношения 
2
2
2
2
2
2
2
sin
,
 


T 
T M
 


2
2
=
R
x
y

, B = x + b и др.
1
,
S
{

 
(1)
dr
ds
K dt
r
d
d
K
r
K
r
3.  
ВЛИЯНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЭКРАНА 
НА СТРУКТУРУ ТЕНИ ЧД
Построенная модель позволяет увидеть, какие 
части экрана ответственны за яркость разных 
участков изображения ЧД в зависимости от величины параметра толщины b и распределения температуры экрана T(R).
1  
Данное предположение носит модельный характер и может 
не выполняться в зависимости от физических условий 
вблизи черной дыры (структуры аккреционных потоков), 
см. дискуссию в [9].
где r — радиус кривизны 2-сферы с координатами 
(0, )
T 
S , M, rS — радиус Шварцшильда, T = S/2 — 
плоскость симметрии экрана.
Рассмотрим в качестве источника фотонов поверхность осесимметричного тороподобного облака, 
которое в вертикальном разрезе имеет форму параболы (рис. 1). Такая форма излучательной поверхности позволяет естественным образом отсечь фотоны, рождающиеся на больших значениях радиуса. 
Между координатами x и y, характеризующими 
положение точки на параболе, существует связь: 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ТОМ 101 № 1 2024

МИХЕЕВА и др.
y[2r0]
x[2r0]
1
β
2
3
Рис. 1. Схема излучающего экрана в окрестности ЧД. ЧД расположена в начале координат, темно-серая зона соответствует области пространства, ограниченной орбитами фотонов на минимальной устойчивой орбите для случая 
Шварцшильдовской черной дыры. Светло-серая область соответствует внутренней области экрана. На этом рисунке 
rls = r0 /2, Rls = 1/4, b = 1/2.
Максимальный угол экрана над плоскостью y = 0 
(рис. 1) растет с ростом параметра толщины, 
0
|
|
arctg
.
b
E d E
{
 Его величина является решением 
уравнения 
 
= 0,
R
wE
w
 
(5)
имеющим вид 
с ЧД — это свойство самого экрана1. О наличии ЧД 
можно судить только по внутренним кольцам изображения, образованным фотонами, обходящими 
ЧД по световой сфере один и более раз с соответствующим уменьшением радиуса и яркости колец. 
В этом смысле, как и в работах [10, 9], мы различаем 
“истинное” изображение черной дыры и ее более 
протяженную тень.
x
1,
 
y
b
,
 
 E
 
(6)
 
0
R
b
1
1
=
.
cos
 

E
0
Изображения ЧД, помещенных в относительно 
“толстые” диски c 
0
2
=
/
ls
ls
b
l
R
r
r
t

, формируются из фотонов с края экрана (x  d 1). В построении 
изображений ЧД с “тонкими” дисками с  
<
1/2
b
l d
 
участвуют все фотоны экрана с x  d 2l 2/b. Дополнительные фотоны диска усиливают яркость внутренних колец: фотоны сначала двигаются вдоль 
радиуса (M const при x  ! 1), а затем поворачивают 
к наблюдателю вдоль световой сферы ЧД (где M может изменяться при x   1). Максимальный радиус 
области собирания фотонов изображения с поверхности экрана обратно пропорционален толщине 
тонкого диска2: 
2 ЧД внутри тени там могло и не быть. Гравитационное поле 
ЧД не может существенно изменить яркость гало и границу 
тени: лучи гало приходят из открытой части экрана к наблюдателю независимо от ЧД, все остальные фотоны, проходящие через сильное гравитационное поле, поворачиваясь 
вокруг ЧД, не могут попасть к наблюдателю в качестве лучей 
гало в силу формы параболического экрана.
<?> Пусть D = E – arcsin (l/R) — это угол относительно центральной плоскости диска импульса фотона в точке его излучения и приходящего к наблюдателю через щель r  (rls, r0). 
Максимальный радиус экрана, фотоны которого образуют 
В дальнейшем часть экрана с | x | d 1 будем называть краем экрана, а остальную его часть с | x | ! 1 — 
собственно экраном. Сам экран по радиальному 
компоненту мы будем считать протяженным.
Следует различать собственно изображение ЧД, 
образованное фотонами, подвергшимися сильному 
гравитационному линзированию поля ЧД, и изображение диска, образованное фотонами, пришедшими “напрямую”, т.е. теми, для которых эффект 
гравитационного линзирования был слабым. Изображение последних мы будем называть “гало”. 
Таким образом, граница тени и (внешнего по отношению к тени) гало формируется фотонами прямого 
излучения края диска, незначительно линзироваными ЧД в силу малых отклонений траекторий лучей, идущих от открытой части экрана к наблюдателю. В этом смысле наличие темной области в 
центральной части экрана, которое по внешним 
признакам тоже можно назвать “тенью”, не связано 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 101 № 1 2024

 
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ, ОСВЕЩЕННОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ЭКРАНОМ  
5
5.0
6
4.5 
4.0
4
3.5 
5
2
3.0
0
2.5 
0
2.0
−2
1.5 
0
0 2 4 6
5
−4
−2
1.0
−5
−6 −4
0.5 
−6
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
5.0
5.0
−2.0 
6
4.5 
4.5 
−2.2 
4.0
4.0
4
−2.4 
3.5 
3.5 
−2.6 
2
3.0
3.0
−2.8 
2.5 
0
−3.0 
2.5 
2.0
−3.2 
2.0
−2
1.5 
−3.4 
1.5 
−4
1.0
−3.6 
0.5 
−6
1.0
−3.8 
0
0.5
2
0
−2
0
2
4
6
−6
−4
Рис. 2. Тень Шварцшильдовской черной дыры. Угол между осью симметрии экрана и направлением на наблюдателя 
составляет 5q. Детали (см. текст).
 
2
2
=
=
1,
= 2
1.
l
x
R
y
l
b
d

более яркий внешний круг главного фотонного кольца изображения, находится как корень уравнений
2
1
= 0 :
=
,
2
1
wD

w


 
 
(7)
2
2
=
,
=
,


x
aB
R
x
B
c
l
a
c
b
b
l
b
2
1
=
,



1
2
x
x
x
x
x
c x
b

§
·


¨
¸

©
¹
 
 
(8)


x
a
a
a
=
1
1
=


r
2
2
1,2
2
2


.


r
 
b
l
b
l
l
b
1
|
|
1
.
1
При a < 1: 
1
2
R
y
x
x
a
x
b
b







 При a > 1: 
2
1
2
x
x
R
a



, 
2
1
2
x 
, |
|
2
y
l

. Второе решение (
2
x
x

) 
относится к фотонам края экрана, образующим более слабый 
внутренний круг главного фотонного кольца изображения.
Все внутренние кольца изображения фокусируются вблизи световой сферы ЧД, их общая площадь 
меньше площади гало. С уменьшением толщины 
экрана светимость внутренних колец растет относительно внешнего гало: фотоны колец приходят со 
всего диска и линзируются в сильном неоднородном 
гравитационном поле, тогда как во внутреннюю 
часть гало попадают только прямые фотоны открытого края диска.
Отдельно следует сказать о главном (первом) 
фотонном кольце внутри тени: его яркость может 
превышать все остальные кольца ЧД, включая и 
гало. Лучи главного внутреннего кольца приходят 
к наблюдателю с обратной стороны диска, поворачиваясь при этом на угол ~S/2. В пределе плоского 
диска (b o 0) образующие фотоны для внутренних 
колец тени собираются со всего экрана. При этом 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ТОМ 101 № 1 2024

МИХЕЕВА и др.
5.0
6
4.5 
4.0
4
3.5 
2
5
3.0
0
2.5 
0
−2
2.0
1.5 
−4
0
0 2 4 6
5
−2
1.0
−5
−6 −4
−6
0.5 
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
−1.8 
5.0
5.0
6
−2.0 
4.5 
4.5 
−2.2 
4.0
4
4.0
3.5 
−2.4 
3.5 
2
3.0
−2.6 
3.0
0
2.5 
2.5 
−2.8 
2.0
−2
2.0
−3.0 
1.5 
1.5 
−3.2 
−4
1.0
1.0
−3.4 
−6
0.5 
0.5 
−3.6 
0
0
−2
0
2
4
6
−6
−4
2
Рис. 3. Тень Шварцшильдовской черной дыры. Угол между осью симметрии экрана и направлением на наблюдателя 
составляет 30q.
угол поворота лучей для первого кольца ограничен, 
что и приводит к усилению его яркости относительно других колец изображения. Этот эффект 
усиления яркости может быть использован для проверки геометрических моделей дисковой аккреции 
в сильном гравитационном поле. На первом шаге 
мы проверим его в численной модели изображений 
ЧД в пределе тонкого диска. Далее мы перейдем 
к изображениям керровской ЧД с осью вращения, 
перпендикулярной к плоскости диска, для разных 
значений угла между спином ЧД и лучом зрения.
4.  
ПРИБЛИЖЕНИЕ ТОНКОГО ЭКРАНА
В приближении b o 0 параболический экран вырождается в плоский. Как и ранее в [3], при решении 
задачи о построении геодезических предполагается, 
что каждая точка поверхности экрана излучает фотоны в полусферу. Следуя ранее разработанной методологии, были построены изображения теней, 
приведенные на рис. 2–5. 
Для построения каждого изображения ЧД было 
построено 4 миллиона траекторий фотонов. При 
расчете предполагалось, что экран не вращается, а 
фотоны не испытывают гравитационного красного 
смещения, и было принято, что излучаемые экраном 
фотоны имеют температуру, чья зависимость от 
радиуса совпадает с аналогичной зависимостью для 
релятивистского диска (диска Новикова–Торна 
[11]). Излучательная способность обеих сторон 
экрана идентична. Некоторые неоднородности цвета 
на рисунках обусловлены численными эффектами 
и особенностями стандартных графических программ, использованных для построения изображений.
Каждый из рис. 2–5 состоит из четырех панелей. 
Сверху слева дано схематическое изображение тени: 
если из пикселя приходит хотя бы один фотон, пиксель окрашен в голубой цвет, если фотонов нет — 
в синий. Слева снизу показана относительная интенсивность излучения от разных участков тени ЧД 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 101 № 1 2024