Акустический журнал, 2024, № 3

Российская академия наук
АКУСТИЧЕСКИЙ 

ЖУРНАЛ
Том 70     № 3     2024     Май–Июнь
Журнал основан в январе 1955 г.
Выходит 6 раз в год 

ISSN: 0320-7919
Журнал издается под руководством 

Отделения физических наук РАН
Главный редактор
И.Б. Есипов
Редакционная коллегия:
Ю.И. Бобровницкий (зам. главного редактора), 

М.Л. Лямшев (отв. секретарь),
С.В. Егерев, В.Ю. Зайцев, А.А. Карабутов, 
Т.К. Козубская, В.Ф. Копьев, А.И. Коробов, 

А.И. Малеханов, М.А. Миронов,
В.Г. Петников, Е.В. Чарная
Редакционный совет:
Ю.В. Гуляев, С.Н. Гурбатов, С.А. Никитов, 

Л.А. Островский, О.В. Руденко, А.П. Сарвазян,
Б.Н. Четверушкин
Зав. редакцией В.А. Гусев
Научн. редакторы В.А. Гусев, А.М. Романовская
Адрес редакции: 119991 Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ
 
Тел.: (495) 939-29-18; E-mail: acoust-journal@physics.msu.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия “Акустического журнала” 
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 70, номер 3, 2024
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ  
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
Особенности распространения изгибной волны в разрезном стержне
А. А. Агафонов, М. Ю. Изосимова, Р. А. Жостков, А. И. Кокшайский, А. И. Коробов, Н. И. Одина	
3
Интерференция эхосигналов от сферических рассеивателей, находящихся вблизи дна
Н. С. Григорьева, Ф. Ф. Легуша, К. С. Сафронов	
13
Теоретическое и экспериментальное исследование дифракции на тонком конусе
А. Ю. Лаптев, А. И. Корольков, А. В. Шанин	
22
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
Тепловая абляция биоткани при однократном ударно-волновом воздействии  
на дискретные фокусы внутри задаваемого объема
П. А. Пестова, П. В. Юлдашев, В. А. Хохлова, М. М. Карзова	
33
Об эволюции системы ударных волн, создаваемых лопатками вентилятора двигателя
М. А. Юдин, В. Ф. Копьев, С. А. Чернышев, Г. А. Фараносов, М. А. Демьянов, О. П. Бычков	
47
ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
Исследование пространственного распределения деформаций в кварцевых пьезоэлементах  
методом рентгеновской топографии
Э. С. Ибрагимов, Ф. С. Пиляк, А. Г. Куликов, Н. В. Марченков, Ю. В. Писаревский, А. А. Калоян,  
Ю. А. Першин, Ю. А. Глазунова, С. А. Демин, А. С. Южалкин, С. С. Пашков, Г. Н. Черпухина	
58
АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
Голографический метод локализации шумового подводного источника в мелком море
М. Ю. Глущенко, В. М. Кузькин, Ю. В. Матвиенко, С. А. Пересёлков, Ю. А. Хворостов, С. А. Ткаченко	
67
Инвариант Чупрова для векторно-скалярных полей мультипольных источников в мелком море
Г. Н. Кузнецов, А. Н. Степанов	
78
Количественная оценка эффективности адаптивных алгоритмов  
пространственной обработки при поиске малошумного  
подводного аппарата в условиях интенсивного судоходства
А. И. Машошин, В. С. Мельканович	
91
О точности оценок расстояния по времени распространения  
звуковых сигналов на арктическом шельфе
Ю. В. Назаренко, Д. Д. Сидоров, В. Г. Петников, С. В. Писарев, А. А. Луньков	
101

АТМОСФЕРНАЯ И АЭРОАКУСТИКА
Анализ аэроакустических характеристик расчетной сверхзвуковой струи  
на основе данных численного моделирования
О. П. Бычков, И. Ю. Миронюк, И. А. Солнцев, Г. А. Фараносов, М. А. Юдин	
110
Особенности распространения в атмосфере нелинейных акустических возмущений  
от импульсных источников
С. И. Косяков, С. Н. Куличков, А. А. Мишенин, Е. В. Голикова	
125
АКУСТИЧЕСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ШУМЫ И ВИБРАЦИИ
Оптимизация диссипативных глушителей шума
А. И. Комкин, А. И. Быков, Л. С. Карнаухова	
140
АКУСТИКА ЖИВЫХ СИСТЕМ. БИОМЕДИЦИНСКАЯ АКУСТИКА
Распознавание и классификация дельфинами (tursiops truncatus)  
шумовых сигналов в условиях шумовой помехи и пространственной  
неопределенности их одновременного предъявления
А. В. Ахи	
151
Распознавание психоневрологического состояния детей  
с расстройствами аутистического спектра по речевым сигналам:  
акустические и перцептивные характеристики
А. С. Николаев	
161

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,  2024, том 70, № 3,  с.  3–12
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ 
И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ  
В РАЗРЕЗНОМ СТЕРЖНЕ
© 2024 г. А. А. Агафоновa, М. Ю. Изосимоваа, Р. А. Жостковb,  
А. И. Кокшайскийа, А. И. Коробова, *, Н. И. Одинаа
aМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет,  
Ленинские горы, Москва, 119991 Россия
bИнститут физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, Грузинская ул. 10, стр. 1,  
Москва, 123995 Россия
*е-mail: aikor42@mail.ru
Поступила в редакцию 07.12.2023 г.
После доработки 07.12.2023
Принята к публикации 24.04.2024 г.
Представлены результаты численного моделирования и экспериментальных исследований распространения изгибных упругих волн в металлическом разрезном стержне прямоугольного  
сечения, реализующем приближенно эффект акустической черной дыры. Образец представляет собой 
стержень с прорезями, глубина которых увеличивается по степенному закону с показателем степени 
4/3. Экспериментально и на основании результатов численного моделирования подтверждено, что 
такие стержни замедляют скорость распространения упругой волны к торцу стержня. Показано, что 
изгибные волны в таких структурах обладают дисперсией и их амплитуда у торца стержня для некоторых собственных частот выше, чем у цельного стержня. Проведено сравнение форм собственных 
колебаний целого и разрезного стержней, а также распределения амплитуды изгибной волны вдоль 
стержней. Исследована зависимость длины изгибной волны от частоты по мере ее распространения 
к торцу разрезного стержня. 
Ключевые слова: изгибные волны в стержне, разрезной стержень, акустическая черная дыра, лазерная 
виброметрия, численное моделирование, эксперимент 
DOI: 10.31857/S0320791924030019   EDN: ZNMUGZ
1. ВВЕДЕНИЕ
представляющая собой пластину, толщина которой медленно меняется до нуля по степенному 
закону. Получен закон изменения (уменьшения) 
длины волны и увеличения амплитуды в данной 
структуре.
В обзорной статье [5] рассмотрены следующие 
типы АЧД: так называемая одномерная АЧД, представляющая собой пластину со степенным профилем; спиральная АЧД; стержень с вырезанными в 
нем дисками уменьшающегося диаметра [6]; двумерная АЧД [7]; АЧД в виде пластин с изменяющейся толщиной [8].
АЧД представляют интерес для структурной акустики и звукопоглощения, однако на практике реализованы только приближенно. Экспериментально распространение изгибной волны в образцах из 
различных материалов с профилем, изменяющимся по степенному закону, рассматривается в работах 
 
[8–11]. В этих работах наблюдался эффект замедления изгибной волны Лэмба и увеличения ее амплитуды по мере приближения к ребру клина.
Большой интерес исследователей в последнее 
время привлекают структуры, называемые «акустическими черными дырами» (АЧД) [1–3]. Основным свойством таких объектов является то, 
что вдоль некоторого направления (в зависимости 
от геометрии структуры) скорость упругих волн 
уменьшается до нуля, что должно приводить к бесконечному времени распространения волны на 
конечном участке в пространстве. Это приводит 
к отсутствию отраженной волны при распространении падающей волны вдоль этого направления. 
В АЧД такое уменьшение скорости волны связано с уменьшением локальной жесткости, которое 
обычно достигается с помощью модификации 
 
геометрии — например, при уменьшении толщины 
образца по степенному закону [4]. 
Одной из первых работ по теме АЧД стала основополагающая работа М.А. Миронова [1]. В этой работе рассматривается структура, 
3

АГАФОНОВ 
 и др.
автор [14] уточняет, что вопрос о количестве и 
расположении прорезей остается открытым.
Для разрезного стержня невозможно получить 
точное аналитическое решение, поэтому для получения распределения полей смещений необходимо прибегать либо к упрощению задачи, либо к 
численному моделированию. В статье [14] предлагается пользоваться обычным уравнением изгибных колебаний неоднородного вдоль оси стержня. 
В результате расчетов получена формула для локальной толщины стержня в месте разрезов: 
 
                
s x
H x
L
  


/
,
                       
(1)
 
 
     4
3,
                           
где s x
   – ширина зазора между противоположными прорезями, H — толщина стержня, L — длина отрезка стержня, в котором сделаны прорези, 
α — показатель степени.
Стержень начинает проявлять свойства АЧД 
при частотах выше критической:
 
                 
(2)



E
H
L
12
3
4
2 .
Здесь Е – модуль Юнга, а ρ — плотность материала 
стержня. 
Для такого типа АЧД экспериментальных работ и результатов моделирования выполнено 
недостаточно. В настоящей работе приводятся 
результаты численного моделирования и экспериментальных исследовании особенностей распространения изгибных упругих волн в стержне 
прямоугольного сечения с прорезями, глубина 
которых меняется по степенному закону (1), а 
расстояние между ними постепенно уменьшается, проводится сравнение с контрольным образцом без прорезей.
Модификация АЧД в виде стержня со специальным законом изменения поперечного сечения
рассмотрена в работах [12, 13]. Там же подробно 
раскрывается метод и критерии применимости 
ВКБ-приближения (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна) в задаче о поперечных колебаниях стержня. 
При использовании полученных точных решений 
в случае степенной зависимости ширины стержня 
и квадратичной зависимости толщины стержня от 
длины осуществлена модификация ВКБ-приближения для стержней с постоянной шириной и произвольно меняющейся толщиной. На основании 
этих решений получены выражения для матрицы 
входного импеданса стержня со специальным законом изменения поперечного сечения.
Исследования [5] показали, что структуры, которые играют роль акустических черных дыр, не 
требуют высокого качества изготовления, что делает их производство доступным. Отмечается [4], 
что эта область недостаточно исследована и требует более широкого раскрытия возможностей использования акустических черных дыр.
Альтернативой пластине или стержню со степенным профилем является разрезной стержень 
[14]. Он представляет собой стержень прямоугольного сечения, в котором перпендикулярно 
оси стержня сделаны прорези с увеличивающейся по степенному закону глубиной (рис. 1). Локальная жесткость такого стержня уменьшается 
с увеличением глубины прорезей. В частности, 
такая конструкция имеет преимущество в том, 
что не требует высокоточного изготовления торца 
стержня. Если сравнивать размеры двух аналогичных типов АЧД — стержня со степенным профилем и разрезного стержня одинаковой длины, то 
еще одно преимущество последнего заключается 
в понижении его критической частоты в 5 раз, 
по сравнению с более традиционной АЧД со степенным профилем. Масса соответствующего образца разрезного стержня при этом будет больше 
массы стержня со степенным профилем. Однако 
Рис. 1. Схема профиля разрезного стержня.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024

	
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНОМ СТЕРЖНЕ
5
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В работе исследовались два образца стержня с 
размерами 3.9×6.8×200 мм: контрольный образец 
без прорезей и образец с 28 прорезями. Расстояние от свободного торца стержня до центра соответствующей прорези задавалось выражением:
	
 
73
,
         
(3)
x
i
N L
i
N
L
i 


 









2
3
5
1
3
5
где i = {1, 2, …N}, N = 28 — количество прорезей, 
L — длина разрезанной части. Глубина менялась по 
степенному закону, исходя из (1):
 
Здесь формула s(x) искусственно ограничена минимальным значением толщины для предотвращения поломки образцов при их физическом воплощении. Общая длина стержня L0 = 200 мм, длина 
разрезанной части L = 90 мм, H = 6.8 мм, 
 
Z = 3.9 мм (ширина стержня) (рис. 1). 
Размеры образца выбраны исходя из рабочего диапазона частот (в настоящей работе от 10 до 
100 кГц) и набора условий:
(а) приближение тонкого стержня (длина должна быть в несколько раз больше поперечных размеров стержня, и в выбранном диапазоне частот для 
неразрезанной части должны проявляться только 
нулевые изгибные моды), 
(б) критическая частота АЧД согласно (2) должна 
соответствовать рабочему диапазону источника акустических волн (для стержня с данными размерами 
согласно (2) критическая частота равна 942 Гц), 
(в) размер части без прорезей должен позволить 
различить в выбранном диапазоне несколько длин 
волн. 
Ширина прорезей равна 0.75 мм (это минимальные размеры, которые реализуемы физически). Координата xi  считается от края стержня 
до середины прорези. Внутренняя часть прорезей 
имеет скругленный вид (d = 0.75 мм).
Упругие параметры материала образца соответствуют дюралюминию марки Д16: плотность 
2680 кг/м3, скорость распространения продольных 
волн 6400 м/с, поперечных — 3130 м/с. В качестве 
источников акустических волн рассматривались 
пьезокерамические элементы с продольной поляризацией (рис. 2а), закрепленные у торца стержня 
в неразрезанной области на противоположных поверхностях стержня и работающих в противофазе: 
плотность 4700 кг/м3, скорость распространения 
продольных волн 6562 м/с, поперечных — 3582 м/с. 
Численное моделирование возможных колебательных процессов в модели акустической черной 
дыры выполнено методом конечных элементов 
в программном пакете COMSOL Multiphysics 5.3 
(лицензия №9600341) с подключенным модулем 
«Структурная механика». Численное моделирование выполнялось c применением подхода определения собственных частот в трехмерной постановке без использования каких-либо симметрий, 
поскольку этот вариант позволяет выявить все возможные типы колебаний, которых в исследуемых 
образцах четыре: продольные моды, крутильные и 
две изгибные моды в разных проекциях.
Граничные условия модели соответствовали 
свободным внешним граням образца за исключением внешних границ пьезокерамических элементов, координаты которых были зафиксированы. 
Сетка конечных элементов (рис. 2б) строилась 
отдельно в двух областях: в ближней к пьезокерамическим элементам части образца, где отсутствовали прорези, использовалась структурированная 
сетка из элементов в форме прямоугольных параллелепипедов, а область с прорезями заполнялась 
элементами в форме треугольных призм. Размер 
(а)
200
(б)
Расстояние, мм
Расстояние, мм
100
150
50
y
z
x
y
z
0
x
Преобразователи
Рис. 2. (а) — Пример задаваемой геометрии образца и (б) — сетка конечных элементов.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024

АГАФОНОВ 
 и др.
Рис. 3. Примеры форм изгибных колебаний стержней в горизонтальной проекции: в контрольном образце на 
частоте (а) — 12.8, (б) — 22.7, (в) — 54.6, (г) — 99.9 кГц; и в разрезном стержне на частоте: (д) — 10.4, (е) — 21.8, 
(ж) — 52.9, (з) — 99.5 кГц.
6000
Продольная мода
Изгибная мода  ( плоскость ZOX)
4000
Крутильные моды
Изгибная мода ( плоскость YOX)
Изгибная мод в плоскости YOX (эксперимент)
Скорость, м/с
2000
0 0
40
80
120
Частота, кГц
Рис. 4. Дисперсионные кривые стержня без разрезов (погрешность экспериментально полученных 
данных меньше величины маркера и увеличивается 
от 2% до 9% при уменьшении скорости).
этих элементов был заведомо намного меньше 
длин исследуемых волн, поэтому определялся особенностями геометрии и составлял 0.05–0.1 высоты/ширины образца: 0.35–0.39 мм. Общее число 
элементов составляло около 400 000 (небольшое 
отклонение от этого числа вызывалось отличиями в структуре прорезей в образцах). Такой выбор сетки конечных элементов позволил получить 
точность оценки собственных частот до 50 Гц.
Решение задачи проводилось с помощью исследования на собственные частоты в диапазоне 
0−100 кГц. Для дальнейшего анализа использовались компоненты смещения частиц на прорезанной поверхности образца в зависимости от координаты и графическое изображение формы колебаний (например, рис. 3).
Как и следовало ожидать, распределение амплитуды колебаний вдоль контрольного стержня 
равномерно по всей его длине независимо от частоты, длина волны также не изменяется с расстоянием до торца стержня (рис. 3а–3г). На основании результатов моделирования для данного 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНОМ СТЕРЖНЕ 
7
Рис. 5. Распределение амплитуды изгибной моды в разрезном стержне.
исключением граничной моды на частоте 52.9 кГц, 
когда амплитуда возрастает в 10 раз. 
Рис. 6а отображает спектры собственных частот 
контрольного и разрезного стержней в диапазоне 
до 100 кГц. Спектр разрезного стержня более насыщен, чем спектр контрольного образца. Это объясняется тем, что по мере приближения изгибной 
волны к торцу разрезного стержня длина волны 
уменьшается (рис. 6б), и на участке с прорезями 
укладывается большее число длин волн для похожей частоты (см. рис. 3). 
Подобное уменьшение длины волны в разрезном стержне и ее стремление к фиксированному значению было предсказано в [14] и связано с 
постепенным уменьшением локальной жесткости 
стержня. Длина волны и соответственно скорость 
не достигают нуля на торце клина в силу того, что 
было принято решение ограничить минимальное 
значение толщины перемычки между прорезями 
значением 0.85 мм для возможности дальнейшей 
физической реализации подобного образца.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ 
ИССЛЕДОВАНИЯ
Для экспериментальных исследований из сплава Д16 были изготовлены два образца стержня с 
размерами 3.9×6.8×200 мм: контрольный без разрезов и с разрезами (рис. 7а).
Экспериментальные исследования проводились с использованием установки, разработанной 
стержня были рассчитаны дисперсионные кривые для всех мод в диапазоне частот от 100 Гц до 
100 кГц (рис. 4). 
Для разрезного стержня была построена серия распределений нормированной амплитуды 
смещения изгибной горизонтальной моды вдоль 
образца в зависимости от расстояния до свободного торца стержня с огибающими, повторяющими профиль разрезного стержня (рис. 5). С помощью преобразования Гильберта были рассчитаны 
функции, ортогональные исходным модам, и восстановлены формы огибающих для этих мод. По 
оси ординат отложены частоты, при этом ноль амплитуды колебаний моды соответствует значению 
ее собственной частоты. Амплитуды нормированы 
на начальное значение каждой кривой. Под осью 
абсцисс изображен профиль разрезного стержня.
После пересечения границы между неразрезанной и разрезанной частями стержня длина волны 
уменьшается по мере приближения к свободному концу, т.е. проявляется эффект АЧД. При этом 
форма ее огибающей повторяет профиль разрезного стержня. Кроме того, на частотах выше 52.9 кГц, 
когда полудлина волны ближе к торцу стержня 
сравнивается с расстоянием между прорезями, волна перестает достигать торца стержня. Необходимо 
отметить, что несмотря на то, что длина изгибной 
волны ведет себя похоже с длиной волны Лэмба 
в пластине с параболическим профилем [11], величина амплитуды возрастает незначительно, за 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024

АГАФОНОВ 
 и др.
Рис. 6. (а) — Собственные частоты изгибной моды, распространяющейся в разрезном и контрольном образцах. 
(б) — Зависимость длины изгибной волны в стержне от расстояния до свободного торца в диапазоне частот от 10 
до 100 кГц. Под графиком помещен профиль разрезного стержня, соответствующий координатам х графика.
С помощью лазерного сканирующего виброметра (PSV-300, Polytec) сканировалась поверхность стержня с разрезами, таким образом вертикальное смещение поверхности на визуализации 
(рис. 8), полученной с помощью лазерного виброметра во время эксперимента, соответствует 
изгибу стержней в горизонтальной плоскости на 
рис. 3. Сканирование проводилось только для некоторых частот, чтобы удостоверится в выполнении условия тонкого стержня в данном частотном 
диапазоне. В дальнейшем значения амплитуды 
колебательной скорости определялись в выбранных точках на центральной линии поверхности. 
Количество точек подбиралось таким образом, 
для исследования клина с параболическим профилем [11]. Образец удерживался специально 
разработанной крепежной системой за неразрезанный конец (рис. 7б). Два пьезоэлектрических 
преобразователя прикреплены к образцу с противоположных сторон. В четырех угловых точках 
струбцины обеспечивается жесткий прижим образца за счет винтового крепления. Преобразователи подпружинены мягким материалом и не участвуют в системе закрепления, но обеспечивают 
граничные условия. Внутренние площадки преобразователей сдвигаются в поршневом режиме в 
противофазе, возбуждая таким образом в образце 
изгибную волну. 
(а)
(б)
Рис. 7. (а) — Образцы стержней, (б) — крепление образца и преобразователей. 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024

	
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНОМ СТЕРЖНЕ
9
мкм/с
50
0
50
Рис. 8. Пример визуализации колебания поверхности разрезного стержня, полученной с помощью сканирующего 
виброметра.
(а)
1.5
Контрольный стержень
1.0
0.5
0.0
100
10
40
70
Частота, кГц
(б)
3
Разрезной стержень
2
Амплитуда, мкм/с
Амплитуда, мкм/с
1
0
10
40
70
100
Частота, кГц
Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика (а) — контрольного и (б) — разрезного стержней в диапазоне от  
10 до 100 кГц.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 3
2024