Акустический журнал, 2024, № 1

Российская академия наук
АКУСТИЧЕСКИЙ 
ЖУРНАЛ
Том 70     № 1     2024     Январь–Февраль
Журнал основан в январе 1955 г.
Выходит 6 раз в год 
ISSN: 0320-7919
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
И.Б. Есипов
Редакционная коллегия:
Ю.И. Бобровницкий (зам. главного редактора), 
М.Л. Лямшев (отв. секретарь),
С.В. Егерев, В.Ю. Зайцев, А.А. Карабутов, 
Т.К. Козубская, В.Ф. Копьев, А.И. Коробов, 
А.И. Малеханов, М.А. Миронов,
В.Г. Петников, Е.В. Чарная
Редакционный совет:
Ю.В. Гуляев, С.Н. Гурбатов, В.А. Зверев, С.А. Никитов, 
Л.А. Островский, О.В. Руденко, А.П. Сарвазян,
Б.Н. Четверушкин
Зав. редакцией В.А. Гусев
Научн. редакторы В.А. Гусев, А.М. Романовская
Адрес редакции: 119991 Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ
 
Тел.: (495) 939-29-18; E-mail: acoust-journal@physics.msu.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия “Акустического журнала” 
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 70, номер 1, 2024
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
Особенности рэлеевского рассеяния на частице, расположенной вблизи межфазной  
поверхности
А. О. Максимов 
3
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
Исследование влияния нелинейного режима работы сотовых ЗПК при высоких уровнях  
звукового давления на распространение звуковых волн в цилиндрическом канале с потоком
В. В. Башкатов, Н. Н. Остриков 
11
ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
Корреляционные измерения теплового акустического излучения решеткой датчиков
А. А. Аносов, Н. В. Грановский, Р. В. Беляев, А. В. Ерофеев, А. Г. Санин, А. Д. Мансфельд 
21
О скорости звука в многофазных системах
С. О. Гладков 
29
Низкочастотная сдвиговая упругость гомологического ряда нормальных углеводородов
Т. С. Дембелова, Д. Н. Макарова, Б. Б. Бадмаев 
35
О звукопоглощающем покрытии в виде слоя вязкой жидкости с пузырьками
Л. И. Казаков 
40
Использование головных волн для определения остаточных и температурных напряжений  
в рельсах
К. В. Курашкин, А. Г. Кириллов, А. В. Гончар 
49
Мониторинг внутренней температуры активных элементов мощных лазеров методом  
ультразвуковой локации
А. Д. Мансфельд, Р. В. Беляев, Г. П. Волков, А. А. Кузьмин, А. Г. Санин, А. А. Шайкин 
57
АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
Интерференционные инварианты в максимумах гидроакустического поля в глубоком море
С. П. Аксенов, Г. Н. Кузнецов 
65
АТМОСФЕРНАЯ И АЭРОАКУСТИКА
Оценка пульсаций давления в ближнем поле струи при наличии спутного потока  
на основе результатов термоанемометрических измерений
О. П. Бычков, Г. А. Фараносов 
77

ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.  
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование решения акустической обратной задачи рассеяния для трехмерной  
нестационарной среды
А. Б. Бакушинский, А. С. Леонов 
92
АКУСТИКА ЖИВЫХ СИСТЕМ. БИОМЕДИЦИНСКАЯ АКУСТИКА
Речь взрослых в разных эмоциональных состояниях: временные и спектральные  
характеристики
А. В. Куражова 
104
Распознавание личности по голосу на базе параметров спектральной модели  
голосового источника
И. С. Макаров, Д. С. Осипов 
113
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ
Моделирование ультразвуковых инструментов для раскроя сотовых панелей из алюминия  
и арамида (кевлара)
А. А. Вьюгинова, С. Н. Вьюгинов, А. А. Новик 
120
Анализ колебательного процесса внутри акустической интерференционной антенны  
с помощью метода реверберационной матрицы
А. О. Субботкин 
126

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,  2024, том 70, № 1,  с.  3–10
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ 
И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.2
ОСОБЕННОСТИ РЭЛЕЕВСКОГО РАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦЕ, 
РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
© 2024 г.   А. О. Максимов*
Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева ДВО РАН,  
ул. Балтийская 43, Владивосток, 690041 Россия
*е-mail: maksimov@poi.dvo.ru
Поступила в редакцию 14.04.2023 г.
После доработки 05.07.2023 г.
Принята к публикации 19.09.2023 г.
Выявлены особенности рэлеевского рассеяния на твердой частице, расположенной на малом по 
сравнению с длиной волны расстоянии от непроницаемой плоской границы. Выбор функции 
Грина в интегральном представлении уравнения Гельмгольца позволяет свести задачу к интегрированию только по поверхности частицы и исключить вклад межфазной поверхности. При 
разложении по малому волновому параметру используется известный подход, позволяющий 
представить решение данного порядка в виде суммы потенциальной функции и компоненты, 
выраженной через приближения низших порядков. Найдена потенциальная составляющая, которая выражается через пространственные иррегулярные гармоники, центрированные на частице и ее зеркальном изображении. Определена колебательная скорость центра частицы и амплитуда рассеяния. В низшем порядке по волновому числу амплитуда рассеяния выражается через 
монопольную и дипольную составляющие.
Ключевые слова: рэлеевское рассеяние, жесткая сфера, плоская граница, колебательная скорость, амплитуда рассеяния
DOI: 10.31857/S0320791924010015 EDN: ZPRHIL  
ВВЕДЕНИЕ
Результаты, полученные в последнее время [11–14], 
являются основой для этой работы. Необходимый 
первый шаг состоит в нахождении первого приближения, т. 
е. решении линейной задачи рассеяния на 
частице, расположенной на малом расстоянии от 
межфазной поверхности. Упор сделан на получение приближенного аналитического описания, позволяющего дать наглядную интерпретацию полученным результатам и использовать аналитические 
выражения при анализе нелинейных эффектов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Настоящее исследование является продолжением 
работ [1, 2], в которых получено аналитическое описание динамики газового включения, расположенного на малом расстоянии от межфазной границы 
между двумя контактирующими средами. В отличие 
от пузырька, инерционными свой 
ствами материала частицы пренебрегать нельзя, и подход, использовавшийся в работах [1, 2], требует модификации. 
Рассеяние звука на объекте, расположенном на малом расстоянии от границы, является предметом исследований на протяжении нескольких десятилетий. 
Интерес к этой задаче, обусловленный проблемами 
гидроакустики, предполагает рассеяние высокочастотных сигналов [3–6]. В то же время при развитии 
акустических методов манипулирования объектами 
в задачах биофабрикации, акустофлюдики и ультразвуковой очистки [7–10], как правило, размеры 
объектов малы по сравнению с длиной волны.
Именно на развитие акустических методов 
манипулирования малыми объектами при наличии ограничивающих поверхностей, в частности, 
на нахождение силы радиационного давления 
в этих условиях направлено данное исследование. 
Падающая волна φin рассеивается на мишени, 
состоящей из жесткой частицы с поверхностью Sp, 
расположенной над нижним полупространством 
с непроницаемой границей Sg (z = 0). Радиус частицы Rp и расстояние от центра частицы до границы h много меньше длины волны. Геометрия задачи иллюстрируется на рис. 1.
Введем обозначения для точки 
= x y z
r
( , , )  и ее 
зеркального изображения 
=
−
x y
z
r
( , ,
)
i
. Рассмотрим функцию φ0, которая описывает решение задачи рассеяния на границе в отсутствие частицы 
ϕ
= ϕ
+ ϕ
r
r
r
( )
( )
( ).
i
0
in
in
3

МАКСИМОВ  
Рассеянное поле φs удовлетворяет уравнению 
Гельмгольца и следующим граничным условиям:
то φ0n(r)/φm = [(ekr)Rp
–1]n + [(ekri)Rp
–1]n. В сферической системе координат, связанной с центром частицы, 
(
)
=
θ
α
θ
α
θ
e
sin
cos
,sin
sin
,cos
k
in
in
in
in
in .
Подставляя разложение функции Грина, получаем уравнения для искомых величин
∇ϕ
+
ϕ
=
k
r
r
( )
( )
0,
s
s
2
2
 
∇ϕ +
∇ϕ
=
n
n
nu
(
)
(
)
(
),
s
0
 
 
∈S
r
,
p  
∇ϕ
=
n
(
)
0,
s
 
∈S
r
,
g
 
(1)
n
⎛
r
r
∑
( )
( )
1
4
1
ϕ
= ϕ
+
π
n
l
R
⎠
⎟
×
⎝
⎜
⎞
p
l
n
T
n
l
0
0
=
1
1
r
 
(5)
 
n l
T
l
i
l
−
−
−
∫
здесь u  – скорость центра масс частицы, а  n  – 
внешняя нормаль как по отношению к частице, 
так и нижней среде.
Уравнение Гельмгольца может быть записано 
в интегральном виде
( ')
'
n
R
R
×
ϕ
∂
∂
+
⎡
⎣
⎤
⎦−
⎧
⎨
⎩
S
p
s
s
1
1
r
r
r r
R
R
dS
u
n
'
.
l
i
l
n l
−
−
−
( )
1
4
( ')
( , ')
'
G
n
−
+
⎡
⎣
⎤
⎦
′
}
(
)
S
S
p
g
∫
ϕ
=
π
ϕ
∂
∂
−
⎧
⎨
⎩
+
 
 (2)
 
s
r r
r
( , ')
( ')
'
',
G
n
dS
−
∂ϕ
∂
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
Это уравнение выражает n-й член разложения 
в терминах всех предыдущих, включая n-й. Однако преимущество данной записи состоит в том, что 
член в правой части, содержащий ϕ ,
n
T  является потенциальной функцией – решением уравнения Лапласа [15]. Следовательно, искомое решение может 
быть представлено в виде
где G(r,r') – функция Грина. Выбор функции Грина, удовлетворяющей граничному условию на Sg 
(z = 0),
 
ϕ
=
+ φ
F
r
r
r
( )
( )
( ),
n
T
n
n
i
=
+
 
 
G
e
R
e
R
r r
( , ')
,
ikR
ikR
n
i
⎛
r
r
∑
( )
( )
1
4
1
= ϕ
+
π
F
n
l
R
 
R
x
x
y
y
z
z
(
')
(
')
(
') ,
2
2
2
=
−
+
−
+
−
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
×
p
l
0
1
n
n
l
=
1
1
 
R
x
x
y
y
z
z
(
')
(
')
(
')
i
2
2
2
=
−
+
−
+
+
r
 
n l
T
l
i
l
−
−
−
∫
( ')
'
n
R
R
×
ϕ
∂
∂
+
⎡
⎣
⎤
⎦
⎧
⎨
⎩
−
S
p
1
1
u
n
',
R
R
dS
l
i
l
n l
−
−
−
 
 
(6)
−
+
⎡
⎣
⎤
⎦
}
(
)
приводит к тому, что интегрирование в формуле (2) 
осуществляется только по поверхности частицы.
Поскольку ϕ
r
( )
0
 также удовлетворяет этому 
интегральному уравнению, то для полного поля 
ϕ
= ϕ
+ ϕ
r
r
r
( )
( )
( )
T
s
0
 имеем:
 
n
R
R
dS
r
r
( )
1
4
( ')
'
1
1
',
n
n
T
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
i
S p
∫
φ
=
π
ϕ
∂
∂
+
⎡
T
T
ikR
r
r
r
0
⎛
( )
( )
1
4
( ')
'
n
e
R
∫
ϕ
= ϕ
+
π
ϕ
∂
∂
⎡
 
⎣
⎢
+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 
 (3)
 
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
−
n
l
n
l n
l
!
!(
)!.
ikR
T
ikR
ikR
i
i
r
+
⎤
⎫
⎬
⎪
( ')
'
'.
e
R
e
R
e
R
n
dS
i
i
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∂ϕ
∂
⎦
⎥−
+
⎡
⎭
⎪
Таким образом, если известны ϕ
r
( )
m
T
 для m = 
= 0,1,…(n – 1), то нахождение ϕ
r
( )
n
T
 сводится к решению следующей граничной задачи для φn :
 
∇φ
=
r
( )
0,
n
2
 
n
F
n
u n
'
'
,
n
n
n
(
)
∂φ
∂
+ ∂
∂
=
 
При нахождении решения в длинноволновом 
приближении мы будем использовать методику, 
предложенную в работе [15]. Представим низкочастотное разложение входящих в формулу (3) величин в виде:
 
∈S
r
,
p  
n'
0,
n
∂φ
∂
=
 
∈S
r
.
g  
(7)
 
∑
ϕ
=
ϕ
∞
ikR
n
r
r
( )
(
)
!
( ),
p
n
Первые члены разложения имеют следующий 
вид:
n
n
0
0
0
=
(4)
F
2
,
( )
0,
r
m
0
00
0
 
= ϕ
=
ϕ
φ
=
u
0,
2
,
F
=
ϕ
=
+ φ
=
ϕ
0
0
0
0
T
m
∑
ϕ
=
ϕ
∞
ikR
n
r
r
( )
(
)
!
( ),
T
p
n
∞
ikR
n
u r
u
r
( )
(
)
!
( ).
p
n
(8)
0
 
∑
=
n
n
T
n
n
0
 
=
=
2
[sin sin
cos(
)
= ϕ
=
ϕ
θ
θ
α −α
×
1
01
in
in
m
 
F
( /
)
cos cos
(
/
)].
r
R
h
R
×
+
θ
θ
 
p
p
in
Если φin(r) – плоская волна φin(r) = φmexp[i(kr)– 
iωt], распространяющаяся в направлении ek = k/k, 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024

 
ОСОБЕННОСТИ РЭЛЕЕВСКОГО РАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦЕ, РАСПОЛОЖЕННОЙ 
5
(
)!(
)!
(
)!(
)!(
)!(
)!
l
l
l
m
l
m
m
m
×
+ λ
+ λ
+
−
λ −
λ +
×
 
 (12)
λ
+
Описание рэлеевского рассеяния на твердой частице, расположенной вблизи межфазной границы, 
сводится, таким образом, к решению следующей 
краевой задачи:
r R
×
θ α
⎤
l
m
1
1
+λ+
λ
2
( , ) ,
p
l
h
Y
1
(
)
m
⎦
⎥
⎥
( )
0,
2
sin
r
2
1
1
r
R
p
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
θ ×
r
R
=
p
∇φ
=
∂φ
∂
= −
ϕ
⎛
 
(9)
 
где мы сохранили обозначение alm  для перенормированных коэффициентов разложения 
sin
cos(
)
(
),
0.
u n
in
in
1
1
z
×
θ
α −α
+
∂φ
∂
=
z
0
=
π
+
→
a
l
a
4
/ (2
1)
.
lm
lm Подстановка (12) в кинематическое граничное условие (9) и проектирование на 
∗
YLM  дают
1
∞
+
+
Направление оси x можно выбрать вдоль проекции 
волнового вектора, так что α
= 0.
in
p
l
L
+
LM
lM
l
L
∑
1
( 1)
2
1
2
1
2
a
L
L
a
l
L
R
h
−
+
−
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
×
l
M
|
|
=
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ
(13)
(
)!(
)!
(
)!(
)!(
)!(
)!
l
L
l
L
l
M
l
M
L
M
L
M
×
+
+
+
−
−
+
=
Следуя [16], мы ищем решение в виде суммы 
потенциалов, центрированных на частице и ее зеркальном изображении
x
p
0
in
1
l
1
1
2
3
sin
L
u R
= −
+
π ϕ
θ
−
⎡
⎣
⎤
⎦×
∞
+
+
(
( )
(
)),
r
r
a R
I
b R
I
1
2
∑
∑
φ =
+
.
×δ
δ
−δ
L
M
M
1
1
1
(
)
−
1
1
1
0
l
lm
p
l
lm
lm
p
l
lm
m
l
=−
=
 
 
(10)
r
r
r
e
lm
lm
l
z
1
2
1
+
( )
4
2
1
( , ),
2
,
I
l
Y
=
π
+
θ α
=
+
r
h
Вид правой части определяет наличие только 
M = ±1.
Степенная зависимость коэффициентов от параметра ε = R
h
(
/ 2 )
p
 позволяет, следуя [16], искать решение в виде
1
in
0
1
L
x
p
1
1
2
3
sin
a
L
u R
=
+
π
θ ϕ −
⎡
⎣
⎤
⎦×
 
1
−
∞
p
L
Lk
p
k
R
h
R
h
2
2
,
×⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
∑
k
=
 
 
(14)
здесь Ylm – сферические функции, Ilm – иррегулярные пространственные гармоники. Для того чтобы удовлетворить граничным условиям при z = 0, 
необходимо выполнение условий blm = (–1)l+malm.
Для выполнения граничных условий на поверхности частицы, необходимо преобразовать пространственные гармоники, центрированные на 
зеркальном изображении, к координатам, центрированным на частице. Теорема сложения [17] обеспечивает эту связь
∞
l
L
∞
+
Lk
p
k
∑
∑
∞
R
h
L
l
2
( 1)
1
1
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
+
×
0
1
k
l
=
=
λ+
I
h
lm
z
m
∑
r
e
(
2
)
( 1)
4
2
1
+
=
−
π
λ +
×
m
1
|
|
λ=
 
2
1
2
1
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
l
L
l
L
l
L
l
l
L
L
×
+
+
+
+
+
−
−
+
×
 
 
(11)
2
1
+ +
∞
(
)!(
)!
(
)!(
)!(
)!(
)!
l
l
l
m
l
m
m
m
×
+ λ
+ λ
+
−
λ −
λ +
×
lm
p
l
m
∑
λ
2
.
R
h
×
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= −δ
m
L
0
1
r
=
×
θ α
1
1
l
m
+λ+
λ
2
( , ).
h
Y
(
)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях R, получаем:
Потенциал первого приближения принимает 
при этом вид
∞
+
1
+
l
Lk
l
L
∞
( 1)
1
(
1)
2
1
2
1
L
l
l
L
∑
α
−
−
+
+
+
×
l
1
=
( , , )
( , )
lm
p
l
∑
∑
r
a
R
r
Y
φ
θ α =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
1
1
l
lm
0
m
l
=−
=
⎣
⎢
⎢
θ α +
 
 
 
(15)
∞
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
l
L
l
L
l
l
L
L
×
+
+
+
−
−
+
×
l
l
λ+
∑
( 1)
2
1
2
1
.
+
−
+
λ +
×
×α
= −δ
δ
l k
l
L
k
(
2
1)
1
0
−
−
|
|
m
λ=
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024

МАКСИМОВ  
Точность представления решения определяется степенью параметра ε =
>
R
h
(
/ 2 )
(1 / 2)
p
. Так, точность в два порядка обеспечивается учетом членов 
до ε
≈0.01.
7
 С этой точностью решение имеет вид:
Как отмечено в  [16], получаемые соотношения 
представляет собой, по существу, рекуррентные 
формулы, позволяющие найти решение в явном 
виде:
1
5
 
α
= −
α
=
=
α
=
α
=
L
1,
0 (
2,3,...),
0,
0,
L
L
L
10
0
1
2
p
l
+
∗
( , , )
(
(
, )
(
, ))
l
l
1
1
1
1
∑
r
a
R
r
Y
Y
φ
θ α =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
1
∞
l
l
1
1
1
=
⎣
⎢
⎢
θ α +
θ α
+
 
+
L
l
L
1
L
l
l
L
( 1)
1
(
1)
2
1
2
1
∑
α
=
−
+
+
+
×
3
1
l
=
l
p
l
1
+
+
∗
( 1)
(
, )
(
, )
,
l
l
1
2
1
2
(
)
R
r
Y
Y
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
θ
α +
θ
α ⎤
⎦
2
l
l
(3 2
1)
−
−
l
L
l
L
l
l
L
L
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
×
+
+
+
−
−
+
α
=
 
a
u R
L
= −
π −
θ ϕ
+
×
+
11
1
in
m
x
p
1
2
2
3 [ 2sin
]
1
10
( 1)
1
2
3
2
1
(1
)!
2(
1)!
L
L
L
L
=
−
+
+
−
α
=
3
6
 
⎞
p
p
L
10
13
16
R
h
R
h
2
2
1
2
2
3
× α
+ α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
( 1) 1
2
3
2
1
(1
)!
2(
1)!,
L
L
L
L
⎝
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟= −
π ×
=
−
+
+
−
3
6
⎞
1
in
m
x
p
p
p
u R
R
h
R
h
[2sin
] 1
1
2
2
1
4
2
,
×
θ ϕ
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
 
α
= −
α
=
α
=
α
=
(1 / 2),
3
5 ,
0,
0,
L
L
13
23
4
5
⎠
⎟
⎟
⎝
⎜
⎜
∞
+
a
u R
L
l
L
= −
π −
θ ϕ
+
×
21
1
in
m
x
p
( 1)
1
(
1)
2
1
2
1
L
l
l
L
∑
α
=
−
+
+
+
×
1
3
2
3 [ 2sin
]
l
6
1
=
4
7
 
p
p
l
l
(6 2
1)
23
26
−
−
 
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
l
L
l
L
l
l
L
L
R
h
R
h
2
2
2
3 5
×
+
+
+
−
−
+
×α
=
× α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
π
⋅
×
4
7
L
+
1
13
( 1)
1
2
3
2
1
(1
)!
2(
1)!
L
L
L
L
=
−
+
+
−
α
=
1
in
m
x
p
p
p
u R
R
h
R
h
[2sin
]
2
1
2
2
,
×
θ ϕ
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
 
 
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
/ 2,
0,
= −α
α
= α
α
=
L
L
L
(17)
3
13
3
7
 
 
(16)
∞
a
u R
= −
π −
θ ϕ
+
×
31
1
in
m
x
p
+
1
4
2
3 [ 2sin
]
L
l
L
( 1)
1
(
1)
2
1
2
1
L
l
l
L
∑
α
=
−
+
+
+
×
5
8
l
8
1
=
 
p
p
33
36
2
2
9
8
2
3
R
h
R
h
× α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
π ×
l
l
(8 2
1)
−
−
 
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
l
L
l
L
l
l
L
L
×
+
+
+
−
−
+
α
=
5
8
L
in
m
x
p
p
p
1
23
[2sin
]
2
7
2
7
13
2
,
u R
R
h
R
h
×
θ ϕ
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
( 1)
(2
)
3
5
2
1
(1
)!
3!(
1)!
L
L
L
L
L
= −
+
+
+
−
α
=
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
L
6
 
( 1)
(2
)
(1
)!
3!(2
1)(
1)!,
L
L
L
L
L
= −
+
+
+
−
41
1
43
in
m
x
p
p
a
u R
R
h
1
5
2
3 [ 2sin
]
2
 
= −
π −
θ ϕ
+
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∞
6
+
L
l
L
( 1)
1
(
1)
2
1
2
1
L
l
l
L
∑
α
=
−
+
+
+
×
1
in
m
x
p
p
9
1
l
=
u R
R
h
4
3
5[2sin
] 2
,
=
π
θ ϕ
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l
l
(9 2
1)
−
−
7
 
(
)!(
)!
(
1)!(
1)!(
1)!(
1)!
l
L
l
L
l
l
L
L
×
+
+
+
−
−
+
α
=
51
1
53
in
m
x
p
p
a
u R
R
h
1
6
2
3 [ 2sin
]
2
= −
π −
θ ϕ
+
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
L
+
 
1
16
7
( 1)
1
2
3
2
1
(1
)!
2(
1)!
L
L
L
L
=
−
+
+
−
α
=
in
m
x
p
p
1
/ 4.
= −α
α
= α
L
L
3
16
3
u R
R
h
5
4
2
5
3 11 2sin
2
.
= −
π ⋅
⋅
θ ϕ
−
⎡
⎣
⎤
⎦
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024

 
ОСОБЕННОСТИ РЭЛЕЕВСКОГО РАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦЕ, РАСПОЛОЖЕННОЙ 
7
3
1
l
∞
∞
+
⎤
Следующим шагом является нахождение скорости 
колебательного движения центра частицы.
p
k
p
k
∑
∑
1
2
1
2 1
2
2
( 1)
1
M
R
h
R
h
l
=
+
+ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
1
0
2
k
l
=
=
⎦
⎥
⎥
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
−
+
×
⎣
⎢
⎢
 
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ЧАСТИЦЫ
2
1
+
∞
p
l
lk
p
k
∑
2
1
3
(
1)!
2(
1)!
2
2
l
l
l
R
h
R
h
×
+
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
α
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≈
k
0
=
3
6
p
p
Скорость центра частицы определяется из условия баланса инерционных сил и давления, действующего на поверхность частицы, которое в линейном по волновому числу приближении сводится к
3
4
2
3
8
2
,
R
h
R
h
≈−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
u
n
ρ
π
= −
p
p
∫
4
3
'
',
R d
dt
p
dS
S
p
 (18)
 
3
 
(
)
(
)
= ϕ
θ
ρ
−
ρ
+ ρ
−
−
u
R
M
M
2sin
3
2
2
1
2
,
x
m
p
in
w
p
w
1
1
R
F
dS
u
r
r
n
ρ
π
= ρ
+ φ
1
1
1
∫(
)
4
3
( ')
( ')
'
',
p
p
w
S
p
(0)
 
(19)
 
(
)
(
)
=
ρ
−
ρ
+ ρ
−
u
v
M
M
3
2
2
1
2
,
x
x
w
p
w
здесь 
=
ϕ
v
ik
2
x
x
m
(0)
 – скорость, наведенная падающей и отраженной от границы раздела волнами 
в точке, совпадающей с центром частицы, но в отсутствие самой частицы. При увеличении расстояния до 
границы M q0 выражение для скорости переходит 
в известную формулу для свободной частицы.
ПОЛЕ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ  
АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
здесь ρp – плотность частицы, а ρw – плотность 
жидкости. В линейном приближении частица может совершать колебания только параллельно поверхности границы, вдоль направления падающей 
волны. Условие непроницаемости границы приводит к обращению в нуль линейной (по параметру 
<<
kR
1
p
) нормальной компоненты скорости. 
Нормальная компонента появляется при учете следующего порядка теории возмущений по параметру 
<<
kR
(
1)
p
. Вычисление поверхностного интеграла приводит к следующему выражению:
3
2
π
π
R u
R
d
d
ρ
π
= ρ
θ
θ
α ×
p
p
x
w
p
1
2
∫
∫
4
3
sin '
'
'
 
0
0
F
( ', ')
( ', ') sin 'cos
',
×
θ α
+ φ θ α
θ
α
1
1
(
)
Поведение рассеянного поля в дальней зоне 
kr >
>
 1 удобно описывать в терминах амплитуды 
рассеяния: φs/φ0 ≈ f(θ, α)(eikr/r). Используя представление для рассеянного поля (2) и асимптотику для функции Грина (eikR/R) + (eikRi/Ri) ≈ (eikR/r) 
[e–ik(err') + e–ik(err'i)], получаем
2
π
π
2
e r
T
ik
(
')
−
R
d
d
F
sin '
'
'
( ', ')sin '
r
w
p
r
∫
∫
ρ
θ
θ
α
θ α
θ ×
∫
f
n
e
( , )
1
4
( ')
'
0
1
0
0
θ α =
πϕ
ϕ
∂
∂
⎡
⎣
⎧
⎨
⎩
+
 
S
p
2
ik
ik
ik
e r
e r
e r
(
' )
(
')
(
' )
−
−
−
 
(20)
R
r
i
r
r
i
×
α = ρ
π
ϕ
θ
w
p
m
in
e
e
e
dS
un
'
'.
cos
'
4
3
2sin
,
+
⎤
⎦−
+
⎡
⎣
⎤
⎦
}
(
)
2
π
π
2
sin '
'
'
( ', ')sin 'cos
'
R
d
d
ρ
θ
θ
α φ θ α
θ
α =
w
p
∫
∫
Подставляя в это выражение низкочастотное разложение для потенциала (4) и компонент функции 
Грина, получаем
0
1
0
3
 
l
∞
l
1
p
l
∞
+
m
(
)
f
ikR
2
11
∑
∑
∑
8
3
1
2
( 1)
R
a
R
h
a
= ρ
π
+ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
l
l
l
m m
( , )
!
( 1)
!
(
)!
!
1
4
θ α =
−
−
πϕ
×
w
p
p
l
l
1
2
=
⎠
⎟+
−
×
⎧
⎨
⎪
⎝
⎜
⎞
1
1
0
l
m
=
=
⎩
⎪
2
+
e r
e r
u
n
R
R
(
'/
)
(
' /
)
'
r
p
m
r
i
p
m
−
p
l
(
)
×
−
+
⎡
⎣
⎤
⎦
+
∫{
 (21)
S
l
m
p
2
1
3
(
1)!
2(
1)!
2
,
l
l
l
R
h
×
+
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
e r
e r
(
'/
)
(
' /
)
r
p
m
r
i
p
m
n
R
R
+ ∂
∂′
+
⎡
⎣
⎤
⎦×
−
u
R
2sin
p
x
w
m
p
in
1
1
 
{
ρ
= ρ
ϕ
θ
−
F
dS
( ')
( ')
'.
r
r
×
+ φ
l
m
l
m
−
−
}
[
]
−
R
u
M
m
p
in
x
1
1
[
2sin
]
1
2
,
−ϕ
θ
−
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⎫
⎬
⎭
Первый член разложения l = 1, m = 1 не дает 
вклада. Для членов второго порядка (l = 2) имеем:
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024

МАКСИМОВ  
2
p
f
kR
R
R
e r
e r
2
( , )
(
)
4
{[(
'/
)
(
' /
)]
0
S
r
p
r
i
p
p
∫
θ α = −
πϕ
+
×
(
')
[(
'/
)
(
' /
)]
u n
e r
e r
1
r
p
r
i
p
n
R
R
×
−∂
∂′
+
×
 
(22)
здесь 
=
=
θ
⊥
⊥
k
e
k
/
(sin
,0,0).
k
in
 Это слагаемое 
связано с дипольным источником в центре частицы, который учитывает колебательные смещения 
среды, вызванные падающей волной.
Вычисление вклада, связанного с рассеянным 
полем, наиболее громоздко:
r
r
e r
1
1
2
r
p
[
( )
( ')]
1
2
[(
'/
)
F
n
R
×
′ + φ
+
∂
∂′
+
(
' /
) ]
( ')}
.
e r
r
R
F
dS
+
′
r
i
p
2
0
Вычисление отдельных членов, входящих в это выражение, приводит к следующим результатам:
p
2
(1)
2
f
kR
dS
n
( , )
4
' 1
2
'
(
)
θ α = −
πϕ
∂
∂
×
0
S
p
∫
(
'/
)
(
' /
)
( ')
R
R
F
e r
e r
r
 
(23)
r
p
r
i
p
2
2
0
×
+
⎡
⎣
⎤
⎦
=
2
3
2
π
π
2
2
3
k R
d
d
k R
e n
p
r
p
∫
∫
4
sin '
'
'2(
')
2
3.
= −
π
θ
θ
α
= −
0
0
Данное слагаемое связано с монопольным источником в центре частицы, который учитывает сжимаемость окружающей частицу среды (во втором 
порядке по волновому числу), вызванной падающим полем. При описании этого вклада можно 
учесть сжимаемости материала частицы, что приведет к появлению множителя 
−
ρ
ρ
c
c
(1
/
).
w
w
p
p
2
2
Вычисление вклада слагаемого, связанного 
с колебательной скоростью частицы, дает:
(26)
f
kR
R
R
e r
e r
2
(2)
2
( , )
(
)
4
[(
'/
)
(
' /
)]
θ α = −
πϕ
+
×
0
p
r
p
r
i
p
S
p
∫
2
4
2
π
π
(24)
u n
e n
dS
k R
d
d
1
p
r
∫
∫
(
')
'
4
sin '
'
'2(
')
×
= −πϕ
θ
θ
α
×
0
0
0
u n
e u
k R
R
1
2
3
p
p
r
(
')
2
3
(
).
×
= −
ϕ
0
1
Этот вклад обусловлен дипольным источником 
в центре частицы, который учитывает колебательные смещения центра. Однако поскольку для излучения важна относительная скорость (по отношению к среде), то физический смысл имеет сумма 
с приведенным ниже слагаемым:
a
p
e r
2
(3 )
2
( , )
(
)
4
'[(
'/
)
f
kR
n
R
θ α =
πϕ
∂
∂
+
0
S
r
p
p
∫
2
3
π
e r
r
R
F
dS
k R
d
(25)
1
r
i
p
p
∫
(
' /
)]
( ')
4
sin '
'
+
′ =
π
θ
θ ×
0
2
π
⊥
'sin 'sin
cos( ')2(
')
2(
)
d
k R
e n
e e
×
α
θ
θ
α
=
in
2
3
r
p
r
k
∫
3
,
0
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024

 
ОСОБЕННОСТИ РЭЛЕЕВСКОГО РАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦЕ, РАСПОЛОЖЕННОЙ 
9
z
При вычислении вклада φ
′
r
( )
1
 мы воспользуемся тем, что
Tm
Частица
 
= −
−
a
a
,
l
l
1
1
Падающая волна
Отраженная волна
 
Y
Y
sin 'cos
'
2
/ 3[
( ', ')
( ', ')],
1 1
11
θ
α =
π
θ α
−
θ α
−
∗
∗
T1
 
i
Y
Y
sin 'sin
'
2
/ 3[
( ', ')
( ', ')].
1 1
11
θ
α =
π
−
θ α
−
θ α
−
∗
∗
Rp
r1
h
Суммируя вклады отдельных слагаемых, получаем
Граница
x
e u
f
k R
k R
R
2
2
3
2
3
p
p
p
r
( , )
2
3
2
3
(
)
θ α = −
−
ϕ
+
0
1
r2
e e
T2
2
3
2
3
⊥
k R
k R
+
+
×
p
r
k
p
2(
)
3
2
3
Мнимая частица
e e
e u
R
M
r
k
p
r
⊥
(
)
(
)
1
2
 (27)
×
−ϕ
⎡
0
1
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
[
]
2
3
e e
p
r
k
p
w
⊥
2
1
3
(
)(
) 1
(2 / 3)
2
(1
2
)
,
k R
M
M
=
−
+
ρ
−ρ
−
ρ
+ ρ
−
⎡
p
w
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
6
p
p
3
4
2
3
8
2
.
M
R
h
R
h
≈−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Рис. 1. Иллюстрация геометрии задачи: падающая 
волна распространяется в направлении волнового вектора 
=
θ
θ
k
k /
(sin
,0,cos
)
in
in
 и  рассеивается на частице радиуса R ,
p  расположенной на 
расстоянии h от границы непроницаемой среды. 
Мнимая частица используется для описания взаимодействия с границей. Сферические системы координат, центрированные на частице и ее зеркальном изображении 
=
θ α
r
r
( ,
, ),
1
1
1
 
=
θ
α
r
r
( ,
, ),
2
2
2
 
=
+
h
r
r
e
2
,
z
2
1
 используются при построении потенциального решения краевой задачи.
Амплитуда рассеяния определяется вкладом монопольного и дипольных источников. При удалении частицы от поверхности (M → 0), это выражение совпадает с удвоенной амплитудой рассеяния 
на свободной частице – наличие жесткой границы приводит к наличию рассеянного поля только 
в верхнем полупространстве. Интенсивность монопольного источника не зависит от расстояния до 
границы только в рассмотренном низшем порядке 
по параметру 
<<
k R
h
(
, )
1
p
.
ОБСУЖДЕНИЕ
традиционного метода Т-матриц [22] возможно 
применение альтернативных подходов: метода диаграммных уравнений [23] или метода дискретных 
источников [24].
В условиях, когда диссипативные процессы несущественны, решение линейной задачи позволяет описать ряд нелинейных (квадратичных) эффектов, в частности, силу радиационного давления на 
частицу. Нахождение этой силы сводится к вычислению интеграла по поверхности частицы от билинейной комбинации решений линейной задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для жесткой частицы, расположенной вблизи 
непроницаемой границы, дано аналитическое описание рэлеевского рассеяния. Потенциал вблизи 
частицы описывается суммой мультиполей, центрированных на частице и ее зеркальном изображении. Интенсивность мультиполей определяется отношением радиуса частицы к расстоянию до 
межфазной поверхности. Амплитуда рассеяния, 
Представленные выше результаты относятся 
к простейшему случаю твердой частицы, расположенной вблизи непроницаемой границы. Необходимые предпосылки для обобщения на общий 
случай упругой частицы, расположенной вблизи 
границы двух упругих сред, имеются. Найдена низкочастотная асимптотика функции Грина для двух 
упругих полупространств [18]. Развитые в данном 
исследовании приближенные методы пригодны 
для описания общей задачи, но требуют гораздо 
более громоздких вычислений.
Важным обобщением является анализ рэлеевского рассеяния на частицах со смещенным центром масс, в частности, на “Янус” частицах [19–
21]. Новым физическим эффектом при этом является возбуждение вращательных степеней свободы. 
При описании рассеяния на несферических частицах актуальным становится применение численных методов решения. Наряду с использованием 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 1
2024