Предел последовательности

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
К. Э. Воеводский
ПРЕДЕЛ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 
Учебное пособие
2-е издание
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК  517
ББК  22.161я721.6
 
В63
Рецен з ен ты:  
заслуженный учитель РФ В. Б. Некрасов  
(С.-Петерб. академия постдипломного пед. образования);
канд. физ.-мат. наук А. А. Флоринский (С.-Петерб. гос. ун-т)
Рекомендовано к публикации методическим советом 
Академической гимназии им. Д. К. Фаддеева 
Санкт-Петербургского государственного университета
В63
Воеводский К. Э.
Предел последовательности: учеб. пособие.  — 2-е  изд.  — СПб.: 
Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2023. — 196 с., ил.
ISBN 978-5-288-06290-2
Первое издание было подготовлено в рамках Программы развития УНЦ «Академическая гимназия им. Д. К. Фаддеева». В пособии, основанном на материалах, которые автор использовал на уроках математического анализа в Академической гимназии СПбГУ
, 
излагается теория пределов с необходимыми определениями и доказательствами, а также 
их основные свойства, позволяющие решать конкретные задачи. В каждом тематическом 
разделе содержатся примеры, то есть, задачи, с  подробно разобранными решениями, 
и упражнения (задачи без решений). К части упражнений имеются указания и решения, 
помещенные в конце книги. Сложность примеров и упражнений нарастает в пределах 
каждого раздела от простых, предназначенных для иллюстрации теории и  выработки 
простейших навыков, до уровня, приближающегося к олимпиадному. 
Издание разработано для обучающихся в лицеях, гимназиях и профильных классах общеобразовательных школ, которые проходят обучение по направлениям физико- 
математического и  информационно-технологического профилей. Книга также может 
быть полезна учащимся средних специальных учебных заведений с углубленным изучением математики. 
УДК 517 
ББК 22.161я721.6
  
© Санкт-Петербургский  
 
 
государственный университет, 2019
ISBN 978-5-288-06290-2 
© К. Э. Воеводский, 2019

оглавление
Предисловие ................................................................................................................. 
7
Глава 1.  Последовательности 
................................................................................... 
9
§ 1. Основные понятия 
............................................................................... 
9
§ 2. Способы задания последовательности  
.......................................... 
10
§ 3. Свойства последовательностей 
........................................................ 
11
§ 4. Операции над последовательностями............................................ 
13
§ 5. Рекуррентное соотношение Фибоначчи 
........................................ 
15
Глава 2.  Определение предела (конечного) ......................................................... 
17
§ 1. Окрестность 
........................................................................................... 
17
§ 2. Определение предела на языке окрестностей 
.............................. 
18
§ 3. Определение предела на языке неравенств ................................. 
19
§ 4. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей 
.. 
19
§ 5. Упражнения 
........................................................................................... 
21
Глава 3.  Основные свойства пределов  ................................................................. 
23
§ 1. Стабилизация 
........................................................................................ 
23
§ 2. Единственность предела .................................................................... 
23
§ 3. Ограниченность сходящейся последовательности ..................... 
24
§ 4. Переход к пределу в неравенстве .................................................... 
26
Глава 4. Свойства пределов (продолжение)  ......................................................... 
27
§ 1. Сжатая переменная ............................................................................. 
27
§ 2. Необходимый и достаточный признак сходимости 
..................... 
27
§ 3. Следствия необходимого и достаточного признака 
.................... 
28
Глава 5. Бесконечные пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые  
30
§ 1. Бесконечные пределы  ....................................................................... 
30
§ 2. Распространение основных свойств сходящихся 
последовательностей на последовательности с бесконечными 
пределами 
..................................................................................................... 
32
3

Оглавление
§ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие ................................... 
32
§ 4. Основные свойства бесконечно малых  
и бесконечно больших .............................................................................. 
33
Глава 6. Переход к пределу в алгебраических выражениях 
.............................. 
36
§ 1. Представление сходящейся последовательности  
как суммы ее предела и бесконечно малой 
.......................................... 
36
§ 2. Предельный переход в сумме, произведении, частном ............. 
36
§ 3. Предел многочлена ............................................................................. 
38
§ 4. Предельный переход в основании степени  
с рациональным показателем.................................................................. 
38
§ 5. Предельный переход в показателе степени  
(один важный частный случай) 
................................................................ 
39
Глава 7. Раскрытие неопределенностей. Рациональные выражения 
............. 
41
§ 1. Примеры неопределенностей .......................................................... 
41
§ 2. Предел отношения многочленов 
..................................................... 
43
§ 3. Некоторые сходные задачи ............................................................... 
44
Глава 8. Раскрытие неопределенностей. Иррациональные выражения  
....... 
45
§ 1. Простейшие случаи ............................................................................. 
45
§ 2. Умножение на сопряженное ............................................................. 
45
Глава 9. Геометрическая прогрессия  ..................................................................... 
50
§ 1. Предел арифметической и геометрической прогрессий ........... 
50
§ 2. Использование геометрической прогрессии  
для нахождения пределов......................................................................... 
51
Глава 10. Сумма бесконечной геометрической прогрессии  
............................. 
57
§ 1. Наивный подход  
.................................................................................. 
57
§ 2. Элементы теории рядов ..................................................................... 
59
§ 3. Сумма геометрической прогрессии  
................................................ 
62
§ 4. Примеры ................................................................................................ 
62
Глава 11. Задачи к главе 10 ....................................................................................... 
67
§ 1. Несколько несложных задач ............................................................. 
67
§ 2. Геометрические сюжеты .................................................................... 
68
§ 3. Десятичные дроби ............................................................................... 
69
4

Оглавление
§ 4. Графики, функции, множества точек  
на координатной плоскости ..................................................................... 
69
§ 5. «Дырявые» (Канторовы) множества 
................................................. 
70
§ 6. Несколько задач посложнее 
.............................................................. 
70
Глава 12. Предел монотонной последовательности ........................................... 
72
§ 1. Границы числовых множеств 
............................................................ 
72
§ 2. Сходимость монотонной последовательности  
............................ 
77
§ 3. Применение монотонности к доказательству сходимости 
и нахождению пределов ........................................................................... 
78
§ 4. Рекуррентно заданные последовательности.  
Приближенное решение уравнений 
( )
= f
x
x   
методом итераций ...................................................................................... 
81
Глава 13. Пределы, связанные с числом e 
.............................................................. 
87
§ 1. Переход к пределу в выражении, содержащем степень. 
Неопределенность вида 1∞ ....................................................................... 
87
n
1
1
§ 2. Сходимость последовательности 


=
+




n
e
n
.  
Число e 
........................................................................................................... 
88
§ 3. Простейшие примеры раскрытия неопределенностей  
вида 1∞ ........................................................................................................... 
90
n
a
, где an — бесконечно  
1
1
§ 4. Обобщение: предел 

+




n
a
большая 
......................................................................................................... 
91
§ 5. Более разнообразные случаи неопределенности вида 1∞ 
......... 
94
Глава 14. Задачи по всей теме .................................................................................. 
96
§ 1. Качественные вопросы  
...................................................................... 
96
§ 2. Нахождение предела на основе определения, сравнение, 
мажоранта, оценки и пр. ........................................................................... 
97
§ 3. Однородные выражения .................................................................... 
98
§ 4. Неопределенности вида ∞
∞ 
................................................................ 
99
§ 5. Неопределенности вида ∞ – ∞,  
иррациональные выражения  
.................................................................. 
105
§ 6. Нахождение порядка 
........................................................................... 
106
§ 7. Сравнение с геометрической прогрессией ................................... 
108
§ 8. Сумма геометрической прогрессии 
................................................. 
108
§ 9. Тригонометрический предел ............................................................ 
112
5

Оглавление
§ 10. Пределы, связанные с 
→∞
=
lim
1
n
n
a
 
................................................. 
112
§ 11. Пределы, связанные с числом e 
...................................................... 
113
§ 12. Пределы сумм переменной длины ................................................ 
114
§ 13. Рекуррентно заданные последовательности  ............................. 
115
§ 14. Разное  
.................................................................................................. 
115
УКАЗАНИЯ  ..................................................................................................................... 
117
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ ...................................................................................................... 
124
Рекомендуемая литература 
....................................................................................... 
194
6

Предисловие
Предел последовательности — первое понятие из «взрослого» анализа, с которым сталкивается школьник. И его сознание должно в считанные месяцы 
совершить тот качественный скачок, на который в истории математики ушло 
тысячелетие. Вполне понятны сопряженные с этим трудности. Хотя элементы 
математического анализа присутствуют в школьном курсе уже полстолетия, 
представляется, что они не стали еще его привычной и неотъемлемой составляющей. Есть тенденция излагать анализ на более низком доказательном уровне, 
чем традиционные разделы, так как вполне аккуратное изложение считается 
недостижимым. Согласно этому подходу, главное  — оснастить школьника 
нехитрым набором некоторых стандартных приемов и «натаскать» на их использование в ряде стандартных случаев. Это низводит учебную дисциплину 
до уровня инструкции к пылесосу и делает ее изучение столь же мало увлекательным. Автор — убежденный сторонник противоположного подхода. По 
его мнению, школьный курс анализа должен отличаться от университетского 
 
объемом материала, но не требованиями к строгости и аккуратности изложения. Единственный факт, приводящийся в  этом пособии без доказательства, это полнота множества вещественных чисел, нужная для доказательства 
сходимости монотонной ограниченной последовательности. Но этот пробел 
не маскируется, понятие полноты (в форме существования точной границы 
у  ограниченного множества) разъясняется и  формулируется. На примере 
множества рациональных чисел иллюстрируется его неочевидность. Автор 
не одобряет щадящий подход, при котором подобные сложности пытаются 
обойти, ссылаясь на кажущуюся очевидность. Вслед за доктором Айболитом 
и вопреки Бармалею, он полагает, что детей обманывать нельзя 
В основе настоящего пособия лежит курс математического анализа, который автор вел в  Академической гимназии СПбГУ с  2000  по 2019  г. Тема 
«Предел последовательности» изучалась либо в 10-м, либо в 9-м и 10-м классах 
в несколько приемов. Пособие содержит всю необходимую теорию и богатый 
спектр задач, не требуя обращения к другим учебникам или задачникам. Его 
7

Предисловие
могут использовать учащиеся школ с  углубленным изучением математики, 
а возможно, и первокурсники. 
Материал пособия покрывает программу Академической гимназии с некоторым избытком, однако в нем нет «мертвых» зон. Весь изложенный материал когда-либо излагался и предлагался школьникам, хотя суммарный объем 
и варьировался за счет тех частей, которые можно считать факультативными. 
В случае если этим пособием захочет воспользоваться преподаватель, он сам 
сможет выделить обязательные и необязательные темы и задачи, сообразно 
программе и своим вкусам. 
Несколько слов о структуре пособия. 
Теоретическая часть состоит из глав 1–13, где дано последовательное изложение теории с обильным вкраплением задач. Изложение теории по стилю 
близко к учебнику, а задачи в этой части подразделяются на примеры и упражнения. Цель примеров  — проиллюстрировать теоретический материал или 
стандартный технический прием. Поэтому все примеры даются с решениями. 
Упражнения также привязаны к теме главы, но в большей степени ориентированы на освоение приемов решения задач. К большинству из них есть указания или решения (или и  то и  другое), но  они вынесены за пределы этой 
части. Упражнения и примеры нумеруются независимо внутри каждой главы 
номерами вида X. Y, где X — номер главы, Y — номер примера или упражнения. 
Всего в этой части примерно 170 примеров и упражнений. 
В главе 14 даны задачи по всем темам глав 1–13. Глава 14 разбита на параграфы, и задачи нумеруются внутри каждого параграфа. Некоторые задачи 
«тиражированы» — под одним номером дан куст однотипных и равноценных 
по сложности задач. Нумерация задач внутри такого куста — двойная (через 
точку). Эти задачи можно использовать для контрольных работ, индивидуальных заданий и т. п. В главе 14 — около 230 задач. 
Во второй части даны указания к некоторым задачам из глав 1–14 (около 
90).
В третьей части даны полные решения и  ответы, ими охвачено более 
200 задач. 
*  *  *
В заключение автор хотел бы поблагодарить своих учеников, чьи любознательность и энтузиазм были для него главным стимулом. Кроме того, он 
благодарен администрации Академической гимназии за мудрое руководство, 
свободное от мелочной опеки и чрезмерной регламентации, которые столь пагубны в деле образования. 
8

Глава 1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. основные понятия
Определение. Последовательность — это функция, область определения 
которой есть подмножество множества Z. 
Термины и обозначения. Значение такой функции в точке k  принято 
обозначать не ( )
f k , как для функции общего вида, а так: 
k
a . Это значение называют k-м членом последовательности, где k  — номер этого члена последовательности. 
Если область определения  — конечное множество, последовательность 
называется конечной. Если область определения — бесконечное множество, 
последовательность называется бесконечной. 
Чаще всего областью определения является отрезок натурального ряда 
(конечный или бесконечный), в последнем случае обычно — весь натуральный 
ряд. 
Примеры: 
1. 
Последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21). Здесь 
=
1
1
a
, 
=
2
1
a
, 
=
3
2
a
, 
=
4
3
a
, 
=
5
5
a
, 
=
6
8
a
, 
=
7
13
a
, 
=
8
21
a
. Это конечная последовательность, в которой номера изменяются от 1 до 8. 
2. 
(0). Это конечная последовательность, состоящая из одного члена. 
3. 
(1, 1, …). Так можно записать бесконечную последовательность, все 
члены которой равны 1. Иначе говоря, ∀∈
=1
n
n
a
N
. 
4. 
(1, 3, 5, …) — последовательность всех нечетных натуральных чисел. 
Другой способ ее записи: (
) ∈
−
N
2
1 n
n
. 
Здесь 
−
2
1
n
  — член последовательности с  номером n, например, 
= ⋅−=
1
2 1 1
1
a
, 
= ⋅−=
2
2 2 1
3
a
, 
= ⋅
−=
100
2 100 1
199
a
. Запись (
) ∈
−
N
2
1 n
n
 обозначает всю последовательность. 
Член 
+1
n
a
 называется последующим по отношению к 
n
a , а 
n
a  — предыдущим по отношению к 
+1
n
a
. 
9

Глава 1. Последовательности
§ 2. способы задания последовательности 
1. 
Прямое перечисление — аналог табличного задания функции. Оно 
буквально применимо к конечным последовательностям. 
2. 
Формула общего члена — аналог аналитического задания функции. 
Примеры:
1)  
=
−
2
1
n
a
n
, ∈
n
N  — последовательность всех нечетных натуральных чисел; 
2)  
=
+
2
1
n
a
n
, 
=

0,1,2
n
 (это та же последовательность, с  другой нумерацией членов; здесь 
= ⋅+ =
0
2 0 1
1
a
, 
= ⋅+ =
1
2 1 1
3
a
, 
= ⋅
+ =
99
2 99 1
199
a
).
3)  
=
2
n
a
n , 
∈
n
N  — последовательность точных квадратов. 
3. 
Рекуррентные соотношения. 
Так называют формулу вида 
(
)
+ =

1
1
2
F
,
,
,
k
k
k
a
a a
a
. Если известны 
функции 1
F , 
2
F , …,F
n  и первый член 
1
a , то с помощью рекуррентных соотношений можно найти всю последовательность: 
( )
=
2
1
1
F
a
a , 
(
)
=
3
2
1
2
F
,
a
a a
 и т. д. 
Чаще всего рекуррентные соотношения имеют одну и ту же «глубину» 
и  все функции 
1
F , 
2
F , …,F
n  совпадают; то есть 
(
)
+
−
−
=

1
1
F
,
,
,
k
k
k
k m
a
a a
a
. 
Самый простой вариант, когда 
= 0
m
, то есть 
(
)
+ =
1
F
k
k
a
a
  — каждый член 
определяется предыдущим. 
Упражнение 1.1. Пусть 
(
)
+ = −
1
1
k
k
k
a
a , 
=
1
7
a
, 
∈
k
N. 
а) запишите через запятую семь первых членов этой последовательности;
б) выберите для нее подходящую формулу общего члена.
Варианты ответа: 
n
2
1
7
1)  
(
)[ ]
= −
⋅
n
a
;
n
2
1
7
2)  
(
)
= −
⋅
1
7
n
n
a
; 
3)  
(
)
= −
⋅
n
a
;
n




= −
⋅
2
1
7
4)  
(
)
n
a
;




= −
⋅
2
2
1
7
5)  
(
)
n
n
a
.
Упражнение 1.2. Рассмотрим последовательность примера 1: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 
13, 21 (
=
1
1
a
, … 
=
8
21
a
).
а) выберите для нее подходящее рекуррентное соотношение. 
Варианты ответа: 
1)  
+ =
1
2
n
n
a
a , 
≥1
n
;
2)  
+
−
=
+
1
2
n
n
n
a
a
a
, 
≥2
n
;
10