Предел функции: Непрерывность

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
К. Э. Воеводский
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. 
НЕПРЕРЫВНОСТЬ 
Учебное пособие
2-е издание
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК  517
ББК  22.161я721.6
 
В63
Рецен з ен ты:  
заслуженный учитель РФ В. Б. Некрасов  
(С.-Петерб. академия постдипломного пед. образования);
канд. физ.-мат. наук А. А. Флоринский (С.-Петерб. гос. ун-т)
Рекомендовано к публикации методическим советом 
Академической гимназии им. Д. К. Фаддеева 
Санкт-Петербургского государственного университета
В63
Воеводский К. Э.
Предел функции: Непрерывность: учеб. пособие. — 2-е изд. — СПб.: 
Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2023. — 244 с., ил.
ISBN 978-5-288-06293-3
Первое издание было подготовлено в рамках Программы развития УНЦ «Академическая гимназия им. Д. К. Фаддеева». В пособии, основанном на материалах, которые автор использовал на уроках математического анализа в Академической гимназии 
 
СПбГУ
, излагаются теория пределов функций, понятие непрерывности, классические теоремы о непрерывных функциях и их основные свойства. На этой основе вводятся показательная функция вещественной переменной и логарифмическая функция, изучаются 
их свойства. Приводятся основные приемы вычисления пределов функций, показано их 
применение для исследования функций и построения их графиков. В каждом тематическом разделе содержатся примеры, то есть задачи с подробно разобранными решениями, 
и упражнения (задачи без решений). Ко всем упражнениям имеются решения и ответы, 
помещенные в конце книги. Настоящая книга является продолжением пособия К. Э. Воеводского «Предел последовательности» и подводит читателя к следующим разделам курса 
математического анализа «Производная» и «Интеграл».
Издание разработано для обучающихся в лицеях, гимназиях и профильных классах 
общеобразовательных школ, которые проходят обучение по направлениям физико-математического и информационно-технологического профилей. Книга также может быть 
полезна учащимся средних специальных учебных заведений с углубленным изучением 
математики. 
УДК 517 
ББК 22.161я721.6
  
© Санкт-Петербургский  
 
 
государственный университет, 2022
ISBN 978-5-288-06293-3 
© К. Э. Воеводский, 2020

Оглавление
Предисловие ................................................................................................................. 
5
Глава 1.  Предел функции .......................................................................................... 
7
§ 1. Предварительные понятия 
................................................................ 
—
§ 2. Предел функции по Коши................................................................... 
11
§ 3. Предел функции по Гейне 
.................................................................. 
17
§ 4. Основные свойства и простейшие приемы вычисления 
предела функции 
.................................................................................. 
21
§ 5. Пределы тригонометрических функций 
......................................... 
30
§ 6. Первый замечательный предел ....................................................... 
34
§ 7. Первый замечательный предел. Геометрические сюжеты 
........ 
42
Глава 2.  Непрерывные функции 
.............................................................................. 
50
§ 1. Основные определения и простейшие свойства ......................... 
—
§ 2. Задачи 
..................................................................................................... 
56
§ 3. Периодические функции .................................................................... 
57
§ 4. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке........ 
65
§ 5. Классификация разрывов 
................................................................... 
73
§ 6. Разрывы монотонной функции, монотонность 
и непрерывность обратной функции 
.............................................. 
80
§ 7. Непрерывность аркфункций ............................................................. 
83
Глава 3.  Показательная функция вещественной переменной 
......................... 
87
§ 1. Известные свойства степени с рациональным показателем..... 
—
§ 2. Определение и простейшие свойства показательной функции 
вещественной переменной 
............................................................... 
89
§ 3. Значения показательной функции на множестве 
рациональных чисел 
........................................................................... 
90
§ 4. Единственность показательной функции 
....................................... 
91
§ 5. Значения p(x) при иррациональных x (существование 
показательной функции вещественной переменной) 
................ 
92
3

 
§ 6. Дальнейшие свойства показательной функции  
вещественной переменной 
............................................................... 
95
§ 7. Задачи 
..................................................................................................... 
98
Глава 4.  Логарифмическая функция 
....................................................................... 
103
§ 1. Определение и основные свойства ................................................. 
—
§ 2. Логарифмические формулы .............................................................. 
105
§ 3. Задачи 
..................................................................................................... 
107
Глава 5.  Замечательные пределы и их применение .......................................... 
110
§ 1. Замечательные пределы 
.................................................................... 
—
§ 2. Задачи 
..................................................................................................... 
113
Глава 6.  Асимптоты 
..................................................................................................... 
118
§ 1. Асимптота кривой ................................................................................ 
—
§ 2. Асимптоты графиков функций .......................................................... 
119
§ 3. Симметрия асимптот в зависимости от свойств  
симметрии функции  ........................................................................... 
125
§ 4. Задачи 
..................................................................................................... 
127
Решения, указания, ответы ....................................................................................... 
133
Глава 1. Предел функции  
.......................................................................... 
—
Глава 2. Непрерывные функции .............................................................. 
164
Глава 3. Показательная функция вещественной переменной ......... 
185
Глава 4. Логарифмическая функция ....................................................... 
191
Глава 5. Замечательные пределы и их применение .......................... 
197
Глава 6. Асимптоты ..................................................................................... 
208
Рекомендуемая литература 
....................................................................................... 
243
4

Предисловие
Настоящее пособие является продолжением пособия «Предел последовательности» [1]. Как и первое, оно содержит в основе курс математического анализа, 
который автор ведет в Академической гимназии СПбГУ с 2000 года. Вместе эти 
два пособия покрывают львиную долю нынешней программы этой гимназии 
для 10-го класса. 
Помимо тем, присутствие которых прямо вытекает из названия, в пособии есть разделы, посвященные показательной и логарифмической функциям, так как введение этих функций основано на понятии непрерывности. 
Показательная функция вещественной переменной вводится как продолжение 
по непрерывности показательной функции рационального аргумента, а логарифмическая — как обратная к показательной. 
Несколько слов о структуре пособия. 
Основная его часть состоит из шести тематических глав, каждая из которых включает последовательное изложение теории с вкраплением задач. Изложение теории по стилю близко к учебнику. Ни его восприятие, ни решение 
задач не требуют обращения к другим источникам. Предполагается, что читатель знаком со свойствами основных элементарных функций (кроме показательной и логарифма), а также с пределом последовательности; в тексте имеются ссылки на конкретные фрагменты упомянутого выше пособия [1]. 
Предложенные задачи делятся на два вида — примеры и упражнения. 
Цель примеров — проиллюстрировать теоретический материал или научить 
читателя определенному техническому приему, поэтому ко всем примерам тут 
же, в тексте, даются решения. Упражнения также привязаны к теме главы, но в 
большей степени ориентированы на освоение приемов решения задач. К ним 
также имеются решения, но они вынесены в раздел «Решения, указания, ответы». Упражнения и примеры нумеруются независимо внутри каждой главы 
номерами вида X.Y, где X — номер главы, Y — номер примера или упражнения. 
Порядок задач внутри каждой темы примерно соответствует повышению их 
трудности. 
5

Предисловие
Читателю, который захочет найти задачи на интересующую его тему, 
нужно иметь в виду следующее. Поскольку сведения о конкретных элементарных функциях появляются по мере изложения, не все задачи, которые по 
содержанию относятся к определенной теме, можно собрать в одном месте. 
Скажем, первые задачи по исследованию функции на непрерывность предлагаются, когда еще не доказана непрерывность аркфункций и читатель еще не 
знаком с показательной и логарифмической функциями. Аналогичные задачи 
появляются в последующих главах по мере освоения новых функций. То же относится ко всем задачам, где требуется знание так называемых замечательных 
пределов, которые не могут появиться раньше, чем в предпоследней главе, 
пока не выполнена необходимая подготовительная работа. 
По объему как теория, так и задачи даны в пособии с избытком. Едва 
ли весь этот материал можно проработать с одним классом в один учебный 
год. Однако все это когда-либо предлагалось школьникам. Суммарный объем 
уменьшался за счет тех частей, которые можно считать факультативными. 
 
В случае если этим пособием захочет воспользоваться преподаватель, он сам 
сможет выделить необязательные темы и задачи сообразно программе и своим 
вкусам. 
Настоящее пособие вплотную подводит к темам 11-го класса «Производная» и «Интеграл», которые являются его логическим продолжением. Кстати, 
по той причине, что заблаговременное знакомство с ними не предполагается, 
в настоящем пособии не представлен такой популярный у первокурсников 
прием вычисления пределов, как правило Лопиталя. Приходится смиренно 
согласиться с замечанием классика о невозможности объять необъятное. 
Остается добавить, что материалы, подготовленные для этого пособия, 
оказались без преувеличения спасительными во внезапно возникших условиях дистанционного обучения из-за пандемии 2020 года. 
*  *  *
В заключение автор хотел бы поблагодарить своих учеников, чьи любознательность и энтузиазм были для него главным стимулом. Кроме того, он 
благодарен администрации Академической гимназии СПбГУ за мудрое руководство, свободное от мелочной опеки и чрезмерной регламентации, которые 
столь пагубны в деле образования.  
6

Глава 1
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Глава 1 
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 
§ 1. Предварительные понятия
1.1. Окрестность 
Понятие «окрестность» было введено в [1, гл. 2 § 1]. Здесь нам понадобится дополнить его понятием «проколотая окрестность». Сначала повторим 
определения.  
Определение. Пусть a  — некоторое число, 
0.
r >
 Окрестностью числа a  
называется открытый промежуток (
)
;
.
a
r a
r
−
+
 Число a  называется центром
этой окрестности, число r  — ее радиусом.  
Отрезок числовой оси, отвечающий промежутку (
)
;
,
a
r a
r
−
+
 будем называть окрестностью точки a . Вообще будем отождествлять вещественные числа 
и соответствующие им точки числовой оси.  
Стандартные обозначения и названия: промежуток (
)
;
a
r a
r
−
+
 называется r-окрестностью точки a  и обозначается 
( ).
r
V a
Если радиус окрестности не играет роли (или подразумевается), то можно 
в обозначении окрестности его опускать. Так, через 
( )
V a  можно обозначить
любую окрестность точки .
a   
Определение. Окрестностью точки +∞ называется полубесконечный 
промежуток (
)
;
,
M +∞
 где M  — любое число.
Окрестностью точки –∞ называется полубесконечный промежуток 
(
)
;
,
M
−∞
 где M  — любое число.
7

Глава 1. Предел функции
1.2. Условия принадлежности данного числа данной окрестности 
1. Окрестность конечной точки:  
( )
.
r
x
V a
a
r
x
a
r
r
x
a
r
x
a
r
∈
⇔
−<
<
+ ⇔−<
−
<
⇔
−
<
 
Словами 
это 
можно выразить так: расстояние от точки x  до точки a  меньше .
r   
2. Окрестность бесконечно удаленной точки:  
(
)
;
;
x
M
x
M
∈
+∞⇔
>
  
(
)
;
.
x
M
x
M
∈−∞
⇔
<
 
1.3. Проколотая окрестность 
Определение. Пусть a  — некоторое число, 
0.
r >
 Множество 
( ) { }
\
,
r
V a
a
 
или, что то же самое, (
)
(
)
;
;
a
r a
a a
r
−
∪
+
, называется проколотой окрестностью точки .
a  Стандартное обозначение: 
( ).
r
V a
′
  
Иначе говоря, проколотая окрестность конечной точки — это окрестность, из которой удален (выколот) ее центр.  
Определение. Проколотая окрестность бесконечной точки совпадает с ее 
окрестностью (обычной).  
Таким образом, ( )
V a =
( )
V
a
′
 для a = ±∞, ( )
V a =
( )
{ }
V
a
a
∪
′
 для 
.
a ≠±∞ 
1.4. Стягивающиеся окрестности  
Определение.  
1. Пусть a ∈R , и дана последовательность 
( ) (
)
;
n
n
n
V
a
a
a
α
α
=
−
+
, где 
0
n
α →
. Тогда последовательность 
( )
n
V
a  называется стягивающейся к точке a . 
2. Последовательность (
)
;
n
M
+∞, где 
n
M →+∞, называется стягивающейся к точке +∞. 
3. Последовательность (
)
;
n
m
−∞
, где 
n
m →−∞, называется стягивающейся к точке –∞. 
 
 
8

§ 1. Предварительные понятия
1.5. Точка сгущения  
Определение. Пусть a ∈R  (или a = ∞, или a = −∞), D ⊂R , и 
( )
( )
V
a D
V
a
∀
∩
≠
′
′
∅. Тогда a  называется точкой сгущения множества 
.
D   
Словами те же требования к точке a  можно выразить так: «В любой проколотой окрестности точки a  есть точка из множества D». Или (что то же самое): «В любой окрестности точки a  есть точка из множества 
,
D  отличная  
от а».  
Обратим внимание, что сама точка a  может принадлежать множеству 
,
D
а может и не принадлежать ему.  
Пример 1.1. Для множества всех вещественных чисел R любая точка  
(в том числе +∞ и — ∞) является точкой сгущения. Действительно, любая проколотая окрестность не пуста, значит в ней есть точка из R.  
Пример 1.2. У множества целых чисел Z две точки сгущения: +∞ и — ∞.  
Точка +∞ является точкой сгущения, так как в любой проколотой окрестности +∞ есть целое число. То же для –∞. 
Докажем, что a  ≠ ±∞ не есть точка сгущения. Пусть d  — расстояние от a  
до ближайшей к a  целой точки, отличной от a . Очевидно, d > 0. Любая проколотая окрестность точки a  радиуса меньше d  не содержит ни одной точки из Z.  
 
Упражнение 1.1. Найдите все точки сгущения полуоткрытого промежутка [
)
;
a b .  
Пример 1.3. Для множества всех рациональных чисел Q любая точка  
(в том числе +∞ и — ∞) является точкой сгущения.  
Доказательство. Пусть V′  — произвольная проколотая окрестность некоторой конечной точки и r  — ее радиус. Тогда 1
r  — некоторое положительное число, и существует натуральное число N, большее 1
r . Но если N > 1
r , то  
0 < 1
N  < .
r  Значит, в промежуток V  (длина его равна 2r ) попадает по меньшей 
мере два рациональных числа вида k
N , где 
.
k ∈Z  По меньшей мере одно из них 
отлично от центра окрестности, то есть принадлежит 
.
V′   
9

Глава 1. Предел функции
Пусть V′ = (
)
;
M +∞ — окрестность точки +∞. Существуют рациональные 
числа, большие M, они принадлежат 
.
V′  Аналогично для –∞.  
Характеристическое свойство точки сгущения. Точка a является точкой 
сгущения для множества D  в том и только том случае, когда существует последовательность 
,
n
x
 такая, что все 
n
x
D
∈
, 
n
x
a
≠
, и lim
.
n
n
x
a
→∞
=
  
Доказательство прямо вытекает из определения предела последовательности.  
Пример 1.4. У множества 
1
 есть одна точка сгущения, это 0.  
D
n
∈

= 

N
n
Доказательство. Поскольку 
1
lim
0,
n
n
→∞
=
 точка 0 — точка сгущения множества 
1
. Допустим, у этого множества есть точка сгущения a  ≠ 0. ТоD
n
∈
n

= 

N
гда существует последовательность, описанная в характеристическом свойстве 
1
и стремящаяся к .
a  Но для последовательности 




 она является подn
n
∈
1,2,
последовательностью, значит ее предел равен 
1
lim
0.
n
n
→∞
=
 Налицо противоречие.  
 
Упражнение 1.2. Докажите:  
1) +∞ является точкой сгущения множества тогда и только тогда, когда 
это множество не ограничено сверху; 
2) –∞ является точкой сгущения множества тогда и только тогда, когда 
это множество не ограничено снизу.  
 
Упражнение 1.3. Докажите, что конечное множество не имеет точек сгущения.  
 
Упражнение 1.4. Найдите все точки сгущения множества значений функции sgn .
x  
Приведем два важных примера. В дальнейшем будут часто встречаться 
следующие две функции, определенные на всей числовой оси. В примерах 1.5 
и 1.6 через Q обозначено множество всех рациональных чисел.  
10