Обыкновенные дифференциальные уравнения: лекции и практические занятия

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Басов
ОБЫКНОВЕННЫЕ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
ЛЕКЦИИ И ПРАКТИЧЕСКИЕ  
ЗАНЯТИЯ
Учебное пособие
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.9
ББК 22.161.6
Б27
Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. Ю. Н. Бибиков (С.-Петерб. гос. ун-т);
канд. физ.-мат. наук, доц. Б. Ф. Иванов (С.-Петерб. гос. ун-т пром.
технологий и дизайна)
Рекомендовано к публикации
Учебно-методической комиссией по УГСН 01.00.00 Математика и механика
Санкт-Петербургского государственного университета
Б27
Басов В. В.
Обыкновенные дифференциальные уравнения: лекции и практические занятия: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,
2023. — 436 с.
ISBN 978-5-288-06319-0
В пособии объединены две части. В части первой, теоретической, «Лекции»
представлен курс лекций, которые читаются студентам второго курса. Материал
отличается от аналогичных курсов более подробными доказательствами, подкрепленными оригинальными примерами и контрпримерами, и содержит ряд новых результатов. Особенно это касается уравнений первого порядка, для которых
разбираются вопросы о существовании, единственности и продолжимости решений задачи Коши, поставленной на границе области, а также теории нормальных форм. В части второй «Практические занятия» содержится описание того,
что разбирается на реальных семинарских занятиях. В ней для различных типов
уравнений и систем приводятся алгоритмы и подробные решения оригинальных
задач, для каждой из которых поставлено большое число задач Коши.
Предназначено студентам технических университетов, может быть полезно аспирантам и научным работникам различных математических, физических
и технических направлений, решающим практические задачи.
УДК 517.9
ББК 22.161.6
Рекомендовано к публикации по результатам
ежегодного открытого конкурса учебных изданий СПбГУ
«Университетский заказ — 2022»
©
Санкт-Петербургский
государственный университет, 2023
©
В. В. Басов, 2023
ISBN 978-5-288-06319-0

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЛЕКЦИИ
РАЗДЕЛ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Глава 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 1. Основные понятия и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 2. Существование решения внутренней задачи Коши. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 3. Существование решения граничной задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 4. Единственность решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§ 5. Существование общего решения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Д о п о л н е н и я к главе 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
П р и л о ж е н и я к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Глава 2. Уравнения первого порядка в симметричной форме. . . . . . . . . . .
90
§ 1. Существование и единственность решения .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
§ 2. Интеграл уравнения в симметричной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
§ 3. Уравнение в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. . .
109
Д о п о л н е н и е к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
П р и л о ж е н и я к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
РАЗДЕЛ 2. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава 3. Нормальные системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 2. Формула конечных приращений, условия Липшица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
§ 3. Метод последовательных приближений Пикара.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 4. Линейные системы. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
§ 5. Зависимость решения системы от начальных данных и параметра . . . .
141
Д о п о л н е н и я к главе 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Глава 4. Линейные уравнения высокого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
§ 1. Существование, единственность и продолжимость решений .. . .. . . . . . .
163
§ 2. Линейные однородные уравнения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
§ 3. Линейные неоднородные уравнения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .. . . . . . . . . . . . . . .
174

Оглавление
Глава 5. Линейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
§ 1. Линейные однородные системы с непрерывными коэффициентами.. . .
181
§ 2. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами . . . . .
187
§ 3. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами ..
197
§ 4. Линейные неоднородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
Глава 6. Автономные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
§ 1. Свойства решений и траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
§ 2. Предельные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
§ 3. Линейные однородные системы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
Д о п о л н е н и я к главе 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
РАЗДЕЛ 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
И МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
Глава 7. Теория устойчивости движения по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
§ 1. Понятие об устойчивости движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
§ 2. Устойчивость линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
§ 3. Устойчивость по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
§ 4. Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
Глава 8. Теория нормальных форм Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
§ 2. Формальная эквивалентность и нормальная форма систем. . . . . . . . . . . .
251
§ 3. Критический случай пары чисто мнимых собственных чисел. . . . . . . . . .
260
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Глава 9. Интегрирование основных типов уравнений первого порядка
278
§ 1. Краткий обзор, задачи, рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
§ 2. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
§ 3. Уравнение Риккати.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
§ 4. Однородное и дробно-линейное уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
§ 5. Обобщенно-однородное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
§ 6. Уравнение, не разрешенное относительно производной .. . . . . . . . . . . . . . .
316
П р и л о ж е н и я к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
Глава 10. Интегрирование уравнений высокого порядка и систем. . . . . .
346
§ 1. Краткий обзор, задачи для решения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
§ 2. Уравнение высокого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
§ 3. Линейное уравнение высокого порядка.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
§ 4. Нормальная система. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
§ 5. Система в симметричной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
§ 6. Линейная система с постоянными коэффициентами .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
382
§ 7. Производные решения по начальным данным и параметру. . . . . . . . . . . .
404
§ 8. Разложение решения в ряд по степеням малого параметра . . . . . . . . . . . .
411
§ 9. Разложение решения в ряд по степеням независимой переменной . . . . .
417
П р и л о ж е н и е к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434

ПРЕДИСЛОВИЕ
Тематика учебного пособия. В издании представлен материал, который на протяжении многих лет преподается студентам второго курса математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета на лекциях и на практических (семинарских) занятиях
по обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ).
Пособие включает в себя теоретическую и практическую части.
Часть первая «Лекции» — это фактически краткий курс подробных
лекций. Курс можно назвать «кратким» потому, что в него не включены некоторые темы, обычно входящие в учебники по ОДУ. Во-первых, их
просто невозможно вместить в годовой курс лекций, и во-вторых, многие
освещаемые в учебниках вопросы относятся скорее к спецкурсам, которые
читаются студентам и аспирантам, специализирующимся по направлению
«Дифференциальные уравнения». При этом лекции подробны, так как, помимо строгого изложения результатов, в них приводятся доказательства
многих простых утверждений, которые в учебниках заменяются стандартной фразой: «очевидно, что ...». И они действительно в достаточной степени очевидны. Однако многолетнее общение с обучающимися, как на экзаменах, так и на практических занятиях, показывает, что доказательство
таких утверждений, например на языке «ε,δ», стоит приводить в лекциях,
чтобы добиться по-настоящему полного понимания того, как получаются
описываемые результаты.
Во второй части «Практические занятия» разбираются вопросы, связанные с описанием алгоритмов и решением оригинальных (авторских)
уравнений и систем ОДУ. В ней подробно описано многое из того, что
изучается и решается на семинарских занятиях.
Хочется еще раз подчеркнуть, что изложение материала в пособии сознательно ведется настолько подробно, чтобы и в основах теории ОДУ,
и в вопросах практики мог разобраться любой студент, не обязательно
математико-механического факультета, а также читатель, владеющий знаниями по математическому анализу, алгебре и геометрии в пределах первого курса фактически любого негуманитарного вуза.

Предисловие
Структура учебного пособия. Издание содержит десять глав, имеющих сквозную нумерацию, а также дополнения и приложения к некоторым из них. Первые восемь глав входят в теоретическую часть пособия
«Лекции», состоящую из трех разделов.
Раздел 1 «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка» содержит две главы. Первая глава посвящена дифференциальным
уравнениям первого порядка, разрешенным относительно производной, а
вторая — уравнениям в симметричной форме.
Раздел 2 «Системы обыкновенных дифференциальных уравнений» содержит четыре главы. Ключевой главой не только второй части, но и всего
курса является третья глава, в которой для нормальных систем ОДУ доказываются фундаментальные теоремы о существовании, единственности и
свойствах решений, в частности об интегральной непрерывности, о дифференцируемости или об аналитичности решения системы по начальным данным, параметру и независимой переменной. В главах с четвертой по шестую рассматриваются важнейшие частные случаи нормальных систем —
это линейные уравнения высокого порядка, линейные системы, включая
теорию Флоке, и автономные системы, включая определение и свойства
предельных множеств и классификацию Пуанкаре.
Раздел 3 «Основы теории устойчивости и метода нормальных форм»
объединяет седьмую и восьмую главы. В нем излагаются основы двух важнейших направлений качественной теории ОДУ — теории устойчивости
движения и теории нормальных форм.
Последние две главы пособия образуют часть вторую «Практические
занятия».
Глава 9 опирается на теоретические результаты, полученные в разделе 1, и посвящена описанию различных типов уравнений первого порядка,
интегрируемых в квадратурах, алгоритмов их решения и непосредственно
решению оригинальных уравнений и большого количества поставленных
для каждого из уравнений задач Коши. Графики всех найденных решений
построены при помощи пакета программ Maple на портретах интегральных кривых.
Аналогично в главе 10 с использованием теоретических результатов из раздела 2 описываются алгоритмы решения различных типов
уравнений высокого порядка, нормальных систем, систем в симметричной форме и линейных систем и приводятся подробные решения оригинальных задач на эти темы. Кроме того, основываясь на фундаментальных теоремах, доказанных в главе 3, автор описывает алгоритмы
и решает задачи, связанные с нахождением производных решений нормальных систем по начальным данным и параметру и разложением ре

Предисловие
7
шений в ряды по степеням малого параметра или независимой переменной.
В случае отсутствия в части «Лекции» необходимых теоретических
результатов, требующихся, например, для решения уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной, или для нахождения
общего интеграла нормальной системы, или при использовании обобщенных степенных рядов для решения линейных уравнений с аналитическими коэффициентами в окрестности особой точки, в части «Практические занятия» приводятся и обсуждаются необходимые утверждения
со ссылками на доказательства, которые имеются в других учебных пособиях.
Особенности, актуальность. Зачем нужно еще одно учебное пособие по ОДУ при наличии большого числа разнообразных хороших книг на
эту тему (см., например, учебники [1–17] или задачники [22–24])?
Отвечая на этот вопрос, отметим следующие моменты:
1. Курс удобен тем, что содержит только ту информацию, усвоение
которой достаточно для получения зачета и успешной сдачи экзамена по
дифференциальным уравнениям.
Огромное количество материала, содержащееся в большинстве учебников, позволяет найти ответ практически на любой вопрос, возникающий
у студента или аспиранта при серьезном знакомстве с основами дифференциальных уравнений, а также использовать представленные результаты
для работы с прикладными задачами. Но это обилие фактов затрудняет
выделение того минимума знаний, который необходим при непосредственной подготовке к зачету и экзамену.
Кроме того, утверждения в пособии, как уже отмечалось, снабжены
весьма подробными доказательствами, причем изложение материала ведется не «сухим» языком, а имеет повествовательный (разговорный) оттенок, как бы призывающий читателя к размышлениям и обсуждению. Особенно это касается части второй «Практические занятия». Такой подход,
по мнению автора, помогает лучше осознавать проблемы, воспринимать
различные теории и алгоритмы, усваивать их.
2. В пособии разбирается ряд вопросов, которые по различным причинам не затрагиваются в учебниках по ОДУ.
Основные новшества касаются уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Теория для уравнения y′ = f(x,y) допускает различные подходы, поскольку существенно зависит от вида множества, на котором рассматривается правая часть, и от свойств функции f
на этом множестве.

Предисловие
Ряд авторов изначально предполагают, что правая часть уравнения
имеет в своей области определения непрерывную частную производную
по y, что, понятно, гарантирует единственность любого решения задачи Коши и существенно упрощает доказательства многих теорем, но не
требуется, например, для доказательства теоремы Пеано о существовании
решения.
Другие авторы, напротив, задают правую часть уравнения на произвольном множестве, в том числе одномерном и несвязном, и не требуют от
функции f даже непрерывности. А все дополнительные предположения
вносят по мере необходимости в ходе рассуждений.
Безусловно, эти подходы имеют свои преимущества и недостатки. Однако чаще всего рассматриваются уравнения с правой частью, определенной и непрерывной в некоторой области G ⊂R2.
Но и при таком подходе определенные проблемы возникают при решении конкретных уравнений на практических занятиях. В ходе решения
достаточно часто появляются функции, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество на некотором промежутке, но решениями
названы быть не могут, поскольку их графики лежат не в области G, а
на ее границе. Простейший пример — уравнение y′ = √y, которому удовлетворяет функция y(x) ≡0.
Затрудняясь объяснить студентам, чем эти «граничные» функции «хуже», так сказать, внутренних решений, преподавателям на практических
занятиях приходится вводить ряд новых понятий, получая расхождения
между теорией и практикой.
Поэтому в настоящем пособии предлагается рассматривать функцию
f(x,y) определенной и непрерывной на множестве ̃
G = G ∪̂
G, где G —
область, множество ̂
G ⊂∂G, а ∂G — граница области G.
Такой подход позволяет разделять решения на внутренние, граничные и смешанные, что удобно использовать при практическом решении
различных задач Коши, а также доказывать теоремы о существовании и
единственности граничных решений, которые невозможно даже сформулировать при других подходах к заданию области определения функции
f(x,y).
Помимо этого в разделе 1 устанавливаются связи между различными
определениями единственности решения задачи Коши. Так, если для задачи Коши, поставленной в точке, лежащей в области G, из определения
единственности в точке, когда любая пара решений должна совпадать
на своем интервале, вытекает локальная единственность, гарантирующая
наличие единого интервала, на котором совпадают любые решения поставленной задачи, то для задачи Коши, поставленной в граничной точке

Предисловие
9
области G, установлено, что это не так. Более того, само определение
точек единственности и неединственности приходится уточнять в связи с
наличием граничных точек.
Аналогичные изменения касаются теории уравнений в симметричной
форме M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, изложенной во второй главе.
Следует отметить, что вопросы, связанные с существованием и единственностью решения граничной задачи Коши, до настоящего времени не
встречались не только в учебной, но и в научной литературе. При этом
изложение теоретического материала по этой теме не требует дополнительных теоретических построений и вполне доступно студентам второго
курса, так как опирается на хорошо известный им метод ломаных Эйлера.
В главе 3 обобщены и унифицированы формулировки фундаментальных теорем о непрерывности, дифференцируемости, аналитичности решений нормальной системы по начальным данным и параметру. Сделано это для того, чтобы облегчить их применение для решения практических задач, в которых часто предполагается, что в решении задачи Коши
y = y(x,x0,y0,μ) вектор начальных данных y0 не постоянен, а имеет малые возмущения по параметру μ.
Еще одно существенное отличие в изложении материала касается теории нормальных форм, бурно развивающейся в последние десятилетия
и являющейся одним из основных аналитических инструментов исследований в локальной качественной теории. Например, современное изложение теории устойчивости движения трудно представить без использования
нормальных форм. В связи с этим учебники, появляющиеся в последнее
время, стали включать в себя краткие разделы, посвященные методу нормальных форм.
В главе 8 достаточно полно и системно изложена формальная теория
так называемых резонансных нормальных форм, или, как еще говорят,
нормальных форм Пуанкаре. Затем ее положения апробированы на примере вещественной системы с парой чисто мнимых корней характеристического уравнения. Дополнительно для этой системы разобраны вопросы, связанные с устойчивостью по Ляпунову тривиального решения как
в трансцендентном, так и в алгебраическом случае, доказана теорема об
аналитичности нормализующей замены в трансцендентном случае и осуществлена вторичная нормализация, позволяющая выделить локальные
алгебраические инварианты.
3. Материал в разделе 1 части первой «Лекции», помимо стандартных,
снабжен большим количеством оригинальных примеров и контрпримеров,
поясняющих суть теоретических построений. В приложениях к первым
двум главам приведены подробные решения уравнений, используемых в

Предисловие
примерах, а также решения различных задач Коши, поставленных для них
и снабженных портретами интегральных кривых, выполненных в пакете
программ Maple.
Подобная структура подачи материала представляется весьма удобной, поскольку теоретический раздел пособия не загромождается решениями, а при возникновении каких-либо вопросов или сомнений, касающихся
примеров, всегда можно разобраться с ними, изучив соответствующее приложение. При этом оригинальные примеры далеко не тривиальны, а значит, их полезно использовать и для улучшения навыков самостоятельного
решения многих типов уравнений и систем, изучаемых на практических
занятиях.
В части первой «Лекции» имеются также дополнения к главам. Заинтересовавшиеся студенты могут найти в них теоретические материалы,
дополняющие курс, а также для удобства в дополнениях собраны хорошо
известные определения, не относящиеся непосредственно к дифференциальным уравнениям, но неоднократно использующиеся в формулировках
результатов и в доказательствах.
4. Несколько слов о части второй «Практические занятия».
В пособии удалось объединить то, что обычно встречается по отдельности, — учебник и задачник, причем в пособии представлен не задачник,
а скорее «решебник», как сейчас говорят.
Достоинства объединения теории и практики в одном издании несомненны. В задачниках, как правило, приводятся необходимые для решения краткие алгоритмы и формулы со ссылками на учебники, в которых
эти алгоритмы обоснованы, а формулы выведены. Большинство студентов не смотрит в учебники, обозначения и стиль изложения в которых
могут сильно отличаться от привычных, и предложенные методы часто
принимаются на веру. В пособии же, как говорится, далеко ходить не надо: открыл нужный параграф по точной ссылке, прочитал все необходимые материалы в знакомых обозначениях, разобрался и начал осознанно
решать задачу.
Дополнительное удобство заключается в единстве языка, на котором
ведется обучение, т. е. в единстве обозначений, определений и формулировок, имеющихся в теоретической части и необходимых для решения предлагаемых на семинарских занятиях заданий. Материал, представленный
в таком виде, очевидно, более доступен для восприятия и усвоения.
Набор разбираемых во второй части уравнений и систем фактически
соответствует программе практических занятий по ОДУ с единственным
уточнением: акцент сделан именно на решение типичных систем и уравнений, а теоретические задачи, в которых требуется что-то доказать, не