Математическая теория сейсмических волн

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Т. Б. Яновская
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 
СЕЙСМИЧЕСКИХ 
ВОЛН
Учебное пособие
ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


УДК  550.34
ББК  26.21
          Я64
Р е ц е н з е н т ы :
д-р геол.-мин. наук, проф. А. Н. Телегин (С.-Петерб. горный ун-т), 
д-р физ.-мат. наук, проф. В. Н. Троян (С.-Петерб. гос. ун-т)
Рекомендовано к изданию Учебно-методической комиссией 
по УГСН 03.00.00 Физика и астрономия 
Санкт-Петербургского государственного университета
Я64	
Яновская Т. Б.
Математическая теория сейсмических волн: учеб. пособие.  — СПб.: 
Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2023. — 202 с.
ISBN 978-5-288-06336-7
Цель пособия — сформировать основу для исследований в области теоретической 
сейсмологии. Излагаются главные аспекты теории сейсмических волн в  простейших 
однородных средах, освещаются приближенные методы в теории объемных волн в неоднородных средах (лучевой метод, методы оценки полей при наличии каустик и неоднородностей). Подробно изложено распространение поверхностных волн в вертикальнонеоднородном пространстве со слабыми горизонтальными неоднородностями. Полученные выводы важны для исследования строения земной коры и верхней мантии методами 
поверхностно-волновой томографии. Уделено внимание вычислительным методам для 
расчета лучей и  матричному методу вычисления полей в  слоистых средах. Отдельная 
часть посвящена элементам теории собственных колебаний Земли, как однородного, так 
и радиально-неоднородного упругого шара.
Учебное пособие предназначено студентам и аспирантам, специализирующимся в области сейсмологии и прикладной геофизики. Его найдут интересным и полезным исследователи, работающие в теоретической и экспериментальной сейсмологии.
УДК 550.34
ББК 26.21
Проект — победитель ежегодного открытого конкурса 
учебных изданий СПбГУ «Университетский заказ — 2019»
©  Санкт-Петербургский 
      государственный университет, 2023
ISBN 978-5-288-06336-7


ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора........................................................................................................................	
5
Часть I.  ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ................................................................	
7
Глава 1. Основные понятия.......................................................................	
7
Глава 2. Уравнения движения.
..................................................................	
14
Глава 3. Упругие волны..............................................................................	
17
Глава 4. Плоские волны..............................................................................	
19
Глава 5. Энергия волн.................................................................................	
25
Глава 6. Анизотропные среды.
..................................................................	
28
Глава 7. Отражение и преломление волн на границах раздела.
......	
31
Глава 8. Волновые поля, возбуждаемые сосредоточенными 
источниками.
.................................................................................	
40
Часть II. СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.........................................................................	
44
Глава 1. Лучевое приближение ...............................................................	
46
Глава 2. Асимптотическое представление решения  
в окрестности каустики...............................................................	
89
Глава 3. Метод суммирования гауссовых пучков.................................	
97
Глава 4. Краевые эффекты.........................................................................	
105
Глава 5. Рассеяние сейсмических волн мелкомасштабными 
неоднородностями .....................................................................	
114
Часть III. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ.........................................................................	
121
Глава 1. Волны Релея в однородном полупространстве....................	
121
Глава 2. Слой на полупространстве .
.......................................................	
124
3

Глава 3. Многослойная среда: метод Томсона — Хаскелла.
...............	
128
Глава 4. Волновое поле, вызванное источником, сосредоточенным 
в слое.
..............................................................................................	
141
Глава 5. Приближенные методы оценки поля......................................	
151
Глава 6. Краевые задачи............................................................................	
162
Глава 7. Поверхностные волны в полупространстве  
со слабой горизонтальной неоднородностью......................	
176
Часть IV. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗЕМЛИ.
.......................................................	
182
Глава 1. Собственные колебания однородного шара.........................	
182
Глава 2. Колебания неоднородного шара,  
вызванные источником..............................................................	
187
Глава 3. Влияние гравитации на собственные колебания.
................	
192
Глава 4. Асимптотика собственных колебаний — представление 
в виде суперпозиции поверхностных волн...........................	
196
Литература.....................................................................................................................	
199

От автора
От автора
Учебное пособие создано на основе курсов лекций, читавшихся автором на протяжении многих лет на кафедре физики Земли СПбГУ
. Необходимость в написании книги была обусловлена тем, что в отечественной литературе отсутствуют 
издания, в которых были бы собраны все основные аспекты математической тео- 
рии сейсмических волн на доступном для студентов уровне. Книга может также служить в качестве справочного материала по отдельным вопросам теории 
сейсмических волн для специалистов в области сейсмологии и сейсморазведки. 
Отдельные разделы издания дополнены вопросами и задачами с целью лучшего 
усвоения материала. 
Книга состоит из четырех частей. Первая часть является вводной и содержит 
основные аспекты теории сейсмических волн в простейших однородных средах. 
Вторая часть посвящена различным приближенным методам в теории объемных 
волн в неоднородной среде. В первую очередь это асимптотические методы, используемые как в случае регулярного поля лучей (лучевой метод), так и в случае 
наличия каустик. Кроме того, описывается приближенный метод оценки полей 
волн, рассеянных на мелкомасштабных неоднородностях, и поля дифрагированных волн, возникающих в угловых зонах. 
 В третьей части приводится теория поверхностных волн в однородно- 
слоистом и вертикально-неоднородном полупространстве. Для приближения к 
модели реальной Земли рассматривается распространение поверхностных волн 
в вертикально-неоднородном полупространстве со слабыми горизонтальными 
неоднородностями. Полученные выводы оказываются важны для исследования 
структуры земной коры и верхней мантии методами поверхностно-волновой томографии. Как во второй, так и в третьей главах большое внимание уделяется 
вычислительным методам, в частности расчету лучей и матричному методу вычисления полей в слоистых средах. 
В четвертой части можно ознакомиться с элементами теории собственных 
колебаний шарообразной модели Земли — как однородного, так и радиально5

От автора
неоднородного упругого шара. Здесь показана связь собственных колебаний и 
поверхностных волн: собственные колебания интерпретируются как результат 
наложения поверхностных волн, многократно обегающих шар в противоположных направлениях. Рассматривается также влияние гравитации на собственные 
колебания.
Данное пособие может быть рекомендовано для всех уровней обучения: 
бакалавриата, магистратуры и аспирантуры, а отдельные его разделы — и для 
использования в научных исследованиях.

Часть I
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Глава 1. Основные понятия
Деформации
В твердом теле под влиянием приложенных сил изменяются расстояния между 
частицами, в результате чего тело изменяет свою форму и объем. Это явление 
представляет собой деформацию твердого тела. Если в невозмущенном состоянии некоторая частица находилась в точке с координатами x,y,z, а в результате 
деформации она переместилась в точку с координатами x',y',z', то вектор u с координатами u = x'–x, v = y'–y, w = z'–z называется смещением частицы. Если тело 
совершает поступательное или вращательное движение, то оно не подвергается 
деформации — в этом случае смещение u оказывается одним и тем же во всех 
точках. Деформация возникает тогда, когда смещение различно в  различных 
точках тела, т. е. когда u является функцией координат. Обычно рассматривают 
малые деформации, когда можно пренебречь различием между координатами 
x,y,z и x',y',z' и считать смещение функцией x,y,z. Таким образом, для тела, испытывающего малые деформации, поле смещений образуется множеством векторов u = u(x,y,z).
Чтобы определить характеристики деформации, рассмотрим деформацию 
элементарного объема среды в  виде параллелепипеда со сторонами Δx,Δy,Δz. 
Предположим, что смещение не зависит от координаты z. В этом случае достаточно рассматривать только одну грань параллелепипеда, перпендикулярную 
оси z (прямоугольник ABCD на рис. 1.1).
В результате деформации прямоугольник ABCD превращается в  четырех- 
угольник А'В'С'D', при этом изменяются длины сторон и углы между сторонами. Рассмотрим изменение стороны AB в результате деформации. Вектор В''В''' 
представляет собой изменение смещения при перемещении от точки (x,y) к точке (x + Δx,y), т. е. Δu = u(x + Δx,y) – u(x,y). В  предположении малости смещений 
x
x
∂
∆≈
∆
∂
u
u
 
. Компонента этого вектора 
u
u
B B
x
x
∂
′′ ′′′
∆=
=
∆
∂
 представляет собой 
приращение  длины стороны AB, а 
v
v
B B
x
x
x
α
∂
′′′ ′
∆=
=
∆≈
∆
∂
 определяет ее поворот. Аналогично удлинение стороны AD при перемещении от точки (x,y) к точке 
(x, y + Δy) будет приблизительно равно 
v
v
D D
y
y
∂
′′ ′′′
∆=
=
∆
∂
, а 
.
u
D D
y
y
y
β
∂
′′′ ′ =
∆≈
∆
∂
 
7

Часть I. Волны в однородной среде
Рис. 1.1. Схема, иллюстрирующая 
деформацию прямоугольника ABCD: в результате деформации прямоугольник превращается в четырехугольник A'B'C'D'
Таким образом, изменение прямого угла между координатными осями определится суммой углов 
v
u
x
y
∂
∂
+
=
+
∂
∂
α
β
. В общем случае, когда смещение зависит от всех 
трех координат, полная деформация определяется шестью величинами: относительными удлинениями линейных элементов, параллельных координатным осям 
   
   
,
,
xx
yy
zz
u
v
w
e
e
e
x
y
z
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
и изменениями прямых углов между координатными осями
.
  
 
   
,
,
xy
xz
yz
v
u
u
w
w
v
e
e
e
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
=
+
=
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Последние три величины определяют деформацию сдвига. Обычно в качестве характеристики деформации сдвига принимают величины, равные половине изменения угла, т. е.
1
  
 
   
2
1
1
,
,
2
2
xy
xz
yz
v
u
u
w
w
v
x
y
z
x
y
z




∂
∂
∂
∂
∂
∂


=
+
=
+
=
+






∂
∂
∂
∂
∂
∂






ε
ε
ε
.
Если обозначить координаты x,y,z через x1, x2, x3, а компоненты вектора смещения u,v,w через u1, u2, u3, то деформации как удлинения, так и сдвига могут 
быть записаны единообразно:
u
u
x
x
1
2


∂
∂
=
+


∂
∂


ε
.
i
k
ik
k
i
8

Глава 1. Основные понятия
Таким образом, малая деформация характеризуется симметричным тензором деформации
13
11
12
23
21
22
.
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
   
   
   
   
   
   
33
31
32










Симметричный тензор всегда может быть приведен к  диагональному 
виду поворотом координатных осей. Таким образом, в каждой точке тела могут быть выбраны такие направления осей, в  которых отсутствуют сдвиговые деформации  — они называются главными осями деформации. В  главных осях элементарный параллелепипед со сторонами Δx,Δy,Δz в  результате деформации будет также представлять параллелепипед, но  имеющий 
стороны Δx(1 + εxx), Δy(1 + εyy), Δz(1 + εzz). Объем такого параллелепипеда будет 
равен 
(1
)(1
)(1
)
xx
yy
zz
x y z
∆∆∆
+
+
+
ε
ε
ε
, а  относительное изменение объема в  результате деформации (учитывая малость деформаций) будет соответственно 
равно сумме диагональных элементов тензора деформации:
(1
)(1
)(1
) 1
xx
yy
zz
xx
yy
zz
+
+
+
−≈
+
+
ε
ε
ε
ε
ε
ε
.
Поскольку сумма диагональных элементов тензора является инвариантом 
относительно поворота координат, то и в  любой другой координатной системе относительное изменение объема будет тоже определяться суммой диагональных элементов тензора деформации. Эту величину называют дилатацией 
и обычно обозначают θ, так что
div
u
v
w
x
y
z
∂
∂
∂
=
+
+
=
∂
∂
∂
u
θ
Напряжения
В результате деформирования сплошной среды в ней возникают силы, стремящиеся противодействовать деформации. Понять характер этих сил можно, 
если рассмотреть некоторый объем среды Ω, находящейся в деформированном 
состоянии, и  мысленно удалить окружающую его среду. Очевидно, для того 
чтобы сохранить этот объем в том же деформированном состоянии, необходимо к поверхности Σ этого объема приложить силы, определенным образом 
распределенные по поверхности (рис. 1.2). В отличие от объемных сил, приложенных к элементу объема и имеющих в рассматриваемой точке определенное направление, поверхностные силы зависят не только от положения точки, 
но и от ориентации элемента поверхности. Такие силы, отнесенные к единице 
поверхности, называются напряжениями. В каждой точке напряжение опреде9

Часть I. Волны в однородной среде
ляется вектором силы и направлением нормали к площадке, так что к элементу 
поверхности ΔΣ, имеющей нормаль n, будет приложена сила TnΔΣ. Поскольку 
напряжение определяется не только величиной и направлением силы, но и направлением нормали к поверхности, оно является тензором. Чтобы определить 
тензор напряжений в координатной системе x,y,z, рассмотрим элемент объема 
в виде тетраэдра, имеющего три грани, ориентированные параллельно координатным плоскостям (рис. 1.3). Четвертая грань имеет единичную нормаль n. 
Чтобы этот элемент объема находился в равновесии, необходимо, чтобы сумма 
всех сил, приложенных к его поверхности, равнялась нулю. Пусть площадь грани, имеющей нормаль n, равна dS. Тогда площади граней, перпендикулярных 
осям x,y,z, будут соответственно равны 
  
  
,
,
x
y
z
n dS
n dS
n dS , где 
 
 
,
,
x
y
z
n
n
n  — компоненты вектора n. 
Рис.  1.2. Стрелки изображают 
силы, приложенные к поверхности Σ
Рис.  1.3. Иллюстрация равновесия сил, приложенных к граням 
тетраэдра
Силы, приложенные к этим граням, будут равны –TxnxdS, –TynydS, –TznzdS. 
Знак минус возникает за счет того, что внешней нормалью к этим граням являются оси –x,–y,–z. А сила, приложенная к четвертой грани, равна TndS. Из условия равновесия следует, что
	
n
x
x
y
y
z
z
n
n
n
=
+
+
=
T
T
T
T
Tn .	
(1.1)
Это равенство в компонентах записывается следующим образом:
=
+
+
T
T n
T n
T n
,
nx
xx
x
yx
y
zx
z
=
+
+
T
T n
T n
T n
,
ny
xy
x
yy
y
zy
z
=
+
+
T
T n
T n
T n
.
nz
xz
x
yz
y
zz
z
Таким образом, напряжение в любой точке однозначно определяется тензором
10