Автоматика и телемеханика, 2024, № 9

Ш///Ш

ВТОМАТИКА

И ТЕЛЕМЕХАНИКА



Журнал основан в 1936 году
Выходит 12 раз в год

сентябрь

Москва

2024

Учредители журнала: Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН), Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (ИППИ РАН)

    Главный редактор:

Галяев А.А.

    Заместители главного редактора:

Соболевский А.Н., Рубинович Е.Я., Хлебников М.В.

    Ответственный секретарь:

Родионов И.В.

    Редакционный совет:

Васильев С.Н., Желтов С.Ю., Каляев И.А., Кулешов А.П., Куржанский А.Б., Мартынюк А.А. (Украина), Пешехонов В.Г., Попков Ю.С., Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л.

    Редакционная коллегия:

Алескеров Ф.Т., Бахтадзе Н.Н., Бобцов А.А., Виноградов Д.В., Вишневский В.М., Воронцов К.В., Граничин О.Н., Губко М.В., Каравай М.Ф., Кибзун А.И., Краснова С.А., Крищенко А.П., Кузнецов Н.В., Кузнецов О.П., Кушнер А.Г., Лазарев А.А., Ляхов А.И., Маликов А.И., Матасов А.И., Меерков С.М. (США), Миллер Б.М., Михальский А.И., Мунасыпов Р.А., Назин А.В., Немировский А.С. (США), Новиков Д.А., Олейников А.Я., Пакшин П.В., Пальчунов Д.Е., Поляков А.Е. (Франция), Рапопорт Л.Б., Рублев И.В., Степанов О.А., Уткин В.И. (США), Фрадков А.Л., Цыбаков А.Б. (Франция), Чеботарев П.Ю., Щербаков П.С.




Адрес редакции: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65 Тел./факс: 8 (495) 198-17-20, доб. 1443 Электронная почта: redacsia@ipu.ru

Зав. редакцией Е.А. Мартехина

Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»


© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала «Автоматика и телемеханика» (составитель), 2024

Автоматика и телемеханика, № 9, 2024





                Линейные системы




@ 2024 г. А.И. ГЛУЩЕНКО, д-р техн, наук (aiglush@ipu.ru), К.А. ЛАСТОЧКИН (lastconst@yandex.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

АДАПТИВНЫЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР ДЛЯ КОМПЕНСАЦИИ ПО ВЫХОДУ ОГРАНИЧЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

      Рассматривается задача компенсации по выходу ограниченных сигнальных возмущений, действующих на минимально-фазовую линейную систему с неизвестными параметрами. Разработан адаптивный вспомогательный контур, который не требует знания модели возмущения и позволяет: а) разделить процессы оценивания параметрических и сигнальных возмущений, б) с любой заданной точностью оценить и скомпенсировать сигнальное возмущение при выполнении условий параметрической идентифицируемости. Сепарация процессов оценивания двух возмущений различной природы достигнута с помощью дополнения метода вспомогательного контура А.М. Цыкунова законом идентификации неизвестных параметров, построенном на базе метода инструментальных переменных и процедуры динамического расширения и смешивания регрессора (ДРСР). Полученная система компенсации сигнальных возмущений имеет определенный потенциал к использованию совместно с общепромышленными ПИ-, ПИД-регуляторами. Теоретические выводы, сделанные в работе, проиллюстрированы с помощью математического моделирования.

    Ключевые слова: возмущение, оценивание, вспомогательный контур, идентификация, инструментальные переменные, сходимость, перепара-метризация, динамическое расширение и смешивание.

    DOI: 10.31857/S0005231024090014, EDN: ZRDUQR


    1. Введение

  Проблема компенсации внешних возмущений многие годы находится в центре внимания специалистов по радиотехнике, электротехнике, теории управления и т.д. К сегодняшнему дню предложено два основных принципа компенсации - косвенный и прямой (непосредственный).
  При косвенной компенсации характеристический полином замкнутой системы выбирается так, чтобы как можно сильнее уменьшить вызванную возмущением составляющую вынужденного движения системы по сравнению с компонентой, связанной с задающим воздействием. Однако путем выбора характеристического полинома замкнутой системы оказывается невозможно с

3

одинаковым качеством компенсировать возмущения с существенно различными спектрами, и возникают задачи выбора характеристического полинома замкнутой системы по априорным данным о спектре возмущения или оптимальным образом (например, с точки зрения Т-Ь}-. 'НОо⁻ноРм, метрики инвариантного эллипсоида и т.д.). В этом смысле необходимо признать ограниченность возможностей классической обратной связи.
   Естественным ответом на этот вызов стало развитие принципа непосредственной компенсации, в соответствии с которым сигнал управления декомпозируется на две составляющие. Первая предназначена для коррекции характеристического полинома замкнутой системы, а вторая должна равняться возмущению с противоположным знаком. Если возмущение согласовано с сигналом управления и измеряемо, то такой подход позволяет добиться полной компенсации его влияния на регулируемую переменную. На первый взгляд, условие согласования выглядит ограничительным, поскольку на практике точки приложения возмущения и управления часто отличаются. Однако на самом деле, следуя принципу эквивалентного возмущения [1] и наложив на исходное возмущение некоторые достаточно слабые условия дифференцируемости, условие согласования всегда возможно удовлетворить. Например, рассмотрим следующую систему:
                           у = агу + Ьгх + bi/, х — а%х + bsu,
тогда, если возмущение f дифференцируемо, применение принципа эквивалентного возмущения позволяет получить систему с согласованным возмущением:
          у = оад + biC,



          С = а%Х + b2U + f ± a₂f = «2 С + &2



где ai, а2, bi, &2 _ некоторые числа, у - измеряемый выход, х - неизмеряемое состояние, С, — х + f — фиктивное состояние, и — управление, f — исходное возмущение, /е? - эквивалентное возмущение.
   Далее всюду будем рассуждать исключительно о согласованных возмущениях, предполагая, что принцип эквивалентного возмущения уже реализован.
   Гораздо более ограничительным является требование доступности возмущения для измерения. Для преодоления этой проблемы в литературе предложены различные наблюдатели возмущений, позволяющие по измерениям управления и выхода системы восстановить значение возмущения с некоторой (обычно с любой заданной) точностью. Не претендуя на полноту обзора, рассмотрим некоторые из существующих наблюдателей возмущений. Для ознакомления со всем многообразием методов рекомендуем читателю ознакомиться с обзорами [2-5].

4

  Существующие наблюдатели возмущений могут быть классифицированы следующим образом:
    1) методы, требующие знания параметров системы, модели и параметров возмущения (расширенный наблюдатель Люенбергера) [6],
    2) методы, требующие знания параметров системы и наличия модели возмущения, допускающей параметрическую неопределенность [7-11],
    3) методы, требующие знания модели возмущения, но не требующие знания параметров системы и возмущения [12-16],
    4) методы, требующие знания только параметров системы [1, 17—20], 5*) методы, не требующие знания модели возмущения и параметров системы [21-26].
  Предметом интереса данной работы являются алгоритмы, относящиеся к группе 5*, поскольку по сравнению с остальными решениями они требуют минимального объема априорной информации о системе и возмущении. Детальный анализ алгоритмов, относящихся к этой группе, показывает, что, на самом деле, в литературе не существует наблюдателей, позволяющих оценить сигнальное возмущение, если параметры системы неизвестны. Это объясняется отсутствием возможности сепарации существующими алгоритмами параметрического и сигнального возмущения. Вместо этого алгоритмы из группы 5* выполняют оценку обобщенного возмущения, состоящего из их суммы. Проиллюстрируем эти рассуждения на примере.
  Рассмотрим систему первого порядка:

х = и + вТ(р (т) + /,

где 0^ р (ж) - параметрическое возмущение, / - сигнальное возмущение.
  Если параметры в известны, a f ограничена, то простой наблюдатель

л ч               1            1


согласно результатам [26, с. 196; 27] позволяет с любой точностью оценить и компенсировать сигнальное возмущение /.
  Если параметры 0 неизвестны, то можно оценить только обобщенное возмущение:

        и -= (ГИ

  Для выделения сигнального возмущения из обобщенного необходимо получение и использование оценок параметров в:

f = и - м -                    1^)1 =                    1^ Wl ’

5

откуда следует, что разделение двух типов возмущений возможно, если и только если параметрическая ошибка 0 асимптотически сходится к нулю. Однако существующие законы параметрической идентификации при наличии возмущения обеспечивают только ограниченность параметрической ошибки [28, с. 556], что не позволяет в полном объеме реализовать сепарацию, даже дополнив наблюдатель возмущений известными алгоритмами параметрической идентификации. Недостаточно удачные попытки выполнить сепарабельную оценку сигнальной и параметрической неопределенности могут быть обнаружены в работах [24, 29, 30].
   Рассмотренная проблема разделимости носит фундаментальный характер и не зависит от конкретного типа применяемого наблюдателя возмущений. Поэтому существующие наблюдатели выполняют оценку и компенсацию обобщенного возмущения, состоящего из суммы параметрического и сигнального. Такой подход безусловно заслуживает право на существование и уже давно положительно зарекомендовал себя по сравнению со стандартными ПИ- и ПИД-регуляторами [22]. Однако, во-первых, в таких системах управления нарушается синергетический принцип минимального действия [31], так как вся динамика системы компенсируется без особых размышлений о ее «пользе» или «вреде» для достижения цели регулирования, во-вторых, в некоторых практических задачах базовая стабилизирующая составляющая управления (например, ПИ- или ПИД-регулятор) уже выбрана робастными методами с учетом наличия параметрической неопределенности (0т</з (ж) в рассмотренном примере), а необходимо выполнить оценку и компенсацию только сигнального возмущения (/ в рассмотренном примере). Поэтому актуальной является задача синтеза наблюдателя сигнального возмущения при наличии параметрического.
   В этой работе рассматривается задача оценки и компенсации по выходу ограниченных сигнальных возмущений, действующих на минимально-фазовую линейную систему с неизвестными параметрами. Решение этой задачи предлагается получить в рамках методологии непрямого адаптивного управления, в соответствии с которой процедура синтеза управления декомпозируется на два этапа. На первом этапе вводится закон управления, обеспечивающий достижение цели регулирования при известных параметрах системы (в этой работе для синтеза такого закона предлагается воспользоваться методом вспомогательного контура А.М. Цыкунова [26, с. 196]). На втором этапе строится закон идентификации и осуществляется замена всех неизвестных параметров закона управления, выбранного на первом этапе, на их динамические оценки. Ключевым структурным элементом такой системы адаптивного управлении является закон идентификации, который должен в замкнутом контуре управления гарантировать асимптотическую сходимость оценок неизвестных параметров к истинным значениям при действии сигнального возмущения и выполнении как можно более слабых требований к возбуждению регрессора. В этой работе для решения задачи онлайн идентификации предлагается воспользоваться недавно предложенным алгоритмом [32], по

6

строенным на базе метода инструментальных переменных [33] и процедуры динамического расширения и смешивания регрессора (ДРСР) [34]. Условиями сходимости процесса параметрической идентификации при использовании такого закона являются:
   — знание регулятора, стабилизирующего систему при наличии сигнальных и параметрических возмущений,
   — ограниченность сигнала компенсации возмущения (например, с помощью sat{.} функции),
   — наличие в задающем воздействии не менее п различных частот (где п — размерность системы),
  -  отсутствие пересечений спектров задающего воздействия и возмущения.
   Показано, что при выполнении этих условий обеспечивается сходимость к нулю параметрической ошибки, несмотря на наличие сигнальной неопределенности, а предложенная система адаптивной компенсации сигнального возмущения гарантирует его асимптотическую оценку и компенсацию. В рамках математического моделирования показан потенциал использования предлагаемой системы совместно с общепромышленными ПИ-, ПИД-регуляторами, проиллюстрировано выполнение условий параметрической сходимости при использовании типовых задающих воздействий.


    2. Постановка задачи

  Рассмотрим возмущенную линейную динамическую систему



Z(0,ₛ) = bₘSm + bₘ_₁Sm-¹ + ...+bₒ,
R (0, s) = sⁿ + aₙ_isⁿ⁻¹ + ... + ао,


где у (4) - измеряемый выход, и (4) - формируемое управление, / (t) - неизвестное ограниченное возмущение, 9 Е Dg С Rⁿ+m+¹ - вектор неизвестных параметров разомкнутой системы, R (Q, s), Z (Q, s) - многочлены порядков п и т < п — 1 соответственно, s [.]: = [.] - оператор дифференцирования.
  Будем считать, что управление и (4) формируется следующим образом:


(2-2)

и (4) = иь (4) + ис (4),
. . Ру (k,s) г , ., Pᵣ (к,з) г , ., Ру (k,s) ....
   <⁽⁾=га [««1+га[r ⁽t⁾¹ =гаly W¹⁺Г⁾ ю'


где щ, (4) - стабилизирующая составляющая управления, ис (4) - компонента управления, предназначенная для компенсации возмущения /(4), кЕ Е DK С КПк — известные постоянные параметры закона управления, г (4) — задающее воздействие, ту ^пу и тг пг - порядки пар многочленов Ру (к, s), Qy (к, s) и Рг (к, s), Qᵣ (к, s') соответственно.


7

  Для строгой формальной постановки задачи вместе с системой (2.1) рассмотрим ее параметризацию в форме линейного регрессионного уравнения:


(2.3)                  z (t) =  (t) 0 + w (t),
где

                              Г т ( \ т / \ г ⁽t⁾ = Лй*⁽f⁾' ⁽t⁾ = [-Т7Г¹1»              1“

»(«)=[/>„, 6™-! ... Ьо] [/(<)] , «п-1 (*) = [s"⁻¹ • • • ⁵ 1], °™ (s) = [s™ • • • s !]>

ip (t) 6 Rm+ⁿ⁺¹ - измеряемый регрессор, z (t) 6 R - измеряемый регрессанд, Л (s) - устойчивый полином порядка п.
   Относительно стабилизирующей компоненты управления и возмущения принимается следующее
   Допущение 1. Передаточная функция замкнутой системы (вс1 : Kⁿ⁺m⁺¹ х  i—> >ⁿc/+wz+i _ неизвестные параметры замкнутой
системы):


/п W (й чН 1 = ____________________________________________________________ Г 1 =                Г1
I • ) УУс1 к с/, ) н [Qy ₅₎ R ₛ}_z ₅₎ Ру ₅₎] н Rcᵢ ₅₎ н


имеет гурвицевы многочлены Zci (0С/, $) и Rci (0С/, $) при фиксированных ft из DK и всех значениях в из Dq.

  Допущение 2. Существует и известна функция ц: [to, оо) ь-> R> такая, что для

A (t) =------... z ч
mo/iⁿ⁺¹ (t)

1                                Hi

             i=l

при любых числах i = 0,..., п верно цА Е Lqq и ХеЬрГ\ Lqq для р Е [1, оо).
  Допущение 3. Инструментальная переменная (t) Е Rⁿ⁺m⁺¹, заданная следующим образом (где 0iᵥ Е Dg С jjn+m+1 _ известные параметры инструментальной переменной):



                  £(*) =


(«»(*)] '

(2.5)

/,\                   г z,\i
2/w (i) = b7Z---------Л (*)] ’
-Гь \yiv) $)


8

и фильтрованное возмущение w (t) независимы, т.е.:

(2-6)

   На основании уравнения замкнутого контура (2.4) определим желаемую динамику системы:

(2.7)                  yᵣₑf (t) = Wd (0d, s) [rf (t)].

   Необходимо без использования производных выхода у (t) сформировать сигнал компенсации ис (t) так, что выполняется предельное равенство

(2-8)              lim \у (t) - yᵣₑf (t)| = lim \y (t)| = 0.
                   t—>OQ               t—>oo

   Таким образом, в работе решается задача оценивания и компенсации неизвестного возмущения, действующего на минимально-фазовую систему с неизвестными параметрами.
   Замечание 1. В практических задачах почти всегда известен стабилизирующий регулятор иъ (t), гарантирующий гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы Rd (dd, s) (например, в ряде ситуаций он может быть подобран эмпирически). Гурвицевость Zci (fid, s) требует минимальной фазовости объекта управления (2.1).
   Замечание 2. Заметим, что выход эталонной модели (2.4) недоступен для измерения, а сама эталонная модель для каждого конкретного вектора параметров системы 0 из Dq задает различное качество управления. Эти обстоятельства существенно отличают решаемую в работе проблему от классической задачи адаптивного управления с заданной эталонной моделью, где эталонная модель является одинаковой для всех в.
   Замечание 3. Допущение 2 ограничивает класс допустимых внешних возмущений. В практических задачах почти всегда найдется р G [1, оо) такое, что (t) G Lₚ для всех г = 1,... ,п + 1, и для удовлетворения этого допущения достаточно выбрать у (t) = const = у > 0. Если / (t) Lₚ для всех р G [1, оо), но sup |^.у (t)| < оо, то достаточно выбрать y(t) — yot + у\ для произвольных цо > 0, Ц1 > 0. К сожалению, для возмущений f (t) с неограниченными производными для выбора у (t) требуются дополнительные априорные сведения.
   Замечание 4. В допущении 3 приняты выполненными необходимые условия асимптотической сходимости закона идентификации [32]. В стационарном случае неравенство (2.6) выполняется, если спектры г (t) и / (t) не пересекаются.


9