Автоматика и телемеханика, 2024, № 8

Учредители журнала:
Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН),
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (ИППИ РАН)
Главный редактор:
Галяев А.А.
Заместители главного редактора:
Соболевский А.Н., Рубинович Е.Я., Хлебников М.В.
Ответственный секретарь:
Родионов И.В.
Редакционный совет:
Васильев С.Н., Желтов С.Ю., Каляев И.А., Кулешов А.П., Куржанский А.Б.,
Мартынюк А.А. (Украина), Пешехонов В.Г., Попков Ю.С.,
Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л.
Редакционная коллегия:
Алескеров Ф.Т., Бахтадзе Н.Н., Бобцов А.А., Виноградов Д.В., Вишневский В.М.,
Воронцов К.В., Граничин О.Н., Губко М.В., Каравай М.Ф., Кибзун А.И.,
Краснова С.А., Крищенко А.П., Кузнецов Н.В., Кузнецов О.П., Кушнер А.Г.,
Лазарев А.А., Ляхов А.И., Маликов А.И., Матасов А.И., Меерков С.М. (США),
Миллер Б.М., Михальский А.И., Мунасыпов Р.А., Назин А.В.,
Немировский А.С. (США), Новиков Д.А., Олейников А.Я., Пакшин П.В.,
Пальчунов Д.Е., Поляков А.Е. (Франция), Рапопорт Л.Б., Рублев И.В.,
Степанов О.А., Уткин В.И. (США), Фрадков А.Л., Цыбаков А.Б. (Франция),
Чеботарев П.Ю., Щербаков П.С.
Адрес редакции: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65
Тел./факс: 8 (495) 198-17-20, доб. 1443
Электронная почта: redacsia@ipu.ru
Зав. редакцией Е.А. Мартехина
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
c
⃝Российская академия наук, 2024
c
⃝Редколлегия журнала «Автоматика и телемеханика» (составитель), 2024

Автоматика и телемеханика, №8, 2024
Нелинейные системы
c
⃝2024 г.
А.Н. ЖИРАБОК, д-р техн. наук (zhirabok@mail.ru),
А.В. ЗУЕВ, канд. техн. наук (alvzuev@yandex.ru)
(Дальневосточный федеральный университет, Владивосток;
Институт проблем морских технологий ДВО РАН, Владивосток)
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ НАБЛЮДАТЕЛИ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ
НЕИЗВЕСТНЫХ ВХОДОВ В ДИСКРЕТНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ1
Рассматривается задача оценивания неизвестных входов в дискретных
стационарных (с постоянными параметрами) системах, описываемых динамическими моделями при наличии внешних возмущений, на основе интервальных наблюдателей. Решение основано на модели исходной системы, имеющей минимальную размерность, нечувствительной к возмущениям. Для этой модели строится интервальный наблюдатель, на основе
которого определяется оценка величины неизвестных входов. Теоретические результаты иллюстрируются примером.
Ключевые слова: линейные системы, неизвестные входы, интервальные
наблюдатели, оценивание.
DOI: 10.31857/S0005231024080018, EDN: WPYYGQ
1. Введение и постановка задачи
Задача оценивания неизвестных входов динамических систем имеет важное теоретическое и прикладное значение, в частности для определения величин изменений параметров системы из-за возникших дефектов для последующего парирования этих изменений или уровня внешних возмущений, что
часто необходимо для их учета системой управления. При ее решении для систем, описываемых непрерывными моделями, последние 25 лет используются
скользящие наблюдатели [1–3].
С другой стороны, для оценки компонент вектора состояния динамических систем последние годы применяются интервальные наблюдатели, которые в каждый момент времени вырабатывают оценку множества допустимых значений вектора состояния (или заданной линейной функции этого вектора) для различных классов динамических систем с неопределенностями. Обстоятельные обзоры полученных за последнее время результатов
содержатся в [4–6], решения для различных классов систем (непрерывных,
дискретных, гибридных, с запаздыванием), а также практические приложения можно найти в [7–14]. Особенностью интервальных наблюдателей является то, что они позволяют простыми средствами учитывать различные виды
1 Работа поддержана Российским научным фондом, проект №23-29-00191
(https://rscf.ru/project/23-29-00191/).
3

неопределенностей в системах (внешние возмущения, шумы измерений, параметрические неопределенности) и формировать интервал, в котором гарантированно находятся значения вектора состояния (или заданной линейной
функции этого вектора).
В [15] интервальные наблюдатели предложено использовать для решения
задачи оценивания неизвестных входов в дискретных линейных динамических системах. Этот метод является определенной альтернативой скользящим наблюдателям, которые неэффективны в дискретном случае.
В настоящей работе подход, предложенный в [15], развивается для решения задачи оценивания неизвестных входов в дискретных линейных и нелинейных динамических системах, подверженных внешним возмущениям. В отличие от [15] от системы не требуется быть минимально фазовой; кроме того,
подход, предложенный в [15], предполагает проведение ряда сложных преобразований системы, в частности приведение ее к дескрипторному виду, чего
не требуется в настоящей работе. В [15] по аналогии с [5–13] интервальный
наблюдатель строиться для исходной преобразованной системы, в результате чего он имеет полную размерность. В отличие от этого в настоящей работе для решения используется редуцированная модель исходной системы,
что упрощает конструкцию интервального наблюдателя и дает возможность
сделать его нечувствительным к внешним возмущениям, что в ряде случаев гарантирует точную оценку даже при наличии таких возмущений. Кроме
того, показывается, как преодолеть требование, связанное с условием согласования, использованное в [15] и ограничивающее возможности оценивания.
2. Основные модели и соотношения
Рассмотрим систему, описанную дискретной нелинейной моделью
x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t) + CΨ(x(t), u(t)) + Dd(t) + Lρ(t),
y(t) = Hx(t),
(2.1)
где x(t) ∈Rn, u(t) ∈Rm, y(t) ∈Rl – векторы состояния, управления и выхода; F, G, H, C и L – известные постоянные матрицы, ρ(t) ∈Rp – неизвестная
ограниченная функция времени, описывающая возмущения, действующие на
систему; слагаемое Dd(t) – неизвестный вход, величину которого требуется
оценить. В частности, такой вход может представлять собой результат проявления возникшего в системе дефекта. Предполагается, что d(t) – скалярная
ограниченная функция: d ⩽d(t) ⩽d при всех t = 0, 1, 2, . . . для известных d
и d. Нелинейный член Ψ(x, u) представлен в виде
Ψ(x, u) =
⎞
⎛
⎠,
⎝
ϕ1(A1x, u)
. . .
ϕq(Aqx, u)
A1, . . . , Aq – известные постоянные матрицы-строки, ϕ1, . . . , ϕq – произвольные нелинейные функции.
З а м е ч а н и е 1. В основной части работы, кроме раздела 7, по аналогии
с [15] предполагается, что выполняется условие согласования rank (HD) =
4

= rank (D), которое означает, что неизвестный вход d(t) входит в уравнения
для тех компонент вектора состояния, которые измеряются датчиками системы. В отличие от [15], где d(t) – функция произвольной размерности, вначале
предполагается, что d(t) – скаляр; в разделе 8 показывается, как это ограничение можно снять.
Рассматриваемая задача вначале решается в линейном случае, когда C = 0.
Как было сказано, решение ищется на основе редуцированной модели исходной системы. Для этого коротко напомним результаты работ [14, 16], где строится линейная модель системы (2.1) минимальной размерности, нечувствительная к возмущению и оценивающая некоторую переменную y∗(t), задаваемую равенством y∗(t) = R∗y(t) для матрицы R∗, подлежащей определению в
ходе решения задачи. Такая модель описывается уравнениями
x∗(t + 1) = F∗x∗(t) + J∗y(t) + G∗u(t) + D∗d(t),
y∗(t) = H∗x∗(t) = R∗y(t),
(2.2)
где x∗(t) ∈Rk, k < n – размерность модели, F∗, G∗, J∗, H∗– матрицы, подлежащие определению. Для решения задачи предполагается, что существует
матрица Φ такая, что x∗(t) = Φx(t). Известно [14, 16], что матрицы, описывающие модель, удовлетворяют уравнениям
ΦF = F∗Φ + J∗H,
H∗Φ = R∗H,
ΦG = G∗,
ΦD = D∗,
ΦL = 0.
(2.3)
Необходимым условием возможности построения такой системы является
неравенство

< rank (H) + rank (L0),
(2.4)
rank
 H
L0
где L0 – матрица максимального ранга такая, что L0L = 0. Действительно,
условие ΦL = 0 тогда может быть записано в виде Φ = NL0 для некоторой
матрицы N. Поскольку H∗Φ = R∗H, то H∗NL0 = R∗H, что справедливо при
выполнении условия (2.4). Если оно не выполняется, то система, нечувствительная к возмущению и оценивающая переменную y∗(t), построена быть не
может. Ниже будем полагать, что условие (2.4) выполняется.
3. Построение модели, нечувствительной к возмущению
В общем случае матрицы F∗и H∗задаются в идентификационной канонической форме:
⎛
⎞
F∗=
0
1
0
. . . 0
0
0
1
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0
0
0
. . . 0
⎟
⎟
⎠,
H∗= (1 0
. . .
0).
(3.1)
⎜
⎜
⎝
Если система (2.2) наблюдаема, то она всегда может быть приведена к виду
с такими матрицами [17]. Если она не наблюдаема, то ее можно привести к
5

виду с наблюдаемой подсистемой и матрицы этой подсистемы искать в виде (3.1) [17]. Решение задачи осуществляется на основе уравнения
( R∗−J∗1 . . . −J∗k )(W (k) L(k)) = 0,
(3.2)
где J∗i – i-я строка матрицы J∗,
HF k
HF k−1
W (k) =
⎞
⎞
⎛
⎛
. . .
H
HL HFL . . . HF k−1L
0
HL
. . . HF k−2L
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
⎟
⎟
⎠, L(k) =
⎟
⎟
⎠,
k = 1, 2, . . . ,
⎜
⎜
⎝
⎜
⎜
⎝
матрица W (k) обеспечивает построение модели (2.2), L(k) – нечувствительность ее к возмущениям, т.е. выполнение условия ΦL = 0. Уравнение (3.2)
имеет нетривиальное решение, если
rank (W (k) L(k)) < l(k + 1),
(3.3)
поскольку в этом случае между строками составной матрицы (W (k) L(k))
имеется линейная зависимость, что гарантирует существование решения.
Для построения модели из (3.3) начиная с k = 1 определяется минимальное k и из (3.2) – строка ( R∗−J∗1 . . . −J∗k ), затем на основе соотношений
R∗H = Φ1,
ΦiF = Φi+1 + J∗iH,
i = 1, . . . , k −1,
ΦkF = J∗kH,
полученных из (2.3) и (3.1), строится матрица Φ; G∗определяется из (2.3),
где Φi – i-я строка матрицы Φ. Таким образом, линейная модель (2.2) построена; предполагается, что D∗̸= 0.
Если уравнение (3.2) не имеет решения при всех k < n, модели, нечувствительной к возмущениям, не существует. В этом случае можно воспользоваться робастными методами, изложенными, например, в [18], однако получаемая
оценка уже не будет точной.
4. Решение задачи
Вначале для простоты предполагается, что k = 1, т.е. можно построить
одномерную модель, которая с F∗= 0 и H∗= 1 описывается уравнениями
x∗(t + 1) = J∗y(t) + G∗u(t) + D∗d(t),
y∗(t) = x∗(t).
(4.1)
У т в е р ж д е н и е 1. Модель (4.1) существует при выполнении двух условий:
rank

HF
H

< rank (HF) + rank (H),
R∗HL = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3.2) при k = 1 получаем
( R∗−J∗)
 HF
HL
H
0

= 0,
6

откуда следует равенство ( R∗−J∗)
 HF
H

= 0, которое выполняется тогда, когда справедливо первое условие. Второе условие прямо следует из
предыдущего равенства.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, модель будет многомерной. Дополнительным условием является требование чувствительности к
дефектам ΦD = D∗̸= 0, представленное в виде R∗HD ̸= 0.
З а м е ч а н и е 2. Поскольку в модели (4.1) значения всех переменных, кроме d(t), могут быть измерены, последняя может быть определена из простого соотношения D∗d(t) = y∗(t + 1) −J∗y(t) −G∗u(t). Учитывая каноническую
форму матрицы F∗и вид получаемой при этом модели, можно утверждать,
что путем образования временных сдвигов для переменной y∗(t) и подстановок одних уравнений в другие (как это сделано в разделе 7) можно построить
аналогичные соотношения и определять из них переменную d(t). При k > 2
эти соотношения будут довольно громоздкими, использование интервальных
наблюдателей позволяет существенно упростить их. Поэтому несмотря на
очевидное решение при k = 1, покажем, как здесь могут быть применены
такие наблюдатели, чтобы распространить полученный результат на общий
случай.
Интервальный наблюдатель задается в виде
x∗(t + 1) = G∗u(t) + J∗y(t) + D+
∗d −D−
∗d + ge(t),
(4.2)
x∗(t + 1) = G∗u(t) + J∗y(t) + D+
∗d −D−
∗d + ge(t),
y∗(t) = x∗(t),
y∗(t) = x∗(t),
где A+ = max(0, A), A−= A+ −A для произвольной матрицы A, нетрудно видеть, что A+ ⩾0, A−⩾0; коэффициент g выбирается для обеспечения устойчивости наблюдателя; e(t) = y∗(t) −y∗(t), e(t) = y∗(t) −y∗(t).
Поскольку для интервального наблюдателя из условия x∗(0) ⩽x∗(0) ⩽
⩽x∗(0) следует, что при всех t ⩾0 справедливо соотношение x∗(t) ⩽x∗(t) ⩽
⩽x∗(t) [4], то существует число α(t) ⩾0 такое, что при всех t ⩾0
x∗(t) = x∗(t) + α(t)(x∗(t) −x∗(t)),
(4.3)
или
x∗(t) = α(t)x∗(t) + (1 −α(t))x∗(t).
(4.4)
Определим значение α(t + 1). Из (4.3) при t := t + 1 получаем
R∗y(t + 1) = x∗(t + 1) = x∗(t + 1) + α(t + 1)(x∗(t + 1) −x∗(t + 1)),
откуда
α(t + 1) = R∗y(t + 1) −x∗(t + 1)
x∗(t + 1) −x∗(t + 1) ,
(4.5)
где все входящие в формулу величины могут быть измерены.
7

Т е о р е м а 1. Оценка функции d(t) определяется как
ˆ
d(t) = D−1
∗(g(α(t + 1)e(t) + (1 −α(t + 1))e(t)) +
+ α(t + 1)(D+
∗d −D−
∗d) + (1 −α(t + 1))(D+
∗d −D−
∗d)),
(4.6)
где коэффициент α(t + 1) рассчитывается согласно (4.5).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В (4.4), записанном для t := t + 1, заменим переменные x∗(t + 1), x∗(t + 1) и x∗(t + 1) правыми частями уравнений (4.1) и (4.2)
соответственно:
J∗y(t) + G∗u(t) + D∗d(t) =
(4.7)
= α(t + 1)(G∗u(t) + J∗y(t) + D+
∗d −D−
∗d + ge(t)) +
+ (1 −α(t + 1))(G∗u(t) + J∗y(t) + D+
∗d −D−
∗d + ge(t)).
После преобразований в правой части получаем
J∗y(t) + G∗u(t) + D∗d(t) =
= g(α(t + 1)e(t) + (1 −α(t + 1))e(t)) + G∗u(t) + J∗y(t) +
+ α(t + 1)(D+
∗d −D−
∗d) + (1 −α(t + 1))(D+
∗d −D−
∗d),
откуда после простых преобразований следует (4.6).
З а м е ч а н и е 3. Канонический вид матрицы F∗позволяет утверждать,
что наблюдатель (4.2) устойчив и без введения обратных связей ge(t) и ge(t);
последние необходимы только для получения оценки ˆ
d(t), причем в данном
случае она будет точной для всех t > 0.
5. Многомерная модель
В случае k > 1 модель (2.2) принимает вид
x∗1(t + 1) = x∗2(t) + J∗1y(t) + G∗1u(t) + D∗1d(t),
x∗∗(t + 1) = F∗∗x∗∗(t) + J∗∗y(t) + G∗∗u(t) + D∗∗d(t),
y∗(t) = x∗1(t),
где x∗i – i-я компонента вектора x∗, x∗∗= (x∗2, . . . , x∗k), J∗∗, G∗∗и D∗∗–
матрицы J∗, G∗и D∗с удаленными первыми строками, F∗∗– матрица (3.1)
размера (k −1) × (k −1). Предполагается, что D∗1 ̸= 0 и D∗∗= 0, т.е. дефект
входит только в первое уравнение. Интервальный наблюдатель имеет вид
x∗1(t + 1) = ˆ
x∗2(t) + J∗1y(t) + G∗1u(t) + D+
∗1d −D−
∗1d + g1e(t),
ˆ
x∗∗(t + 1) = F∗∗ˆ
x∗∗(t) + J∗∗y(t) + G∗∗u(t) + g∗∗e(t),
(5.1)
x∗1(t + 1) = ˜
x∗2(t) + J∗1y(t) + G∗1u(t) + D+
∗1d −D−
∗1d + g1e(t),
˜
x∗∗(t + 1) = F∗∗˜
x∗∗(t) + J∗∗y(t) + G∗∗u(t) + g∗∗e(t),
y∗(t) = x∗1(t),
y∗(t) = x∗1(t),
8

т.е. интервально формируется только первая компонента вектора состояния.
Здесь ˆ
x∗∗(t) и ˜
x∗∗(t) – векторы размерности k −1, матрица (g1 gT
∗∗)T выбирается для обеспечения устойчивости наблюдателя, что всегда можно сделать
для канонической формы (3.1).
С учетом (5.1) выражение (4.7) модифицируется следующим образом:
x∗2(t) + J∗1y(t) + G∗1u(t) + D∗1d(t) =
= α(t + 1)(˜
x∗2(t) + G∗1u(t) + J∗1y(t) + D+
∗1d −D−
∗1d + g1e(t)) +
+ (1 −α(t + 1))(ˆ
x∗2(t) + G∗1u(t) + J∗1y(t) + D+
∗1d −D−
∗1d + g1e(t)).
Здесь α(t + 1) определяется для первых компонент векторов состояния по
аналогии с (4.5):
α(t + 1) = R∗y(t + 1) −x∗1(t + 1)
x∗1(t + 1) −x∗1(t + 1) .
Проведя ряд преобразований, получаем
D∗1d(t) = g1(α(t + 1)e(t) + (1 −α(t + 1))e(t)) +
(5.2)
+ α(t + 1)(D+
∗1d −D−
∗1d) + (1 −α(t + 1))(D+
∗1d −D−
∗1d) +
+ α(t + 1)˜
x∗2(t) + (1 −α(t + 1))ˆ
x∗2(t) −x∗2(t).
Поскольку наблюдатель устойчив, то ˜
x∗2(t) →x∗2(t) и ˆ
x∗2(t) →x∗2(t), откуда
следует α(t + 1)˜
x∗2(t) + (1 −α(t + 1))ˆ
x∗2(t) −x∗2(t) →0, а тогда оценка ˆ
d(t),
определяемая выражением (4.6) с D∗= D∗1, будет удовлетворять соотношению ˆ
d(t) →d(t).
З а м е ч а н и е 4. Из полученных соотношений можно сделать вывод о том,
что использование интервального наблюдателя позволяет устранить влияние
всех компонент вектора x∗∗= (x∗2, . . . , x∗k) на конечный результат.
6. Учет нелинейностей
Метод синтеза модели в нелинейном случае опирается на ранее построенную линейную модель и состоит в том, что для найденной при построении линейной модели матрицы Φ выясняется возможность преобразования
аргумента нелинейной составляющей Ψ(x, u), делается это следующим образом [18].
Вычисляется матрица C∗= ΦC и определяются номера ji, . . . , js ее ненулевых столбцов. Далее проверяется условие
⎛
⎞
rank
 Φ
H

= rank
⎠,
(6.1)
⎝
Φ
H
A′
где матрица A′ строится из матриц A1, . . . , Aq с номерами ji, . . . , js как из
строк. Если это условие выполняется, преобразование аргумента возможно.
9