Автоматика и телемеханика, 2024, № 7

Учредители журнала:
Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН),
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (ИППИ РАН)
Главный редактор:
Галяев А.А.
Заместители главного редактора:
Соболевский А.Н., Рубинович Е.Я., Хлебников М.В.
Ответственный секретарь:
Родионов И.В.
Редакционный совет:
Васильев С.Н., Желтов С.Ю., Каляев И.А., Кулешов А.П., Куржанский А.Б.,
Мартынюк А.А. (Украина), Пешехонов В.Г., Попков Ю.С.,
Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л.
Редакционная коллегия:
Алескеров Ф.Т., Бахтадзе Н.Н., Бобцов А.А., Виноградов Д.В., Вишневский В.М.,
Воронцов К.В., Граничин О.Н., Губко М.В., Каравай М.Ф., Кибзун А.И.,
Краснова С.А., Крищенко А.П., Кузнецов Н.В., Кузнецов О.П., Кушнер А.Г.,
Лазарев А.А., Ляхов А.И., Маликов А.И., Матасов А.И., Меерков С.М. (США),
Миллер Б.М., Михальский А.И., Мунасыпов Р.А., Назин А.В.,
Немировский А.С. (США), Новиков Д.А., Олейников А.Я., Пакшин П.В.,
Пальчунов Д.Е., Поляков А.Е. (Франция), Рапопорт Л.Б., Рублев И.В.,
Степанов О.А., Уткин В.И. (США), Фрадков А.Л., Цыбаков А.Б. (Франция),
Чеботарев П.Ю., Щербаков П.С.
Адрес редакции: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65
Тел./факс: 8 (495) 198-17-20, доб. 1443
Электронная почта: redacsia@ipu.ru
Зав. редакцией Е.А. Мартехина
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
c
⃝Российская академия наук, 2024
c
⃝Редколлегия журнала «Автоматика и телемеханика» (составитель), 2024

Автоматика и телемеханика, №7, 2024
Линейные системы
c
⃝2024 г.
В.А. КАМЕНЕЦКИЙ, канд. физ.-мат. наук (vlakam@ipu.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КВАДРАТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ
МЕЖДУ ТРЕМЯ ЛИНЕЙНЫМИ ПОДСИСТЕМАМИ
Для связных систем с переключениями между тремя линейными дискретными подсистемами предлагается новый частотный критерий существования квадратичной функции Ляпунова, обеспечивающей устойчивость системы при произвольных переключениях. Применение критерия
демонстрируется на примере системы третьего порядка.
Ключевые слова: дискретные системы с переключениями, устойчивость,
функции Ляпунова, матричные неравенства.
DOI: 10.31857/S0005231024070014, EDN: XSEHQE
1. Введение
Теория систем с дискретным временем активно развивается в последнее время. Различные аспекты этой теории рассматриваются в относительно
недавних публикациях [1–7] (см. также приведенную в них библиографию).
Здесь решается задача квадратичной устойчивости связных [3] дискретных
систем с переключениями между тремя линейными стационарными подсистемами при любых законах переключения. Термин «связная система» будет
ясен из дальнейшего. Под квадратичной устойчивостью понимается устойчивость системы, которую можно установить с помощью функции Ляпунова
из класса квадратичных форм или квадратичной функции Ляпунова (КФЛ).
Для связной системы с переключениями между двумя подсистемами эта задача эквивалентна [3] задаче абсолютной устойчивости дискретной системы
с одной нелинейностью, и критерием квадратичной устойчивости такой системы является известный критерий Цыпкина [8]. В случае переключений
между двумя подсистемами связность означает, что ранг разности матриц,
определяющих переключаемые подсистемы, равен единице.
Частотный критерий существования КФЛ для связных дискретных систем с переключениями между тремя линейными подсистемами получен в [3].
Недостатком этого критерия является избыточная громоздкость при его получении и избыточная громоздкость конечного результата. Эта громоздкость
объясняется следующим. Квадратичная устойчивость системы с переключениями следует из существования общей квадратичной функции Ляпунова (ОКФЛ). В рассматриваемом случае существование ОКФЛ определяется
3

разрешимостью системы из трех линейных матричных неравенств (ЛМН)
Ляпунова для дискретных систем. Эта система ЛМН является связной, и
в [3] получено одно эквивалентное ей результирующее матричное неравенство
(МН). Однако (а) это МН не является ЛМН и (б) частотные условия его разрешимости не удается получить на основании обобщенной леммы Калмана–
Сеге–Попова [9, 10], как это было сделано в [3] в случае критерия Цыпкина.
Чтобы преодолеть неудобство (б) в [3] с помощью дробно-линейного преобразования от системы ЛМН для дискретных систем делается переход к эквивалентной системе ЛМН Ляпунова для непрерывных систем. Результирующее
МН для этой системы снова не является ЛМН, но условия его разрешимости установлены в [3] в форме частотного критерия на основании частотной
теоремы [11, с. 54] (KYP лемма). Условия этого критерия выражаются через
элементы «передаточной матрицы» для непрерывной системы, полученной в
результате преобразования. После этого достаточно трудоемко эти элементы
выражаются через элементы «передаточной матрицы» исходной дискретной
системы.
Здесь с использованием нового результата (теорема 2 из [12]) для исходной системы из трех ЛМН Ляпуновского типа для дискретных систем удается
получить эквивалентное ей результирующее МН, которое является ЛМН. Далее показывается, что разрешимость этого ЛМН устанавливается с помощью
обобщенной леммы Калмана–Сеге–Попова в виде частотного критерия. В результате получен новый частотный критерий квадратичной устойчивости для
рассматриваемых систем, что и является основной целью работы.
В разделе 2 приводится система из трех ЛМН Ляпунова для дискретных систем, к вопросу о разрешимости которой сводится задача квадратичной устойчивости рассматриваемых систем. Основной результат – частотный
критерий квадратичной устойчивости – излагается в разделе 3. В разделе 4
приводится численный пример системы третьего порядка, для которой с помощью предлагаемого критерия аналитически найдена полная (по параметру) область квадратичной устойчивости.
2. Постановка задачи
В статье исследуется линейная дискретная система с переключениями
(1)
x(t + 1) = A(t)x(t),
A(t) ∈A = {A1, A2, A3},
где As ∈Rn×n и A(t) : Z+ −
→A – отображение из множества Z+ неотрицательных целых чисел в A. Матрицы As предполагаются устойчивыми (шуровыми, см. [13]), т.е. r(As) = max
ν
|µν(As)| < 1 при s = 1, 3, µν – собственные
числа матрицы As. Для исследования устойчивости системы с переключениями (1) будут использоваться КФЛ следующего вида (символ {·}⊤означает
транспонирование):
(2)
v(x) = x⊤Lx,
L = L⊤= ∥lij∥n
i,j=1.
4

Известно [3], что существование КФЛ (2) определяется разрешимостью
системы ЛМН
(3)
Is = A⊤
s LAs −L < 0,
s = 1, 3.
Система (1) является связной (см. [3]), если матрицы {A1, A2, A3} можно
представить в виде
A1 = A,
A2 = A + b1c⊤
1 ,
A3 = A + b2c⊤
2 ,
bi, ci ∈Rn.
(4)
В этом случае система (3) представима в виде
I1 = A⊤LA −L < 0,
(5)
I2 = (A + b1c⊤
1 )⊤L(A + b1c⊤
1 ) −L < 0,
I3 = (A + b2c⊤
2 )⊤L(A + b2c⊤
2 ) −L < 0.
Задачей является получение частотного критерия разрешимости системы
ЛМН (5).
3. Системы с переключениями между тремя линейными
дискретными системами
Для исследования разрешимости системы (5) используем теорему 2 из [12].
Далее символы «•» обозначают элементы под главной диагональю симметрической матрицы, которые совпадают с соответствующими элементами над
главной диагональю.
Т е о р е м а 1. Пусть в системе
(6)
I1 < 0,
I2 = I1 + Q1 < 0,
I3 = I1 + Q2 < 0
неравенства являются ЛМН относительно неизвестной переменной ν, т.е.
Is = Is(ν), s = 1, 3, и Qj(ν) = pj(ν)q⊤
j + qjp⊤
j (ν), где pj = pj(ν) зависит от ν
линейно, а qj от ν не зависит, j = 1, 2. Тогда система (6) эквивалентна
одному МН
I1(ν) p1(ν) + τ1
2 q1
2 q1 p2(ν) −p1(ν) + τ2
2 q2 −τ1


(•)⊤
−τ1
τ1 −τ2 + τ3
(7)
b
e
I =
2
(•)⊤
•
−τ3





< 0,





которое является ЛМН относительно (ν, τ1, τ2, τ3).
5

Применяя теорему 1 к системе (5), получим, что разрешимость системы (5)
эквивалентна разрешимости одного МН относительно элементов матрицы L
и трех дополнительных параметров τ1, τ2, τ3. Возможность применения теоремы 1 к системе (5) и вид получаемого в результате МН определяется из
следующих соотношений. Матрице I1(ν) соответствует матрица A⊤LA −L
из системы (5), т.е. I1(ν) = I1(L) = A⊤LA −L (роль параметра ν выполняет
матрица L). Разница матриц I2 −I1 из (5) представима в виде p1q⊤
1 + q1p⊤
1 :
I2 −I1 = A⊤
2 LA2 −A⊤
1 LA1 = (A + b1c⊤
1 )⊤L(A + b1c⊤
1 ) −A⊤LA =
(8)
= (A⊤L + c1b⊤
1 L)(A + b1c⊤
1 ) −A⊤LA =
= A⊤Lb1c⊤
1 + c1b⊤
1 LA + c1b⊤
1 Lb1c⊤
1 .
Введем обозначения p0
1 = p0
1(L) = A⊤Lb1 и δ11 = δ11(L) = b⊤
1 Lb1, тогда
(9)
I2 −I1 = p0
1c⊤
1 + c1(p0
1)⊤+ δ11c1c⊤
1 = p1q⊤
1 + q1p⊤
1,
2

c1, q1 = c1.
где p1 = p1(L) = A⊤Lb1 +

δ11(L)
Аналогично, пусть p0
2 = p0
2(L) = A⊤Lb2 и δ22 = δ22(L) = b⊤
2 Lb2, тогда
(10)
I3 −I1 = p0
2c⊤
2 + c2(p0
2)⊤+ δ22c2c⊤
2 = p2q⊤
2 + q2p⊤
2,
где p2 = p2(L) = A⊤Lb2 +

δ22(L)
2

c2, q2 = c2.
Таким образом, в соответствии с теоремой 1 система (5) эквивалентна одному МН
2 c1
A⊤LA −L p1(L) + τ1
2 c1 p2(L) −p1(L) + τ2
2 c2 −τ1


2
(•)⊤
−τ1
τ1 −τ2 + τ3
(11)
b
e
I =
(•)⊤
•
−τ3










< 0,
которое является ЛМН относительно (L, τ1, τ2, τ3).
Покажем, что разрешимость ЛМН (11) определяется на основании обобщенной леммы Калмана–Сеге–Попова [10].
Л е м м а 1. ЛМН (11) эквивалентно ЛМН
2
(12)





A⊤LA −L
A⊤L b
B +
b
Cτ


< 0,
b
B⊤LA + τ b
C⊤
2
b
B⊤L b
B −Γ
6

где

,
b
B =

b
B1
b
B2

=

b1 b2 −b1

,
b
C =

b
C1
b
C2

=

c1 c2 −b
τ1
b
τ2
c1



, Γ =
b
τ1
−b
τ1 + b
τ2 −b
τ3
.
T =
b
τ1
0
0
b
τ2
2
•
b
τ3
Доказательство леммы 1 приведено в Приложении.
Необходимые и достаточные условия разрешимости ЛМН (12) определяются в форме частотного неравенства из обобщенной леммы Калмана–Сеге–
Попова [9, 10]. В результате получаем следующий критерий квадратичной
устойчивости системы (1).
Т е о р е м а 2. Пусть матрица A шурова (r(A) < 1) и существуют числа
b
τs > 0, s = 1, 3, такие что Γ > 0 и частотное неравенство
(13)
D(λ) = Γ + Re [T b
C⊤(A −λEn)−1 b
B] > 0
выполняется при всех λ ∈C, |λ| = 1, где En – единичная (n × n)-матрица
(ReW = (W +W ∗)/2, W ∗= W
⊤– эрмитово сопряженная к W, здесь и далее
символ { · } означает комплексное сопряжение, знак неравенства означает
положительную определенность эрмитовой формы). Тогда связная система (1) имеет ОКФЛ (система (5) разрешима, система (1) устойчива). Если система (5) разрешима, то такой набор чисел b
τs > 0, s = 1, 3, существует.
Выпишем частотное условие (13) более детально. Логично считать W(p) =
= C⊤(A −pEn)−1B, p ∈C, аналогом передаточной матрицы для системы (1).
Здесь C =

c1 c2


, B =

b1 b2


. Введем обозначение ∆(p) = (A −pEn)−1,
тогда
(14)
W(p) = C⊤∆(p)B =
w11 w12
w21 w22

,
где
wij(p) = c⊤
i ∆(p)bj.
Далее для простоты уберем «крышки» и вместо b
τs будем использовать τs.
Для матрицы D(λ) из (13) имеем
где
D(λ) = Γ + Re T c
W(λ) = Γ + 1/2
h
T c
W(λ) + c
W ∗(λ)T ⊤i
,
τ2
c1
⊤
∆(λ)

b1 b2 −b1


=
c
W(λ) = b
C⊤∆(λ) b
B =

c1 c2 −τ1
w11(λ)
w12(λ) −w11(λ)
=


w21(λ) −τ1
τ2
w11(λ) w22(λ) −τ1
τ2
w12(λ) −w21(λ) + τ1
τ2
w11(λ)



.
7

Окончательно неравенство D(λ) > 0 из (13) перепишем в виде (для краткости используем wij вместо wij(λ))
(15) D(λ) = Γ + 1
2


(•)
2τ1Re (w11 −w12) + 2τ2Re (w22 −w21)

2τ1Re w11
τ1w12 + τ2w21 −2τ1Re w11
> 0.
З а м е ч а н и е 1. Утверждение теоремы 2 справедливо, если в ее формулировке неравенство (13) заменить неравенством (15), где wij = wij(λ) =
= c⊤
i ∆(λ)bj, i, j = 1, 2.
Если система (1) является системой с переключениями треугольного типа
(см. [3]), т.е. c1 = c2 ≜c, тогда w11 = w21 ≜W1 = c⊤∆(λ)b1, w22 = w12 ≜W2 =
= c⊤∆(λ)b2. В этом случае неравенство (15) можно переписать в виде
2
−τ1Re W1
D(λ) =


(•)
τ3 + (τ2 −τ1) (Re W2 −Re W1)

> 0.
(16)


τ1(1 + Re W1)
−τ1 + τ2 −τ3 + τ1W2 + τ2W1
З а м е ч а н и е 2. Для системы (1) треугольного типа, т.е. при c1 = c2 =
= c, утверждение теоремы 2 справедливо, если в ее формулировке неравенство (13) заменить неравенством (16), где Wj = Wj(λ) = c⊤∆(λ)bj, j = 1, 2.
Сравните условия (15) и (16) критерия теоремы 2 для связных систем с
переключениями и систем с переключеними треугольного типа с условиями
теоремы 2 из [3] и их модификацией для систем треугольного типа (формулы
(6.3)–(6.5) из [3]). Значительный прогресс очевиден.
З а м е ч а н и е 3. Неравенства (13), (15) и (16) линейны по параметру T ,
поэтому, не ограничивая общности, в этих неравенствах можно положить
τ3 = 1. Таким образом, в этих неравенствах останется только по два дополнительных параметра τ1 > 0 и τ2 > 0.
Известный критерий Цыпкина [8] является критерием квадратичной
устойчивости при переключениях между двумя подсистемами. Критерий теоремы 2 можно считать аналогом критерия Цыпкина при переключениях между тремя подсистемами.
4. Численное решение
Численное решение задачи о квадратичной устойчивости системы (1) состоит в применении стандартных программных средств для проверки разрешимости системы ЛМН (5) размерности 3n относительно n(n + 1)/2 неизвестных. Использование результата леммы 1 позволяет вместо проверки системы (5) проверять разрешимость одного ЛМН (12) размерности n+2 относительно n(n + 1)/2 + 3 неизвестных. Такой переход позволяет существенно
упростить задачу, особенно при больших n.
8

5. Пример
Рассмотрим связную систему с переключениями вида (1) из примера в [3].
В этом примере матрицы As в (1) задаются соотношением (4), в котором
A1 = A =






(17)

0
0
−0,5
0,5
0
−1,5
0
0,5 −1,5
, b1 = k1

0
0
1
, b2 = k2

0
1
0
,
c1 = c2 = c =



0
0
1
,
где ki ⩾0 – параметры, определяющие область устойчивости системы с переключениями. Тогда матрицы A2 и A3 имеют вид
A2 =




.
(18)

0
0
−0,5
0,5
0
−1,5
0
0,5 −1,5 + k1
,
A3 =

0
0
−0,5
0,5
0
−1,5 + k2
0
0,5
−1,5
Далее на систему (1) с матрицами As из (17) и (18) будем ссылаться как на
систему (1;17).
Повторное рассмотрение примера из [3] объясняется следующим. В примере из [3] при условии k1 = k2 = k найдена полная область квадратичной
устойчивости по параметру k. Этот результат получен с использованием необходимых (отдельно) и достаточных (отдельно) условий разрешимости системы ЛМН (5). Оказалось, что оценки по этим условиям совпадают. Это позволило сделать вывод о том, что найдена полная область. Заметим, что условия
из [3] существенно используют то, что рассматривается система треугольного
типа, т.е. при c1 = c2 = c.
Задачей настоящего раздела является повторение результата из [3] на основании критерия теоремы 2. Хотя далее будет использоваться вариант теоремы 2 из замечания 2, но в самой теореме 2 требование «треугольности» не
фигурирует.
Ниже используются вспомогательные выкладки из [3]. Матрица A1 очевидно шурова, |µi(A1)| < 1, так как µi(A1) = −0,5, i = 1, 3. Матрица A2 шурова при k1 ∈[0; 3,375), а матрица A3 шурова при k2 ∈[0; 0,25).
Функции Wj(λ) = c⊤(A −λEn)−1bj из (16) имеют вид
W1(λ) = −8k1λ2/(2λ + 1)3 и W2(λ) = −4k2λ/(2λ + 1)3,
det (A −λE) = −(0,5 + λ)3. Проверку неравенства (16) нужно проводить при
всех λ ∈C, таких что |λ| = 1. Для множества |λ| = 1 используем параметризацию λ = 1−iω
1+iω при всех ω ∈[−∞, ∞]. Вычислим W1(λ) и W2(λ) при
λ = 1−iω
1+iω. Выпишем отдельно действительную и мнимую части Wj

1−iω
1+iω

,
9