Автоматика и телемеханика, 2024, № 6

Учредители журнала:
Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН),
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (ИППИ РАН)
Главный редактор:
Галяев А.А.
Заместители главного редактора:
Соболевский А.Н., Рубинович Е.Я., Хлебников М.В.
Ответственный секретарь:
Родионов И.В.
Редакционный совет:
Васильев С.Н., Желтов С.Ю., Каляев И.А., Кулешов А.П., Куржанский А.Б.,
Мартынюк А.А. (Украина), Пешехонов В.Г., Попков Ю.С.,
Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л.
Редакционная коллегия:
Алескеров Ф.Т., Бахтадзе Н.Н., Бобцов А.А., Виноградов Д.В., Вишневский В.М.,
Воронцов К.В., Граничин О.Н., Губко М.В., Каравай М.Ф., Кибзун А.И.,
Краснова С.А., Крищенко А.П., Кузнецов Н.В., Кузнецов О.П., Кушнер А.Г.,
Лазарев А.А., Ляхов А.И., Маликов А.И., Матасов А.И., Меерков С.М. (США),
Миллер Б.М., Михальский А.И., Мунасыпов Р.А., Назин А.В.,
Немировский А.С. (США), Новиков Д.А., Олейников А.Я., Пакшин П.В.,
Пальчунов Д.Е., Поляков А.Е. (Франция), Рапопорт Л.Б., Рублев И.В.,
Степанов О.А., Уткин В.И. (США), Фрадков А.Л., Цыбаков А.Б. (Франция),
Чеботарев П.Ю., Щербаков П.С.
Адрес редакции: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65
Тел./факс: 8 (495) 198-17-20, доб. 1443
Электронная почта: redacsia@ipu.ru
Зав. редакцией Е.А. Мартехина
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
c
⃝Российская академия наук, 2024
c
⃝Редколлегия журнала «Автоматика и телемеханика» (составитель), 2024

Автоматика и телемеханика, №6, 2024
Тематический выпуск 1
c
⃝2024 г.
М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва;
Национальный исследовательский университет
«Московский физико-технический институт», Долгопрудный)
НЕХРУПКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ2
Рассматривается задача фильтрации для линейных систем, подверженных постоянно действующим внешним возмущениям, при этом качество
фильтрации характеризуется размером ограничивающего эллипсоида, содержащего оцениваемый выход системы. Предложен регулярный подход
к решению задачи нехрупкой фильтрации, состоящей в синтезе матрицы
фильтра, которая выдерживает допустимые вариации своих коэффициентов. Применение концепции инвариантных эллипсоидов позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных
неравенств и свести ее к параметрической задаче полуопределенного программирования, легко решающейся численно.
Статья продолжает серию работ автора, посвященную вопросам фильтрации при неслучайных ограниченных внешних возмущениях и погрешностях измерений.
Ключевые слова: линейная система управления, внешние возмущения,
фильтрация, нехрупкость, наблюдатель Люенбергера, линейные матричные неравенства, инвариантные эллипсоиды.
DOI: 10.31857/S0005231024060011, EDN: XXSIRM
1. Введение
Задача фильтрации, состоящая в оценке состояния динамической системы
по измерениям, при случайных возмущениях допускает практически исчерпывающее решение с помощью фильтра Калмана. Однако во многих ситуациях предположение о случайности шумов является неоправданным: часто
известно лишь, что возмущения являются ограниченными, а в остальном произвольными; в этом случае можно строить гарантированные оценки состояний. Такой подход восходит к работам Виценхаузена, Бертсекаса и Родеса,
Швеппе [1]; в отечественных работах [2, 3] была развита эллипсоидальная
техника фильтрации.
Позже, на основе техники линейных матричных неравенств [5, 6] и концепции инвариантных эллипсоидов, автором настоящей статьи совместно с
1 Окончание тематического номера 5, 2024.
2 Результаты исследований, представленные в разделах 4 и 5, получены за счет средств
Российского научного фонда (проект №21-71-30005), https://rscf.ru/project/21-71-30005/.
3

Б.Т. Поляком в [4] была исследована задача фильтрации для стационарных
задач при ограниченных неслучайных возмущениях. При этом в классе линейных стационарных фильтров проблема оказалась полностью разрешимой:
был построен оптимальный фильтр и получена равномерная оценка состояния: ее ошибка гарантированно заключена в единый эллипсоид для всех моментов времени. Эта тематика впоследствии была развита в [7–9].
С другой стороны, в систему управления неизбежно привносится неопределенность, обусловленная неточностью технической реализации регулятора или необходимостью настройки его параметров в процессе эксплуатации.
В [10] было показано, что малые возмущения коэффициентов оптимального
регулятора могут приводить к потере им свойства стабилизируемости. Это
явление получило название хрупкости, впоследствии оно исследовалось в
разнообразных постановках задач; см., например, [11]. В [12, 13] был предложен подход к проблеме построения т.н. нехрупких регуляторов – т.е. выдерживающих вариации своих параметров, – применительно к задаче подавления неслучайных ограниченных возмущений.
Настоящая статья продолжает обе эти линии исследований. В ней предлагается регулярный подход к решению задачи нехрупкой фильтрации, состоящей в синтезе матрицы фильтра, которая выдерживает допустимые вариации своих коэффициентов. Оказывается, что даже малые возмущения
матрицы оптимального фильтра могут нарушать инвариантность эллипсоида
(полученного в предположении ее точной реализации), содержащего невязку
системы: траектории невязки могут его покидать. Целью работы является
построение т.н. нехрупкой пары: матрицы фильтра и соответствующего – по
возможности, малого – эллипсоида, содержащего невязку системы при всех
допустимых возмущениях матрицы фильтра.
2. Задача фильтрации: постановка и решение
Напомним постановку и решение задачи фильтрации при ограниченных
внешних возмущениях. Рассмотрим линейную непрерывную динамическую
систему
(1)
˙
x = Ax + D1w,
x(0) = x0,
y = Cx + D2w,
z = C1x,
где A ∈Rn×n, C ∈Rl×n, C1 ∈Rr×n, D1 ∈Rn×m, D2 ∈Rl×m, с состоянием
x(t) ∈Rn, наблюдаемым выходом y(t) ∈Rl, оцениваемым выходом z(t) ∈Rr и
внешним возмущением (шумом) w(t) ∈Rm, удовлетворяющим ограничению3
∥w(t)∥⩽1
для всех t ⩾0.
3 Здесь и далее ∥· ∥– евклидова норма вектора и спектральная норма матрицы, Sn –
пространство симметричных матриц n-го порядка, I – единичная матрица соответствующей размерности, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности
матриц.
4

Хотя природа возмущений в состоянии и выходе системы, вообще говоря,
различна, удобно считать их одними и теми же, полагая что матрицы D1
и D2 «вырезают» из вектора w разные «куски». Пара (A, C) предполагается
наблюдаемой.
Пусть состояние x системы недоступно измерению и информация о системе
предоставляется ее выходом y. Построим фильтр, описываемый линейным
дифференциальным уравнением относительно оценки состояния b
x, включающим в себя рассогласование выхода y и его прогноза Cb
x:
(2)
˙
b
x = Ab
x + L(y −Cb
x),
L ∈Rn×l.
Структура фильтра (2) такая же, как в известном наблюдателе Люенбергера [14, 15]: он является линейным стационарным, и подлежит выбору лишь
постоянная матрица L, которую будем называть матрицей фильтра.
Введем в рассмотрение невязку e(t) = x(t) −b
x(t); согласно (1), (2) она будет удовлетворять дифференциальному уравнению4
(3)
˙
e = (A −LC)e + (D1 −LD2)w.
Тогда точность фильтрации, состоящей в оценивании выхода z, будет характеризовать величина
e1 = z −b
z = C1(x −b
x) = C1e.
Задачей является нахождение минимального (в определенном смысле) единого эллипсоида, содержащего невязку e1.
Удобным техническим средством для решения этой задачи оказался аппарат линейных матричные неравенств и идеология инвариантных эллипсоидов [5, 6]. Напомним, что эллипсоид с центром в начале координат
E =
n
x ∈Rn :
xTP −1x ⩽1
o
,
P ≻0
называется инвариантным для динамической системы ˙
x = Ax + Dw, если
из условия x(0) ∈E следует x(t) ∈E для всех моментов времени t ⩾0. При
этом, если E – инвариантный эллипсоид с матрицей P, то линейный выход
z(t) = Cx(t) ∈Rr динамической системы при x(0) ∈E будет принадлежать эллипсоиду
Ez =
n
z ∈Rr :
zT
CPCT
−1z ⩽1
o
,
который называется ограничивающим, а при x(0) /
∈E будет стремиться к
нему.
4 Заметим, что матрица фильтра L стабилизирует систему (3). Существование матрицы L такой, чтобы матрица A −LC была устойчивой (гурвицевой), вытекает из свойства
наблюдаемости исходной системы (1).
5

Таким образом, идеология инвариантных/ограничивающих эллипсоидов
позволяет при малых уклонениях оценить равномерную по t точность фильтрации, а при больших уклонениях – асимптотическую. В рамках этого подхода при фиксированном L найдем минимальный ограничивающий эллипсоид, а затем минимизируем его по L. В качестве критерия минимальности
ограничивающего эллипсоида обычно принимается критерий следа f(P) =
= tr CPCT, соответствующий сумме квадратов его полуосей.
В работе [4] был установлен следующий результат.
Т е о р е м а 1. Пусть Q∗, Y∗– решение задачи
min tr H

≼0,
при ограничениях
ATQ + QA −Y C −CTY T + αQ QD1 −Y D2
DT
1 Q −DT
2 Y T
−αI
 H
C1
CT
1
Q

≽0,
Q ≻0,
относительно матричных переменных Q ∈Sn, Y ∈Rn×l, H ∈Sr и скалярного
параметра α > 0.
Тогда матрица оптимального фильтра дается выражением
L∗= Q−1
∗Y∗,
а минимальный ограничивающий эллипсоид, содержащий ошибку оценки выхода z системы (1) при x0 = 0, определяется матрицей
C1Q−1
∗CT
1 .
Обратим внимание, что при фиксированном α данная задача сводится к
несложно решаемой задаче полуопределенного программирования.
З а м е ч а н и е 1. Если известно
начальное
состояние
x(0) = x0
системы (1), то к ограничениям оптимизационной задачи в теоремы 1 добавляется
xT
0 Qx0 ⩽1,
означающее, что e(0) = x(0) −b
x(0) = x0 ∈E.
Если же начальная точка принадлежит некоторому эллипсоиду начальных
состояний
x(0) ∈E0 =
n
x ∈Rn :
xTP −1
0
x ⩽1
o
,
P0 ≻0,
то в качестве дополнительного ограничения добавляется линейное матричное
неравенство
Q ≼P −1
0
,
6

означающее, что E0 ⊂E. В этом случае вновь имеем e(0) = x(0) −b
x(0) =
= x(0) ∈E0 ⊂E.
Таким образом, в обоих случаях гарантируется равномерная оценка точности фильтрации.
3. Инвариантность и нехрупкость
Будем говорить, что матрица фильтра L и положительно определенная
матрица P = Q−1 образуют нехрупкую пару с уровнем нехрупкости γ, если
для всякого ∆: ∥∆∥⩽γ, возмущенная матрица фильтра L + ∆стабилизирует систему (3) и матрица P определяет ее инвариантный эллипсоид. При
этом будем называть нехрупкими как сам фильтр, так и соответствующий
ограничивающий эллипсоид, содержащий ошибку оценки выхода системы.
Как и ранее, будем стремиться сделать его по возможности малым.
Сформулируем основной результат статьи.
min tr H
Т е о р е м а 2. Пусть e
Q, e
Y доставляют решение задаче
ATQ + QA −Y C −CTY T + αQ + εCTC
QD1 −Y D2 + εCTD2
γQ
при ограничениях


DT
1 Q −DT
2 Y T + εDT
2 C
−αI + εDT
2 D2
0
γQ
0
−εI



≼0,
 H
C1
CT
1
Q

≽0,
Q ≻0,
где оптимизация ведется по матричным переменным Q ∈Sn, Y ∈Rn×l,
H ∈Sr, скалярной переменной ε и скалярному параметру α > 0.
Тогда матрица
C1 e
Q−1CT
1
определяет нехрупкий ограничивающий эллипсоид для ошибки оценки выхода z системы (1) при x0 = 0, соответствующий нехрупкой паре
c уровнем нехрупкости γ.
e
L = e
Q−1 e
Y ,
e
P = e
Q−1,
Доказательство этого и последующих утверждений приведено в Приложении.
Как и ранее, задача, сформулированная в теореме 2, представляет собой параметрическую задачу полуопределенного программирования, легко
решающуюся численно.
7

Используемый подход, основанный на построении общей квадратичной
функции Ляпунова для неопределенной системы, дает лишь достаточные
условия робастной асимптотической устойчивости. Не будем останавливаться подробно на анализе степени консерватизма получаемой эллипсоидальной
оценки, однако примеры свидетельствуют о том, что консерватизм не очень
велик.
З а м е ч а н и е 2. Обратим внимание, что нехрупкая матрица фильтра L
робастно стабилизирует систему
˙
e =

A −(L + ∆)C


e +

D1 −(L + ∆)D2


w
при всех допустимых неопределенностях ∆: ∥∆∥⩽γ. При такой специальной
структуре матрицы замкнутой системы робастная стабилизация возможна
при любом γ (см., например, [6, замечание 5.2.1]). Иными словами, уровень
нехрупкости γ может быть задан произвольно большим, что приведет лишь
к увеличению размера нехрупкого инвариантного эллипсоида.
4. Дискретный случай
Рассмотрим линейную систему в дискретном времени
xk+1 = Axk + D1wk,
(4)
yk = Cxk + D2wk,
zk = C1xk,
с начальным условием x0, где A ∈Rn×n, C ∈Rl×n, C1 ∈Rr×n, D1 ∈Rn×m,
D2 ∈Rl×m, с состоянием xk ∈Rn, наблюдаемым выходом yk ∈Rl, оцениваемым выходом zk ∈Rr и внешним возмущением wk ∈Rm, удовлетворяющим
ограничению
∥wk∥⩽1
для всех k = 0, 1, 2, . . . .
Пара (A, C) предполагается наблюдаемой.
Как и в непрерывном случае построим фильтр, описываемый линейным
разностным уравнением относительно оценки состояния b
xk, включающим в
себя рассогласование выхода y и его прогноза Cb
xk
b
xk+1 = Ab
xk + L(yk −Cb
xk),
L ∈Rn×l,
в котором подлежит выбору постоянная матрица фильтра L.
Решение задачи нахождения минимального ограничивающего эллипсоида
(определение которого остается по существу таким же, как и в непрерывном
случае), содержащего ошибку оценки
e1,k = zk −b
zk = C1ek,
где ek = xk −b
xk – невязка системы, устанавливается следующей теоремой.
Она является дискретным аналогом теоремы 1.
8

Т е о р е м а 3
[4, 6]. Пусть Q∗, Y∗– решение задачи
min tr H
при ограничениях



≽0,
Q ≻0,
−αQ
(QA −Y C)T
0
QA −Y C
−Q
QD1 −Y D2
0
(QD1 −Y D2)T
−(1 −α)I



≼0,
 H
C1
CT
1
Q
относительно матричных переменных Q ∈Sn, Y ∈Rn×l, H ∈Sr и скалярного параметра 0 < α < 1.
Тогда матрица оптимального фильтра дается выражением
L∗= Q−1
∗Y∗,
а минимальный ограничивающий эллипсоид, содержащий ошибку оценки выхода z системы (4) при x0 = 0, определяется матрицей
C1Q−1
∗CT
1 .
Определение нехрупкой пары остается таким же, как и в непрерывном
случае; ее нахождение производится в соответствии со следующим результатом.
min tr H
Т е о р е м а 4. Пусть e
Q, e
Y доставляют решение задаче
при ограничениях


−αQ + εCTC
(QA −Y C)T
εCTD2
0
QA −Y C
−Q
QD1 −Y D2
γQ
εDT
2 C
(QD1 −Y D2)T −(1 −α)I + εDT
2 D2
0
0
γQ
0
−εI







≼0,

≽0,
Q ≻0,
 H
C1
CT
1
Q
где оптимизация ведется по матричным переменным Q ∈Sn, Y ∈Rn×l,
H ∈Sr, скалярной переменной ε и скалярному параметру 0 < α < 1.
Тогда матрица
C1 e
Q−1CT
1
определяет нехрупкий ограничивающий эллипсоид для ошибки оценки выхода zk системы (4) при x0 = 0, соответствующий нехрупкой паре
c уровнем нехрупкости γ.
e
L = e
Q−1 e
Y ,
e
P = e
Q−1,
9