Автоматика и телемеханика, 2024, № 2

                И ТЕЛЕМЕХАНИКА





Журнал основан в 1936 году
Выходит 12 раз в год

ФЕВРАЛЬ

Москва

2024

Учредители журнала: Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН), Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (ИППИ РАН)

    Главный редактор:

Галяев А.А.

    Заместители главного редактора:

Соболевский А.Н., Рубинович Е.Я., Хлебников М.В.

    Ответственный секретарь:

Родионов И.В.

    Редакционный совет:

Васильев С.Н., Желтов С.Ю., Каляев И.А., Кулешов А.П., Куржанский А.Б., Мартынюк А.А. (Украина), Пешехонов В.Г., Попков Ю.С., Федосов Е.А., Черноусько Ф.Л.

    Редакционная коллегия:

Алескеров Ф.Т., Бахтадзе Н.Н., Бобцов А.А., Виноградов Д.В., Вишневский В.М., Воронцов К.В., Глумов В.М. , Граничив О.Н., Губко М.В., Каравай М.Ф., Кибзун А.И., Краснова С.А., Красносельский А.М., Крищенко А.П., Кузнецов Н.В., Кузнецов О.П., Кушнер А.Г., Лазарев А.А., Ляхов А.И., Маликов А.И., Матасов А.И., Меерков С.М. (США), Миллер Б.М., Михальский А.И., Мунасыпов Р.А., Назин А.В., Немировский А.С. (США), Новиков Д.А., Олейников А.Я., Пакшин П.В., Пальчунов Д.Е., Поляков А.Е. (Франция), Рапопорт Л.Б., Рублев И.В., Степанов О.А., Уткин В.И. (США), Фрадков А.Л., Цыбаков А.Б. (Франция), Чеботарев П.Ю., Щербаков П.С.



Адрес редакции: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65 Тел./факс: 8 (495) 198-17-20, доб. 1443 Электронная почта: redacsia@ipu.ru

Зав. редакцией Е.А. Мартехина

Москва «Издательство «Наука»


© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала «Автоматика и телемеханика» (составитель), 2024

Автоматика и телемеханика, № 2, 2024



            Нелинейные системы


© 2024 г. А.В. АРУТЮНОВ, д-р физ.-мат. наук (arutyunov@cs.msu.ru), С.Е. ЖУКОВСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (s-e-zhuk@yandex.ru),
К.А. ЦАРЬКОВ, канд. физ.-мат. наук (k6472@mail.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ А-УКОРОЧЕНИЙ¹

      Рассматриваются конечномерные и бесконечномерные задачи оптимизации при наличии ограничений общего вида. Получены достаточные условия устойчивости строгого решения и условия устойчивости множества решений, состоящего более чем из одной точки, относительно малых возмущений параметров задачи. В конечномерном случае получены условия устойчивости решений экстремальных задач с ограничениями типа равенств на основе конструкции А-укорочений отображений.

    Ключевые слова: абстрактные задачи оптимизации, экстремальные задачи с ограничениями, устойчивость решения.

    DOI: 10.31857/S0005231024020014, EDN: UMNFFU


    1. Введение

   В теории и практике решения экстремальных задач зачастую приходится иметь дело с неопределенными параметрами, участвующими в формировании оптимизируемого функционала и/или ограничений задачи. В связи с этим значительный объем исследований в последние десятилетия был направлен на изучение зависимости решений экстремальных задач от этих параметров. Ключевым является вопрос о том, насколько сильно изменится решение данной экстремальной задачи (в предположении, что оно существует) при «малом» изменении параметров относительно некоторых заданных значений. В случае таких же «малых» изменений решения говорят о его устойчивости, а относительная величина этих изменений обычно характеризуется как чувствительность решения к малым изменениям параметров [1].
   Абстрактные задачи оптимизации с ограничениями при наличии неопределенных параметров и устойчивость их решений рассматривались ранее

  ¹ Лемма 1 и теорема 1 доказаны С.Е. Жуковским за счет средств проекта Российского научного фонда № 20-11-20131 (https://rscf.ru/project/20-ll-20131) в ИПУ РАН. Теорема 2 доказана К.А. Царьковым за счет средств проекта Российского научного фонда № 22-11-00042 (https://rscf.ru/project/22-ll-00042) в ИПУ РАН.

3

в [2, 3], а также являются предметом изложения в [4]. Основы теории чувствительности для конечномерных задач с ограничениями подробно изложены в [1]. Значительное число результатов об устойчивости решений оптимизационных задач с ограничениями получено при выполнении дополнительных условий регулярности, см., например, последние результаты, касающиеся условия регулярности Робинсона [5, 6]. Анализ устойчивости в отсутствие подобных дополнительных предположений до сих пор остается нетривиальной задачей [7]. В то же время вопрос оценки чувствительности решений является актуальным для широкого класса конечномерных экстремальных задач и задач оптимального управления при наличии неопределенных и случайных параметров [8].
   В настоящей работе рассматривается задача минимизации при наличии ограничений общего вида

/(ж, ст) —> inf, х G Ф(сг)

с параметром ст, к которой естественным образом сводится и параметризованная задача максимизации. В разделах 2, 3 предполагается, что переменная х принимает значения в произвольном банаховом пространстве, параметр <т — в топологическом пространстве, а функция f и многозначное отображение Ф удовлетворяют лишь естественным требованиям непрерывности. В этих предположениях получены достаточные условия устойчивости строгого решения жо рассматриваемой задачи при некотором фиксированном значении параметра ст = oq (лемма 1). В разделе 4 полученный результат обобщается на случай, когда минимум задачи при ст — ctq достигается не в единственной точке, а на целом подмножестве множества Ф(оо) (лемма 2). В разделе 5 при помощи конструкции А-укорочений [9] результаты конкретизированы для конечномерной задачи с ограничениями типа равенств.

    2. Основные конструкции и предположения

   Пусть заданы банахово пространство X и точка xq G X. Через Вг(жо) С X будем обозначать замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в точке жо   Пусть R > 0 — некоторый фиксированный радиус и даны непустые замкнутые множества Ф(<т), ст G И, где И - заданное топологическое (в частности метрическое) пространство. При этом Ф(<т) С Вд(жо) Ver G Е.
   Рассмотрим задачу

(1)                     /(ж, <т) —> inf, ж G Ф(<т)

при каждом фиксированном ст G Е, играющем роль параметра. Здесь /(•, ст) -заданные непрерывные на Вд(жо) функции.
   Множества Ф(<т) имеют следующий смысл. Как правило, они заданы в виде Ф(ст) = {ж € X : В(ж, <т) € С'(сг)} П Вд(жд). Здесь F : X х Е —> Y - заданное непрерывное отображение, а С'(о’) с Y — заданные непустые замкнутые

4

множества, которые определяют ограничения задачи (1), Y - нормированное пространство. Если же рассматривается задача без ограничений, то Ф(<т) = = Br(xq).
   Пусть задана точка од G Е, в которой выполнена первая аксиома счетности, т.е. существует счетная определяющая последовательность окрестностей точки сто (например, од - произвольная точка в случае метрического пространства Е). Из совокупности задач (1) отдельно выделим для рассмотрения задачу

(2)                /(ж) :=/(ж,од)-> inf, х G Ф(<т₀).

   Предположим, что функции /(•, <т) сходятся к f = /(•, од) при <7 —> (То равномерно на Вд(жо). Последнее означает, что для любого £ > 0 существует такая окрестность О (од) С Е точки (То, что

(3)           |/(ж,сг) - /(ж)| < £ \/х G Вд(ж₀) Vo-G О((т₀).

   Будем предполагать, что при каждом а инфимум в задаче (1) конечен. Пусть также xq £ Ф(<то), причем xq является строгим решением задачи (2), т.е.

(4)                /(ж₀) < /(®) Уж G Ф(од) : ж ф ж₀.

   Введем два предположения относительно функции f = /(•, (То). Первое из них заключается в том, что существует неубывающая функция 8 : R-I—> —> R₊ U {+оо}, для которой 5(0) = 0, 5(г) > 0 при г > 0 и выполняется

(5)              /(ж) > /(ж₀) + 5(||ж -ж₀||) Уж G Ф(од).

   Второе предположение заключается в том, что

(6)                     ж G Ф(сг), ж G Ф(од), Ik - ж|| -> 0, ст -> <т₀ => f{x) /(ж) - 1(a),

где 1(a) > 0 для любого а ф од и 1(c) —> 0 при о —> од. Иными словами, для любого £ > 0 найдутся такие окрестность О (од) С Е точки од и число 7 > 0, что при всех о⁻ £ О (од) имеет место

ж G Ф(о-), жбФ(од), ||ж - ж|| < 7 =>  /(ж)^/(ж)-£.

    Следующее предположение касается многозначного отображения Ф : Е z# Вд(жд). А именно, будем предполагать, что оно полунепрерывно сверху в точке од, т.е.

(7)       Ф(о-) С Ф(од) + В₁₍а₎(0) =: В₁₍а₎(Ф((7о)) при а -> (7₀.

Здесь функция 1(о") такая же, как и в условии (6), символ + означает сумму множеств по Минковскому (подробнее о многозначных отображениях см., например, [10, глава 1] или [11, §2.3]).


5

    3. Устойчивость решения экстремальной задачи

   Положим ж (сто) — хо- Пусть на Е задана неотрицательная скалярная функция V’ такая, что V’(f) —> V’(°o) = О ПРИ ст —> сто и при любом ст £ Е, ст ctq, существует ж (ст) £ Ф(ст), для которого имеет место

(8)               /(ж(ст),ст) /(ж,ст)+ ^(ст) \/ж G Ф(ст).

Указанная функция гр существует всегда. В самом деле, если пространство X конечномерно, то решение х(ст) задачи (1) минимизации непрерывной функции на компактном множестве Ф(ст) существует и можно положить гр — 0. Пусть теперь банахово пространство X бесконечномерно. Тогда при любом ^(ст) > 0, ст ф сто, поскольку инфимум в задаче (1) конечен, то ее решение существует, но уже с точностью до гр. Поэтому найдется ж(ст), для которого выполняется условие (8).
   Определение 1. Региение xq экстремальной задачи (2) называется устойчивым, если для любых точек ж(ст) G Ф(ст), ст сто, удовлетворяюгцих условию (8), имеет место

ж(ст) —> Xq при а —> сто   Спрашивается, когда решение xq задачи (2) является устойчивым? Один из ответов на этот вопрос приведен ниже.
   Лемма 1. Пусть <^(ctq) := xq и для любого ст ф сто сугцествует ДД) € G Ф(ст) такое, что

(9)               У’С⁰’) —хо пРи &           °оПусть, кроме того, точка xq является строгим региением задачи (2), а также выполняются условия (3), (5)-(7). Тогда региение xq задачи (2) устойчиво.
   Доказательство леммы 1. Не теряя общности, будем считать, что xq = 0 и /(0) = 0. Предположим, что утверждение леммы нарушается. В силу первой аксиомы счетности это означает, что существуют такие последовательности {стД и {жг}, что CTj —> сто, Vi Xi — ж(стг) G Ф(стг), выполняется (8) и последовательность {ж^} к нулю не сходится. Следовательно, существует такое число е, что 0 < 2s < R и, после перехода к подпоследовательности, имеем ||жг|| 2е для всех г.
   В силу (7) существуют такие точки Xi £ Ф(сто), что

(Ю)                           ||zi-Zi||-> 0.


Значит, при всех достаточно больших г имеем \\xi|| е. Отсюда в силу предположения (5) имеет место f(xi) 5(||жг||) 5(e) > 0, т.е. существует такое
Sq — 5(е)/2 > 0, что f(xi) 2Sq для всех достаточно больших г. Но тогда в


6

силу (6) и (10) имеем f(xi) f(xi) — 8q/2  |<$q для всех достаточно больших г. Следовательно, поскольку в силу (3) функции := /(-,<t,) сходятся равномерно к функции f на Вд(0), то при всех достаточно больших i имеет место /г(жг) > 8q.
   Положим (Pi — Hlpi — ^(°г)- В силу (9) <Pi —> 0, а в силу свойств функции 1/1 имеем > 0, г —> оо. Поэтому в силу (3) существует такое натуральное io, что для всех г го выполняется


(И)

1Л(Ж) - /(ж)1 + j Vx G Вд(0).


Из непрерывности /, увеличивая при необходимости натуральное го, получаем

(12)

J./ х <5о
Ж)

г г₀.

   При г го в силу (8) для произвольного х £ Ф(<7г) имеет место fi(xi) С fi(x) + V’i- В частности, при х — ipi G Ф(<Тг) получаем, что для всех достаточно больших г выполняется

А(®г) < Л(^г) + = (/i(v’i) - Ж) + V’i) + Ж) J + Ж) у •

Здесь предпоследнее неравенство вытекает из (11), а последнее - из (12).
   Итак, доказано, что fi(xi) С 8q/2 при всех больших г. Но по построению имеем fi(xi) 6q > 0, т.е. получено противоречие. Лемма доказана.
   Обсудим условия устойчивости решения xq задачи (2), фигурирующие в лемме 1. Начнем с предположения (5). Как показывает следующий пример, в конечномерном пространстве X оно всегда выполняется, если выполняется (4).
   Пример 1. Пусть банахово пространство X конечномерно, a xq является строгим минимумом функции f на множестве Ф(<то), т.е. выполняется условие (4). Тогда функция 6, удовлетворяющая оценке (5), определяется по формуле

<5(r) = min|/(x) - /(ж₀) : х Е Ф(<т₀), ||® - ж₀|| > г}, г > 0.

При этом минимум по пустому множеству считаем равным +оо.
   Очевидно, что для конечномерного пространства X в силу компактности каждого из множеств, имеющих вид Ф(сг₀) Р {ж G X : ||ж — жо|| г}, так определенная функция 6 удовлетворяет всем нужным требованиям. Пример разобран.
   Рассмотрим случай, когда пространство X бесконечномерно, функция f является гладкой в окрестности точки xq, а допустимое множество Ф(оо)

7

определяется конечным числом гладких ограничений типа равенств и неравенств. В этом случае, если выполняется достаточное условие второго порядка в задаче (2) (см., например, [12, § 8] или [13, теорема 7.1]) и радиус R > О шара .Вд(жо) достаточно мал, то найдется е > 0 такое, что функция <5(г) — — sr² удовлетворяет оценке (5). Вообще говоря, для существования функции 6, удовлетворяющей оценке (5), достаточно, чтобы выполнялись любые достаточные условия строгого минимума второго или более высоких порядков (см., например, [13, теоремы 7.3, 14.2, 14.3]) и число R > 0 было достаточно мало.
   В то же время следующий контрпример показывает, что в бесконечномерном гильбертовом (тем более банаховом) пространстве X, если достаточные условия строго минимума второго или более высоких порядков в задаче (2) не выполнены, то подходящей функции 6 может не существовать ни при каком значении R > 0. При этом утверждение леммы 1 даже в задаче без ограничений нарушается. Таким образом, предположение (5) является существенным.
   Пример 2. Пусть X —      — это, как обычно, пространство вещественных
последовательностей с суммируемым квадратом и обычным скалярным произведением. Обозначим через {еД стандартный базис в fai- т.е. последовательности, у которых на г-м месте стоит единица, а на остальных — нули. Через А обозначим положительный самосопряженный компактный линейный оператор А : X —> X, который определен бесконечной диагональной матрицей, содержащей г⁻¹ на главной диагонали, i = 1,2,..., и нули вне ее (см., например, [14, § 6.9]).
   Пусть Е — {г⁻¹ : г 6 N} U {0} С К. с естественной топологией из R, причем сто = 0, /(ж) = (Ах,х). Для i G N положим falx') := /(ж,г⁻¹) = (AiX,x), где Ai получено из А заменой на г-м месте на диагонали г⁻¹ на —г⁻¹. Далее, положим so — 0 и V,(cr) = 0- Зафиксируем произвольное R > 0 и для него положим Ф(сг) = Вд(0) V<7 (т.е. ограничение х G Ф(сг) отсутствует).
   Здесь условие (7) выполняется тривиально. Условие (6) выполняется в силу того, что

  |/(z) - f(x)\ = |(Ar,s) - (Ах,х)\ <
       |(Лт,я) - (Аж,ж)| + \(Ах,х) - (Az,z)| < ||A||||z - z||(||s|| + ||z||) <
                  < 2B||A||||z — s|| —> 0 при ||z — я|| —> 0, т,т€Вд(0).
В качестве {Дг⁻¹)} в условии (9) можно взять любую сходящуюся к нулю последовательность элементов из Вд(0), например         Условие (3) выполняется, так как по построению fa—>f при г —> оо равномерно по х G Вд(0). Таким образом, в этом примере выполняются условия (3), (6), (7) и (9).
   В то же время условие (5) нарушается, поскольку Vr > 0 inf{/(s) : ||s|| = — г} — 0, и соответствующей функции 6 не существует. Покажем, что утверждение леммы 1 также нарушается. Действительно, значения /(ж) положительны при х ф 0, /(0) = 0, однако inf {falx') : х G Вд(0)} = —В²г⁻¹

8

для всех i Е N, и этот инфимум достигается при Xi := Rei Е Вд(0). Точки Xi — ж(г⁻¹) удовлетворяют условию (8) при ip — 0, но последовательность {жД к нулю не сходится, т.е. точка xq = 0 не является устойчивым решением задачи (2). Пример разобран.
  Обратимся к предположению (6). Из теоремы Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте вытекает, что предположение (6) автоматически выполняется в конечномерном пространстве X.
  Действительно, пусть X конечномерно. Тогда для произвольного фиксированного R > 0 замкнутый шар Вд(жо) компактен. Из условий х Е Ф(с), х Е Ф(<?о) и предположения о том, что Ф(<?) С Вд(жо) Ver, вытекает, что х,х Е Вд(а?о). В силу теоремы Кантора, примененной к функции f на компакте Вд(ж₀), получаем, что |/(ж) — /(ж)| —> 0 при ||ж — ж|| —> 0, что доказывает (6).
  Если же пространство X бесконечномерно, то предположение (6) уже существенно, даже если это пространство гильбертово. Приведем соответствующий пример.
  Пример 3. Пусть X = £2 - гильбертово пространство, как в примере 2, {еД С £2 — стандартный базис. Положим xq — ei, R — 2, В B₂(ei), S = {г⁻¹ : г Е N} U {0}, причем <то = 0 и ip(a) = 0. Функция /(ж, <т) не зависит от <7 и определяется по формуле

(13)   /(ж, <т) = /(ж) = 1 — У^тах{0,1 — 2г||ж — еД|}, ж G £2, <т G Е.
                          г=1

Поскольку носителями непрерывных функций ж ь-> max{0,1 — 2г||ж — еД|} являются попарно непересекающиеся шары В₁/^){ег>), то функция / : X —> R корректно определена и непрерывна (в том числе на В).
  Положим




        Ф(г Д = {щ,ЬД,

где             — )ei, bi= \1-               )ei, г = 1,2,...;
\ 2г /              \    2(г + 1)г /
5(т) = г/2, г 0.


   Для проведения дальнейших построений вычислим значения функции f в некоторых точках. Поскольку е1,щ G В1/₂(еД, то


(14)

(15)

/(еД = 1 - max{0,1 - 2||ei - ех||} = 0,


                 /(щ) = 1 - тах{0,1 - 2||щ - ei||} = -. г


9