Введение в математику финансовых инструментов

Д.А. ВЛАСОВ
ВВЕДЕНИЕ 
В МАТЕМАТИКУ 
ФИНАНСОВЫХ 
ИНСТРУМЕН 
ТОВ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва
ИНФРА-М
2025

УДК 336+51(075.8)
ББК 65.26:22.1я73
 
В58
Р е ц е н з е н т ы:
Сухорукова И.В., доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова;
Феклин В.Г., кандидат физико- 
математических наук, доцент, декан 
факультета информационных технологий и анализа больших данных 
Финансового университета при Правительстве Российской Федерации
Власов Д.А.
В58  
Введение в математику финансовых инструмен 
 
тов : учебное пособие / Д.А. Власов. —  
Москва : ИНФРА-М, 2025. — 289 с. —  
(Высшее 
образование). —  
DOI 10.12737/ 2001689.
ISBN 978-5-16-018412-8 (print)
ISBN 978-5-16-111445-2 (online)
В учебном пособии на доступном уровне рассмотрены основные вопросы портфельной теории в целом, представлены математические методы, разработанные для конструирования и модификации портфелей с учетом требований инвесторов. Проанализированы разнообразные подходы 
к конструированию и исследованию портфелей, в том числе метод Лагранжа, симплекс- 
метод, приемы теории принятия решений и методы теории игр. Большое количество примеров различной сложности и трудности 
позволяют познакомить читателя с практикой количественного анализа 
финансовых инструмен 
тов и конструирования портфелей исходя из целевых установок, возможностей инвесторов, оценок финансовых инструмен 
-
тов по различным критериям.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для студентов, обучающихся по экономическим и финансовым направлениям подготовки: 38.04.01 «Экономика» («Экономические риски» и др.), 38.04.08 «Финансы и кредит» («Ценные бумаги 
и финансовый инжиниринг», «Финансовая математика и анализ рынков» 
и др.); 38.04.02 Менеджмент («Управление проектами» и др.). Также представляет интерес для всех, кто испытывает дефицит в математических методах принятия финансовых решений.
УДК 336+51(075.8)
ББК 65.26:22.1я73
ISBN 978-5-16-018412-8 (print)
ISBN 978-5-16-111445-2 (online)
© Власов Д.А., 2024

Список основных используемых обозначений
i
R  — доходность i-го финансового инструмента 
r  — доходность финансового инструмента, вычисленная по реальным финансовым данным 
i
r  — доходность финансового инструмента в i-м периоде, вычисленная по реальным финансовым данным 
X — портфель финансовых инструментов
R или X
r  — доходность портфеля
р — цена финансового инструмента
d — величина дивидендов
i
x  — ценовая доля i-го финансового инструмента в портфеле
μi — эффективность i-го финансового инструмента
μ — эффективность портфеля финансовых инструментов
(
)
cov
,
X Y  — ковариация случайных величин X и Y
covi j — ковариация доходностей i-го и j-го финансовых инст-рументов
(
)
,
X Y
ρ
 или ρ — коэффициент корреляции случайных величин X 
и Y
σ(x) — среднее квадратичное отклонение случайной величины X
σi  — среднее квадратичное отклонение эффективности i-го финансового инструмента
[ ]
D R  или D — дисперсия случайной величины R
A или Ω — ковариационная матрица
T
X  — вектор- 
столбец, полученный транспонированием вектор- 
строки ценовых долей
t — числовой параметр, аргумент; величина периода
Δ — определитель основной матрицы системы линейных алгебраических уравнений
i
Δ  — частный определитель матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующий i-й переменной
( )
f t  — функция аргумента t
L — функция Лагранжа
λ  — параметр функции Лагранжа
3

Введение
Учебное пособие содержит основы портфельной теории, положения и рекомендации по ее использованию в практике принятия 
решений с необходимыми сведениями из математического анализа, 
теории вероятностей и теории игр. Особое внимание уделяется математическим основам анализа финансовых инструмен 
тов и конструирования портфелей финансовых инструмен 
тов на основе 
математических методов. Для облегчения восприятия материала 
всем используемым в процессе анализа ситуаций математическим 
понятиям дается финансовая интерпретация.
В основу издания легли материалы курсов, читаемых автором 
для студентов магистратуры в Финансовом университете при Правительстве РФ и Российском экономическом университете 
им. Г.В. Плеханова («Математическое обеспечение финансовых 
решений», «Математика финансовых инструмен 
тов», «Математические инструмен 
 
ты в экономических исследованиях» и др.).
Классические методы анализа финансовых инструмен 
 
тов, рассмотренные в первой главе учебного пособия (анализ на основе 
принципа максимизации доходности, на основе минимизации 
риска, на основе математических методов оптимизации портфеля 
финансовых инструмен 
 
тов и др.), дополнены моделью оценки капитальных активов (CAPM) и построением портфеля на основе 
β-коэффициентов, а также игровыми методами анализа финансовых инструмен 
тов, рассмотренными во второй главе. Содержание 
второй главы пособия дополняет классическую портфельную 
теорию методами теории принятия решений, используемыми 
в анализе финансовых инструмен 
тов с учетом информационной ситуации, уровня доверия инвестора к имеющейся информации, его 
склонности к риску и степени выраженности антагонизма между 
участниками финансового рынка.
Выделение особых приемов и рекомендаций по использованию 
математического аппарата в данном пособии способствует повышению осознанности в применении математических методов и моделей, а также повышению качества финансовых решений. В заключении учебного пособия представлен обзор, цель которого — 
знакомство читателя с некоторыми математическими теориями, 
также используемыми в процессе анализа финансовых инструмен 
тов, —  
теорией фракталов, нечеткой математикой, теорией временны
 х 
рядов и др. Завершается учебное пособие списком литературы, 
4

обращение к которому позволит читателю продолжить освоение 
математики финансовых инструмен 
 
тов, расширить представления 
о математических методах принятия оптимальных финансовых 
решений.
Кроме студентов направлений подготовки, непосредственно связанных с принятием финансовых решений, материал пособия представляет интерес для студентов, обучающихся по направлениям 
подготовки 38.04.01 «Экономика», 38.04.08 «Финансы и кредит», 
38.04.02 «Менеджмент», а также всех, кто интересуется математическими основами финансовых решений и испытывает дефицит 
финансово- 
математической подготовки.
Для удобства работы каждая глава разбита на разделы, содержащие относительно законченный фрагмент материала и позволяющие последовательно раскрывать особенности применения 
количественного анализа и математического моделирования 
в практике принятия финансовых решений. Для более детального 
рассмотрения некоторых вопросов размещены ссылки на литературу, ознакомиться с которой целесообразно после предложенного 
введения в материал. Представленные вопросы и задания сгруппированы с учетом возможности индивидуальной и групповой работы 
студентов.
В результате изучения данного учебного пособия студент будет:
знать
 
• классификацию портфелей финансовых инструмен 
 
тов;
 
• основные виды портфелей финансовых инструмен 
тов и особенности их конструирования;
 
• особенности применения количественных характеристик доходности и риска финансовых инструмен 
 
тов при конструировании 
и модификации портфелей;
 
• особенности учета требований инвестора при выборе оптимального портфеля финансовых инструмен 
тов;
 
• предпосылки сведения задачи выбора оптимального финансового инструмента (портфеля) к игровым моделям различных 
видов;
 
• терминологический аппарат портфельной теории и ее математические основы;
уметь
 
• выявлять доминирующие и доминируемые портфели на множестве альтернативных портфелей;
 
• давать содержательную интерпретацию результатам применения математических методов портфельной теории;
5

 
• использовать количественные характеристики доходности 
и риска финансовых инструмен 
тов при конструировании и модификации портфелей;
 
• конструировать собственные портфели финансовых инструмен 
тов с учетом динамики требований инвестора;
 
• обосновывать выбор математического метода поиска оптимального портфеля;
 
• применять различные методы конструирования портфелей финансовых инструмен 
 
тов;
 
• сводить задачу выбора оптимального финансового инструмента 
(портфеля) к игровым моделям различных видов с учетом информационной ситуации и характера взаимодействия финансовых агентов;
владеть
 
• методами исследования теоретико- 
игровых моделей на определение оптимальной стратегии инвестора;
 
• навыками выработки оптимальных финансовых решений на основе количественных методов и математического моделирования;
 
• навыками конструирования портфелей финансовых инструмен 
тов;
 
• навыками модификации портфелей финансовых инструмен 
 
тов;
 
• приемами количественного анализа финансовых инструмен 
 
тов;
 
• методиками учета риска и отношения инвестора к риску при анализе финансовых ситуаций.
6

Глава 1. 
ПОРТФЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 
И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОРТФЕЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Понятия, формируемые в рамках раздела:
 
• портфельная теория;
 
• цели инвестирования;
 
• финансовые инструмен 
 
ты;
 
• модель Марковица;
 
• модель Блэка;
 
• критерии оптимальности;
 
• позитивный критерий;
 
• негативный критерий;
 
• риск;
 
• портфель;
 
• принципы конструирования портфеля;
 
• доходность;
 
• уровни финансового риска;
 
• постулаты классической портфельной теории.
В рамках данной главы учебного пособия будут рассмотрены вопросы портфельной теории, имеющей большое значение для принятия инвестиционных решений при покупке и возможной последующей продаже финансовых инструмен 
 
тов. Принятие инвестиционных решений в таких условиях усложняется по причине 
неопределенности доходностей операций, а также актуализации 
рисков различной природы. Заметим, что процессу инвестирования 
денежных средств в различные инструмен 
ты сопутствует существенный риск, который в практике принятия финансовых решений 
необходимо учитывать.
Данный риск несопоставим, например, с риском, возникающим при размещении денежных средств на депозите. Однако 
вложение денежных средств в финансовые инструмен 
ты характеризуется большей доходностью, чем размещение денежных 
средств на депозите, что стимулирует совершенствование математических методов обоснования инвестиционных решений, 
приемов конструирования и управления портфелем финансовых 
инструмен 
тов. Портфельная теория —  
разработанная в 1950-х гг. 
7

и продолжающая развиваться методика конструирования оптимального портфеля финансовых инструмен 
 
тов. Для того чтобы 
понять, как использовать математические методы портфельной 
теории, и научиться использовать их осознанно, следует уточнить 
цели, которыми руководствуются инвесторы в процессе своей 
профессио 
нальной деятельности. Под целями инвестирования 
принято понимать конечный результат, который требуется получить от вложения денежных средств. Эффективность инвестирования определяется действиями, приемами и методами, применяя 
которые планируется получение конечного результата. Детально 
продуманный и научно- 
обоснованный план способствует обретению финансовой стабильности и повышает эффективность использования имеющихся денежных средств.
Заметим, что планирование совершенно не означает отсутствие 
возможности своевременной коррекции инвестиций с учетом меняющейся финансово- 
экономической конъюнктуры. Среди целей 
инвестирования различают:
 
• портфельные и реальные;
 
• неэкономические и экономические;
 
• основные и сопутствующие;
 
• общие и частные;
 
• внешние и внутренние;
 
• стратегические и тактические;
 
• личные и корпоративные.
Инвестирование может распространяться на различные финансовые инструмен 
ты —  
как ценные бумаги и производные финансовые инструмен 
ты (например, обязанности стороны в виде 
догово 
ра о периодической или единовременной выплате денежных 
средств и др.), так и драгоценные металлы, недвижимость, предметы роскоши и антиквариата и т.п. В данном учебном пособии 
в большей степени уделяется внимание неэкономическим, портфельным инвестициям. Более подробно о классификации целей 
инвесторов и особенностях их постановки можно прочитать, например, в [30].
Несмотря на многообразие целей, которыми руководствуются 
инвесторы в принятии решений, и подходов к их классификации, 
ведущей целью следует признать обеспечение максимальной доходности инвестиций. Математические методы портфельной 
теории способствуют практической реализации этой ведущей 
цели, в частности позволяют количественно оценить доходность 
финансовых инструмен 
 
тов, выделить наиболее доходные финансовые инструмен 
 
ты, рассчитать, в какой оптимальной пропорции 
8

следует размещать имеющиеся денежные средства в финансовые 
инструмен 
ты.
Не менее значимой целью профессио 
нальной деятельности 
инвестора является минимизация риска. Использование математики финансовых инструмен 
 
тов способствует учету фактора 
риска при конструировании оптимального портфеля, в частности 
позволяет максимизировать доходность при минимизации риска. 
Классический подход к оптимизации в данном случае весьма затруднителен, так как не найдется оптимальный финансовый инструмент (или портфель финансовых инструмен 
тов), обладающий 
одновременно максимальной доходностью и минимальным риском. 
Например, безрисковый инструмент, который может быть привлекателен для инвестора чаще всего характеризуется относительной 
невысокой доходностью. Эта особенность обусловлена тем, что 
рост доходности, как правило, сопровождается ростом риска.
Примером визуализации данной особенности является рис. 1.1. 
Значения, откладываемые по горизонтальной оси, соответствуют 
значениям доходности, по вертикальной оси —  
значениям риска 
финансового инструмента. Так, из представленных инструмен 
тов 
облигации имеют наименьшее значение риска, однако обеспечивают инвестору наименьшее значение доходности. Такой вариант 
инвестирования может быть рекомендован инвестору, не склонному к риску (консервативному инвестору). Переход к следующим 
инструментам демонстрирует рост доходности, сопровождающийся 
ростом риска.
Действительно, частные инвестиции характеризуются наибольшим значением доходности, однако обеспечивают инвестору 
наибольшее значение риска. Этот вариант размещения денежных 
средств может быть рекомендован инвестору со склонностью 
к риску (агрессивному инвестору). Инвестиции в хедж-фонды 
и акции обладают относительно средними значениями как доходности, так и риска, и могут быть рекомендованы инвестору, предпочитающему средние значения риска (умеренному инвестору).
Таким образом, постановка и исследование задачи принятия решений по выбору финансовых инструмен 
 
тов образуют содержание 
портфельной теории.
Для ознакомления с элементами портфельной теории мы 
будем достаточно подробно рассматривать частные случаи модели 
Марковица, нашедшей широкое применение в практике количественного обоснования решений в инвестиционной сфере. Кроме 
модели Марковица существуют и другие модели, используемые 
для анализа финансовых ситуаций, например модель Блэка —  
аль9

тернативная модель, аналогичная известной модели Марковица, 
однако допускающая неотрицательность значений долей финансовых инструмен 
 
тов во множестве допустимых портфелей. Данное 
допущение в практике принятия решений интерпретируется как 
возможность инвестора реализовывать короткие продажи (продавать финансовые инструмен 
 
ты, ранее предоставленные в заем).
Риск
Частные инвестиции
Акции
Хедж-фонды
Облигации
Доходность
Рис. 1.1. Визуализация связи доходности и риска 
для различных вариантов инвестирования
Механизмами сравнения финансовых инструмен 
тов и портфелей 
финансовых инструмен 
тов выступают выбранные инвестором критерии (в первую очередь, такими критериями являются доходность 
и риск). На выбор оптимального портфеля, т.е. лучшего для инвестора в каком-то смысле, часто оказывают влияние субъективные 
представления инвестора, что стимулирует задачу учета данных 
представлений.
Важно понимать, что задача принятия оптимальных финансовых решений не может быть полноценно решена без учета субъективных представлений инвестора. Другими словами, их учет — 
необходимая составляющая формализации и исследования задачи 
принятия оптимального финансового решения. Следовательно, значимыми являются рекомендации инвестору, выступающему ЛПР, 
т.е. лицом, принимающим решения, по уточнению субъективных 
10