Физика твердого тела

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
 
 
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
539.2(07) 
Р926 
 
 
 
 
С.В. Рущиц, А.С. Созыкина  
 
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
Челябинск 
2018 
 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Южно-Уральский государственный университет 
Кафедра материаловедения и физико-химии материалов 
 
 
539.2(07) 
Р926 
 
 
 
 
 
 
 
С.В. Рущиц, А.С. Созыкина  
 
 
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Челябинск 
Издательский центр ЮУрГУ 
2018 

УДК 539.22(075.8) 
Р926 
 
 
 
Одобрено 
учебно-методической комиссией 
факультета материаловедения и металлургических технологий 
 
 
Рецензенты: 
д.т.н., проф. Емелюшин А.Н. 
д.ф-м.н., проф. Песин Л.А. 
 
 
 
Р926 
Рущиц, С.В. 
 
Физика твердого тела: учебное пособие / С.В. Рущиц, 
А.С. Созыкина. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2018. — 
118 с.  
 
 
В учебном пособии изложены разделы курса физики 
твердого тела, посвященные описанию природы явлений и 
процессов, отвечающих за устойчивость кристаллических структур 
и формирование их тепловых, электрических и магнитных свойств. 
В объеме, необходимом для понимания последующих разделов 
курса, рассмотрены элементы кристаллографии и основы теории 
дифракции изучения на кристаллах. Приведено описание типов 
связей в кристаллах. Рассмотрена квантовая модель металла в 
приближении 
свободных 
электронов. 
Изложены 
основные 
положения зонной теории твердых тел, позволяющей понять 
различия между металлами, диэлектриками и полупроводниками. 
Рассмотрены теории теплоемкости и теплопроводности твердых 
тел, а также причины их теплового расширения. Особое внимание 
уделено формированию электрических и магнитных свойств 
материалов. 
Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов 
направлений «Материаловедение и технология материалов» и 
«Металлургия». 
 
УДК 539.22(075.8) 
 
 
© Издательский центр ЮУрГУ, 2018.
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ 
.......................................................................................................... 5 
Раздел 1. ОПИСАНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР.  
ДИФРАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ НА КРИСТАЛЛАХ 
 
1.1. Пространственная решетка и трансляционная симметрия  
кристалла 
.......................................................................................................... 6 
1.2. Обратная решетка – следствие трансляционной симметрии 
кристалла 
.......................................................................................................... 8 
1.3. Дифракция излучения на кристалле 
..................................................... 11 
Выводы по разделу 1 
..................................................................................... 14 
Контрольные задания к разделу 1 ............................................................... 14 
Раздел 2. ТИПЫ СВЯЗЕЙ В КРИСТАЛЛАХ  
2.1. Устойчивость кристаллов и понятие энергии связи 
........................... 15 
2.2. Ван-дер-ваальсова (молекулярная) связь ............................................ 16 
2.3. Ионная связь ........................................................................................... 19 
2.4. Ковалентная связь .................................................................................. 21 
2.5. Металлическая связь 
.............................................................................. 25 
Выводы по разделу 2 
..................................................................................... 27 
Контрольные задания к разделу 2 ............................................................... 28 
Раздел 3. МЕТАЛЛЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ  
3.1. Волновая функция и энергетические уровни свободных 
электронов 
...................................................................................................... 28 
3.2. Сфера Ферми и характеристики фермиевских электронов ............... 33 
3.3. Тепловое возбуждение электронного газа 
........................................... 36 
Выводы по разделу 3 
..................................................................................... 38 
Контрольные задания к разделу 3 ............................................................... 39 
Раздел 4. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ  
4.1. Зоны Бриллюэна и условия дифракции электронов на ионной  
решетке металла в модели почти свободных электронов 
......................... 40 
4.2. Энергетические зоны почти свободных электронов .......................... 43 
4.3. Энергетические зоны сильно связанных электронов ......................... 46 
4.4. Принципы заполнения энергетических зон электронами.  
Металлы, диэлектрики и полупроводники 
................................................. 48 
4.5. Зонная структура реальных твердых тел 
............................................. 51 
Выводы по разделу 4 
..................................................................................... 52 
Контрольные задания к разделу 4 ............................................................... 54 
Раздел 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ  
5.1. Основные экспериментальные данные об электропроводности  
металлов ......................................................................................................... 54 
5.2. Обоснование закона Ома в квантовой теории электропроводности 
металлов ......................................................................................................... 56 
 3 

5.3. Механизмы рассеяния электронов и причины электрического  
сопротивления металлов 
............................................................................... 60 
5.4. Явление сверхпроводимости 
................................................................. 62 
Выводы по разделу 5 
..................................................................................... 65 
Контрольные задания к разделу 5 ............................................................... 66 
Раздел 6. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ  
6.1. Тепловое движение ионов в кристаллах. Гармоническое  
и ангармоническое приближение ................................................................ 67 
6.2. Экспериментальные данные и классическая теория теплоемкости ... 68 
6.3. Квантово-механическое описание тепловых колебаний.  
Понятие фонона 
............................................................................................. 70 
6.4. Квантовые теории решеточной теплоемкости Эйнштейна и Дебая 
... 74 
6.5. Электронная теплоемкость металлов 
................................................... 77 
6.6. Ангармонизм колебаний и тепловое расширение .............................. 80 
6.7. Решеточная теплопроводность ............................................................. 82 
6.8. Электронная теплопроводность. Закон Видемана – Франца 
............. 84 
Выводы по разделу 6 
..................................................................................... 87 
Контрольные задания к разделу 6 ............................................................... 89 
Раздел 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ  
7.1. Природа магнитных моментов вещества 
............................................. 90 
7.2. Классификация магнетиков................................................................... 92 
7.3. Природа диамагнетизма ........................................................................ 93 
7.4. Ионный парамагнетизм ......................................................................... 96 
7.5. Парамагнетизм электронного газа........................................................ 99 
7.6. Диамагнетизм и парамагнетизм металлов 
......................................... 102 
7.7. Природа ферромагнетизма .................................................................. 104 
7.8. Магнитная анизотропия ферромагнетиков ....................................... 107 
7.9. Ферромагнитные домены .................................................................... 109 
7.10. Процессы намагничивания и размагничивания  
ферромагнетиков ......................................................................................... 112 
7.11. Антиферромагнетики и ферримагнетики ........................................ 114 
Выводы по разделу 7 
................................................................................... 115 
Контрольные задания к разделу 7 ............................................................. 117 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 118 
 
 
 
 
 
 
 4 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Успехи современного материаловедения в разработке новых материалов были бы невозможны без глубокого понимания природы явлений и 
процессов, отвечающих за формирование механических, тепловых, электрических, магнитных и других свойств материалов. Раскрытие природы 
указанных явлений и процессов на атомном уровне является предметом 
физики твердого тела  фундаментальной науки, устанавливающей взаимосвязь между атомно-электронной структурой твердых тел и перечисленными выше свойствами материалов. 
Физика твердого тела широко использует методы и подходы квантовой 
механики, статистической физики и термодинамики. В пособии, представляющем собой изложение вводного курса в физику твердого тела, авторы 
сознательно старались по возможности избегать использования сложного 
математического аппарата и сделали акцент на физическую природу рассматриваемых явлений.  
В первом разделе пособия приведены основные положения кристаллографии и теории дифракции излучения на кристаллических структурах в 
объеме, необходимом для понимания содержания последующих разделов. 
Второй раздел посвящен причинам устойчивости кристаллов, описанию типов межатомных взаимодействий и раскрытию природы ван-дерваальсовой, ионной, ковалентной и металлической связи. Подчеркнута 
уникальность металлической связи в обеспечении сочетания высокой 
прочности и пластичности металлических материалов. 
В третьем разделе рассмотрена квантовая модель свободных электронов, представляющая собой первый шаг в понимании свойств металлов. 
Введены такие важные в физике твердого тела понятия как разрешенные 
состояния электронов, поверхность и энергия Ферми.  
В четвертом разделе изложены основы зонной теории твердых тел, позволяющие понять принципиальные различия между металлами, диэлектриками и полупроводниками, заключающиеся в различном характере заполнения электронами разрешенных энергетических зон. Рассмотрена 
зонная структура реальных твердых тел с разной валентностью. 
Пятый раздел посвящен описанию электрических свойств материалов. 
Раскрыта связь между электропроводностью и площадью поверхности 
Ферми. Установлены причины электрического сопротивления металлов.  
В шестом разделе изложены теории теплоемкости и теплопроводности 
твердых тел, а также причины их теплового расширения.  
В седьмом разделе рассмотрена природа диамагнетизма, парамагнетизма и ферромагнетизма. 
 5

В конце каждого раздела приведены основные выводы, а также контрольные задания по тематике раздела. 
В библиографическом списке приведен список рекомендуемой литературы. 
 
Раздел 1. ОПИСАНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР. 
ДИФРАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ НА КРИСТАЛЛАХ 
 
1.1. Пространственная решетка и трансляционная симметрия 
кристалла 
 
Как известно, в кристаллических твердых телах атомы располагаются в 
пространстве упорядоченно, образуя периодическую трехмерную решетку.  
Идеальный кристалл можно построить путем закономерного повторения в пространстве одинаковых структурных мотивов. В наиболее простых 
кристаллах  структурный мотив состоит из одного атома (черные кружки 
на рис. 1.1, а). В кристаллах более сложных веществ повторяющийся мотив 
может содержать несколько атомов (черные и светлые кружки рис. 1.1, б). 
 
      
 
а) 
 
 
 
 
 
 
б)  
 
 
 
 
 
 
в) 
   Рис. 1.1. Кристаллические структуры (а, б) и их пространственная 
решетка (в) 
 
Хотя кристаллические структуры на рис. 1.1 разные, в них есть нечто 
общее. Действительно, в каждом из кристаллов легко обнаружить систему 
кристаллографически идентичных или эквивалентных точек, имеющих 
одинаковое атомное окружение. Так, в первом кристалле эквивалентными 
точками являются центры атомов. Можно поступить иначе: выбрать произвольную точку в пространстве между атомами и найти в кристалле множество точек ей эквивалентных. Легко убедиться, что в любом случае система эквивалентных точек первого кристалла оказывается одинаковой 
(рис. 1.1, в). Для  второго кристалла эквивалентными точками являются, 
например, центры однотипных атомов. Изобразим отдельно эквивалент 6

ные точки второго кристалла и получим рисунок, совпадающий с рис. 
1.1, в.  
Таким образом, мы приходим к выводу о том, что две рассматриваемые 
кристаллические структуры имеют одинаковую систему эквивалентных 
точек, называемую пространственной решеткой или решеткой Браве. 
Различие же между этими кристаллами заключается в том, что они имеют 
разные атомные базисы: в первом кристалле с каждой эквивалентной точкой (узлом) решетки Браве связан один атом, во втором кристалле – два 
атома. 
Рассмотренный пример демонстрирует суть кристаллографического 
подхода: для описания любой кристаллической структуры достаточно: 
– определить ее пространственную решетку (решетку Браве);  
– указать атомный базис – группу атомов, связанных с каждым узлом 
пространственной решетки. Удобство такого подхода к рассмотрению кристаллических структур заключается в том, что все их многообразие сводится всего к 14 типам решеток Браве.  
По определению пространственной решетки при перемещении (трансляции) из одного ее узла в другой узел мы попадаем в абсолютно идентичную точку. По этой причине говорят, что кристалл обладает трансляционной симметрией, а любой вектор R, соединяющий две эквивалентные точки пространственной решетки, называют вектором трансляции.  
Введем для описания решетки Браве систему координат, заданную 
тройкой осевых (или базисных) векторов 
1
a , 
2
a , 
3
a . Выберем в качестве 
осевых векторов векторы кратчайших трансляций, соединяющие ближайшие узлы решетки Браве (рис. 1.2, а).  
 
            
 
а)   
 
 
 
  
 
 
б) 
Рис. 1.2. Примитивная (а) и непримитивная (б) элементарная ячейка  
 
Тогда для векторов трансляции R в трехмерной решетке справедливо 
1 1
2 2
3 3
n
n
n
=
+
+
R
a
a
a , 
 
 
 
 
 
 
 
(1.1) 
где 
1
n , 
2
n , 
3
n  – целые числа, определяющие координаты узлов решетки 
Браве. Элементарная ячейка, построенная на векторах кратчайших транс 7

ляций, обладает минимальным объемом и называется примитивной. Нетрудно убедиться, что на примитивную ячейку приходится один узел.  
Однако выбор базисных векторов и, следовательно, элементарной 
ячейки не однозначен. Если в базисные векторы включить хотя бы один 
вектор, не являющийся кратчайшей трансляцией (рис. 1.2, б), то элементарная ячейка будет иметь больший объем, и будет содержать несколько 
узлов. В этом случае элементарная ячейка называется непримитивной или 
сложной.  
Например, кубические элементарные ячейки, которые мы обычно используем для описания объемно-центрированной и гранецентрированной 
решеток Браве с целью подчеркнуть их кубическую симметрию, содержат 
соответственно два и четыре узла. Легко убедиться, что в тех же решетках, 
выбрав в качестве базисных векторов векторы кратчайших трансляций, 
можно построить примитивные элементарные ячейки, на которые приходится по одному узлу. 
 
1.2. Обратная решетка – следствие трансляционной симметрии 
 кристалла 
 
По определению векторов трансляции R, приведенному в предыдущем 
параграфе,  произвольная точка с радиус-вектором r  и все остальные точки с радиус-векторами 
+
r
R  являются эквивалентными точками. В силу 
этого любая физическая функция 
( )
f r , определенная в пространстве кристалла (например, потенциал ионов или плотность электронного газа), 
должна иметь во всех точках, связанных векторами трансляции, одинаковое значение: 
Трансляционная симметрия кристаллов имеет следствие, чрезвычайно 
важное не только для кристаллографии, но, и для всей физики твердого тела. Вернемся к выражению (1.1), определяющему векторы трансляции R 
пространственной решетки. Напомним, что произвольная точка с радиусвектором r  и все остальные точки с радиус-векторами 
+
r
R  являются эквивалентными точками. В силу этого любая физическая функция 
( )
f r , определенная в пространстве кристалла (например, потенциал ионов или 
плотность электронного газа), должна иметь во всех точках, связанных 
векторами трансляции, одинаковое значение: 
( )
(
).
f
f
=
+
r
r
R   
 
 
 
 
 
(1.2) 
Из выражения (1.2) следует, что функция 
( )
f r  является периодической 
функцией с периодом, равным любому трансляционному вектору R. Из 
математики известно, что периодическую функцию можно представить в 
виде ряда Фурье: 
 8

g r
(
)
( )
( ) i
f
F
e
⋅
=∑
g
r
g
,  
 
 
 
 
(1.3) 
где 
( )
F g  – коэффициенты Фурье, а суммирование ведется по неизвестным 
пока векторам g . Найти эти вектора – наша задача. Очевидно, что вектор 
r , определенный в пространстве кристалла, имеет размерность длины. Показатель экспоненты обязан быть величиной безразмерной. Следовательно, 
векторы g  имеют размерность 
1
м−, т.е. заданы в обратном пространстве. 
 
В силу свойства трансляционной симметрии (1.2) замена 
→
+
r
r
R в 
выражении (1.3) не должна изменять величину функции 
( )
f r . Это условие 
выполняется, если 
(
)
i
i
e
e
⋅
⋅
+
=
g r
g r R . Отсюда следует, что  
(
)
1.
i
e
⋅
=
g R
  
 
 
 
 
 
 
 
(1.4) 
Равенство (1.4) оказывается справедливым, если скалярное произведение 
⋅
g R  кратно 2π: 
2
,
n
n
z
⋅
= π
∈
g R
  
 
 
 
 
(1.5) 
Выражения (1.4) и (1.5) определяют первое свойство векторов g , показывая, что искомые векторы обратного пространства тесно связаны с векторами трансляции R пространственной решетки. Более того, выражение 
(1.5) – ключ к нахождению векторов g . 
Запишем векторы g  в базисе обратного пространства 
1
∗
a , 
2
∗
a , 
3
∗
a : 
1 1
2 2
3 3.
h
h
h
∗
∗
∗
=
+
+
g
a
a
a   
 
 
 
 
 
(1.6) 
В (1.6) переменные i
h   произвольные (целые или дробные) числа.  
Выберем базисные векторы обратного пространства, которое мы пытаемся «сконструировать», из следующих условий: 
∗
∗
∗
a
a a
a
a
a
a a
(
,
),
(
,
),
(
,
),
α
1
2
3
2
3
1
3
1
2
∗
∗
∗
⊥
⊥
⊥
a
a
a
a
a
a
2 ,
2 ,
2 .
⋅
=
⋅
=
⋅
=
π
π
π
  
 
(1.7) 
1
1
2
2
3
3
Такой выбор удобен в силу того, что скалярное произведение двух взаимно 
перпендикулярных векторов равно нулю. Следовательно, из всех возможных скалярных произведений базисных векторов обратной решетки на базисные векторы пространственной решетки будут отличны от нуля только 
три произведения 
1
1
∗⋅
a
a , 
2
2
∗⋅
a
a  и 
3
3
∗⋅
a
a , каждое из которых, согласно нашему выбору, равно2π :  
2 , если
0,
если
i
j
i
j
i
j
∗
π
=
⎧
⋅
= ⎨
≠
⎩
a
a
 . 
 
 
 
 
 
(1.8) 
 9