Геологическое время и его измерение

А. В. Гоманьков
ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ
И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ
Товарищество научных изданий КМК
Москва v 2007

А.В. Гоманьков. Геологическое время и его измерение. — М.: Товарищество
научных изданий КМК, 2007. — 58 с., ил. + 4 с. вкл.
Особенности геологического времени рассматриваются в сравнении с представлениями, составляющими «ньютоновскую» или «наивную» концепцию времени.
Наиболее рельефно различия между двумя временами выступают в процедуре
измерения того и другого, рассматриваемой в свете математической теории измерений. Показано, что стратиграфические шкалы являются также шкалами в
смысле теории измерений, а именно — шкалами порядка, тогда как «наивное»
время (так же, как и физическое) измеряется обычно в шкалах интервалов.
Для геологов, палеонтологов, стратиграфов широкого профиля и студентов, специализирующихся в данных областях. Работа может быть также интересна философам, занимающимся философскими проблемами естествознания, особенно связанными с понятием времени.
Ил. 7. Библ. 45 назв.
Р е ц е н з е н т
чл.-корр. РАН Л.Ю. Буданцев
ISBN 978-5-87317-452-2
© А.В. Гоманьков, 2007
© Товарищество научных изданий
КМК, издание, 2007

O tempora, o mores!
M. Tullius Cicero
I. ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
1. Основные положения теории измерений
Традиционно измерение различных величин в естествознании было
прерогативой физики. В других естественных науках (иногда даже
называемых «качественными» в противоположность «количественной»
физике), как правило, измерения или вообще не проводились, или
измерялись величины, тесно и очевидным образом связанные с физическими. Положение кардинально изменилось в XX веке, когда во
многих областях знания стали измеряться величины, редукция которых к физическим величинам была, по меньшей мере, не очевидной.
В середине XX в. это привело к возникновению и бурному развитию
специальной теории измерений — математической дисциплины, исследующей специфику различных измерительных процедур (Пфанцагль, 1976; Котов, 1985). Поскольку некоторые понятия и результаты этой теории будут широко использоваться нами в дальнейшем изложении, здесь имеет смысл хотя бы кратко остановиться на основных ее положениях.
Исходным для этой теории является понятие системы. Системой
называется множество элементов (вообще говоря, произвольной природы), причем между этими элементами заданы некоторые отношения.
Обозначаются системы как (Z, S), где Z есть множество элементов
системы, а S — множество отношений, заданных на множестве Z.
Если элементами системы являются (какие-нибудь, не обязательно
все) действительные числа, то такая система называется числовой.
Всякий элемент любой системы может быть охарактеризован множеством тех отношений, в которых он участвует. Это множество
можно, очевидно, отождествить с функцией данного элемента в данной системе. Вообще говоря, в системе могут существовать разные
3

элементы с одинаковыми функциями, т.е. участвующие в одних и тех
же отношениях. Для системы такие элементы являются взаимозаменяемыми, их обычно называют конгруэнтными. Отношение конгруэнтности элементов1, очевидно, обладает свойствами рефлексивности
(каждый элемент конгруэнтен сам себе), симметричности (если элемент x конгруэнтен элементу y, то элемент y так же конгруэнтен элементу x) и транзитивности (если два элемента x и y конгруэнтны третьему элементу z, то они так же конгруэнтны друг другу). Отношения, обладающие такими свойствами, называются отношениями эквивалентности. Таким образом, отношение конгруэнтности элементов
системы есть частный случай отношения эквивалентности. В теории
бинарных отношений (Шрейдер, 1971) существует теорема, согласно
которой всякое отношение эквивалентности, заданное не некотором
множестве, порождает разбиение этого множества на непересекающиеся подмножества. Следовательно, всякая система неким естественным образом порождает разбиение множества своих элементов на
непересекающиеся подмножества — так называемые классы конгруэнтности. Система называется неприводимой, если она не имеет различных элементов, конгруэнтных друг другу, т.е. функция каждого ее
элемента уникальна и каждый класс конгруэнтности состоит из одного-единственного элемента.
Если имеется две системы, например, (Z1, S1) и (Z2, S2), то можно
построить отображение f множества Z1 в множество, Z2 т.е. каждому
элементу множества Z1 x поставить в соответствие какой-нибудь (и только
один!) элемент множества Z2, обозначаемый в этом случае как f(x).
Если при этом «сохраняются» системообразующие отношения (т.е.
каждому элементу множества S1 оказывается поставленным в соответствие какой-нибудь элемент множества S2), то такое отображение называется гомоморфизмом и обозначается следующим образом:
.
S
,
Z
S
,
Z
f
)
(
)
(
:
2
2
1
1
®
Если отображение f множества Z1 в множество Z2 и множества S1
в множество S2 является взаимно однозначным, то такой гомоморфизм называется изоморфизмом.
Главным понятием теории измерений является понятие шкалы
(иногда ее даже называют теорией шкал). Шкалой называется гомо1  Это отношение, вообще говоря, может и не входить в множество S, т.е. не быть
«системообразующим».
4

морфизм неприводимой эмпирической системы в числовую систему.
В качестве эмпирической системы при этом рассматривается система значений анализируемого признака. Например, если мы изучаем
такой признак как яркость у каких-либо источников света, то мы можем заметить, что эти источники не просто отличаются друг от друга по своей яркости, но и то, что эти разные значения яркости находятся друг с другом в определенных отношениях. Скажем, источник
q кажется нам более ярким, чем источник l, но менее ярким, чем
источник h. Это значит, что яркость источника q находится между яркостью источника l и яркостью источника h. Словом «между» в данном случае выражается некоторое отношение, заданное на множестве
наблюдаемых значений яркости. Шкалой яркости в данном случае
будет, например, такое отображение этих значений в множество действительных чисел, при котором число, соответствующее яркости
источника q, будет больше, чем число, соответствующее яркости источника l, но меньше, чем число, соответствующее яркости источника h: отношение «между» на множестве значений яркости перейдет
в отношение «между» на числовой оси, т.е. на множестве действительных чисел.
Если эмпирическая система значений какого-либо признака, который мы хотим измерить (т.е. построить шкалу на основе этой системы), не является неприводимой, то с ней обычно совершают стандартную процедуру приведения — переходят к рассмотрению новой системы, элементами которой являются классы конгруэнтности прежней
системы, а отношения между ними мыслятся такими же, как отношения между элементами прежней системы. Такая новая система, очевидно, уже неприводима, и если построить из нее какой-нибудь гомоморфизм в числовую систему, то мы получим шкалу в смысле
теории измерений.
В теории измерений существует классификация шкал, основанная
на тех преобразованиях, относительно которых рассматриваемая шкала оказывается инвариантной. Пусть, например, имеется гомоморфизм
µ некоей неприводимой системы (Z, S) в множество действительных
чисел:
)
,
(
)
,
(
:
P
R
S
Z
®
m
.
(здесь Z — произвольное множество, R — множество действительных чисел, а S и P — некие множества отношений соответственно на
Z и на R). Тогда по определению µ — это шкала. Пусть есть также
5

некая числовая функция f, определенная, по крайней мере, на области прибытия отображения µ:
.
R
Z
f
®
)
(
: m
Будем тогда говорить, что шкала µ инвариантна относительно преобразования f (а преобразование f допустимо для шкалы µ), если
композиция отображений f и µ есть также гомоморфизм системы (Z,
S) в множество действительных чисел:
)
,
(
)
,
(
:
P
R
S
Z
f
®
m
o
.
Очевидно, что чем сложнее измеряемая эмпирическая система
(чем больше в ней отношений и чем более сложными являются сами
эти отношения), тем «сильнее» рассматриваемая шкала и тем ýже
класс ее допустимых преобразований.
В рамках классификации, основанной на типах допустимых преобразований, различаются следующие типы наиболее употребительных
шкал:
1. Шкалы наименований, инвариантные относительно любых взаимно однозначных функций на множестве действительных чисел.
Пример: нумерация игроков футбольной команды, имеющая единственную цель — различать футболистов на поле.
2. Шкалы порядка, инвариантные относительно любых монотонных непрерывных функций. Сюда относятся все так называемые «балльные» шкалы: шкала для определения силы шторма на море, шкала Рихтера для определения силы землетрясений, шкала оценки знаний у школьников и т.п.
3. Шкалы интервалов, инвариантные относительно линейных преобразований типа x' = ax + b. Пример: температурная шкала Цельсия,
имеющая условный нуль отсчета (точку замерзания воды) и условную же единицу измерения (одну сотую расстояния от точки замерзания до точки кипения).
4. Шкалы отношений, инвариантные относительно линейных преобразований, где b = 0 (x' = ax). В шкалах отношений измеряется
большинство скалярных физических величин: длина, масса, энергия,
температура по Кельвину и т.д.; все они имеют «естественное» начало отсчета (нулевое значение), но измеряются в условных единицах.
5. Шкалы разностей, инвариантные относительно линейных преобразований, где a = 1 (x' = x + b). Сюда относятся все шкалы для измерения «фаз» различных периодических процессов (например, фаз
6

Луны, или фаз переменного тока); для них существует естественная
единица измерения (один полный цикл), но нет безусловного начала
отсчета.
6. Абсолютные шкалы, инвариантные лишь относительно тождественного преобразования. В абсолютных шкалах измеряются все так
называемые «безразмерные» величины: отношение длины объекта к
его ширине, число элементов в конечном множестве и т.д.
Пожалуй, главная цель настоящей работы заключается в обосновании положения о том, что стратиграфические шкалы являются также шкалами в смысле теории измерений, а именно — шкалами порядка, и в ответе на вопрос, почему они являются шкалами порядка, а не какими-нибудь другими.
2. Время как фактор-процесс
Что такое время?
«Исповедь» блаженного Августина, написанная около 400 г., содержит довольно большой по объему фрагмент (главы 10–30 книги
XI), который рассматривается историками философии как одно из
глубочайших за всю историю человечества сочинений о времени
(Майоров, 1979). В начале этого фрагмента есть такие слова: «…Что
такое время? Пока никто меня о том не спрашивает, я понимаю, нисколько не затрудняясь; но коль скоро хочу дать ответ об этом, я становлюсь совершенно в тупик» (Блаженный Августин, 1914, с. 313).
Так же, т.е. как основную первичную интуицию нашего сознания,
лежащую в основе всякого познавательного процесса, трактовал время и И. Кант в «Критике чистого разума» (цит. по русскому изданию
1867 г.). Таким образом, любая попытка дать определение понятию
времени неизбежно сводится лишь к бесконечному повторению одной и той же тавтологии: «Время есть время».
Но даже согласившись с великими умами прошлого в том, что во
всех наших теоретических конструкциях время должно выступать в
качестве первичного и неопределяемого понятия, мы можем вспомнить об опыте математики, где определение неопределяемых понятий
имплицитно содержится в аксиомах, формулируемых с помощью этих
понятий. Наша интуиция имеет собственную структуру, которая описывается с помощью той или иной системы аксиом. Не претендуя на
построение общей формальной теории времени (для знакомства с та7