Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

 
 
 
 
 
 
О. В. Михадарова 
С. Н. Сусанина 
 
 
 
 
Линейная алгебра 
Векторная алгебра 
Аналитическая геометрия 
 
 
Учебно-методическое пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Йошкар-Ола 
2024 

УДК 512: 514.7(075.8) 
ББК  22.14:22.151.5я73 
М 69 
 
 
Рецензенты: 
заведующий кафедрой машиностроения и материаловедения ПГТУ,  
д-р техн. наук С. Я. Алибеков; 
зам. директора по учебно-методической работе ПГТУ,  
канд. техн. наук Е. В. Микрюкова 
 
 
 
Печатается по решению  
редакционно-издательского совета ПГТУ 
 
 
 
 
 
Михадарова, О. В. 
М 69       Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: 
учебно-методическое пособие / О. В. Михадарова, С. Н. Сусанина. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2024. – 108 с. 
ISBN 978-5-8158-2402-7 
 
Изложены краткие теоретические сведения в соответствии с действующим учебным планом и Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования по разделам «Линейная алгебра», 
«Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия» дисциплины «Математика». Приведены способы решения типовых задач. 
Для студентов первого курса естественнонаучных и технических 
направлений подготовки. 
УДК 512: 514.7(075.8) 
ББК  22.14:22.151.5я73 
 
ISBN 978-5-8158-2402-7 
© Михадарова О. В., Сусанина С. Н., 2024 
© Поволжский государственный  
технологический университет, 2024 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ ......................................................................................... 
5 
 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ................................................. 
6 
1.1. Матрицы 
............................................................................................ 
6 
1.1.1. Основные понятия................................................................... 
6 
1.1.2. Действия над матрицами ...................................................... 
7 
1.1.3. Свойства сложения и умножения матриц........................... 
9 
1.2. Определители. ................................................................................ 
10 
1.2.1. Основные понятия................................................................. 
10 
1.2.2. Свойства определителей 
...................................................... 
12 
1.3. Невырожденные матрицы ............................................................. 
13 
1.3.1.  Основные понятия................................................................ 
13 
1.3.2. Обратная матрица 
............................................................... 
14 
1.3.3. Ранг матрицы 
........................................................................ 
18 
1.4.  Системы линейных уравнений 
..................................................... 
20 
1.4.1. Основные понятия................................................................. 
20 
1.4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема  
Кронекера–Капелли 
......................................................................... 
22 
1.4.3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы 
Крамера 
............................................................................................ 
25 
1.4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса .... 
28 
1.4.5. Системы линейных однородных уравнений ........................ 
32 
 
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 
.............................................. 
35 
2.1. Векторы 
........................................................................................... 
35 
2.1.1. Основные понятия о векторах 
............................................. 
35 
2.1.2. Проекция вектора на ось 
...................................................... 
36 
2.1.3. Декартовы координаты вектора в пространстве............ 
37 
2.1.4. Линейные операции над векторами 
..................................... 
39 
2.2 Скалярное произведение векторов ................................................ 
42 
2.2.1. Определение скалярного произведения ................................ 
42 
2.2.2. Свойства скалярного произведения 
..................................... 
43 
2.2.3. Геометрический смысл скалярного произведения 
.............. 
44 
2.2.4. Проекция вектора на направление другого вектора.......... 
45 
2.2.5. Физический смысл скалярного произведения ...................... 
46 
2.3. Векторное произведение векторов ............................................... 
47 
2.3.1. Определение векторного произведения ............................... 
47 
2.3.2. Свойства векторного произведения 
.................................... 
48 
3 

2.3.3. Геометрический смысл векторного произведения 
............. 
50 
2.3.4. Физический смысл векторного произведения ..................... 
51 
2.4. Смешанное произведение векторов 
.............................................. 
52 
2.4.1. Определение и свойства смешанного произведения .......... 
52 
2.4.2. Смешанное произведение в координатной форме ............. 
53 
2.4.3. Геометрический смысл смешанного произведения 
............ 
53 
 
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ  
НА ПЛОСКОСТИ 
..................................................................................... 
55 
3.1. Метод координат на плоскости. Основные понятия 
................... 
55 
3.2. Линии на плоскости ....................................................................... 
57 
3.2.1. Основные понятия................................................................. 
57 
3.2.2. Уравнения прямой на плоскости 
.......................................... 
57 
3.2.3.  Взаимное расположение двух прямых на плоскости ........ 
65 
3.3. Линии второго порядка на плоскости .......................................... 
70 
3.3.1. Основные понятия................................................................. 
70 
3.3.2. Окружность .......................................................................... 
70 
3.3.3. Эллипс 
..................................................................................... 
72 
3.3.4. Гипербола ............................................................................... 
76 
3.3.5. Парабола ................................................................................ 
83 
3.3.6. Общее уравнение линий второго порядка ........................... 
85 
 
4. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ  
В ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................................. 
91 
4.1. Поверхности в пространстве. Плоскость в пространстве. 
.......... 
91 
4.2. Уравнения плоскости в пространстве .......................................... 
92 
4.3. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности  
и перпендикулярности двух плоскостей ............................................. 
96 
4.4. Уравнение прямой в пространстве ............................................... 
98 
4.5. Взаимное расположение прямых в пространстве...................... 
102 
4.6. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 
. 
104 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................... 
107 
 
4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее учебно-методическое пособие – один из выпусков серии 
опорных учебно-методических пособий по дисциплине «Математика» 
для студентов всех направлений подготовки института механики и машиностроения, института леса и природопользования, института строительства и архитектуры. Издание предназначено для организации самостоятельной работы студентов всех форм обучения при изучении разделов «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия»  дисциплины «Математика». 
В пособии изложены основные понятия, формулировки теорем, методы решения типовых задач с целью оказания помощи студентам в освоении учебного материала. 
Пособие позволяет студентам очной формы обучения самостоятельно выполнить расчетно-графическое задание (типовой расчет), а студентам заочной формы обучения – контрольную работу. 
 
 
5 

 
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
 
 
 
 
1.1. Матрицы 
 
1.1.1. Основные понятия 
 
Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, 
называются ее элементами. Матрицы обозначаются буквами А, В, 
С, … и записываются в виде 
а
а
а
...


n
1
12
11
a
a
a
...
n
2
22
21
А
 
=
...
...
...
...










a
a
a
...
mn
m
m
2
1


или сокращенно 
(
)
ij
a
A =
, где 
m
i
,
1
=
 (т.е. i = 1, 2, 3, …, m) – номер 
строки; 
n
j
,
1
=
 (т.е. j = 1, 2, 3, …, n) – номер столбца. 
Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ. 
Две матрицы называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц: 
,
B
A =
 если aij = bij, где i = 1, m,  j = 1, n. 
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n×n называют матрицей n-го порядка. 
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. 1
6 

Диагональная матрица называется единичной, если каждый ее 
элемент на главной диагонали равен единице и обозначается буквой Е. 
0
1

2
2
E
 – единичная матрица второго порядка. 

=

1
0
Например, 






Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны 
нулю. 
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, обозначается О. 
Матрица, содержащая одну строку, называется вектор-строкой 
и имеет следующий вид: 
(
)
n
n
a
a
a
А
1
12
11
1
...
=

. 
Матрица, содержащая один столбец, называется векторстолбцом: 
b


11
b
21
В
. 
=

m
1
...










b
m
1


 
1.1.2. Действия над матрицами 
 
1. Умножение матрицы на число. При умножении матрицы
(
)
ij
а
А =
на число  каждый ее элемент умножается на это число 
(
)
ij
a
A


=
. 
ПРИМЕР: 
8
4
2
24
12
6




=
Ak
k
A
 
3
,
.
−
−
3
1
3
9
3
9



=

=









2. Сложение матриц. Операция сложения вводится только для 
матриц одинаковых размеров. 
7 

Суммой двух матриц 
(
)
ij
n
m
а
А
=

 и 
( )
ij
n
m
b
B
=

 называется матрица 
(
)
ij
n
m
с
С
=

 такая, что
ij
ij
ij
b
a
с
+
=
 (
n
j
m
i
,
1
,
,
1
=
=
). 
ПРИМЕР: 
5
3
6


3
5
2


8
8
8

=
=

=
+
B
A
. 
−
−
7
4
2
1
1
3
8
3
1
A
 , 












B
, 






3. Вычитание матриц. Разностью двух матриц 
(
)
ij
n
m
а
А
=

 и 
( )
ij
n
m
b
B
=

 называется матрица 
(
)
ij
n
m
d
D
=

 такая, что
ij
ij
ij
b
a
d
−
=
 
(
n
j
m
i
,
1
,
,
1
=
=
). 
ПРИМЕР: 
5
3
6


3
5
2


−
−
2
2
4


=
=
=
−
B
A
. 
−
−
−
−
7
4
2
1
1
3
6
5
5
A
 , 













B






4. Умножение матриц. Операция умножения вводится только 
для согласованных матриц. 
Две матрицы называются согласованными, если число столбцов 
первой матрицы равно числу строк второй матрицы. 
Произведением матрицы
(
)
ij
n
m
а
А
=

 на матрицу 
(
)
jk
p
n
b
B
=

 
называется матрица 
(
)
ik
p
m
с
С
=

 такая, что каждый ее элемент равен 
nk
in
k
i
k
i
ik
b
a
b
a
b
a
с

+
+

+

=
...
2
2
1
1
,   где 
p
k
m
i
,
1
,
,
1
=
=
, 
т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. 
ПРИМЕРЫ: 
b
b


12
11
a
a
a

13
12
11

=

=
=
B
A
C
 
b
b
22
21
a
a
a








3
2
23
22
21






b
b



2
3
32
31
8 

+
+
+
+


32
13
22
12
12
11
31
13
21
12
11
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
; 
=
+
+
+
+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a







2
2
32
23
22
22
12
21
31
23
21
22
11
21
3
1
2
1
2



=

=
B
A
C
 
2
2











=





3
2
2
2
4
2
3
+
+
+
12
2
6
1
9
2
14
7
11



=
. 
+
+
+
8
4
4
2
6
4




=











3
2
3
2
12
6
10
Произведение 
A
B 
 не определено, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A  (
2
3 
). 
Матрицы 
A  и B  называются перестановочными, если 
BA
AB =
. 
5. Транспонирование матрицы. Матрица 
T
A , полученная из 
матрицы A  заменой ее строк соответствующими столбцами, называется транспонированной. 
ПРИМЕР: 
3
2


6
5
2


=
−
A
, 
1
5
. 
T
A =
−
8
1
3












8
6


 
1.1.3. Свойства сложения и умножения матриц 
 
1. 
A
B
B
A
+
=
+
; 
2. 
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+
; 
3. 
A
A
=
+ 0
; 
4 
0
=
−A
A
; 
5. 
A
A =

1
; 
6. 
(
)
B
A
B
A



+
=
+

; 
7. (
)
A
A
A




+
=

+
; 
8. 
(
)
(
) A
A

=




; 
9. 
(
)
(
) C
B
A
C
B
A


=


; 
9 

10. 
(
)
AC
AB
C
B
A
+
=
+

; 
11. (
)
BC
AC
C
B
A
+
=

+
; 
12. 
(
)
(
)B
A
AB


=
; 
13. (
)
T
T
T
B
A
B
A
+
=
+
; 
14. (
)
T
T
T
A
B
AB

=
. 
 
1.2. Определители 
 
1.2.1. Основные понятия 
 
Каждой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие число detA (или |A|, или ∆), называемое определителем 
или детерминантом. 
a
a

12
11

=
A
назыa
a
22
21
Определителем второго порядка матрицы 






вается число, равное  
a
a
12
11
−
=
=

. 
detA =
21
12
22
11
2
a
a
a
a
a
a
22
21
Определителем 
третьего 
порядка 
матрицы 
a
a
a


13
12
11
=
A
 называется число, равное  
a
a
a
23
22
21






a
a
a
33
32
31


a
a
a
13
12
11
a
a
a
a
a
a
23
22
23
21
22
21

+

−

=
=

=
 
detA 
a
a
a
a
a
a
23
22
21
11
12
13
3
a
a
a
a
a
a
33
32
33
31
32
31
a
a
a
33
32
31
a
a
a
13
12
11
a
a
a
a
a
a
23
22
23
21
22
21

+

−

=
. 
a
a
a
a
a
a
23
22
21
11
12
13
a
a
a
a
a
a
33
32
33
31
32
31
a
a
a
33
32
31
10