Основы функционального анализа

А.Р. Симонян
С.Ж. Симаворян
Е.И. Улитина
ОСНОВЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
Учебное пособие 
для студентов направления 44.03.05 
«Педагогическое образование»
(с двумя профилями подготовки),
профиль «Математика и информатика»
2-е издание, стереотипное
Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2024

УДК 517.98(075.8)
ББК  22.162я73
         С37
Р е ц е н з е н т :
И.Л. Макарова, кандидат технических наук, доцент
Симонян А.Р. 
С37        Основы функционального анализа: учеб. пособие / А.Р. Симонян,
С.Ж. Симаворян, Е.И. Улитина. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 
2024. – 61 с. – ISBN 978-5-9765-5650-8. – Текст : электронный.
Эта публикация является краткой записью прочитанного авторами 
курса лекций для студентов Сочинского государственного университета 
в 2020/2021 учебном году.
Для студентов направления 44.03.05 «Педагогическое образование» (с 
двумя профилями подготовки), профиль «Математика и информатика»
УДК 517.98(075.8)
ББК  22.162я73
© ФБГОУ ВО «СГУ», 2024
© Симонян А.Р., Симаворян С.Ж.,
    Улитина Е.И., 2024 
ISBN 978-5-9765-5650-8                                © Издательство «ФЛИНТА», 2024

Оглавление
1. Метрические пространства ........................................................................................................... 
4
1.1. Определение. Основные примеры метрических пространств 
................................................ 
4
1.2. Основные понятия ...................................................................................................................... 
8
2. Принципы сжимающих отображений 
........................................................................................ 
13
2.1. Отображения в метрических пространствах .......................................................................... 
13
2.2. Принцип сжимающих отображений ....................................................................................... 
14
2.3. Простейшие применения принципа сжимающих отображений .......................................... 
16
2.4. Теоремы существования и единственности для ДУ 
.............................................................. 
17
3. Линейные пространства .............................................................................................................. 
20
3.1. Основные определения 
............................................................................................................. 
20
3.2. Некоторые вспомогательные понятия .................................................................................... 
22
4. Нормированные и банаховы пространства ............................................................................... 
23
4.1. Основные понятия .................................................................................................................... 
23
4.2. Пространства С ,
p
L , p
l  ......................................................................................................... 
25
4.3. Абстрактное гильбертово пространство 
................................................................................. 
28
5. Топологические и топологические линейные пространства ................................................... 
30
5.1. Общие топологические пространства 
..................................................................................... 
30
5.2. Топологические линейные пространства ............................................................................... 
31
6. Линейные операторы ................................................................................................................... 
34
6.1. Предварительные понятия. Линейные операторы. Ограниченность и норма .................... 
34
6.2. Критерий ограниченности линейных операторов ................................................................. 
35
6.3. Последовательность линейных операторов ........................................................................... 
38
6.4. Сильная и равномерная сходимости. Связь между ними ..................................................... 
39
6.5. Пространство линейных ограниченных операторов ............................................................. 
39
6.6. Обратный оператор 
................................................................................................................... 
40
6.7. Замкнутые операторы 
............................................................................................................... 
43
6.8. Ортогональность в гильбертовом пространвстве. Основные теоремы. Предстваление 
непрерывных линейных функционалов в гильбертовом пространстве ..................................... 
44
6.9. Теорема Хана-Банаха и некоторые ее следствия ................................................................... 
47
6.10. Сопряженные операторы 
........................................................................................................ 
49
7. Виды сходимости элементов нормированного пространства ................................................. 
53
7.1. Сильная и слабая сходимость. Связь между ними ................................................................ 
53
7.2. Основные теоремы о совпадении сильной и слабой сходимости ........................................ 
54
7.3. Некоторые предложения о слабом пределе 
............................................................................ 
57
7.4. Секвенциально слабо замкнутые множества в нормированных пространствах ................ 
58
7.5. Слабая сходимость функционалов. Слабая полнота и слабая компактность пространств 
59
Библиографический список ............................................................................................................ 
60
3 

1. Метрические пространства 
1.1. Определение. Основные примеры метрических пространств 
Определение: Метрическим пространством называется пара 


,
X
, где 
X  – некоторое множество и 
)
,
(
y
x

 –вещественная функция, удовлетворяющая 
для всех 
X
z
y
x

,
,
 следующим аксиомам: 
А1. 
0
)
,
(

y
x

 и 
0
)
,
(

y
x

  
y
x 
; 
А2. 
)
,
(
)
,
(
x
y
y
x



 (аксиома симметрии); 
А3. 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
z
y
y
x
z
x





 (аксиома треугольника). 
Определение: Функция  называется расстоянием или метрикой на X . 
Если множество X  наделить другой метрикой 
1
, то получим другое 
метрическое пространство. 
Примеры метрических пространств 
1. Пространство изолированных точек. 
Произвольное множество X  и 






.
,
1
,
,
0
)
,
(
y
x
y
x
y
x

 
2. Множество действительных чисел с расстоянием 
y
x
y
x


)
,
(

 
образует метрическое пространство 
1
R . 
3. Множество упорядоченных групп из 
n  действительных чисел 
n
2
)
(
)
,
(

 
называется 
n  
– 
мерным 
1
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 
с 




k
k
k
x
y
y
x
арифметическим евклидовым пространством 
n
R . 
Доказательство. 
Для того, чтобы доказать, что пространство является метрическим, 
необходимо проверить выполнимость аксиом. 
Пусть 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
, 
)
,...,
,
(
2
1
n
y
y
y
y 
, 
)
,...,
,
(
2
1
n
z
z
z
x 
. 
А1. 
0
)
,
(

y
x

 и 
0
)
(
...
)
(
)
(
)
,
(
2
2
2
2
2
1
1








n
n
x
y
x
y
x
y
y
x

  
1
1
y
x 
, 
2
2
y
x 
, …, 
n
n
y
x 
, т. е. 
y
x 
. 
4 
 

А2. 








2
2
2
2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
,
(
n
n
x
y
x
y
x
y
y
x

 











2
2
2
2
2
1
1
))
)(
1
((
...
))
)(
1
((
))
)(
1
((
n
n
y
x
y
x
y
x
)
,
(
)
(
...
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
1
x
y
y
x
y
x
y
x
n
n









. 
А3. Проверим, выполняется ли в 
n
R  аксиома треугольника. Запишем 
аксиому в виде: 
n
n
n
2
2
2
)
(
)
(
)
(
. 
1
1
1











k
k
k
k
k
k
y
z
x
y
x
z
k
k
k
Полагая 
k
k
k
a
x
y


, 
k
k
k
b
y
z


, 
получим 
k
k
k
k
b
a
x
z



 
и 
n
n
n
2
2
2
)
(
. 
1
1
1









k
k
k
k
k
k
k
b
a
b
a
Для доказательства этого неравенства используется неравенство Коши–
n
n

n
2
2
2
. 
1
1
1
k
k
k
b
a
b
a
k
k
k
k
Буняковского 













Действительно,  
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
(
 
1
1
1
1
1


















k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
2
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1



















k
k
k
k
k
k
k
k
b
a
b
b
a
a
, 
k
k
k
k
2
2







n
n
n
2
2
2
)
(
. 
1
1
1
т.е. 









k
k
k
k
k
b
a
b
a
k
k
Следовательно, аксиома треугольника выполнена, и рассматриваемое 
множество с заданной метрикой является метрическим пространством. 
Что и требовалось доказать. 
4. Множество упорядоченных групп из 
n  действительных чисел 
n
1
1
)
,
(

. 
Это 
метрическое 
пространство 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 
с 




k
k
k
y
x
y
x
обозначается 
n
R1 . 
5 
 

5. Множество упорядоченных групп из 
n  действительных чисел 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 с 
k
k
n
k
x
y
y
x





1
max
)
,
(

. Это метрическое пространство 
обозначается 
n
R. 
Примеры 3, 4 и 5 показывают, что один и тот же запас точек может быть 
по-разному метризован. 
6. Множество 
]
,
[
b
a
C
 всех непрерывных действительных функций, 
определенных на сегменте 
]
,
[
b
a
 с расстоянием 
)
(
)
(
max
)
,
(
t
f
t
g
g
f
b
t
a





. 
Обозначают это метрическое пространство как и само множество точек 
пространства: 
]
,
[
b
a
C
. В частности, вместо 
]
1
,
0
[
C
 пишут С . 
7. Через 
2
l  обозначается метрическое пространство, точками которого 
служат всевозможные последовательности 
,...)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 действительных 

2
чисел, удовлетворяющие условию 



1
k
k
x
, и метрика определяется формулой 

2
)
(
)
,
(

1



k
k
k
x
y
y
x

. 
Доказательство. 
Так как 
)
(
2
)
(
2
2
2
k
k
k
k
y
x
y
x



, то 
)
,
(
y
x

 имеет смысл при всех 
2
,
l
y
x

. 



2
2
2
)
(
Т.е. ряд 
1
1
1


k
k
x
 и 



k
k
y
. 
k
k
k
x
y
 сходится, если 



Покажем, что 
)
,
(
y
x

 удовлетворяет аксиомам. 
Аксиомы 1, 2 очевидны. Аксиома треугольника примет вид: 



2
2
2
)
(
)
(
)
(



1
1
1








k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
y
y
z
x
z
. 
Все ряды являются сходящимися. 
Неравенство справедливо для любого n  (см. пример 3). При 


n
 
получаем неравенство для 2
l . 
Что и требовалось доказать. 
6 
 

8. Рассмотрим совокупность всех функций, непрерывных на отрезке 
]
,
[
b
a
 
b
2
1
и 



a
dt
t
y
t
x
y
x

. Такое метрическое пространство обозначается 
2
))
(
)
(
(
)
,
(







]
,
[
2
b
a
C
 и называется пространством непрерывных функций с квадратичной 
метрикой. 
9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей 
,...)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 действительных чисел. Определим 
k
k
k
x
y
y
x

sup
)
,
(

. Это 
метрическое пространство обозначается m. 
10. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел с 
1
p
n
расстоянием 
p
k
k
p
x
y
y
x





, где p  – любое фиксированное число 
k
1
)
,
(





1
, представляет собой метрическое пространство, обозначаемое 
n
p
R . 
Рассмотренная в этом примере метрика 
p
 превращается в евклидову 
метрику при 
2

p
 (см. пример 3) и в метрику примера 4 при 
1

p
. Можно 
показать, что метрика 
)
,
(
y
x


 (см. пример 5) является предельным случаем 
)
,
(
y
x
p

. 
11. Рассмотрим всевозможные последовательности 
,...)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 

p
k
x
, где 
1

p
 – 
действительных чисел, удовлетворяющие условию 



1
k
некоторое фиксированное число, а расстояние определяется формулой 
1

p
p
k
k
x
y
y
x





. Имеем метрическое пространство p
l . 
k
1
)
,
(





12. Пусть X  – множество всех бесконечных последовательностей –

n
n
комплексных чисел 
,...)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
. Определим 
1

. 

1
2
1
)
,
(
n
n
y
x
y
x
y
x





n
n
Имеем метрическое пространство. 
7