Математика. 1-й семестр

МАТЕМАТИКА 
1-й семестр
Методическое пособие
2-е издание, стереотипное
Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2024

УДК 512.64+514.7(072)
ББК  22.143+22.151.5я73
          М34
Рецензенты: 
Э.А.Пилосян, кандидат технических наук, доцент;
Е.И.Улитина, кандидат физико-математических наук, доцент
Составители: 
И.Л. Макарова, А.М. Игнатенко 
 
Математика. 1-й семестр : метод. пособие по выполнению индиМ34    видуальных  заданий  / сост. :  И.Л.  Макарова,  А.М.  Игнатенко.  – 
2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА , 2024. – 76 с. – ISBN
978-5-9765-5639-3. – Текст : электронный.
Для самостоятельного освоения студентами соответствующих 
разделов курса «Математика», 1-й семестр, и выполнения индивидуальных заданий. Материал представляет собой конспективную
сводку основных теоретических положений и расчетных формул с 
подробными методическими рекомендациями и примерами решения
типовых задач. Приведены варианты индивидуальных заданий по
всем разделам курса, список рекомедуемой литературы. 
Для студентов направлений подготовки 09.03.03 «Прикладная 
информатика», 08.03.01 «Строительство», 07.03.01 «Архитектура». 
Может использоваться студентами других направлений подготовки 
и преподавателями в качестве справочного издания по методам и
приемам решения задач по курсам «Математики» 1-го семестра. 
УДК 512.64+514.7(072)
ББК  22.143+22.151.5я73
© ФГБОУ ВО «СГУ», 2024
© Макарова И.Л., Игнатенко А.М.,
    составление, 2024
ISBN 978-5-9765-5639-3                          © Издательство «ФЛИНТА», 2024

Содержание 
1.
Линейная алгебра…………………………………………….... 4 
1.1. 
Справочный материал к заданию………………………..…… 4 
1.2. 
Примеры решения заданий………………………………….... 13 
1.3. 
Варианты индивидуальных заданий № 1………………….… 19 
2.
Векторная алгебра…………………………………………….. 30 
2.1. 
Справочный материал к заданию………………………….… 30 
2.2. 
Примеры решения заданий…………………………………... 
33 
2.3. 
Варианты индивидуальных заданий № 2………………….… 36 
3.
Аналитическая геометрия…………………………………….. 42 
3.1. 
Справочный материал к заданию…………………………….. 42 
3.2. 
Примеры решения заданий………………………………….... 45 
3.3. 
Варианты индивидуальных заданий № 3………………….… 46 
4.
Функции и пределы………………………………………........ 51 
4.1. 
Справочный материал к заданию…………………………….. 51 
4.2. 
Примеры решения заданий………………………………….... 56 
4.3 
Варианты индивидуальных заданий № 4……………………. 59 
5.
Производная и ее применение………………………………... 62 
5.1. 
Справочный материал к заданию…………………………….. 62 
5.2. 
Примеры решения заданий………………………………….... 64 
5.3 
Варианты индивидуальных заданий № 5………………….… 67 
Литература………………………………………………………………….... 75 
3 

1. Линейная алгебра 
1.1. Справочный материал к заданию 
Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n 
столбцов. 
a
a
a
...


n
1
12
11
a
a
a
...
n
2
22
21
В общем виде записывается: 

 или A = (aij), 
A

n
m
...
...
...
...










a
a
a
...
mn
m
m
2
1


где числа aij – элементы матрицы, причём 
m
i
,
1

 и 
n
j
,
1

 - индексы строки 
и столбца соответственно. 
Линейные операции над матрицами 
1. Суммой матриц A и B называется матрица C, каждый элемент которой 
представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B, то 
1
2
0




 . 
5
7
2
6
3
0
1
4
2
3
5
0
11
8
6
есть 
.
j
i
j
i
j
i
b
a
c


Например: 























Складываются матрицы одного размера! 
2. При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы 
умножается на это число, то есть 


R
a
A
j
i







,
. Например:  
10
10


2
2
5
 


35
15
7
3














3. Если строки матрицы А поменять местами со столбцами, причём 
каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то полученная 
матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается AT, то 
есть для матрицы     
a
a
a


n
1
12
11
a
a
a



m
1
21
11

a
a
a
a
a
a
n
2
22
21

т
2
22
12
T


A

            
 
A

n
m

m
n
...
...
...
...
...
...






















a
a
a
a
a
a
...
...
mn
m
m
mn
n
n
2
1
2
1




 
4 
 

Умножение матриц 
Произведением матрицы A = (aij) размера mxn (
m
i
,
1

, 
n
j
,
1

) на 
матрицу B = (bjk) размера nxp (
n
j
,
1

, 
p
k
,
1

) называется матрица 

k
i
c



B
A
 
 
C
 размера mxp, каждый элемент 

k
i
c
 которой равен сумме 
попарных 
произведений 
элементов 
i-ой 
строки 
матрицы 
A 
на 
соответствующие им элементы k-го столбца матрицы B, то есть 
n









jk
ij
nk
k
k
b
а
b
b
b
in
2
i2
1
i1
k
i
.
a
a
a
c

. 

j
1
!!! Перемножаются только такие две матрицы, у которых число 
столбцов первой равно числу строк второй. 
Определители n-го  порядка и их свойства 
Каждой квадратной матрице  порядка n по определённому закону 
ставится в соответствие некоторое число A , называемое определителем 
матрицы A или просто определителем n-го порядка и обозначается: 
a
a
a
n
1
12
11
a
a
a
n
2
22
21
A



 или 
j
i
a


. 
...
...
...
det



a
a
a
...
nn
n
n
2
1
Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ 
определителя, другую диагональ определителя называют побочной. 
Минором Mij  элемента aij определителя n-го порядка называется 
определитель (n-1)-го  порядка, полученный из данного определителя путём 
вычёркивания элементов i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении 
которых стоит элемент aij. 

5
2
1
8
3




8
3
2
M
M
 
32
11

Пример:    Для   
8
2
5
1
,
0
1
0
1
4
5 
 

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка 
j
i

1
. 
называется число 


ij
ij
M
A



Если сумма номеров строки и столбца i + j - число чётное, то 
ij
ij
M
A 
,если     i + j - число нечётное, то 
ij
ij
M
A


. 
Например: 
12
12
11
11
;
M
A
M
A



. 
Определителем n-го порядка или детерминантом называют число, 
равное 
сумме 
попарных 
произведений 
элементов 
первой 
строки 
определителя на соответствующие им алгебраические дополнения,  то есть  
n
n A
a
A
a
A
a
A
1
1
12
12
11
11
det








 
Правила вычисления определителей: 
1. Для определителей первого порядка:  
;
2
2
,
5
5
,
11
11




a
a
 
2. Для определителей второго порядка: 


;
21
12
22
11
21
12
22
11
12
12
11
11
a
a













 
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
A
a
a
a
22
21
3. Для определителей третьего порядка:  
a
a
a
13
12
11
А
а
А
а
А
а







a
a
a
23
22
21
13
13
12
12
11
11
a
a
a
33
32
31
 
23
22
23
21
22
21
a
a
а







11
12
13
a
a
а
a
a
a
a
а
a
a
a
a
33
32
33
31
32
31













a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
31
22
13
31
23
12
13
32
21
33
22
11






a
a
a
a
a
a
.
33
21
12
11
23
32
Схема вычисления определителя 3-го порядка по правилу треугольника: 
 
6 
 

4. Универсальное правило Лапласа вычисления определителей.  
Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой 
строки на их алгебраические дополнения, то есть  
n











ij
ij
in
in
i
i
i
i
A
а
A
a
A
a
A
a
2
2
1
1

-разложение 

j
1
определителя по элементам i-ой строки; 
n











ij
ij
nj
nj
j
j
j
j
A
а
A
a
A
a
A
a
2
2
1
1

- 
разложение 

i
1
определителя по элементам j-го столбца. 
Обратная матрица 
a
a
a


n
1
12
11

a
a
a
n
2
22
21

Пусть 
 -  квадратная матрица n-го порядка. 

A
...
...
...











a
a
a
...
nn
n
n
2
1


Матрица A называется вырожденной, если определитель этой  матрицы 
равен нулю; и невырожденной, если определитель этой матрицы не равен 
нулю. 
Составим матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы А: 
A
A
A


n
1
12
11
A
A
A
~
n
2
22
21
, где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij 

A
...
...
...













A
A
A
...
nn
n
n
2
1


матрицы A. 
Союзной или присоединённой матрицей A* матрицы A называется 
транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы A,  то 
A
A
A


n
1
21
11
A
A
A
T
~
n
2
22
12
*


A
A
есть  

. 
...
...
...













A
A
A
...
nn
n
n
2
1


7 
 

Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице A, если 
выполняется равенство 
E
A
A
A
A






1
1
, где E – единичная матрица того 
же порядка, что и матрица A. Если матрица A невырожденная, то она имеет 
обратную матрицу и притом только одну. 
Алгоритм вычисления обратной матрицы 
1. Находим определитель матрицы А. Если detА=0, то матрица А -
вырожденная и обратной матрицы  
1

A
 не существует.  Если detА0, то 
матрица  А- невырожденная и обратная матрица  
1

A
  существует. 
2. Находим матрицу A
~  алгебраических дополнений матрицы А.  
3. 
Находим 
союзную 
матрицу 
*
A , 
транспонируя 
матрицу 
T
A
A
~
* 
. 
алгебраических дополнений  

𝐴∗
4. Записываем обратную матрицу  𝐴−1 =
𝑑𝑒𝑡𝐴. 
5. Делаем проверку правильности вычисления обратной матрицы: 
E
A
A
A
A






1
1
. 
Системы m линейных уравнений с n неизвестными 
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система 
вида:  




b
x
a
x
a
x
a
,

n
n
1
1
2
12
1
11





b
x
a
x
a
x
a
,
n
n
2
2
2
22
1
21



, 

1






b
x
a
x
a
x
a
;
m
n
mn
m
m
2
2
1
1




где x1, x2 … xn – неизвестные; 
R
ain 
- коэффициенты, 
m
i
,
1

, 
n
j
,
1

, 
R
bi 
- свободные члены. 
Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по 
формулам Крамера 
Формулы Крамера удобно применять при решении  систем n линейных 
уравнений с  n неизвестными  при 
.
3

n
 
8