Математическое и имитационное моделирование

А.И. БЕЗРУКОВ
О.Н. АЛЕКСЕНЦЕВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
И ИМИТАЦИОННОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 01.03.04 «Прикладная математика»,
38.03.05 «Бизнес-информатика» (квалификация (степень) «бакалавр»)
Москва
ИНФРА-М
2025

УДК 519.86(075.8)
ББК 65.23я73
 
Б40
А в т о р ы:
Безруков А.И., кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики Саратовского социально-экономического института (филиала) Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова;
Алексенцева О.Н., кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры 
информационных систем в экономике Саратовского социально-экономического института (филиала) Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова
Р е ц е н з е н т ы:
Клинаев Ю.В., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 
кафедры технической физики Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского технического университета имени Ю.А. Гагарина;
Гусятников В.Н., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики Саратовского социально-экономического института (филиала) Российского экономического 
университета имени Г.В. Плеханова
Безруков А.И.
Б40 
 
Математическое и имитационное моделирование : учебное пособие / 
А.И. 
Безруков, 
О.Н. 
Алексенцева. 
— 
Москва 
: 
ИНФРА-М, 
2025. 
— 
227 
с. 
+ 
Доп. 
материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/
textbook_59006f8ec13df8.73891496.
ISBN 978-5-16-020396-6 (print)
ISBN 978-5-16-103017-2 (online)
В данном учебном пособии упор делается на всю последовательность действий, связанных с применением моделей в экономике, начиная с осознания 
экономической проблемы и заканчивая интерпретацией и использованием 
результатов моделирования.
В книге изучаются основные понятия, связанные с моделированием, обсуждаются место моделирования в познавательной и практической деятельности 
и особенности построения экономико-математических моделей, исследуются 
основные понятия и простейшие модели теории массового обслуживания. 
Также пособие знакомит читателя с методом Монте-Карло и основными 
свойствами последовательностей случайных чисел, с основными понятиями 
и принципами имитационного моделирования. Кроме того, рассматриваются 
вопросы планирования эксперимента, оценки точности и достоверности результатов компьютерного моделирования, организации компьютерного эксперимента с использованием инструмента ANOVA.
Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Книга предназначена для студентов третьего и четвертого курсов, обучающихся по направлениям подготовки «Прикладная информатика» и «Бизнесинформатика».
УДК 519.86(075.8)
ББК 65.23я73
Материалы, отмеченные знаком 
, 
доступны в электронно-библиотечной системе Znanium
ISBN 978-5-16-020396-6 (print)
ISBN 978-5-16-103017-2 (online)
© Безруков А.И., Алексенцева О.Н., 
2017

Светлой памяти Евгения Петровича Бочарова посвящается
Введение
Строить модели реального мира приходится всегда, когда нам 
нужно принимать решения. Умение понять сущность проблемы, 
отбросить малозначимые детали, «прокрутить» в голове различные 
варианты и выбрать наилучшее решение необходимо как руководителю, чья профессия — принимать решения, так и любому человеку, стремящемуся быть успешным.
В простых и известных ситуациях большинство решений принимается на интуитивном уровне. Наше подсознание, базируясь 
на приобретенном опыте, строит модель ситуации, с ее помощью 
перебирает возможные решения и выдает наверх (в сознание) наилучшее из них, опуская все подробности его принятия. Решение 
появляется в нашем мозгу как бы само по себе. Это обеспечивает 
мозгу гибкость и оперативность в принятии простых решений, 
но чревато грубыми ошибками в сложных и непонятных ситуациях.
Еще одной проблемой принятия решения «вручную» является 
способность мозга оперировать только 7 ± 2 сущностями (т.е. гений 
может держать в мозгу сразу девять объектов, а обычный человек — 
не более пяти). Чтобы учитывать большее число сущностей, нам приходится строить сложные иерархические структуры, объединяя сущности в группы и обобщенные понятия. Неизбежные при этом дополнительные предположения и допущения снижают качество модели.
В сложной ситуации нам приходится учитывать сотни, а иногда 
и тысячи факторов. При этом практически невозможно найти одного человека, который хорошо разбирается во всех этих факторах. 
С ростом сложности и масштабов принимаемых решений, как 
правило, растет цена ошибки. Наконец, очень часто у нас просто 
не хватает времени на обдумывание ситуации во всех ее подробностях. В этих случаях мы уже не можем полагаться только на модели, построенные в собственном мозгу, нам требуются публичные 
модели, с которыми может работать несколько специалистов.
Построение публичной модели порождает множество проблем. 
Мы должны явным образом провести и обосновать все этапы построения модели, причем так, чтобы любой пользователь понял 
смысл моделируемого явления, предположения и ограничения модели. Каждый специалист видит моделируемое явление по-своему. 
3

Чтобы все пользователи понимали друг друга, в модели должен 
быть выработан общий язык, а различные точки зрения должны 
быть согласованы и превращены в систему.
Универсальным языком, позволяющим описать влияющие 
факторы и их взаимодействие, сравнить возможные решения 
и дать их количественную оценку, является математика1. Поэтому 
в данном учебном пособии основное внимание уделяется математическим моделям. В гл. 1 рассмотрены основные понятия, связанные с моделированием, показано место моделирования в познавательной и практической деятельности. В гл. 2 изложены особенности построения экономико-математических моделей.
Может показаться, что если мы точно укажем начальное состояние объекта и правильно опишем его изменение в математической модели, то сможем рассчитать его состояние в любой будущий момент времени. Однако это не так: начальное состояние 
не может быть задано абсолютно точно; извне на объект действует 
поток непредсказуемых случайных событий; мы не в состоянии абсолютно точно описать поведение реального объекта. Поэтому модели должны учитывать случайность воздействий внешней среды, 
неполноту наших знаний и т.д.
Ярким и практически важным примером влияния случайных воздействий является проблема очередей. Например, парикмахер обслуживает каждого посетителя в течение 10 мин. Если бы каждый 
следующий посетитель приходил через 10 мин после предыдущего, 
очередь бы не возникла. Однако если посетители будут приходить 
в случайные моменты времени, очередь может появиться. Строгое решение проблемы очередей для некоторых практически важных случаев 
дает теория массового обслуживания. В гл. 3 рассмотрены основные 
понятия и простейшие модели теории массового обслуживания.
Случайность внешних воздействий усложняет решение проблем 
и иногда помогает упростить процесс решения. Например, при изучении поведения системы в различных ситуациях, вместо того 
чтобы перебирать все возможные ситуации, мы случайно выберем 
представительное2 множество ситуаций. Такой метод, названный 
методом Монте-Карло, позволяет существенно сократить объемы 
работ с моделью. Глава 4 знакомит читателя с методом Монте-Карло 
и основными свойствами последовательностей случайных чисел.
1 
«В каждой естественной науке столько истины, сколько в ней есть математики». И. Кант.
2 
Представительной называется выборка, статистические характеристики 
которой соответствуют статистическим характеристикам исходного множества.
4

Гносеологические
Выявление существенных 
и отбрасывание несущественных факторов
Необходимость построения 
модели
Особенности мышления человека
• Ограниченность 
интуиции
• Субъективность 
решений
• Невозможность оперировать 
большим числом 
факторов
Размеры и риски 
проблемы
• Трудоемкость 
и объем обрабатываемой информации
• Ограниченное 
время на получение 
и анализ результатов
• Невозможность натурного эксперимента
Организация совместной 
работы
• Обеспечение единства 
понимания проблемы
• Согласование действий и учет ранее 
принятых решений
• Планирование, отслеживание и управление
Причины построения экономико-математических моделей
Решать задачи со случайными потоками событий только аналитическими методами можно далеко не всегда. Метод Монте-Карло 
подсказывает нам другой путь решения сложных задач. Если мы 
научимся имитировать поведение изучаемой системы в каждой ситуации и изучим ее поведение в представительном потоке внешних 
и внутренних событий, то мы получим представление о поведении 
системы в реальности. Такой подход назван имитационным моделированием. В гл. 5 рассмотрены основные понятия и принципы 
имитационного моделирования. В качестве примера системы имитационного моделирования приведена студенческая версия GPSS 
World. В гл. 6—10 дано краткое описание этой системы и проиллюстрировано ее применение.
Исследование поведения имитационных моделей фактически 
является вычислительным экспериментом. Достоверность и точность полученных результатов зависит от того, как мы спланировали и провели этот эксперимент. В гл. 10 рассматриваются вопросы 
планирования эксперимента, оценки точности и достоверности 
результатов компьютерного моделирования. Глава 11 посвящена 
организации компьютерного эксперимента с использованием инструмента ANOVA.
5

Математическое и имитационное моделирования в настоящее 
время являются одними из основных методов изучения и анализа 
сложных экономических систем. В совокупности с содержательным 
экономическим анализом они позволяют выявить закономерности 
и тенденции поведения изучаемой системы, «проиграть» различные 
сценарии развития, оценить возможные последствия принимаемых 
решений и на основании этого оптимизировать управление системой.
В результате изучения данного курса студент должен:
знать цели, задачи и место моделирования при изучении 
сложных объектов и управлении ими; особенности моделирования 
экономических объектов; теоретические и методические основы 
построения математических и имитационных моделей экономических объектов; основные положения и результаты теории массового обслуживания, метода Монте-Карло, проверки статистических 
гипотез и планирования вычислительного эксперимента;
уметь анализировать проблему и ставить задачу на построение 
математической модели экономического объекта; оценивать адекватность модельных предположений и допущений; выбирать метод 
и инструментарий для построения модели; строить модель и оценивать ее адекватность, организовывать вычислительный эксперимент и интерпретировать его результаты;
владеть методами имитационного моделирования в среде GPSS 
World; навыками сбора и систематизации информации для построения математических и имитационных моделей.

Глава 1. 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. ПРИМЕР МОДЕЛИ, ИЗМЕНИВШЕЙ МИР. ЯДЕРНАЯ ЗИМА
Значимость математического и имитационного моделирования 
продемонстрируем на примере, оказавшем значительное влияние 
на историю всего человечества.
К началу 1980-х гг. в ходе гонки вооружений Советский Союз 
и США накопили огромное количество ядерного оружия, способного многократно уничтожить все живое на Земле. Понимая бессмысленность дальнейшей гонки вооружений, дипломаты двух 
стран пробовали проводить переговоры, однако взаимное недоверие, желание получить одностороннюю выгоду и просто недостаточная мотивация переговорщиков не позволили им прийти 
к соглашению.
В марте 1983 г. известный американский астроном Карл Саган 
опубликовал несколько сценариев последствий массового применения ядерного оружия1. В результате ядерных взрывов над городами и лесами в атмосферу поднимутся сотни миллионов тонн 
грунта и пепла, что сделает небо непроницаемым для солнечного 
света. Наступит «ядерная ночь», которая сможет продолжаться 
несколько месяцев. Поверхность планеты станет недоступной 
для солнечного света и начнет быстро остывать. Начнется «ядерная 
зима», которая может продлиться до 10 лет.
Свой сценарий К. Саган разработал чисто умозрительно, его 
выводы требовали подтверждения. В это время в Вычислительном 
Центре академии наук СССР под руководством Н.Н. Моисеева 
разрабатывалась компьютерная имитационная модель глобального 
взаимодействия атмосферы Земли и Мирового океана. Для подтверждения или опровержения сценария Сагана было принято решение промоделировать последствия ядерного конфликта. В основу 
моделей воздействия отдельных взрывов положены наблюдения последствий ядерных испытаний, ядерных бомбардировок японских 
городов Хиросимы и Нагасаки, а также «ковровой» бомбардировки 
Дрездена в конце Второй мировой войны. Для моделирования последствий множества взрывов использовалась модель глобального 
взаимодействия.
1 
Цит. по: Моисеев Н.Н. Как далеко до завтрашнего дня. 1917—1993. Свободные размышления.
7

Результаты расчетов убедительно продемонстрировали неизбежность глобальной катастрофы в случае ядерного конфликта. После 
«ядерной зимы» жизнь на Земле не исчезнет, но изменится так, что 
человеку в ней места не будет. Результаты моделирования были доложены на Международной конференции в Вашингтоне и вызвали 
огромный общественный резонанс. Во многом именно общественность заставила политиков двух сверхдержав договориться о сокращении арсеналов ядерного оружия и других мерах предотвращения 
ядерной катастрофы.
1.2. МЕСТО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПОЗНАНИИ
На рис. 1.1 показан алгоритм, в соответствии с которым человек 
принимает решение об объекте реального мира. С помощью своих 
органов чувств или технических средств человек воспринимает 
сигнал от объекта наблюдения. Например, человек видит показания прибора. Сигнал — наблюдаемая величина, значение которой 
характеризует состояние объекта наблюдения.
Зрительный (или слуховой) сигнал попадает в мозг и там превращается в данные (декодируется). Например, зная цену деления 
прибора, человек воспринимает показание как число. Данные — 
сигнал с известным способом кодирования. В зависимости от вида 
сигнала и способа кодирования данные могут быть числовыми или 
нечисловыми.
Для дальнейшего осмысления полученных данных человек 
должен знать, состояние какого объекта и какие свойства эти 
данные отражают, как получены, насколько им можно верить и как 
их можно интерпретировать. Осмыслив все это, человек преобразует данные в информацию. Информация — данные, смысл которых 
известен. Метаинформация — информация об информации, необходимая для понимания ее смысла.
Чтобы использовать полученную информацию, человек должен 
сопоставить ее с ранее известной информацией, оценить, что нового он узнал об объекте наблюдения. При этом новая информация 
вливается в систему знаний об объекте, имеющуюся у человека, 
уточняет, а при необходимости изменяет эту систему. Только опираясь на знания (может быть, пока не проверенные), человек может 
принять решение. Пока новые знания не проверены, они являются гипотезой. После проверки новых знаний на отсутствие противоречий, соответствие с реальным миром и с существующими 
(ранее проверенными) знаниями гипотеза превращается в теорию. 
Знания — правила работы с информацией, позволяющие принимать 
8

на ее основе адекватные решения. Гипотеза — предположение о совокупности знаний. Теория — совокупность знаний, позволяющая предсказать поведение объекта при изменении условий.
Наблюдение
Мозг
Восприятие
Данные
Осмысление
Объект
Сигнал
Метаинформация
Память, накопленный 
и обобщенный опыт
Информация
Систематизация,
анализ, построение 
теории
Знания
Принятие 
решения
Реализация 
решения
Рис. 1.1. Алгоритм принятия решения человеком
Знания позволяют:
• предсказать состояние объекта в будущем (прогнозирование);
• оценить, как изменится объект:
– при возможных изменениях внешних условий (сценарное прогнозирование);
– при сознательном воздействии на объект (оценка последствий 
принимаемых решений).
1.3. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
Согласно учению И. Канта1 каждое явление реального мира 
обладает бесконечно сложной структурой и бесконечным списком 
свойств (является вещью в себе). Из этого философского представления следует весьма пессимистический вывод: мы никогда 
не сможем до конца познать объект и точно предсказать его поведение.
К счастью, в практической деятельности это и не требуется. Дело 
в том, что основное влияние на поведение объекта оказывает относительно небольшое количество факторов, а влиянием остальных 
факторов можно пренебречь. Таким образом, вместо исследования 
1 
Иммануил Кант (1724—1804), немецкий философ, родоначальник немецкой классической философии.
9

объекта реального мира мы изучаем его образ (модель), наделив его 
только важными для нас свойствами (рис. 1.2).
Объект реального мира
Модель объекта
Неучтенные факторы
Рис. 1.2. Построение модели объекта реального мира
Если мы хорошо выбрали модель и она ведет себя так же, как 
моделируемый объект, мы говорим, что модель адекватна объекту. 
Адекватные модели позволяют вынести упрощенное представление об объекте, получить некоторые результаты намного быстрее 
и легче, чем при изучении реального объекта. Более того, гипотетически модели объекта могут быть исследованы и изучены перед тем, 
как объект будет создан.
Особенно важно значение моделирования в экономике. Дело 
в том, что проводить натуральные эксперименты над экономическими объектами (предприятиями, банками, отраслями экономики, но прежде всего над людьми) очень дорого, часто опасно, 
а иногда просто невозможно, ведь неудачный экономический эксперимент может повлиять на судьбы людей, привести к большим 
потерям финансовых и материальных средств. Моделирование же 
позволяет не вмешиваться в текущий ход развития экономической 
системы, решать задачи типа «что будет, если…». Проведя расчеты 
с помощью математической модели, можно выяснить, как влияют 
те или иные параметры и решения на развитие экономической 
системы. Только убедившись в надежности результатов моделирования, мы можем применять их для управления реальными экономическими процессами.
Во всех странах с достаточно высоким уровнем развития науки 
(США, страны ЕС, СССР, а затем Россия и страны СНГ) существуют и развиваются многочисленные школы математического, 
в частности имитационного, моделирования.
Из отечественных ученых можно отметить вклад в моделирование экономических систем лауреата Нобелевской премии академики Л. Канторовича, академиков В. Макарова, Н. Федоренко, 
А. Гранберга. Всемирную известность приобрели работы русского 
10