Механизм творчества решения нестандартных задач

В. В. Дрозина,  В. Л. Дильман
МЕХАНИЗМ
ТВОРЧЕСТВА
РЕШЕНИЯ
НЕСТАНДАРТНЫХ
ЗАДАЧ
РУКОВОДСТВО ДЛЯ ТЕХ, 
КТО ХОЧЕТ НАУЧИТЬСЯ
РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
Учебное пособие
5е издание, электронное
Р е к о м е н д о в а н о
Научнометодическим советом по математике
Министерства образования и науки РФ (Челябинское отделение)
в качестве учебного пособия
для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений,
студентов педагогических университетов и учителей математики
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 51(075.8)
ББК 22.1
Д75
С е р и я
о с н о в а н а
в
2008 г.
Р е ц е н з е н т ы:
профессор каф. матем. анализа ЮУрГУ
, д. ф.-м. н.
В. В. Карачик;
профессор каф. матем. анализа ЧГПУ
, д. ф.-м. н.
М. М. Кипнис;
зав. каф. матем. анализа ЮУрГУ
, профессор
Л. А. Менихес
Дрозина В. В.
Д75
Механизм творчества решения нестандартных задач : учебное
пособие / В. В. Дрозина, В. Л. Дильман. — 5-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 258 с. — (Математическое мышление). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-752-7
Книга знакомит читателя с идеями и механизмом усовершенствования
аппарата творчества, необходимого для решения нестандартных задач. Дает
представление о новом подходе к обучению и рассказывает о методике
достижения значимых результатов в этом процессе. На достаточно большом
объеме олимпиадных задач показаны различные приемы решений, при этом
вычленены и обобщены их особенности.
Для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений, студентов педагогических университетов и учителей математики.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Механизм творчества решения нестандартных задач : учебное пособие / В. В. Дрозина,
В. Л. Дильман. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 255 с. : ил. —
(Математическое мышление). — ISBN 978-5-94774-733-1.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-752-7
© Лаборатория знаний, 2015

О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
В в е д е н и е
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ПЕДАГОГИКИ ТВОРЧЕСТВА
. . . . . . . . .
10
Тенденции научного исследования творчества
. . . . . .
11
Основные определения творчества
. . . . . . . . . . . .
13
Связь творческого процесса и процесса решения нестан 
дартной задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Компоненты творчества
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Научные знания (17). Вид творчества (18). Творческое мышление (18). 
Умения творческой работы (20).
Качества творчества
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Анализ (25). Синтез (27). Предвидение (32).
Анализ олимпиадной задачи . . . . . . . . . . . . . . .
37
ГЛАВА 2
ФОРМИРОВАНИЕ КАЧЕСТВ, НЕОБХОДИМЫХ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . .
40
Умение анализировать . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Структурное видение (41). Последовательность действий при работе с 
задачами (44). Алгоритм разбора задачи (45). Постановка вопросов (45). 
Виды анализа (47).

Оглавление
Умение синтезировать . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Ассоциирование (объединение) (50). Эрудиция (50). Умение соединять 
компоненты знаний (53). Отдаленность ассоциируемых понятий (56). 
Смысловое расстояние (57).
Умение предвидеть
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Работа с теоретическим материалом (61). Работа с теорией и над теори  
ей (61). Работа с применением теории (63). Экстраполяция специфиче- 
ского стиля деятельности (67). Абстрактная память (68).
ГЛАВА 3
ВЫХОД ИЗ ЗАТРУДНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ХОДЕ
ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. .
70
Проблемы и их решение при работе над задачей . . . . .
70
Формы организации обучения решению нестандартных задач
73
ГЛАВА 4
ВОЗРАСТНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . . . .
82
Основные положения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Программа последовательного обучения решению нестан 
дартных задач по классам
. . . . . . . . . . . . . .
85
Полное тематическое разбиение обучения решению нестан 
дартных задач по классам
. . . . . . . . . . . . . .
85
Пятый класс (85). Шестой класс (86). Седьмой класс (87). Восьмой 
класс (89). Девятый класс (91). Десятый класс (93).
Программа, представленная олимпиадными задачами
. .
95
Пятый класс (95). Шестой класс (96). Седьмой класс (97). Восьмой 
класс (98). Девятый класс (100). Десятый класс (101).
ГЛАВА 5
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
В СООТВЕТСТВИИ С ПРОГРАММОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
. . . . . . . . . 102
Пятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Шестой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Оглавление
5
Седьмой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Восьмой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Девятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Десятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
ГЛАВА 6
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . . . . 176
Общие положения обучения решению нестандартных задач
по классам
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Основные аспекты обучения решению нестандартных задач 191
О т в е т ы и у к а з а н и я
. . . . . . . . . . . . . . . 238
С п и с о к л и т е р а т у р ы
. . . . . . . . . . . . . . . 249

П Р Е Д И С Л О В И Е
Коренные преобразования в экономике, произошедшие в
последние годы, повлекли за собой изменение в запросе на
кадры. Этот запрос предполагает наличие специалистов не про 
сто с высоким профессиональным образованием, а способных
не стандартно и по новому — творчески — мыслить. Перед рос 
сийским образованием на первый план вышла проблема творче 
ства, становление которого происходит во всевозможных усло 
виях и видах деятельности, при использовании различного те 
оретического материала. Наиболее действенно, как показывают
исследования, это становление творчества осуществляется при
применении математической тематики. Именно в ней сконцен 
трирована абстракция и, следовательно, именно в математике
в наибольшей степени присутствует та грань, которую следует
преодолеть, чтобы возбудить творчество — перейти от абстрак 
ции к действительности. Этот переход способствует эффектив 
ному процессу развития творчества, которое используется как
при решении нестандартных задач, так и при выборе оптималь 
ного варианта решения проблемы. Поэтому ранее известные
рекомендации по подготовке учащихся к решению нестандарт 
ных задач требуют дальнейшей разработки с ориентацией на
современные требования к содержанию образования. Не только
потому, что эта серьезнейшая проблема решалась недостаточ 
но эффективно, но и потому, что зачастую акцент ставится
на том, на чем его ставить не следует. Поэтому в книге есть
главы, посвященные вновь разработанным темам, которые не
затрагивались ранее. Эти темы введены с целью более глубоко 
го рассмотрения механизма формирования аспектов аналитико 
синтетического мышления, необходимых для решения нестан 
дартных задач. В связи с этим дан новый подход к обуче 

Предисловие
7
нию и предложена эффективная методика для решения этой
проблемы.
Начиная эту книгу с педагогики творчества, авторы помога 
ют не только понять глубинные теоретические аспекты творче 
ства — что и для чего нужно. Они стремятся научить читателя
продуктивно думать, по новому воспринимать мир, оценивать
эффективность выбранного ответа и не только успешно справ 
ляться с нестандартными задачами, но и разрабатывать план
дальнейших действий для неординарного подхода к решению
проблем.
Целесообразно классифицировать обучение решению не 
стандартных задач по изучаемым разделам математики, и в
каждом из разделов — по основным направлениям, а также
по уровням сложности в соответствии с возрастом учащегося.
Обучение приобретает систему, которая позволяет не только
не упустить задачи в основных направлениях математического
материала, но и соответствует психологическим особенностям
данного возраста и индивидуальности учащегося, что приводит
к более действенным результатам.
Думается, что описанная в книге методика обучения реше 
нию нестандартных задач приобрела систему и, следовательно,
будет полезна в деятельности по данной проблеме. Авторы бла 
годарят директора ППИ ЧГПУ Е. А. Гнатышину за оказанную
помощь в работе над книгой, профессоров механико математи 
ческого факультета ЮУрГУ Л. А. Менихеса и В. И. Заляпина
за ценные замечания и советы, данные по поводу написания
этого пособия.

В В Е Д Е Н И Е
Настоящее пособие является пошаговым руководством по
обучению решению нестандартных задач, а также по само 
стоятельному проведению или контролю любой деятельности
на основе стимулирования творческих начал у школьников.
Пособие предназначено в первую очередь преподавателям на 
ставникам, готовящим учащихся к олимпиадам и различным
конкурсам.
Книга будет полезна как в качестве методического пособия
для педагога, так и в качестве дидактического сборника для
учащегося.
Поскольку ряд терминов часто используется во многих зна 
чениях, может быть полезным привести именно те их опреде 
ления, которых придерживаются авторы данной книги.
1. Задачей называют поставленную цель, которую необходи 
мо достичь (в широком смысле слова).
2. Математической задачей называют вопрос, требующий
решения на основе определенных знаний и умений из предмет 
ной области математики, а также развития логических аспектов
абстрактной мыслительной деятельности.
3. Нестандартная задача — это задача, заключающая в се 
бе оригинальное, творческое начало, которое не может быть
выявлено репродуктивными методами решения и требует от
учащихся поисков собственных путей решения.
4. Олимпиадная задача — это нестандартная задача из какой 
либо области знаний, требующая от обучаемого творческого
напряжения, поиска идей и «открытий».
В конце пособия помещены ключевые вопросы, ответы на
которые помогают более глубоко осмыслить изложенный ма 

Введение
9
териал и акцентируют внимание на его «тонких» и основных
местах.
В разделах, посвященных методике, даны рекомендации, по 
могающие в целенаправленной работе. Поскольку большинство
из них универсальны и могут быть применимы в любой дея 
тельности, то следует прочесть их все и запомнить.
1
Любую информацию старайтесь осознать.
Подвергнуть сомнению, переработке с це
лью ее расширения и углубления. Только при таком подходе вы
сможете развить творчество.

Г Л А В А
1
ТЕОРИЯ ПЕДАГОГИКИ
ТВОРЧЕСТВА
В нашей книге мы попытались помочь усовершенствовать
аппарат творчества, необходимый для решения нестандартных
задач. Этот аппарат состоит из ряда компонентов, приводящих
к состоянию «творчество — озарение».
Так, одной из составляющих аппарата творчества явля
ется умение создавать всевозможные связи между свои
ми познаниями. Результатом этого умения является образование
разнообразных идей.
Если у человека не сформировано умение конструировать
всевозможные сочетания собственных знаний, связывать их, то
он мыслит стандартно в одном направлении, согласно либо си 
туации на данный момент, либо знаниям, которые превалиру 
ют над другими знаниями. Хотя часто его эрудиция позволяет
решить проблему неординарно. Например, на вопрос: «Когда
умножение два на два дает в результате сто?» (ответ: когда дей 
ствия выполняется в двоичной системе счисления) ему трудно
правильно ответить, поскольку человек мыслит «по инерции»,
используя десятичную систему счисления (хотя порой он знает
и другие системы счисления). Однако если ситуация такова, что
на данный момент был сделан акцент на системах счисления,
то при достаточных знаниях ответ будет незамедлительный и
верный.
Итак, одной из особенностей творческой личности являет 
ся устойчивое умение (превращенное в привычку) создавать
множество различных взаимосвязей между элементами своего