Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии

Л. И. Боженкова
МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ
УНИВЕРСАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
5-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 514
ББК 22.151
Б76
Боженкова Л. И.
Б76
Методика
формирования
универсальных
учебных
действий
при
обучении
геометрии
/
Л. И. Боженкова. — 5-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2024. — 208 с. — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-749-7
Цель книги — помочь учителю математики сформировать
у учеников универсальные учебные действия при обучении
геометрии, что отражает задачу, сформулированную в Федеральном государственном образовательном стандарте общего
образования второго поколения.
Для
учителей
математики
школ,
лицеев,
колледжей,
а также студентов и аспирантов математических факультетов
педагогических вузов.
УДК 514
ББК 22.151
Деривативное издание на основе печатного аналога: Методика
формирования
универсальных
учебных
действий
при
обучении
геометрии
/
Л. И. Боженкова. — 2-е
изд. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 205 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-1887-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-749-7
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава 1. Познавательные универсальные учебные действия 
в обучении геометрии 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1.1. Содержание познавательных универсальных учебных 
действий 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Понятие познавательных универсальных учебных 
действий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Сравнение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Подведение под понятие 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4. Анализ и синтез  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5. Выведение следствий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.6. Установление причинно-следственных связей 
и построение логической цепи рассуждений, 
доказательства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 1.2. Постановка и решение проблем при обучении 
геометрии 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1. Алгоритмизация как способ преобразования 
учебной информации  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2. Составление геометрических задач . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 1.3. Теоретические основы становления познавательных 
учебных действий при обучении геометрии  . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 2. Регулятивные универсальные учебные действия 
в обучении геометрии 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 2.1. Основа саморегуляции при освоении геометрии — 
регулятивные универсальные учебные действия . . . . . . . . . 46
§ 2.2. Регуляция деятельности при обучении геометрическим 
понятиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 2.3. Регуляция деятельности при обучении теоремам  . . . . . . . . 55
§ 2.4. Регуляция деятельности при обучении решению задач 
. . . . 65

Оглавление
Глава 3. Коммуникативные и личностные универсальные 
учебные действия 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 3.1. Формирование коммуникативных УУД 
при обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 3.2. Личностные универсальные учебные действия
при обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Глава 4. Система обогащающих упражнений 
для формирования УУД при обучении геометрии . . . . . . . . 88
§ 4.1. Требования к системе обогащающих упражнений . . . . . . . . 88
§ 4.2. Обогащающие работы по геометрии для седьмого 
класса 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Работа № 1. Прямая, отрезок, луч, угол  . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Работа № 2. Биссектриса угла. Сравнение отрезков 
и углов 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Работа № 3. Измерение углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Работа № 4. Измерение отрезков и углов 
. . . . . . . . . . . . . . . . 97
Работа № 5. Вертикальные и смежные углы . . . . . . . . . . . . . 98
Работа № 6. Свойства смежных и вертикальных углов  . . . . 99
Работа № 7. Первый признак равенства 
треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Работа № 8. Признаки равных треугольников: 
составление задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Работа № 9. Признаки равных треугольников: 
составление и решение задач 
. . . . . . . . . . . . . . 106
Работа № 10. Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Работа № 11. Признаки и свойства параллельных 
прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Работа № 12. Сумма углов треугольника 
. . . . . . . . . . . . . . . 112
Работа № 13. Признаки равенства прямоугольных 
треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Работа № 14. Решение задач на построение  . . . . . . . . . . . . 116
Работа № 15. Как мы изучали геометрию 
в 7 классе 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Ответы и указания к работам для 7 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 4.3. Обогащающие работы по геометрии для 8 класса 
. . . . . . . . 127
Работа № 1. Понятие и свойства параллелограмма  . . . . . . 127
Работа № 2. Признаки параллелограмма  . . . . . . . . . . . . . . 128
Работа № 3. Трапеция и параллелограммы . . . . . . . . . . . . . 130

Оглавление 
5 
Работа № 4. Свойства трапеции и параллелограмма: 
составление задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Работа № 5. Решение задач на построение  . . . . . . . . . . . . . 134
Работа № 6. Площадь многоугольника  . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Работа № 7. Решение задач на вычисление площадей . . . . 139
Работа № 8. Подобные треугольники 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Работа № 9. Подобие: решение и составление задач . . . . . . 145
Работа № 10. Соотношение между сторонами и углами 
прямоугольного треугольника  . . . . . . . . . . . 146
Работа № 11. Вписанный угол  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Работа № 12. Векторы 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Работа № 13. Как мы изучали геометрию в 8 классе  . . . . . 149
Ответы и указания к работам для 8 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Указатель таблиц, содержащихся в пособии  . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Библиография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

ȼɜɟɞɟɧɢɟ
Социальный заказ общеобразовательной школе представлен в «Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности 
гражданина России». Эта концепция является методологической 
основой федерального государственного образовательного стандарта 
общего образования (ФГОС — Стандарт) второго поколения. В Стандарте сформулированы требования к предметным, личност 
ным и 
метапредметным результатам обучения, которые должны быть достигнуты в процессе обучения каждой учебной дисциплине. К метапредметным результатам относятся, в частности, «универсальные 
учебные действия» (УУД), для формирования которых разработана 
специальная программа. УУД — это система действий учащегося, 
обеспечивающая социальную компетентность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию самостоятельной учебной деятельности, способность учащегося 
к саморазвитию посредством сознательного и активного присвое 
ния 
нового социального опыта. В соответствии с функциями УУД выделены четыре группы: 1) познавательные; 2) регулятивные; 3) коммуникативные; 4) личностные. Согласно Стандарту, УУД должны 
являться целью обучения и формироваться при освоении учениками каждой предметной области с учётом её специфики. 
Организация процесса формирования УУД при обучении математике требует их систематизации, дифференциации, составления 
ориентировочной основы отобранных действий, включения их в 
процесс обучения, в неразрывной связи с усвоением учебной информации. Анализ познавательных действий, соотнесение их с содержанием школьного курса математики, показали следующее. 
1. Познавательные УУД при обучении алгебре и геометрии имеют 
определённую специфику, поэтому требуют отдельного рассмотрения.
2. Формирование познавательных УУД при обучении математике учащихся 7–9 классов целесообразно начинать при обучении гео

Введение 
7 
метрии, осуществляя перенос сформированных УУД в процесс обучения алгебре. 
3. В первую очередь следует формировать познавательные УУД, 
постепенно включая сформированные умения в процесс осознанной 
саморегуляции, что обеспечит формирование регулятивных УУД.
В данном пособии представлен один из возможных вариантов организации процесса формирования УУД при обучении геометрии. 
Пособие содержит четыре главы, включающие теоретическую и 
практическую части. В первых трёх главах рассматривается содержание всех видов УУД при обучении геометрии и примеры их формирования. Цель этих глав — теоретическая и практическая подготовка учителя к формированию УУД при обучении геометрии. 
Первая глава посвящена познавательным — важнейшим при обучении геометрии — УУД. Рассмотрены общеучебные и логические 
познавательные УУД, необходимые для освоения понятий, доказательства теорем и решения задач; показана их взаимосвязь. Отдельно рассматривается постановка и решение проблем при обучении 
геометрии, а также средства, необходимые (но недостаточные) для 
формирования этого действия: алгоритмизация и составление геометрических задач. Отдельный параграф отведён теоретическим основам становления познавательных УУД при обучении геометрии.
Во второй главе обосновано, что познавательные УУД должны постепенно включаться в структуру регуляторного процесса, основой 
которого являются регулятивные УУД. Рассматривается регуляция 
деятельности при обучении геометрическим понятиям и теоремам, 
при обучении решению задач приводятся соответствующие примеры. 
В третьей главе рассмотрена специфика коммуникативных 
и личностных УУД при обучении геометрии, их взаимосвязь с познавательными и регулятивными УУД. 
Четвёртая глава содержит систему обогащающих упражнений — 
 
основное средство введения и становления познавательных УУД 
в неразрывной связи с изучением учебной информации. Наборы 
упражнений составлены в соответствии с программой школьного 
курса геометрии 7–8 классов и могут использоваться при работе по 
любому учебнику геометрии. В зависимости от индивидуальных особенностей учащихся класса, а также имеющегося времени упражнения могут использоваться полностью или частично в различных 
вариантах: как самостоятельные работы, выполняемые группой 
учеников или учеником; как задания, которые учитель использует 
при объяснении нового материала в ходе коллективной работы; как 
задания для домашней работы. 

Введение
«Школа должна научить ребёнка учиться!» — это заявление 
звучит давно и постоянно. Однако научить школьника учиться невозможно без формирования метапредметных действий. Стандарт 
второго поколения требует реализации этого лозунга на  практике. 
Внедрение Стандарта предъявляет к учителю новые требования, 
связанные с дополнительными профессиональными знаниями и 
умениями, на базе которых учитель сможет решить задачу формирования УУД при обучении математике. 
В пособии используются следующие сокращения: 
ПУД  — познавательные универсальные учебные действия; 
ПЛД  — познавательное логическое универсальное учебное действие (действия); 
ПОД  — познавательное общеучебное универсальное учебное действие (дейст 
вия); 
РУД  — регулятивное универсальное учебное действие (действия); 
УПД  — учебно-познавательная деятельность. 
Задания обогащающих работ снабжены значками, обозначающими те УУД, на формирование которых направлено данное задание: 
      — познавательные; 
      — регулятивные; 
      — коммуникативные; 
      — личностные. 
Автор надеется, что содержание данного пособия поможет учителю решить непростую задачу формирования УУД при обучении геометрии.

Г
лава 1
ɉɨɡɧɚɜɚɬɟɥɶɧɵɟ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɵɟ 
ɭɱɟɛɧɵɟ ɞɟɣɫɬɜɢɹ 
ɜ ɨɛɭɱɟɧɢɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ
В главе рассматриваются следующие теоретические вопросы:
 
z способы преобразования учебной информации школьного курса геометрии как основа познавательных общеучебных действий; 
 
z операциональный состав познавательных общеучебных и логических учебных действий, необходимых для усвоения геометрии, их взаимосвязь;
 
z связь познавательного учебного действия «постановка и решение проблем» с проблемным обучением;
 
z использование геометрических задач, подлежащих алгоритмизации (особому способу преобразования информации), для 
формирования учебного действия «постановка и решение проблем»; 
 
z составление задач учениками как средство формирования учебного действия «постановка и решение проблем»;
 
z взаимосвязь компонентов проблемного обучения и познавательных учебных действий при обучении геометрии;
 
z формирование познавательных учебных действий при обучении геометрии.
§ 1.1. ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɩɨɡɧɚɜɚɬɟɥɶɧɵɯ 
ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɵɯ ɭɱɟɛɧɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɣ
1.1.1. Понятие познавательных универсальных учебных действий. 
Под познавательными действиями понимают такие, которые обеспечивают познание — умственный творческий процесс получения 
и постоянного обновления знаний, необходимых человеку. В психологии познание обозначает способность к умственному восприятию 
и переработке внешней информации. Результатом процесса позна

Глава 1
вательных действий [3, 47]. В соответствии с деятельностным подходом, действие представляет перечень операций, специально организованных для решения задач определённого типа разной степени 
обобщённости. Известный российский психолог Н. А. Менчинская 
отмечала, что действие, усвоенное учащимся в процессе учебно-познавательной деятельности, становится умением [4]. 
В соответствии с программой формирования УУД, к познавательным действиям относятся: общеучебные, логические учебные действия и постановка и решение проблем. Их функция — обеспече 
ние 
успешности усвоения знаний, умений и навыков. Познавательные 
общеучебные действия (ПОД) направлены на поиск необходимой 
информации, структурирование информации и знаний, на выполнение знаково-символических действий, в том числе моделирования; 
на выбор способов решения задач [2]. 
Поиск необходимой информации при обучении математике ученики осуществляют при работе с учебной и дополнительной литературой. В настоящее время информация может быть представлена на 
бумажных и электронных носителях, в том числе в сети Интернет. 
Успешное использование интернет-ресурсов при освоении математики предполагает наличие у ученика следующих основных умений: 
 
z осуществлять поиск информации о существующих учебных ресурсах (образовательных порталах, сайтах и др.); 
 
z использовать информационно-поисковые системы: электронные каталоги библиотек, поисковые системы в Интернете 
и т. п., электронные словари и энциклопедии для поиска и получения информации; 
 
z использовать автоматизированные обучающие системы; 
 
z составлять собственный, собранный самостоятельно, каталог 
учебных и научных интернет-ресурсов. 
Формирование указанных умений является задачей процесса 
обучения информатике. Однако нацеленность процесса обучения 
математике на использование ресурсов для организации самостоятельной работы учеников вносит свой вклад в совершенствование 
указанных умений и качества усвоения содержания математики. 
В любом случае информация, полученная в результате поиска, — это текстовая информация, которую ученику необходимо самостоятельно переработать, для чего и необходимы познавательные 
общеучебные действия. Переработка информации включает в себя её 
преобразование. Преобразование как интерпретация, организация 
знаний связана со знаково-символической деятельностью человека, 
в результате которой информация представляется в виде модели. 
В процессе преобразования информации происходит её запомина