Методика формирования универсальных учебных действий при обучении алгебре

 
Л. И. Боженкова
МЕТОДИКА  
ФОРМИРОВАНИЯ
УНИВЕРСАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ  
АЛГЕБРЕ
3-е издание, электронное 
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 512
ББК 22.141
Б76
Боженкова Л. И.
Б76
Методика
формирования
универсальных
учебных
действий
при
обучении
алгебре
/
Л. И. Боженкова. — 3-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2024. — 243 с. — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-748-0
Цель книги — помочь учителю математики сформировать
у учеников универсальные учебные действия при обучении
алгебре, что отражает задачу, сформулированную в Федеральном государственном образовательном стандарте общего
образования второго поколения.
Для
учителей
математики
школ,
лицеев,
колледжей,
а также студентов и аспирантов математических факультетов
педагогических вузов.
УДК 512
ББК 22.141
Деривативное издание на основе печатного аналога: Методика формирования универсальных учебных действий при
обучении
алгебре
/
Л. И. Боженкова. — М.
:
Лаборатория
знаний, 2016. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-906828-54-5.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-748-0
© Лаборатория знаний, 2016

Оглавление
Введение.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Глава 1. Основные
идеи
построения
современного
российского
общего образования и их отражение в обучении математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 1. Предпосылки разработки ФГОС второго поколения . .
9
§ 2. Системно-деятельностный
подход — основа
реализации ФГОС общего образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 3. Требования
к
результатам
освоения
основной
образовательной программы основного общего образования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Глава 2. Сущность новых образовательных результатов изучения
математики в основной школе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 4. Цели и результаты обучения математике. . . . . . . . . . . . .
28
4.1. Цели обучения математике: вчера и сегодня . . . .
28
4.2. Виды и содержание результатов освоения ООП
школьного курса математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 5. Типовые задания для формирования УУД в процессе
обучения алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.1. Составление схемы определения понятия (ТЗ №1) 42
5.2. Составление набора объектов для подведения под
понятие (ТЗ №2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.3. Составление схемы взаимосвязи понятий (ТЗ №3) 48
5.4. Составление
предписания
для
решения
задач
определённого типа (ТЗ №4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.5. Составление информационной схемы (ТЗ №5) . .
53
5.6. Составление схемы поиска решения задачи, доказательства теоремы (ТЗ №6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Оглавление
Глава 3. Планируемые результаты обучения содержательно-методическим линиям курса алгебры и их достижение в условиях
реализации ФГОС ООО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 6. Понятие
содержательно-методических
линий
курса
алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 7. Числовая линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.1. Введение понятия новых чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.2. Сравнение, округление и выполнение действий
с числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
7.3. О свойствах числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 8. Линия тождественных преобразований. . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.1. Основные
понятия
линии
тождественных
преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.2. Основные тождества и их доказательства . . . . . . . .
85
8.3. Алгоритмы
выполнения
тождественных
преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
§ 9. Линия уравнений и неравенств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1. Основные
понятия
линии
уравнений
и
неравенств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2. О
введении
понятий
конкретных
типов
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3. Преобразования
и
решение
уравнений,
неравенств, их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.4. Регулятивная деятельность учащихся при решении уравнений и неравенств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5. Уравнения как математические модели процесса
решения текстовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
§ 10. Функциональная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.1. Основные понятия функциональной линии. . . . . 141
10.2. Функция как представитель класса функций
и отдельно взятая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Глава 4. Проектирование процесса обучения алгебре на
уровне
учебной темы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 11. Теоретико-деятельностное
проектирование
процесса
обучения алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 12. Проектирование как составная часть подготовки учителя к обучению теме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.1. Иллюстрация процесса проектирования обучения теме школьного курса алгебры в условиях
реализации ФГОС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2. Система уроков по изучаемой теме . . . . . . . . . . . . . 179
12.3. Фрагмент урока ученического целеполагания . . 183
12.4. Фрагмент урока открытия новой учебной информации и формирования познавательных УУД
при решении учебных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Оглавление
5
12.5. Схема урока обобщения и систематизации знаний
по
теме
«Уравнения,
содержащие
знак
модуля». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§ 13. Оценка достижений учащихся в изучении алгебры
в условиях реализации ФГОС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Приложения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Приложение 1. Результаты российских учащихся в различных международных исследованиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Приложение 2. Связь личностных характеристик ученика
с видами результатов освоения ООП . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Приложение 3. Список универсальных учебных действий
(УУД) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Приложение 4. Содержание и структура коммуникативной
компетентности,
формируемой
при
обучении
математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Приложение 5. Общие цели школьного математического
образования (1980–2004 гг.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Приложение 6.
Предметные
результаты
освоения
ООП
предметной
области
«Математика
и
информатика»
(алгебра) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Приложение 7.
Приёмы
регуляции
УПД
при
освоении
математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Приложение 8. Числовая линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Приложение 9. Линия тождественных преобразований . . . . 223
Приложение 10. Линия уравнений и неравенств. . . . . . . . . . . 226
Приложение 11. Таблица для поурочного тематического
планирования темы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Приложение 12. Логико-дидактический анализ содержания
темы школьного курса математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Приложение 13. Карта изучения темы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Приложение 14. Таблица для индивидуального планирования изучения темы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Приложение 15.
Результаты
выполнения
заданий
ОГЭ
(модуль «Алгебра»). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Приложение 16. Указатель таблиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Список литературы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Введение
Современная образовательная модель, ориентированная на реализацию ФГОС ООО (Стандарт), предполагает внедрение новых
подходов
к
организации
процесса
обучения,
обеспечивающих
выполнение
социального
заказа
общеобразовательной
школой.
Введение Стандарта влечёт изменение функций и содержания
деятельности
учителя.
На
первое
место
выдвигается
его
инновационная
деятельность,
творческий
подход
к
выполнению
своих профессиональных функций, ориентированных на получение
обучающимися новых образовательных результатов.
Цель данного пособия — способствовать формированию и развитию профессиональной компетентности действующего и будущего
учителя математики в плане подготовки к реализации ФГОС ООО.
В книге представлен один из возможных вариантов подготовки
учителя к реализации ФГОС ООО в обучении школьному курсу алгебры. Под этим курсом понимается учебный предмет, изучаемый
учащимися 7–9 классов общеобразовательной школы. Аналогичный вариант, реализованный в процессе обучения геометрии,
разработан на основе авторской концепции интеллектуального
воспитания учащихся [29].
В пособии представлены традиционные содержательные линии:
числовая, тождественные преобразования, уравнения и неравенства, функциональная.
Оно включает четыре главы, список литературы и приложения
ко всем главам. Каждая глава завершается заданиями для самостоятельной работы, выполнение которых способствует закреплению
теории, рассмотренной обучающимися.
Согласно современным подходам к целеполаганию, в первой
главе
перечислены
уровни
целей
школьного
математического
образования и охарактеризован первый уровень: теоретического
представления учебного предмета математики (цели-ориентиры).
Во второй главе рассмотрен второй уровень целей, который
представлен двумя группами планируемых результатов изучения
школьного курса математики: в познавательной и эмоциональноценностной областях. Эти результаты являются конкретизацией

Введение
предметных, метапредметных и личностных результатов изучения
математики. Необходимым условием достижения этих результатов
является
выполнение
учениками
типовых
учебных
заданий,
которые иллюстрируются на содержании курса математики пятых
и шестых классов.
Такая иллюстрация сделана сознательно, для показа возможностей осуществления преемственности на уровне видов учебнопознавательной деятельности учащихся при изучении математики
и алгебры.
В третьей главе представлены планируемые результаты изучения основных содержательно-методических линий курса алгебры,
соответствующие
целям
обучения
математике
на
следующем
уровне.
В
главе
рассмотрены
основные
особенности
обучения
каждой из этих линий в контексте достижения планируемых
результатов.
В четвёртой главе рассматривается теоретико-деятельностное
проектирование процесса обучения алгебре на уровне учебной
темы. Оно адекватно отражает идеи системно-деятельностного
подхода. Планируемые результаты изучения тем курса алгебры
представлены в познавательной и эмоционально-ценностной областях. Это уровень реального процесса освоения обучающимися
школьного
курса
алгебры.
На
этом
уровне
решается
задача
формирования
универсальных
учебных
действий,
происходит
достижение учащимися планируемых результатов — предметных,
метапредметных
и
личностных.
В
главе
рассмотрена
система
обучения теме школьного курса алгебры и иллюстрации отдельных
наиболее важных фрагментов уроков алгебры, организованных
в соответствии с ФГОС ООО. Глава заканчивается демонстрацией
связи планируемых результатов изучения курса алгебры с критериально-ориентированным оцениванием. Представлены различные
виды и формы этого оценивания: итоговое — внешнее и внутреннее.
В
рамках
текущего
оценивания
рассмотрены
формирующее,
связанное с самооценкой, и суммирующее оценивание достигнутых
результатов изучения алгебры.
«Общее образование может создать человека будущего, человека
творческого, созидателя всего нового и нравственно отвечающего
за всё, что будет создаваться», — это слова крупнейшего русского
учёного
ХХ в.,
историка,
филолога,
гуманиста
Д. С. Лихачёва
[54: с. 299]. Создание такого человека невозможно без учителя,
обладающего профессиональными компетенциями, на базе которых возможна реализация идей ФГОС в обучении математике,
в частности алгебре.
Автор надеется, что данное пособие поможет учителю математики
в
решении
непростой
задачи
развития
и
воспитания
высоконравственной
личности,
стремящейся
и
способной
к
самосовершенствованию,
к
самообразованию
в
современном
информационном обществе знаний.

ГЛАВА 1
Основные идеи построения
современного российского общего
образования и их отражение
в обучении математике
В главе рассматриваются следующие теоретические вопросы:
• состояние и целевые установки развития школьного математического образования в России;
• суть системно-деятельностного подхода в обучении, являющегося основой реализации ФГОС;
• характеристика
результатов
освоения
основной
образовательной
программы
основного
общего
образования,
для
некоторых
приведены
примеры
в
контексте
школьного
предмета математики.
§ 1.
Предпосылки разработки ФГОС
второго поколения
Направления
развития
образования
XXI в.
определяются
запросами
общества,
движением
к
информационному
обществу,
а
также
внешними
факторами:
Болонский
процесс
в
Европе
и официальное присоединение к нему России; вступление России
в
ВТО.
Внешние
факторы
определяют
внутренние
изменения
в российском обществе, в частности, модернизацию российского
образования
(введение
ЕГЭ, реализация
приоритетного
национального проекта «Образование», национальной образовательной
инициативы «Наша новая школа», Федеральной целевой программы развития образования на 2011–2015 гг.), обусловленную
требованиями информационного общества.
Информационное общество — это вид постиндустриального общества, новая историческая фаза развития цивилизации, «специфическая форма социальной организации, в которой новые
технологии генерирования, обработки и передачи информации
стали фундаментальными источниками производительности и власти» [45: с. 29]. Информационное общество, к которому движутся
все
развитые
страны,
предъявляет
к
человеку
определённые
требования. Личность в этом обществе понимается как субъект,
реализующий
свой
интеллектуальный
потенциал
в
социуме,

Глава 1. Основные идеи построения современного образования
в информационно-образовательной среде, взаимодействуя с информационными ресурсами, используя современные информационнокоммуникативные технологии. Это предполагает, в частности,
высокий
уровень
«информационного
сознания»
при
широком
доступе к информации, противодействие негативной информации,
что посильно только интеллектуально развитому человеку.
В интеллектуальное становление личности неоценимый вклад
вносят специфические черты математики как науки и как учебного
предмета. Математика занимает особое место в науке, культуре
и общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса. Отечественные
ведущие учёные-математики и методисты, рассматривая перспективы развития математического образования в России, считают,
что успех нашей страны в XXI в. зависит от уровня математической
науки, математического образования и математической грамотности всего населения. Без высокого уровня математического
образования невозможна реализация долгосрочных целей и задач
социально-экономического развития Российской Федерации [47].
Каково же состояние математической подготовки современных
российских школьников? Приведём краткие результаты международных мониторинговых исследований качества математического
образования школьников TIMSS (Trends in Mathematics and Science
Study) и PISA (Programme for International Student Assesment),
обязательное участие в которых учащихся РФ предусмотрено
рамками Болонского процесса.
В проводимом один раз в четыре года исследовании TIMSS,
организатор
которого — Международная
ассоциация
по
оценке
образовательных достижений (IEA — International Association for
the Evaluation of Educational Achievement), участвуют российские
школьники 4-х и 8-х классов, при этом
проверяются
достижения учащихся начальной и основной школы. По качеству
математического и естественнонаучного образования российские
школьники находятся в первой десятке из более четырёх десятков стран мира (приложение 1). В то же время невысоки
результаты при выполнении заданий, составленных на материале
курса математики 5–6 классов российской школы. Российские
восьмиклассники не умеют эффективно применять полученные
знания
при
выполнении
нестандартных
заданий
по
алгебре,
связанных с выявлением закономерностей, разрешением проблем,
возникающих в реальной ситуации, описанной в условии задачи.
Это связано с тем, что обучение решению задач фактически
завершается в 5–6 классах, а в курсе алгебры не поддерживается
систематическим повторением и учащимся не предлагаются задачи
практического содержания [61].
Совсем
иные
результаты
показывает
проводимое
один
раз
в три года исследование PISA, которое осуществляется ОЭСР —
Организацией экономического сотрудничества и развития (OECD —