Сложные радикалы: достаточные условия, алгоритмы и технологии их рациона

Н.Н. Волотов 
СЛОЖНЫЕ РАДИКАЛЫ: ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ, 
АЛГОРИТМЫ И ТЕХНОЛОГИИ ИХ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ 
Золотая 
спираль 
Липецк - 2024 
Липецк – 2024

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИИ
̯ СКОИ
̯  ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
"ЛИПЕЦКИИ
̯  ГОСУДАРСТВЕННЫИ
̯  ПЕДАГОГИЧЕСКИИ
̯  УНИВЕРСИТЕТ 
имени П.П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО” 
Кафедра математики и физики 
Н.Н. Волотов 
СЛОЖНЫЕ РАДИКАЛЫ: ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ, 
АЛГОРИТМЫ И ТЕХНОЛОГИИ ИХ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
Липецк - 2024 
Липецк – 2024

УДК  511.14  
ББК  22.10 
В 68 
Рекомендовано 
к 
печати 
кафедрой 
математики 
и 
физики 
ЛГПУ 
имени 
П.П. 
Семенова-Тян-Шанского. 
Протокол №6 от 12.03. 2024 г.
В 68 Волотов, Н.Н. Сложные радикалы: достаточные условия, 
алгоритмы и технологии их рационализации: учебное пособие /  
Н.Н. Волотов. – 2-е изд., дополненное. – Липецк: ЛГПУ имени
П.П. Семенова-Тян-Шанского, 2024. – 174 с. 
ISBN 978-5-907792-47-0 
Пособие предназначено как обучающимся, так и учителям математики 
средних учебных заведении̮
 
и 
преподавателям 
математических 
дисциплин 
физико-математических и технических ВУЗов для проведения всех видов 
образовательных занятии̮
 с учащимися на разных этапах их обучения и при 
подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. В неDžм: систематизируются 
сведения о рационализации сложных квадратных радикалов; изложены 
результаты исследования 
автора 
по выявлению 
достаточных 
условии̮, 
алгоритмов и технологии̮ рационализации сложных квадратных и сложных 
кубических радикалов, их сумм, квадратов таких сумм и произведении̮
, в том 
числе и с параметрами, на множестве вещественных чисел. Приведены: 
примеры, решаемые с помощью этих алгоритмов; вариативные методы, в 
том числе и методы Кардано и Феррари, решения рациональных уравнении̮ 
третьеи̮
 и четвеDžртои̮
 степени, вещественные корни которых равны суммам и 
другим 
комбинациям 
сложных 
кубических радикалов; 
алгоритм 
рационализации 
сумм 
сложных 
кубических 
радикалов, базирующии̮ся 
на 
проверке корнеи̮ иррациональных уравнении̮; представления золотого числа 
сложными радикалами; алгоритм конструирования рациональных уравнении̮ 
четвеDžртои̮ степени с целыми коэффициентами, вещественные корни которых – 
нелинеи̮ные комбинации сумм сложных кубических радикалов. Рекомендовано 
также 
слушателям 
программ 
дополнительного 
профессионального 
образования соответствующего направления подготовки.
УДК  511.14 
ББК  22.10  
 В 68 
Рецензенты:  
Лев Николаевич Ляхов,  
доктор физико-математических 
наук, профессор,  
Воронежский государственный университет; 
Владимир Анатольевич Калитвин,  
кандидат физико-математических наук,  
доцент, ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского 
ISBN 978-5-907792-47-0 
© ФГБОУ ВО "Липецкий государственный      
педагогический 
университет 
имени 
П.П. Семенова-Тян-Шанского", 2024 
© Н.Н. Волотов, 2024 

Посвящается светлой памяти
жены Валентины Николаевны – Учителя от Бога,
Заслуженного учителя школы Российской Федерации,
кавалера орденов Знак Почёта и Трудового Красного Знамени,
мамы Аграфены Захаровны и отца Николая Ивановича,
брата Василия, бабушек и дедушек – Нины Лазаревны,
Василисы Исидоровны и Ивана Лазаревича Волотовых,
Марии Игнатьевны и Захара Трофимовича Суворовых
П р е д и с л о в и е
Работа посвящена проблеме рационализации сложных радикалов. Она
является дополненным переизданием пособия [9] и состоит из двух глав,
содержащих десять параграфов, и приложения. Проблема рационализации
сложных кубических радикалов в такой постановке, как это представлено
здесь, не рассматривалась в опубликованных до 2015 года научных и учебнометодических работах отечественных учёных.
Всюду далее символами N, Z, Q, Q+, Q−, J, J+, R, R+ и C обозначены
множества натуральных, целых, рациональных, положительных рациональных, отрицательных рациональных, иррациональных, положительных иррациональных, всех вещественных, вещественных положительных и комплексных чисел, соответственно.
В первой главе работы систематизируются сведения о рационализации
сложных квадратных радикалов (коротко: СКвР) – иррациональных чисел
b), появляющихся при
a ± n
√
b (a, b ∈Q+, n ∈N :
√
b ∈J, a > n
√
вида
p
решении рациональных уравнений чётной степени с одной переменной. При
некоторых значениях параметров a, n и b такие числа допускают рационализацию. Задачи на их рационализацию и решения можно найти во многих
учебно-методических пособиях и школьных учебниках по математике: – см.,
например, [1], [8], [9], [13], [15], [17], [19], [20], [22], [23], [29]-[36]. [38]-[40]. В
её первом параграфе проведён анализ некоторых известных утверждений
3

по этой проблеме, приведены три новые теоремы о достаточных условиях
рационализации СКвР, два алгоритма и решения соответствующих примеров;
во втором – рассмотрены общие сведения о методах решения уравнений,
содержащих неизвестные величины под знаками сложных квадратных радикалов, и вариативные методы решения конкретных уравнений такого вида; в
третьем – приведены примеры на рационализацию выражений из цитируемых
источников, а также составленные автором, и уравнения, содержащие СКвР,
– с решениями и ответами, либо с краткими указаниями к их решению и
ответами, либо только с ответами.
В основной, второй главе рассматривается проблема рационализации
a ±
√
b (a ∈R\{0}, b ∈R+ :
√
a ±
√
b ∈J)−сложных
чисел вида
3
p
b,
3
p
кубических радикалов (коротко: СКубР), их сумм и других комбинаций.
Рассмотрев работы [1], [13], [15], [17], [20]-[23], [29], [30], [32]-[36], [38],
[40], в которых встречаются решения задач на рационализацию сложных
кубических радикалов и их сумм для некоторых конкретных пар чисел
(a; b) (a ∈N, b ∈Q+), мы не нашли таких работ, где была бы поставлена и,
тем более, решалась проблема о достаточных условиях рационализации и
алгоритмах нахождения пар чисел (a; b), при которых суммы таких СКубР,
или сами они, допускают рационализацию. Доказательства, - проверка того,
что сумма СКубР допускает (или не допускает?) рационализацию, - там
проводились лишь одним способом, в основе которого лежит возведение
доказываемого равенства в третью степень. Краткие сведения о имеющихся
в них результатах и указанный способ (алгоритм (А)) приведены в § 4.
§ 5, второй параграф этой главы, носит справочный характер: в нём
приведены некоторые стандартные методы решения рациональных уравнений
и решения рациональных уравнений третьей степени методом Кардано.
В параграфах 6-10 изложены результаты исследования автора ([1]-[11])
по выявлению достаточных условий рационализации и алгоритмов конструирования сложных кубических радикалов, в том числе и с параметрами,
таких, что они сами, их суммы и произведения допускают рационализацию
или даже равны рациональным числам на множествах рациональных и
4

вещественных чисел: – две леммы, десять теорем, следствия, соответствующие
алгоритмы и технологии их применения, замечания и решения примеров:
– вариативные методы, в том числе и метод Кардано, решения рациональных кубических уравнений, вещественные корни которых равны суммам
сложных кубических радикалов;
– лемма и теоремы о достаточных условиях рационализации СКубР, их
сумм, вторых и четвёртых степеней этих сумм, следствия из них;
– четыре алгоритма нахождения таких значений параметров a и b, при
которых суммы двух соответствующих СКубР, их вторые и четвёртые
степени, произведения и другие линейные комбинации равны рациональным
числам или допускают рационализацию на множестве рациональных чисел;
– метод рационализации сумм СКубР, базирующийся на проверке корней
иррациональных уравнений; содержащих сложные кубические радикалы;
– теоремы и алгоритмы о представлении сложных кубических радикалов
на множествах рациональных и вещественных чисел в виде алгебраической
суммы рационального числа и простого квадратного корня из рационального
числа;
– представления золотого числа сложными радикалами второй, третьей,
шестой и девятой степени;
– теорема и алгоритм рационализации сложных кубических радикалов с
параметрами и их сумм на множестве вещественных чисел;
–теорема о достаточных условиях существования и алгоритм конструирования рациональных уравнений четвёртой степени и нахождения их вещественных корней – алгебраических чисел, представимых в виде нелинейной
комбинации сложных кубических радикалов;
– решения рациональных уравнений четвёртой степени методом Феррари;
– технологии применения найденных алгоритмов к решению большого количества примеров соответствующего содержания;
–вопросы и упражнения для самостоятельного решения.
Позитивное качество алгоритмов, указанных во второй главе, состоит в
том, что они позволяют конструировать рациональные уравнения третьей
5

и четвёртой степени, среди корней которых имеются алгебраические числа,
равные суммам и другим комбинациям сложных кубических радикалов,
допускающим рационализацию, и находить эти уравнения и их корни.
Решения рациональных уравнений третьей (см. § 5) и четвёртой (см. § 10)
степени методами Кардано и Феррари раскрывают сущность этих методов
и позволяют находить не только вещественные, но и комплексные корни
таких уравнений.
В разделе "Приложение"содержатся задачи на упрощение иррациональных выражений и на нахождение вещественных корней иррациональных
уравнений, линейных относительно сложных – квадратных или кубических
радикалов из цитировнных работ, других известных сборников конкурсных
и олимпиадных задач по математике. Для некоторых из них приведены
наши вариатиные методы решения, методические указания, ответы.
Наряду с результатами исследования автора укажем значимую, с научнометодической точки зрения, работу [18], где рассматривается один из способов
b, суммы
a ±
√
конструирования таких сложных кубических радикалов
3
p
пар которых допускают рационализацию для натуральных чисел a, b.
Автор глубоко признателен: профессорам Ляхову Л.Н. и Околелову О.П.,
доцентам Калитвину В.А., Мицуку С.В. и Скудневу Д.М. – за ценные советы
и проявленное внимание в процессе работы над рукописью; учителям школ
г. Липецка Волотовой В.В. и Насоновой Е.В. – за участие в решении примеров,
вошедших в первый и седьмой параграфы пособия.
P. S. Задачи на рационализацию выражений, содержащих радикалы,
всегда составляли весомую долю образовательных курсов школьной и вузовской математики. Они способствуют развитию познавательной деятельности
и творческих способностей детей. Поэтому это пособие будет полезно как
обучающимся, так и учителям математики средних учебных заведений и
преподавателям математических дисциплин физико-математических и технических ВУЗов при проведении всех видов образовательных занятий с учащимися на разных этапах их обучения, при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам
по математике.
6

Глава I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ТЕХНОЛОГИИ
РАЦИОНАЛИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ КВАДРАТНЫХ
РАДИКАЛОВ
§ 1. Сложные квадратные радикалы
. При решении рациональных уравнений чётной степени одной переменной
с вещественными коэффициентами иногда появляются числа вида
b;
√
a ± n
√
b (a, b ∈Q+, n ∈N : a > n
√
a ± n
√
b ∈J),
(1)
b,
p
p
называемые сложными квадратными радикалами (коротко: СКвР). Здесь
условие a > n
√
b обеспечивает существование и отличие от нуля на множеb. При некоторых значениях
a −n
√
стве R
иррационального числа
p
входящих в них параметров a, n и b такие числа допускают рационализацию
– представление в более простом виде. Соответствующие примеры на рационализацию СКвР и методы их решения можно найти во многих учебнометодических пособиях и школьных учебниках по математике: – см., например, [1], [13], [15]-[20], [22], [23], [29] -[36], [38]-[40]. В частности, такими
числами будут корни уравнений
1) (x2 + x −3)2 + 2x2 + 2x −10 = 0,
2) x4 −14x2 + 9 = 0.
Действительно, эти уравнения не имеют рациональных корней: по теореме о рациональных корнях полинома с целыми коэффициентами ими могли
бы быть: для первого – только числа ±1, а для второго – ±1, ±3, ±9.
Первое уравнение введением новой переменной t = x2 + x −3 сводится
5. Значит,
к уравнению t2 + 2t −4 = 0, корни которого t1,2 = −1 ±
√
(x2+x−3)2+2x2+2x−10 = 0 ⇔x2+x−(2−
√
5) = 0; x2+x−(2+
√
5) = 0 ⇔
5
5
5+3
5
9∓4
√
5−3
2
; x2 =
√
2
; x3 =
√
2
, так
⇔x1,2,3,4 = −1±√
2
⇔x1 = 1−
√
−2 ; x4 = 1+
√
5 + (
√
5)2 = (
√
как дискриминанты D1,2 = 9 ∓4
√
5 = 22 ∓2 · 2 ·
√
5 ∓2)2
5) = 0 положиквадратных уравнений x2 + x −(2 −
√
5) = 0, x2 + x −(2 +
√
тельны и, кроме того, полученные здесь сложные квадратные радикалы
9 ± 4
√
(2 ±
√
5)2 = |2 ±
√
5| =
√
5 ± 2.
5 =
q
допускают рационализацию:
p
7

Из второго уравнения, полагая в нём x2 = t (t > 0), получим квадратное
10.
уравнение t2 −14t + 9 = 0, имеющее вещественные корни t1,2 = 7 ± 2
√
10,
7 ± 2
√
представляющие собой сложные квадратные радикалы. При этом нетрудно
Значит, корнями исходного уравнения являются числа x1,2,3,4 = ±
p
2).
видеть, что эти числа допускают рационализацию: x1,2,3,4 = ±(
√
5 ±
√
10 = (
√
5+(
√
5)2 = (
√
5)2, то
Действительно, так как 7±2
√
2)2±2·
√
2·
√
2±
√
7 + 2
√
2 +
√
2 +
√
5
7 −2
√
10 = |
√
2 −
√
5| =
√
5 −
√
10 = |
√
5| =
√
7 + 2
√
5 +
√
2).
p
2,
p
7 −2
√
10 = ±(
√
5 −
√
10 = ±(
√
и потому ±
p
2),
±
p
Замечание 1. Решая первое уравнение, мы получили, что положительный
9+4
√
5
2
уравнений
корень x = −1+√
5) = 0
(x2 + x −3)2 + 2x2 + 2x −10 = 0, x2 + x −(2 +
√
9+4
√
5
5
равен золотому числу:
−1+√
2
= 1+
√
2
.
9 + 4
√
7 + 2
√
10 = 2
√
5,
9 −4
√
7 −2
√
Не менее интересен и тот факт, что
q
5 +
q
5 =
q
10 +
q
являющийся частным случаем утверждения 1: для любого вещественного
положительного числа a = a1 + b1 (a1, b1 ∈R+) справедливы равенства
a1 · b1 =
(
2 √a1 при a1 > b1 > 0,
b1 при b1 > a1 > 0.
q
a1 · b1 +
q
a + 2
p
a −2
p
2
p
b1 )2,
и формул квадратов суммы и разности двух положительных чисел.
−Его доказательство следует из того, что a = a1 +b1 = (√a1 )2+(
p
п. 1.1.
О достаточных условиях и методах рационализации
сложных квадратных радикалов. Задачи на рационализацию сложных
квадратных радикалов имеют далёкую историю – (см., например, [16]).
Ниже проведём анализ некоторых известных утверждений по этой проблеме,
приведём алгоритмы и новую теорему о достаточных условиях рационализации СКвР.
Очевидно, что рационализация сложных квадратных радикалов вида
(1) возможна лишь тогда, когда числа, стоящие в них под знаками внешних
8

квадратных корней, представимы в виде квадратов алгебраических сумм
двух вещественных чисел, из которых, по крайней мере, одно - иррациональное.
Рассмотрим три способа решения таких задач.
1-й способ рационализации СКвР. Нетрудно видеть, что из равенств
b;
√
a ± n
√
b = (x ± y)2 (a, b ∈Q+, n ∈N : a > n
√
b, a ± n
√
b ∈J),
учитывая, что (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2, следует утверждение 2:
для
рационализации сложных квадратных радикалов (1) достаточно, чтобы
система уравнений
b,
b)
(2)
b ∈J, a > n
√
x2 + y2 = a
(a, b ∈Q+, n ∈N :
√
(
2xy = n
√
имела решение на множестве рациональных чисел; при этом справедливо
соответствующее из равенств
a ± n
√
b = |x ± y|;
(3)
p
(здесь и всюду далее, там, где в обеих частях равенств стоит сдвоенный
символ ”±", следует одновременно брать один и тот же соответствующий
знак: "+”, или "−").
Тем самым, в соответствии с утверждением 2 становится очевидным
1-й алгоритм рационализации СКвР:
для решения задачи надо
составить систему уравнений (2) и решить её одним из стандартных методов:
- либо методом подстановки, исключая одну из величин x или y;
- либо методом проб: исходя из первого уравнения системы, следует
рассмотреть все возможные представления числа n
√
b в виде удвоенного
произведения двух вещественных чисел; по крайней мере, одно из них будет
иррациональным. Если какая-нибудь из этих пар чисел (x; y) удовлетворяет и второму уравнению системы (2), то:
1) она будет её решением; 2) рационализация данных сложных квадратных
радикалов возможна, при этом их можно представить по формуле (3).
Заметим, что решение системы (2) методом проб, как правило, рациональнее и потому предпочтительнее, чем методом подстановки.
9