Математика

 
 
 
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации  
Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования 
«Самарский государственный аграрный университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Е. В. Бунтова 
 
МАТЕМАТИКА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кинель 2021 
УДК 51 
ББК 22.1 
   Б91 
2 
 

 
 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой «Высшая математика», 
ФГБОУ ВО Самарский государственный университет путей сообщения, 
В. П. Кузнецов; 
д-р пед. наук, проф.,  зав. кафедрой «Высшая математика  
и экономико-математические методы», ФГБОУ ВО Самарский  
государственный экономический университет, 
С. И. Макаров 
 
 
Бунтова, Е. В. 
Б91  Математика : учебное пособие / Е. В. Бунтова. – Кинель : 
ИБЦ Самарского ГАУ, 2021. – 222 с. 
ISBN 978-5-88575-638-9 
 
Учебное пособие включает теоретические положения, решения типовых задач и задач прикладного характера по линейной алгебре, векторной алгебре, аналитической геометрии и математическому анализу. 
Учебное издание предназначено для студентов, обучающихся по 
направлению подготовки 21.03.02 «Землеустройство и кадастры» всех 
форм обучения. Рекомендовано для студентов направления подготовки 
«Агрономия», «Садоводство», «Лесное дело». 
 
 
УДК 51 
ББК 22.1 
 
 
ISBN 978-5-88575-638-9 
 
 
 
 
 
 
© ФГБОУ ВО Самарский ГАУ, 2021 
© Бунтова Е. В., 2021 
Предисловие  
 
Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, 
 оптика и других темно, сомнительно и недостоверно,  
математика сделала ясным, верным и очевидным.  
3 
 

М. В. Ломоносов 
 
Тенденцией развития образовательного процесса аграрных университетов является практическая направленность изучаемых дисциплин, 
что отражается в требованиях государственных образовательных стандартов высшего образования к подготовке специалистов сельского хозяйства: студент должен быть подготовлен к деятельности, требующей 
углубленной фундаментальной и профессиональной подготовки. Математика является основой для ряда профильных дисциплин аграрных университетов, т.е. является фундаментом для формирования профессиональных компетенций.  
Целью учебного пособия является повышение уровня фундаментальной математической подготовки студентов, совершенствование профессиональной подготовки студентов аграрных университетов.  
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования и программой курса математики для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 «Землеустройство и кадастры». Материал учебного пособия направлен на формирование у студентов  системы компетенций для решения профессиональных задач: по эффективному использованию знаний о едином объекте недвижимости для разработки управленческих решений; по использованию современных автоматизированных технологий сбора, систематизации, обработки и учета информации о земельных участках и объектах 
недвижимости; по использованию современных технологий топографогеодезических работ при проведении инвентаризации и межевания, землеустроительных и кадастровых работ, методов обработки результатов 
геодезических измерений, перенесения проектов землеустройства в натуру и определения площадей земельных участков.  
Каждый раздел пособия содержит: основные теоретические положения, формулы, определения, теоремы, подробные решения типовых 
задач различной степени сложности и контрольные вопросы.  
 
 
 
 
1. Основы линейной алгебры 
 
1.1. Матрицы. Определители квадратных матриц 
 
 Матрицы и действия над ними. Значительная часть математических моделей объектов и процессов записывается в простой 
и компактной форме – матричной.  
4 
 

Систему линейных алгебраических уравнений также представляют в матричной форме.  
Матрицей размера 𝑚× 𝑛 называется прямоугольная таблица 
чисел, содержащая m строк и n столбцов.  
Например, 
8
1
𝐴= (4
2
10
−8
). 
7
−1) ,                  𝐶= (
3
2
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. 
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: 𝐴, 𝐵, 𝐶,.., а элементы матрицы обозначаются строчными 
буквами с двойной индексацией  𝑎𝑖𝑗 (𝑖= 1,2, … 𝑚, 𝑗= 1,2, … , 𝑛),  
где i – номер строки, j – номер столбца.  В общем виде матрица 
имеет вид 
𝑎11
𝑎12
𝑎13
…
𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎22
𝑎23
…
𝑎2𝑛
𝑎31
𝑎32
𝑎33
…
𝑎3𝑛
𝐴=
 
 
 
 . 
…
…
…
…
…
(
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚3
…
𝑎𝑚𝑛)
Матрица может состоять из одной строки или одного столбца: 
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝐴=
 
 
 
 ,   𝐵= (𝑎11
𝑎12
𝑎13
…
𝑎1𝑛). 
…
(
𝑎𝑚1)
Матрица называется квадратной, если число строк m в матрице равно числу столбцов n.  
Например, матрицы вида 
1
0
−1
𝐴= (2
4
3
5
7
). 
6
8) ,    𝐵= (
−2
4
8
Элементы матрицы 𝑎𝑖𝑗, у которых номер столбца равен номеру строки 𝑖= 𝑗, называются диагональными. 
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.  
Например, 
(4
0
0
2). 
5 
 

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, а диагональные элементы равны единице, то матрица 
называется единичной и обозначается буквой E.  
Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид 
1
0
0
𝐸= (
0
1
0
). 
0
0
1
 При умножении матрицы на число образуется новая матрица, элементы которой получаются умножением каждого элемента 
исходной матрицы на это число 
𝐵= 𝜆∙𝐴, 
𝑏𝑖𝑗= 𝜆∙𝑎𝑖𝑗 (𝑖= 1,2, … 𝑚, 𝑗= 1,2, … , 𝑛). 
 Например, требуется получить матрицу 𝐵, умножив матрицу 
𝐴 на число пять, если матрица 𝐴 задана в виде 
  𝐴= (2
4
1
−1). 
Тогда, матрица 𝐵 принимает вид 
𝐵= 5 ∙(2
4
1
−1) = (10
20
5
−5). 
Таким образом, общий множитель всех элементов матрицы 
можно вынести за знак матрицы. 
Суммой двух матриц 𝐴 и 𝐵 одинаковых размеров называется 
матрица 𝐶 тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц 𝐴 и 𝐵, т.е. 
𝐴𝑚×𝑛+ 𝐵𝑚×𝑛= 𝐶𝑚×𝑛,
𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗 (𝑖= 1, 𝑚
̅
̅
̅
̅
̅
̅, 𝑗= 1, 𝑛
̅
̅
̅
̅
̅). 
Для матриц разных размеров операция сложения не определяется. 
Например, требуется найти матрицу  𝐶= 𝐴+ 𝐵, при условии, 
что заданы матрицы 𝐴 и 𝐵 
𝐴= (4
2
7
−1) ,   𝐵= ( 8
1
10
−8). 
Тогда матрица 𝐶 принимает вид 
𝐶= (4
2
7
−1) + ( 8
1
10
−8) = (12
3
17
−9). 
Произведением матриц 𝐴× 𝐵 называется новая матрица  𝐶, 
каждый элемент которой 𝑐𝑖𝑗 равен сумме произведений элементов 
i-й строки матрицы 𝐴 на соответствующие элементы j-го столбца 
матрицы 𝐵, т.е. 
𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖1𝑏1𝑗+ 𝑎𝑖2𝑏2𝑗+ ⋯+ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗;   𝑖= 1,2, … , 𝑚; 𝑗= 1,2, … , 𝑛. 
Элементы первой строки, новой матрицы получаются путем 
сложения произведений соответствующих элементов первой стро6 
 

ки первой матрицы и первого столбца (затем второго и т.д.) второй 
матрицы. Аналогично получается вторая, третья, … m-я строка 
новой матрицы.  
Например, требуется найти произведение двух матриц: 
4
1
1
1
−1
0
(
) × (
3
8
1
3
4
1
) =  
1
0
1
3
5
1
4 ∙1 + 1 ∙3 + 1 ∙3
4 ∙(−1) + 1 ∙4 + 1 ∙5
4 ∙0 + 1 ∙1 + 1 ∙1
= (
3 ∙1 + 8 ∙3 + 1 ∙3
3 ∙(−1) + 8 ∙4 + 1 ∙5
3 ∙0 + 8 ∙1 + 1 ∙1
) = 
1 ∙1 + 0 ∙3 + 1 ∙3
1 ∙(−1) + 0 ∙4 + 1 ∙5
1 ∙0 + 0 ∙1 + 1 ∙1
10
5
2
= (
). 
30
34
9
4
4
1
Умножение матрицы на матрицу определено в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно числу строк во 
второй матрице. 
Например, 
2
0
(3
0
1
1
−1
) = 
4
−1
3) × (
4
1
= ( 3 ∙2 + 0 ∙1 + 1 ∙4
3 ∙0 + 0 ∙(−1) + 1 ∙1
4 ∙2 + (−1) ∙1 + 3 ∙4
4 ∙0 + (−1) ∙(−1) + 3 ∙1) = 
= (10
1
19
4). 
В общем случае 𝐴× 𝐵≠𝐵× 𝐴, даже если 𝐵× 𝐴 определено, 
т.е. умножение матриц не обладает переместительным свойством. 
Матрицы, для которых выполняется условие:  𝐴× 𝐵= 𝐵× 𝐴, 
называются перестановочными. 
Возведение матрицы в степень определяется только для 
квадратных матриц. Важно последовательное умножение матриц.  
Например, требуется найти 𝐴3 , если 𝐴= (1
−1
4
2 ), тогда 
𝐴2 = (1
−1
4
2 ) × (1
−1
4
2 ) = (−3
−3
12
0 ), 
𝐴3 = (−3
−3
12
0 ) × (1
−1
4
2 ) = (−15
−3
12
−12). 
Транспонирование матриц – переход к новой матрице 𝐴тр,  
в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением  
порядка: 
𝑎11
𝑎12
…
𝑎1𝑛
𝑎11
𝑎21
…
𝑎𝑚1
𝑎21
𝑎22
…
𝑎2𝑛
𝑎12
𝑎22
…
𝑎𝑚2
𝐴= (
),   𝐴тр = (
). 
…
…
…
…
…
…
…
…
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
…
𝑎𝑚𝑛
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
…
𝑎𝑚𝑛
7 
 

Например, 
1
3
0
1
4
8
𝐴= (
)  ,
𝐴тр = (
4
5
−2
3
5
−1
). 
8
−1
10
0
−2
10
 
 Определители n-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей. Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу 𝐴. Понятие определителя тесно связано  
с решением систем линейных уравнений. 
 Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме 𝑛!  членов, каждый из которых есть произведение 
n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак каждого члена определяют как (−1)𝑟, где  
r – число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов 
матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: 
𝑎11
𝑎12
…
𝑎1𝑛
𝑛
𝑎21
𝑎22
…
𝑎2𝑛
∆= |
 
| = ∑(−1)𝑟𝑎1𝑗1 ∙𝑎2𝑗2 ∙… ∙𝑎𝑛𝑗𝑛.
…
…
…
…
𝑗=1
𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
…
𝑎𝑛𝑛
С ростом n резко увеличивается число членов определителя 
(𝑛!). 
Обозначения определителя: ∆, 𝑑𝑒𝑡(𝐴), |𝐴|.  
Определителем матрицы второго порядка 
𝐴= (𝑎11
𝑎12
𝑎21
𝑎22), 
называется число 𝑑𝑒𝑡(𝐴): 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝑎11
𝑎12
𝑎21
𝑎22| = 𝑎11 ∙𝑎22 −𝑎21 ∙𝑎12. 
Например, определителем матрицы второго порядка 
𝐴= (−3
1
4
2) 
является   
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |−3
1
4
2| = −3 ∙2 −4 ∙1 = −10. 
Пусть дана квадратная матрица A n-го порядка. Минором 
𝑀𝑖𝑗 элемента 𝑎𝑖𝑗 матрицы n-го порядка называется определитель 
матрицы (𝑛−1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. 
Например, минором элемента 𝑎12  матрицы A третьего порядка 
8 
 

𝑎11
𝑎12
𝑎13
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝐴= (
) 
𝑎31
𝑎32
𝑎33
является определитель второго порядка: 
𝑀12 = |𝑎21
𝑎23
𝑎31
𝑎33| = 𝑎21 ∙𝑎33 −𝑎31 ∙𝑎23. 
Каждая матрица n-го порядка имеет 𝑛2 миноров (𝑛−1)-го 
порядка. 
Алгебраическим дополнением 𝐴𝑖𝑗 элемента 𝑎𝑖𝑗 матрицы n-го 
порядка называется его минор, взятый со знаком (−1)𝑖+𝑗:  
𝐴𝑖𝑗= (−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗, 
т.е.  алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма 
номеров строки и столбца (𝑖+ 𝑗)  – четное число, и отличается от 
минора знаком, когда (𝑖+ 𝑗) – нечетное число. 
Часто для вычисления определителей используется теорема 
Лапласа. Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их 
алгебраические дополнения: 
– разложение по элементам i-й строки, 𝑖= 1,2, … , 𝑛: 
𝑛
; 
∆= 𝑎𝑖1𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐴𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛= ∑𝑎𝑖𝑠𝐴𝑖𝑠
𝑠=1
  – разложение по элементам j-го столбца, 𝑗= 1,2, … , 𝑛: 
𝑛
 
∆= 𝑎1𝑗𝐴1𝑗+ 𝑎2𝑗𝐴2𝑗+ ⋯+ 𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑗= ∑𝑎𝑠𝑗𝐴𝑠𝑗.
𝑠=1
Например, разложение определителя третьего порядка по 
элементам первой строки: 
𝑎11
𝑎12
𝑎13
𝑎21
𝑎22
𝑎23
|
| = 
𝑎31
𝑎32
𝑎33
= 𝑎11(−1)1+1 |𝑎22
𝑎23
𝑎32
𝑎33| + 𝑎12(−1)1+2 |𝑎21
𝑎23
𝑎31
𝑎33| + 
+𝑎13(−1)1+3 |𝑎21
𝑎22
𝑎31
𝑎32|. 
Например, пусть требуется вычислить определитель квадратной матрицы 𝐴 третьего порядка с использованием теоремы 
Лапласа, если 
−1
1
−5
𝐴= (
3
2
3
). 
4
3
1
9 
 

Если используется разложение по элементам первой строки, 
то вычисление определителя выглядит следующим образом: 
−1
1
−5
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |
3
2
3
| = 
4
3
1
= −1 ∙(−1)2 |2
3
3
1| + 1 ∙(−1)3 |3
3
4
1| + (−5) ∙(−1)4 |3
2
4
3| = 
= −1 ∙(−7) −1 ∙(−9) −5 ∙1 = 11. 
Определители третьего порядка также вычисляются по правилу Саррюса суммированием шести произведений из трех элементов: 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎11 ∙𝑎22 ∙𝑎33 + 𝑎12 ∙𝑎23 ∙𝑎31 + 𝑎21 ∙𝑎32 ∙𝑎13 − 
−𝑎31 ∙𝑎22 ∙𝑎13 −𝑎12 ∙𝑎21 ∙𝑎33 −𝑎32 ∙𝑎23 ∙𝑎11. 
Свойства определителей: 
1) если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних 
нулей, то определитель матрицы равен нулю; 
2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы 
умножаются на число 𝜆, то определитель матрицы умножается на 
число 𝜆;  
3) при транспонировании матрицы ее определитель не изменяется; 
4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы, определитель матрицы меняет знак на противоположный; 
5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки 
(столбца), то определитель матрицы равен нулю; 
6) если элементы двух строк (столбцов)  матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю; 
7) сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой 
строки (столбца) этой матрицы равна нулю, то есть 
𝑛
, 𝑖≠𝑗; 
∑𝑎𝑖𝑠𝐴𝑗𝑠= 0
𝑠=1
8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой 
строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же 
число; 
9) сумма произведений произвольных чисел 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 на 
алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) 
равна определителю матрицы, полученной из исходной матрицы 
заменой элементов этой строки (столбца) на числа 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛; 
10 
 

10) определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. 
 
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений  
и методы их решений 
 
Определение системы линейных алгебраических уравнений. 
В общем виде система 𝑚 линейных уравнений с 𝑛 переменными 
записывается следующим образом 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛= 𝑏1,
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛= 𝑏2
{
, 
 … ,
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛= 𝑏𝑚,
где 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖(𝑖= 1,2, … , 𝑚; 𝑗= 1,2, … , 𝑛) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. В более краткой записи с помощью 
знаков суммирования система записывается в виде:  
𝑛
 
∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗= 𝑏𝑖  (𝑖= 1,2,3 … , 𝑚).
𝑗=1
Решением системы линейных алгебраических уравнений 
называется  совокупность 𝑛 чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. 
Система уравнений называется совместной, если она имеет 
хотя бы одно решение, и несовместной, если система не имеет 
решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если 
она имеет более одного решения. Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и 
то же множество решений.  
 
Решение систем линейных уравнений методом Крамера. 
Метод Крамера – метод решения систем линейных уравнений, у 
которых количество переменных равно количеству уравнений.   
Теорема Крамера: пусть ∆ – определитель матрицы 𝐴 системы уравнений, а ∆𝑗  – определитель матрицы, получаемой из матрицы  𝐴 заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, 
если ∆≠0, то система имеет единственное решение, определяемое  
формулами: 
𝑥𝑗= ∆𝑗
∆  (𝑗= 1,2, … , 𝑛). 
11