Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное  
учреждение высшего образования 
«Самарский государственный аграрный университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
О. Н. Беришвили, С. В. Плотникова 
 
 
Основы математического моделирования 
социально-экономических процессов 
 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кинель 2022 
1 
 

УДК 519.2 
ББК 74.58 
Б48 
 
Рекомендовано учебно-методическим советом Самарского ГАУ 
 
Рецензенты: 
д-р пед. наук, доцент, зав. кафедрой «Прикладная информатика»,  
ЧОУ ВО «Тольяттинская академия управления», 
Н. Б. Стрекалова; 
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой «Физика, математика  
и информационные технологии», ФГБОУ ВО Самарский ГАУ,  
Д. В. Миронов 
 
Беришвили, О. Н. 
Б48 Основы математического моделирования социально-экономических процессов : учебное пособие / О. Н. Беришвили, 
С. В. Плотникова. – Кинель : ИБЦ Самарского ГАУ, 2022. – 
123 с. 
ISBN 978-5-88575-687-7 
 
Учебное 
пособие 
«Основы 
математического 
моделирования 
социально-экономических процессов» содержит основные положения 
теории, формулы и определения базовых математических понятий 
соответствующей дисциплины, решения типовых задач различной 
степени 
трудности, 
поясняющие 
теоретический 
материал 
и 
способствующие более глубокому его пониманию, и контрольные 
вопросы, позволяющие оценить степень подготовленности по теме.  
Учебное издание предназначено для обучающихся всех форм 
обучения по направлению подготовки 38.03.04 «Государственное и 
муниципальное управление».   
 
УДК 519.2 
ББК 74.58 
ISBN 978-5-88575-687-7 
 
 
 
 
© Беришвили О. Н., Плотникова С. В., 2022 
© ФГБОУ ВО Самарский ГАУ, 2022 
2 
 

Предисловие 
 
Предлагаемое пособие подготовлено в соответствии с 
требованиями Федерального государственного образовательного 
стандарта высшего образования и программой курса «Основы 
математического 
моделирования 
социально-экономических 
процессов» 
для 
студентов 
высших 
учебных 
заведений, 
обучающихся по направлению подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление».  
Цель – формирование у обучающихся комплекса компетенций, соответствующих направлению их подготовки, и необходимых для эффективного решения будущих профессиональных 
задач.  
Учебное пособие «Основы математического моделирования 
социально-экономических 
процессов» 
содержит 
основные 
положения 
теории, 
формулы 
и 
определения 
базовых 
математических 
понятий 
соответствующей 
дисциплины. 
Приводятся подробные решения типовых задач различной степени 
трудности, поясняющие теоретический материал и способствующие более глубокому его пониманию; контрольные вопросы, 
позволяющие оценить степень подготовленности по теме; список 
рекомендуемой литературы.  
Материалы издания найдут применение в общепрофессиональных и специальных дисциплинах, изучаемых студентами 
бакалавриата, при подготовке курсовых и дипломных проектов; 
могут быть использованы магистрантами, аспирантами, преподавателями и специалистами сельского хозяйства.  
 
 
3 
 

Занятие 1. Моделирование как метод исследования. 
Классификация моделей. Математические модели. 
Классификация математических моделей. Основные 
принципы построения математических моделей 
 
Цель занятия: рассмотрение моделирования как метода исследования; 
знакомство с классификацией моделей. 
 
Моделью 
(лат. 
modulus 
– 
мера) 
называется 
объектзаместитель, который в определенных условиях может заменять 
объект-оригинал, воспроизводя интересующие исследователя 
свойства оригинала.  
Замещение одного объекта другим с целью получения 
информации 
о 
важнейших 
свойствах 
объекта-оригинала 
с 
помощью объекта-модели называется моделированием. 
Процесс моделирования предполагает такой способ изучения 
объекта, при котором модель, с точки зрения цели исследования, 
адекватно и достаточно полно замещает изучаемый объект в 
процессе познавательной деятельности. 
Использование 
моделирования 
на 
эмпирическом 
и 
теоретическом уровнях исследования  по своей сущности 
приводит к условному делению на материальное (физическое) 
моделирование, теоретическое (абстрактное) и идеальное. 
Материальное моделирование  –  это моделирование, при 
котором исследование объекта выполняется с использованием его  
материального  аналога, воспроизводящего основные физические, 
геометрические, динамические и функциональные характеристики 
исследуемого объекта.   
Теоретическое 
(абстрактное) 
моделирование 
– 
моделирование, использующее в качестве моделей знаковые 
изображения 
какого-либо 
вида: 
схемы, 
графики, 
чертежи, 
иероглифы, наборы символов, включающие в себя и совокупность 
правил 
оперирования 
этими 
знаковыми 
образованиями 
и 
конструкциями.   
Математическое 
моделирование 
– 
это 
знаковое 
моделирование, при котором описание объекта осуществляется на 
языке 
математики, 
а 
исследования 
модели 
проводятся 
с 
использованием тех или иных математических методов.   
4 
 

Идеальное моделирование  –  это моделирование, при 
котором исследование объекта выполняется с использованием 
мыслимого аналога, воспроизводящего требуемые характеристики 
и свойства исследуемого объекта.   
Математическая модель – это любой оператор A, 
позволяющий 
по 
соответствующим 
значениям 
входных 
параметров X установить выходные значения параметров Y 
объекта моделирования: Y = AX (табл. 1).    
Таблица 1 
Классификация видов математических моделей 
Признак классификации 
Виды математических моделей 
Способ получения математической 
модели 
– теоретические  
– экспериментальные 
Форма представления 
математической модели 
– инвариантные 
– аналитические 
– графические 
– функциональные 
– структурные 
– алгоритмические 
Вид оператора математической 
модели 
– алгебраические 
– функциональные 
– дифференциальные 
– интегральные 
Свойства параметров оператора 
модели 
– линейные 
– нелинейные 
– сосредоточенные 
– распределенные 
– стационарные 
– нестационарные 
Фактор времени 
– статические 
– динамические 
Количество входов/выходов 
– одномерные 
– многомерные 
Характер переменных 
– непрерывные 
– дискретные 
– логические 
– детерминированные 
– стохастические (вероятностные) 
 
Теоретические  модели получают на основе описания 
физических процессов функционирования объекта.  
Экспериментальные  модели формируются на основе 
поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как 
«черный ящик».  
5 
 

Инвариантная 
форма 
– 
это 
запись 
соотношений 
в 
математической 
модели 
в 
общем 
виде 
с 
помощью 
математического языка безотносительно (не учитывая) к методу 
решения.  
Аналитические  модели  –  модели в форме аналитических 
функциональных 
зависимостей, 
когда 
представление 
преобразования входного сигнала в выходной осуществляется с 
помощью 
некоторой 
функциональной 
зависимости 
или 
логического условия.  
Графические  модели представляются в виде графов, схем, 
диаграмм и т.п.  
Функциональные 
модели 
 
описывают 
процессы 
функционирования технических объектов и имеют форму систем 
уравнений. 
По 
способам 
получения 
функциональные 
математические модели делятся на  теоретические  и  экспериментальные.  
Структурные модели – модели, отображающие только 
структуру исследуемого объекта. Параметрами структурных 
моделей являются признаки функциональных или конструктивных 
элементов, из которых состоит технический объект.   
Алгоритмические модели – модели в форме алгоритма 
получения требуемых результатов, реализуемого на компьютере с 
использованием методов вычислительной математики.  
Алгебраические  модели  – модели в форме алгебраического 
уравнения.  
Дифференциальные 
 
модели 
 
– 
модели 
в 
форме 
дифференциального уравнения или системы дифференциальных 
уравнений. 
Интегральные модели – модели в форме интегральных 
уравнений и систем интегральных уравнений.  
В 
моделях 
с 
сосредоточенными 
 
параметрами 
предполагается, что все свойства оператора модели сосредоточены 
в фиксированных точках.  
В моделях с  распределенными  параметрами предполагается, 
что  свойства оператора модели распределены в пространстве.  
Стационарная  модель  –  модель, отображающая 
взаимосвязь между входным и выходным воздействиями объекта в 
его установившемся состоянии без учета времени.  
6 
 

Математическая модель называется  нестационарной в том 
случае, когда параметры оператора модели изменяются с течением 
времени.  
Статические  математические модели  –  модели, которые 
описывают установившиеся  (равновесные) режимы работы 
системы.  
Динамические математические модели – модели, которые 
описывают неустановившиеся  (неравновесные, переходные) 
режимы работы системы.  
Модель называется скалярной, если в качестве входной 
переменной 
величины 
(входного 
сигнала) выступает 
одна 
единственная переменная величина и выходная переменная 
величина (выходной сигнал) также представлена в единственном 
числе. 
Модель называется  матричной  (многосвязной), если число 
входных переменных и/или число выходных переменных величин 
не равно единице.  
Модель называется одномерной, если количество внутренних 
переменных (переменных состояния), обеспечивающих полное 
однозначное описание каждого состояния объекта моделирования 
равно единице.  Одномерная  математическая модель содержит 
одну выходную величину. Входных величин может быть 
несколько.  
Модель 
называется 
 
многомерной, 
если 
количество 
внутренних 
переменных 
(переменных 
состояния), 
обеспечивающих 
полное 
однозначное 
описание 
каждого 
состояния объекта моделирования больше единицы.  Многомерная  
математическая модель содержит несколько выходных величин.  
Математические модели называются  непрерывными, если 
все внутренние переменные модели являются непрерывными 
величинами.  
Математические модели называются дискретными, если хотя 
бы одна переменная модели является дискретной величиной.  
Логические модели – модели, в которых в качестве 
переменных величин используются логические величины или 
логические выражения.  
Детерминированные модели – модели, переменные которых 
представляют собой детерминированные величины, а каждому 
параметру модели соответствует конкретное число либо функция. 
7 
 

Детерминированное моделирование отображает процессы, в 
которых предполагается отсутствие случайных воздействий.  
Стохастические  (вероятностные) модели  –  модели, 
переменные которых представляют собой случайные величины, 
заданные 
плотностями 
вероятностей. 
Стохастическое 
моделирование учитывает вероятностные процессы и события. 
 
Основные принципы построения математических моделей 
 
Рассмотрим 
основные 
принципы 
моделирования, 
отражающие опыт, накопленный к настоящему времени в области 
разработки и использования математических моделей. 
Принцип информационной достаточности. При полном 
отсутствии информации об исследуемой системе построение ее 
модели невозможно. При наличии полной информации о системе 
ее моделирование лишено смысла. Существует некоторый 
критический уровень априорных сведений о системе (уровень 
информационной достаточности), при достижении которого может 
быть построена ее адекватная модель. 
Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна 
обеспечивать достижение поставленной цели исследования с 
вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное 
время. 
Принцип множественности моделей. Данный принцип 
является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель 
должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы 
(или явления), которые влияют на выбранный показатель 
эффективности. 
Соответственно 
при 
использовании 
любой 
конкретной 
модели 
познаются 
лишь 
некоторые 
стороны 
реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд 
моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью 
детальности отражать рассматриваемый процесс. 
Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную 
систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), 
для адекватного математического описания которых оказываются 
пригодными некоторые стандартные математические схемы. 
Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко 
перестраивать модель в зависимости от задач исследования. 
8 
 

Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая 
система 
имеет 
в 
своем 
составе 
некоторые 
относительно 
изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным 
параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно 
заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а 
не описывать процесс их функционирования. При необходимости 
зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться 
в виде таблицы, графика или аналитического выражения 
(формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и 
продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, 
что параметризация снижает адекватность модели. 
Степень реализации перечисленных принципов и каждой 
конкретной модели может быть различной, причем это зависит не 
только от желания разработчика, но и от соблюдения им 
технологии моделирования.  
 
Контрольные вопросы 
1. Дайте определение модели. 
2. В чем различия между материальным, теоретическим и идеальным 
моделированием? 
3. Дайте определение математической модели. 
4. В чем преимущества математического моделирования по сравнению 
с другими видами моделирования? 
5. По каким признакам классифицируются математические модели?  
6. Перечислите основные принципы построения математических 
моделей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 

Занятие 2. Математическая модель задачи линейного 
программирования. Симплексный метод решения задач 
линейного программирования. Получение исходного опорного 
решения. Алгоритм симплексного метода. 
 
Цель занятия: закрепление теоретических знаний по соответствующей 
теме; формирование навыков и умений по практическому применению 
симплексного метода решения задачи линейного программирования. 
 
Задача линейного программирования (ЗЛП) в общем виде 
формулируется следующим образом: найти условный экстремум 
(максимум 
или 
минимум) 
линейной 
целевой 
функции  
n переменных 
                           
max(min)
...
)
(
2
2
1
1





n
nx
c
x
c
x
c
x
f
              (1) 
и соответствующие ему переменные 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
, удовлетворяющие 
системе линейных ограничений: 
b
x
a
x
a
x
a
,
)
,
,
(
...







1
1
2
12
1
11
n
n
b
x
a
x
a
x
a
,
)
,
,
(
...






2
2
2
22
1
21
n
n
                           
                    (2) 



........
..........
..........
..........
..........
b
x
a
x
a
x
a
,
)
,
,
(
...






m
n
mn
m
m
2
2
1
1



где коэффициенты 
n
c
c
c
,...,
,
2
1
; 
mn
a
a
a
,...,
,
12
11
; 
m
b
b
b
,...,
,
2
1
 
– 
заданные числа, а величины 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
 – неизвестные.  
Общая ЗЛП допускает ограничения всех видов и уравнений, и 
неравенств. 
Совокупность целевой функции (1) и системы ограничений 
(2) называется математической моделью ЗЛП. 
Любой набор чисел 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
, удовлетворяющий системе 
ограничений (2), называется допустимым решением ЗЛП. 
Множество всех допустимых решений ЗЛП называется 
областью допустимых решений (ОДР). 
Допустимое решение, на котором достигается требуемый 
экстремум целевой функции (1), называется оптимальным 
решением ЗЛП. 
В том случае, когда все переменные неотрицательны (
0

i
x
, 
n
j
,
1

), а система ограничений (2) состоит только из неравенств, 
ЗЛП называется стандартной. 
10