Электромагнитное поле

 
 
 
 
 
 
 
 
А. Ю. АФАНАСЬЕВ 
 
 
 
 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ 
ПОЛЕ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

УДК 621.3 
ББК 31.21 
А94 
 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор А. А. Афанасьев  
(Чувашский государственный университет);  
кафедра электропривода и электротехники 
Казанского национального исследовательского  
технологического университета 
 
 
 
Афанасьев, А. Ю. 
А94  
 
Электромагнитное поле : учебное пособие / А. Ю. Афанасьев. - Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 188 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1673-3  
 
Рассматриваются скалярные и векторные поля, их основные понятия и законы. Рассматриваются электрические и магнитные поля, их основные физические величины, 
уравнения связи между ними, основные законы в дифференциальной и интегральной 
форме, а также в терминах электрических цепей. Описываются аналитические и численные методы расчета стационарных электрических и магнитных полей. Приводятся 
уравнения переменных электромагнитных полей. 
Для студентов направления 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», изучающих дисциплины «Теоретические основы электротехники», «Электрические машины», «Электрический привод», а также для магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области энергетики и электромеханики. 
 
УДК 621.3 
ББК 31.21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1673-3 
” Афанасьев А. Ю., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

 
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 
 
A - векторный потенциал, Тлāм; 
В – магнитная индукция, Тл; 
С – емкость конденсатора, Ф; 
с - скорость света в вакууме, м/с; константа; 
D - электрическое смещение (индукция), Кл/м2; 
Е - напряженность электрического поля, В/м; электродвижущая сила (ЭДС), В; 
е - ЭДС, В; 
F - сила, Н; магнитодвижущая сила (МДС), А; 
f - циклическая частота, Гц; 
G, g - активная проводимость, См; 
H - напряженность магнитного поля, А/м; 
I, i - ток, А; 
J - намагниченность, А/м; момент инерции, кгāм2; 
j - плотность тока, А/м2; 
L - индуктивность, Гн; 
l - длина, м; 
М - момент силы, Нāм; взаимная индуктивность, Гн; 
m - электрический момент, Клāм;  
mm - магнитный момент, Аāм2; 
Р - активная мощность, Вт; поляризованность, Кл/м2; 
р - мощность, Вт; давление, Па; 
Q, q - электрический заряд, Кл; 
Qm, qm - магнитный заряд, Вб; 
R, r - активное сопротивление, Ом; 
Rm - магнитное сопротивление, Гн-1; 
S - площадь, м2; 
Т - период, с; 
t - время, с; 
U, u - электрическое напряжение, В;  
Um - магнитное напряжение, А; 
V - объем, м3;  
v - скорость, м/с; 
W - энергия, Дж; 
w - удельная энергия, Дж/м3; число витков; 
x - реактивное сопротивление, Ом; 
Y - комплексная проводимость, См; 
3 
 

y - полная проводимость, См; 
Z - комплексное сопротивление, Ом; 
z - полное сопротивление, Ом; 
Į - коэффициент затухания, м-1; 
ȕ - коэффициент фазы, м-1; 
ī - коэффициент распространения, м-1; 
Ȗ - удельная проводимость, См/м; 
ǻ - символ приращения; 
İ - диэлектрическая проницаемость, Ф/м; 
İ0 - электрическая постоянная, Ф/м; 
ȁ - магнитная проводимость, Гн; 
Ȝ - длина волны, м; 
ȝ - магнитная проницаемость, Гн/м; 
ȝ0 - магнитная постоянная, Гн/м; 
ȝr - реверсивная магнитная проницаемость, Гн/м; 
П - вектор Пойнтинга, Вт/м2; 
ȡ - удельное сопротивление, Омāм; объемная плотность электрического заряда, 
Кл/м3; 
ı - поверхностная плотность электрического заряда, Кл/м2; 
ım - поверхностная плотность магнитного заряда, Тл; 
IJ - линейная плотность электрического заряда, Кл/м; 
IJm - линейная плотность магнитного заряда, Тлāм; 
ĭ - магнитный поток, Вб; 
ĭD - поток электрического смещения (индукции), Кл; 
ij - электрический потенциал, В; аргумент комплексного сопротивления, рад; 
ijm - магнитный потенциал, А; 
Ȥ - восприимчивость; 
Ȍ - потокосцепление, Вб; 
Ȧ - угловая частота, рад/с; 
нижнее подчеркивание - комплексное значение; 
верхнее надчеркивание - вектор. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 

 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Просто и наглядно 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
о сложном и туманном 
 
Полем некоторой величины называется часть пространства, каждая точка 
которого связана с этой величиной.  
Если величина скалярная, то и поле называется скалярным. Например, 
земная атмосфера в каждой точке имеет определенную температуру и давление 
воздуха, а также электрический потенциал относительно земли. Соответственно, говорят о полях температуры, давления, электрического потенциала.  
Если рассматриваемая величина векторная, вводится понятие векторного 
поля. Например, в каждой точке земной атмосферы имеется движение воздуха, 
характеризуемое вектором скорости, имеющим величину и направление. В различных точках околоземного пространства имеется вектор силы всемирного тяготения, действующей на единичную массу; вектор электростатической силы, 
действующей на неподвижный единичный заряд - это вектор напряженности 
электрического поля. В каждой точке околоземного пространства имеется вектор магнитной индукции, определяющий силу, действующую на движущийся 
заряд.  
Поля характеризуются некоторыми интегральными величинами - например, потоком вектора сквозь некоторую поверхность, циркуляцией вектора по 
замкнутому контуру, интегралом от некоторой скалярной или векторной величины по объему. Иногда можно перейти от системы с распределенными параметрами к системе с сосредоточенными параметрами, т. е. к цепи. Поэтому 
многие законы полей имеют три формы: дифференциальную, интегральную  
и форму электрических цепей. 
Поле, созданное неподвижными зарядами или постоянной электродвижущей силой (ЭДС), называется электростатическим. Поле, созданное постоянными электрическими токами или постоянными магнитами, называется стационарным.  
Если электрические токи и ЭДС переменные, но их частота сравнительно 
мала, так что можно пренебречь излучением электромагнитных волн, то поля 
называют квазистационарными. При наличии излучения поле называется электромагнитным.  
В общем случае электрическое и магнитное поля считаются двумя сторонами единого электромагнитного поля. В зависимости от положения наблюда5 
 

теля - неподвижного или перемещающегося в пространстве - электрическое и 
магнитное поля могут изменяться. 
В настоящем пособии приводятся общие сведения по теории скалярных и 
векторных полей, а также свойства и уравнения статических и квазистационарных магнитных и электрических полей. Описываются аналитические и численные методы расчета стационарных электрических и магнитных полей, приводятся примеры решения простых задач. Даются уравнения переменного электромагнитного поля. Рассматриваются плоские электромагнитные волны в разных средах. Описывается поверхностный эффект и экранирование. 
6 
 

 
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ  
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 
 
1.1. Системы координат 
 
Наиболее удобной и широко распространенной является прямоугольная 
(Декартова) система координат.  
Для определения точки в пространстве в нем вводится прямоугольная система координат с началом 0 в некоторой точке и с тремя взаимно перпендикулярными осями x, y и z. Направление каждой оси определяется единичным ортом 
.
,
,
k
j
i
 Вектор от начала координат до точки с координатами x, y, z записывается в виде 
r
x i
y j
z k
 


 
и называется радиус-вектором. 
Направление радиус-вектора может быть задано с помощью единичного 
вектора: 
,
u
r
r  
 
где r - величина (модуль) вектора, 
,
2
2
2
z
y
x
r


 
 
а единичный вектор направления 
,
Ȗ
cos
ȕ
cos
Į
cos
k
j
i
u
˜

˜

˜
 
 
т. е. его компонентами являются направляющие косинусы 
,
Į
cos
,
ȕ
cos
.
Ȗ
cos
 
Здесь Į, ȕ, Ȗ - углы между вектором u  и соответствующими осями координат. 
Скалярное произведение векторов 
)
,
,
(
z
y
x
a
a
a
a  
 и 
)
,
,
(
z
y
x
b
b
b
b  
 определяется формулами 
.
ȥ
cos
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
ab
b
a


 
 
˜
 
Здесь a, b - модули векторов 
,
, b
a
 а ȥ - угол между ними. Очевидно, что при 
фиксированных модулях векторов их скалярное произведение будет максимальным, когда их направления совпадают, т. е. ȥ = 0. Такие векторы называются коллинеарными.  
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу. 
7 
 

При исследовании электрических и магнитных полей с осевой симметрией 
применяется цилиндрическая система координат (ȡ, ij, z). При этом ось симметрии обычно совмещают с осью z, а координаты x, y связаны с радиусом окружности ȡ с центром на оси z и с углом ij между этим радиусом и осью x: 
;
ij
cos
ȡ
 
x
 
.
ij
sin
ȡ
 
y
 
На рис. 1.1 показан вектор r  с компонентами x, y, z, где радиус ȡ расположен под углом ij к оси x, лежит в плоскости x0y и имеет компоненты x, y. 
Рис. 1.1. Цилиндрические координаты 
При рассмотрении трехмерных электрических и магнитных полей с сосредоточенными источниками применяются сферические координаты.  
На рис. 1.2 показан вектор r  с компонентами x, y, z. Угол между вектором 
r  и осью z обозначен буквой ș. Поэтому координата z = r cos ș, где r - радиус 
сферы или модуль вектора r . Проекция вектора r  на плоскость x, y имеет значение r sinș и угол ij относительно оси x. Тогда 
;
ij
cos
ș
sin ˜
 r
x
 
.
ij
sin
ș
sin ˜
 r
y
 
8 

z 
z 
ș 
 r 
 r 
 x 
 y 
0 
ij 
 y 
 x 
Рис. 1.2. Сферические координаты 
1.2. Скалярные поля 
Скалярное поле величины ij определяется скалярной функцией векторного 
аргумента или функцией от трех координат: 
).
,
,
(
)
(
z
y
x
r
M
 
M
 
Если эта функция не зависит от времени, то поле называется стационарным или 
установившимся, в противном случае - нестационарным. 
Если величина ij является физической, то и поле называется физическим 
скалярным полем. Например, если рассматривается неравномерно нагретое тело, то температура каждой его точки образует поле температуры. Окружающая 
землю атмосфера характеризуется скалярными полями давления и влажности. 
Если значение скалярной функции, определенной в трехмерном пространстве, зависит только от двух координат, например, от x и y, то поле называется 
плоскопараллельным. 
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое множество точек, в которых величина ij имеет одно и то же значение: 
.
)
,
,
(
ij
c
z
y
x
 
 
В случае, когда скалярное поле определяется функцией от двух переменных, поверхности уровня превращаются в линии уровня. Это бывает, когда по9 

ле не меняется при изменении одной из трех координат, либо при рассмотрении 
поля на точках некоторой поверхности. 
Пусть скалярная функция является расстоянием от начала координат 
до выбранной точки: 
.
2
2
2
z
y
x
r


 
 
Тогда поверхностями уровня являются множества точек, равноудаленных 
от начала координат, т. е. сферы, а уравнение поверхности уровня имеет вид: 
.
2
2
2
2
r
z
y
x
 


 
Семейство поверхностей равного уровня, соответствующих изменению 
значения функции с постоянным шагом, дает представление о скорости изменения функции в пространстве. Там, где эти поверхности расположены близко 
друг к другу, функция изменяется быстро. Там, где поверхности уровня расположены на значительном расстоянии, функция изменяется медленно. 
Градиентом скалярного поля ij(x, y, z) называется вектор, компонентами 
которого являются частные производные от скалярной функции по координатам x, y, z: 
§
w
w
w
w
w
w
 
z
y
x
ij
,
ij
,
ij
ij
grad
·
¨
¨
©
¸
¸
¹
или 
.
grad
z
k
y
j
x
i
w
M
w

w
M
w

w
M
w
 
M
 
Иногда градиент обозначается буквой «набла» - ’: 
§
w
w
w
w
w
w
 
’
z
k
y
j
x
i
 
.
,
,
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
Для выражения градиента в цилиндрических координатах вводится цилиндрический ортонормированный базис 
,
,
,
ij
ȡ
z
e
e
e
 связанный с базисом декартовой системы координат 
k
j
i
,
,
 равенствами: 
;
ij
sin
ij
cos
ȡ
j
i
e

 
 
;
ij
cos
ij
sin
ij
j
i
e


 
.
k
ez  
 
10