Теоретические основы электротехники. Расчеты четырехполюсников, фильтров и цепей с распределенными параметрами

А. И. Черевко, Л. В. Балакшина, И. Ю. Кузьмин





ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

РАСЧЁТЫ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ, ФИЛЬТРОВ И ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие

Под общ. ред. д. т. н., проф., академика АЭНРФ А. И. Черевко















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2024

УДК 621.372(075)
ББК 31.21
     4-46




Рецензенты:
д. т. н., академик АЭН РФ, директор по инновационному развитию АО «Корпорация «ВНИИЭМ» Исхаков Альберт Саитович; заместитель заведующего кафедрой теоретических основ электротехники Национального исследовательского университета МЭИ, проф., доктор электротехники, академик АЭН РФ Шакирзянов Феликс Нигматзянович










     Черевко, А. И.
4-46 Теоретические основы электротехники. Расчёты четырёхполюсников, фильтров и цепей с распределёнными параметрами : учебное пособие / А. И. 4еревко, Л. В. Балакшина, И. Ю. Кузьмин ; под общ. ред. д. т. н., проф., академика АЭН РФ А. И. 4еревко. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2024. - 332 с. : ил., табл.
         ISBN978-5-9729-1612-2

         Содержит основные теоретические положения, на основании которых проводится расчёт и анализ четырёхполюсников, фильтров и цепей с распределёнными параметрами. Приведены примеры расчётов пассивных и активных симметричных и несимметричных четырёхполюсников, фильтров низких и высоких частот, полосовых и заграждающих фильтров, а также расчёт параметров и режимов работы цепей с распределёнными параметрами. Рассмотрены возможности использования программы MATLAB Simulink для решения задач по указанным темам.
         Для студентов электротехнических и родственных им специальностей. Может быть полезно студентам неэлектрических специальностей, изучающим электротехнику.

                                                             УДК 621.372(075)
                                                             ББК31.21




ISBN 978-5-9729-1612-2

     © 4еревко А. И., Балакшина Л. В., Кузьмин И. Ю., 2024
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2024
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024

   СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ........................................................5

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ...................................6

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ............................9
   1.1. Четырёхполюсники и круговые диаграммы..................9
      1.1.1. Формы записи уравнений и коэффициенты четырёхполюсника. Схемы замещения..........................................9
      1.1.2. Характеристические параметры четырёхполюсника....15
      1.1.3. Передаточные функции четырёхполюсника............17
      1.1.4. Круговые диаграммы четырёхполюсника..............19
      1.1.5. Круговая диаграмма активного двухполюсника.......25
      1.1.6. Круговая диаграмма для любой разветвлённой цепи..26
   1.2. Электрические фильтры.................................29
      1.2.1. Фильтры типа к...................................31
      1.2.2. Производные фильтры типа m.......................38
      1.2.3. Безиндуктивные R-C фильтры.......................44
      1.2.4. Активные R-C фильтры.............................46
   1.3. Установившиеся режимы в цепях с распределёнными параметрами................................................51
      1.3.1. Уравнения длинной линии..........................51
      1.3.2. Решение уравнений длинной линии..................52
      1.3.3. Бегущие волны....................................54
      1.3.4. Стоячие волны....................................55
   1.4. Математическое моделирование в задачах электротехники.60

2. ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ И КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ......................61
   2.1. Определение параметров пассивных четырёхполюсников. Т-образные и П-образные схемы замещения....................61
   2.2. Характеристические параметры четырёхполюсников........76
   2.3. Составные четырёхполюсники............................96
   2.4. Расчёт активных четырёхполюсников....................113
   2.5. Круговые диаграммы...................................120
   2.6. Моделирование процессов в четырёхполюсниках..........127
   2.7. Задачи смешанного типа...............................133
   2.8. Задачи для самостоятельного решения..................152

3

3. РАСЧЁТ И АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ......................155
   3.1. Фильтры низкой частоты типак...........................155
   3.2. Фильтры высокой частоты типа к.........................168
   3.3. Полосовые фильтры типа к...............................179
   3.4. Заграждающие фильтры типа к............................190
   3.5. Производные фильтры типа m.................................199
   3.6. Пассивные R-C фильтры......................................210
   3.7. Математическое моделирование процессов в электрических фильтрах....................................................218
   3.8. Задачи для самостоятельного решения....................257

4. РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ....................................................262
   4.1. Определение первичных и вторичных параметров длинной линии.262
   4.2. Синусоидальный установившийся режим в однородной линии.273
   4.3. Линия без искажений....................................283
   4.4. Линия без потерь. Стоячие волны........................290
   4.5. Режим согласованной нагрузки...........................296
   4.6. Задачи на различные темы...............................300
   4.7. Моделирование процессов в цепях с распределёнными параметрами.................................................314
   4.8. Задачи для самостоятельного решения....................326

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................330

4

   ВВЕДЕНИЕ


    Пособие посвящено расчёту четырёхполюсников, фильтров и электрических цепей с распределёнными параметрами. Его цель состоит в оказании студентам помощи в самостоятельном изучении теоретического материала через практическое использование теории при решении задач.
    В пособии показаны способы расчёта пассивных и активных симметричных и несимметричных четырёхполюсников, фильтров низких и высоких частот, полосовых и заграждающих фильтров.
    Пособие отличается большим количеством примеров расчёта пассивных симметричных и несимметричных четырёхполюсников. Показаны примеры расчёта параметров четырёхполюсников при использовании различных форм записи уравнений. Приведены матричные методы расчёта при анализе работы составных четырёхполюсников. Расчёт активных четырёхполюсников рассмотрен как при наличии внутри четырёхполюсников только источников ЭДС, так и при наличии источников тока. Даны примеры построения круговых диаграмм четырёхполюсников.
    При рассмотрении пассивных фильтров низких и высоких частот, полосовых и заграждающих, показаны особенности расчёта фильтров типа к и типа т.
    Для цепей с распределёнными параметрами приведён расчёт первичных и вторичных параметров длинных линий, токов и напряжений в начале, в конце и любом сечении цепи с распределёнными параметрами. Рассмотрены режимы работы линии без потерь и линии без искажений.
    Пособие составлено таким образом, чтобы студенты могли на примерах изучать методы расчёта четырёхполюсников, фильтров и цепей с распределёнными параметрами. Использовать приобретённые навыки при самостоятельном решении типовых задач с целью закрепления теоретического материала и осмысления электромагнитных процессов в электрических цепях, что необходимо для успешного изучения специальных электротехнических дисциплин в практической деятельности инженера-электрика.
    Приведены примеры решения задач с использованием методов математического моделирования, предлагаемых программным пакетом MATLAB Sim-ulink.

5

   ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ


    e(t) - мгновенное значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В;
    Е - действующее значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В;
    Ет - амплитудное значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В;
    Е, Ет- комплекс действующего и амплитудного значения переменной синусоидальной электродвижущей силы (ЭДС), В;
    u(t) - мгновенное значение переменного напряжения, В;
    U - действующее значение переменного напряжения, В;
    Uₘ - амплитудное значение переменного напряжения, В;
    U, Uₘ - комплекс действующего и амплитудного значения переменного синусоидального напряжения, В;
    i(t) - мгновенное значение переменного тока, А;
    I - действующее значение переменного тока, А;
    Iₘ - амплитудное значение переменного тока, А;
    I, Iₘ - комплекс действующего и амплитудного значения переменного синусоидального тока, А;
    j(t) - мгновенное значение переменного тока источника тока, А;
    J - действующее значение переменного тока источника тока, А;
    7,      jₘ - комплекс действующего и амплитудного значения переменного синусоидального тока источника тока, А;
    ф - начальная фаза (начальный фазовый сдвиг);
    ф - угол сдвига по фазе;
    j = ф—1 - мнимая единица;
    Re(z) - значение действительной части комплексного числа z;
    Im(z) - значение мнимой части комплексного числа z;
    p(t) - мгновенная мощность, Вт;
    Р - активная мощность, Вт;
    Q - реактивная мощность, В-Ар;
    5  - полная (кажущаяся) мощность, В-А;
    5  - комплекс полной мощности, В-А;
    cos ф - коэффициент мощности;
    Т - период переменного тока, с;
    f = 1/Т - частота переменного тока, Гц;
    щ = 2nf - угловая (циклическая) частота переменного тока, рад/с;
    R - активное (омическое) сопротивление резистора, Ом;
    G = 1/R - активная (омическая) проводимость ветви, Ом⁻¹ или См (Сименс);
    L - индуктивность катушки, Гн;
    М - взаимная индуктивность двух катушек, Гн;
    XL = <.»L - реактивное индуктивное сопротивление (реактанс) катушки, Ом;

6

    Хм - взаимное индуктивное сопротивление, Ом;
    fccB - коэффициент магнитной связи;
    С - электроёмкость конденсатора, Ф;
    Хс = \/(ыС) - емкостное сопротивление, Ом;
    Z = VR² + Х² - модуль полного сопротивления (импеданс) цепи, Ом;
    Z = Ze⁷'t|J - полное комплексное сопротивление, Ом;
    Zb - волновое сопротивление, Ом;
    Х = XL — Хс - результирующее реактивное сопротивление, Ом;
    Y = ^G² +В² - модуль полной проводимости, См (Сименс);
    Y = Ye~^ - полная комплексная проводимость, См (Сименс);
    В - реактивная проводимость, См;
    Ф - потокосцепление, Вб;
    Ф - магнитный поток, Вб;
    /₀ - резонансная частота в цепи переменного тока, Гц;
    ы₀ - резонансная угловая частота в цепи переменного тока, рад/с;
    дс - мера передачи;
    а - коэффициент затухания, Нп (непер), Б (бел), дБ (децибел);
    3 - коэффициент фазы, рад;
    к - номинальное волновое сопротивление, Ом;
    К (Р) - коэффициент передачи;
    W(P) - передаточная функция;
    Zb = VZ07Y0 - комплексное волновое сопротивление длинной линии, Ом;
    R₀, G₀ - собственные (погонные) активное сопротивление и активная проводимость длинной линии, Ом/м, См/м;
    L₀, Со - собственные (погонные) индуктивность и электроёмкость длинной линии, Гн/м, Ф/м;
    Z₀ = R₀ + jwL₀ - собственное (погонное) комплексное сопротивление длинной линии, Ом/км;
    Y0 = G₀ + j(»C₀ - собственная (погонная) комплексная проводимость длинной линии, См/км;
    Y = VZ0Y0 - коэффициент распространения электромагнитной волны вдоль длинной линии;
    Цф - фазовая скорость электромагнитной волны;
    I - длина линии;
    А - длина электромагнитной волны;
    АЧХ - амплитудно-частотная характеристика;
    ВД - векторная диаграмма;
    ДЛ - длинная линия;
    ЗФ - заграждающий (режекторный) фильтр;
    КВД - круговая векторная диаграмма;
    КПД - коэффициент полезного действия;
    ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
    ЛФЧХ - логарифмическая фазочастотная характеристика;

7

    ПФ - полосовой фильтр;
    ФВЧ - фильтр высоких частот;
    ФНЧ - фильтр низких частот;
    ФЧХ - фазочастотная характеристика;
    ЧП - четырёхполюсник;
    ЭДС - электродвижущая сила.

8

   1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ


    1.1. Четырёхполюсники и круговые диаграммы


    1.1.1. Формы записи уравнений и коэффициенты четырёхполюсника. Схемы замещения


    Четырёхполюсником (ЧП) называется электрическая схема («чёрный ящик»), имеющий два входных и два выходных зажима.
    ЧП принято изображать в виде прямоугольника. Если ЧП содержит источник энергии, то на поле прямоугольника ставят печатную букву «А» (активный). Если буква «А» отсутствует, ЧП пассивный, т. е. составлен из R — L — С элементов. Примеры активных ЧП - источники электропитания, усилители мощности, активные фильтры. Примеры пассивных ЧП - трансформаторы, пассивные электрические R — С и L — С фильтры, электрические цепи с распределёнными параметрами (длинные линии).

Рис. 1.1. Обобщённая схема ЧП для A-формы записи уравнений

    В общем случае ЧП характеризуется двумя входными параметрами (рис. 1.1) - током 4 и напряжением U и двумя выходными параметрами - током i₂ и напряжением U₂.
    В зависимости от состава элементов ЧП схемы соединения элементов (Т-, П-, Г-образные) и свойств элементов ЧП подразделяются на[1,2]:
    1) активныеипассивные;
    2)  линейные и нелинейные;
    3)  симметричные и несимметричные;
    4)  уравновешенные и неуравновешенные;
    5)  лестничные и мостовые.
    Так как ЧП в общем случае характеризуется четырьмя параметрами - двумя напряжениями U; и U₂ и двумя токами Ц и i₂, то по крайней мере два из них можно выразить через два других, например, представить в виде зависимостей


9

/1 = f(4) U = f(^)

или наоборот

/₂=f-¹(/i)
U₂=f~¹(Ui)    Число сочетаний из четырёх элементов по два равно шести, следовательно, в самом общем случае можно получить шесть форм записи уравнений связи входных и выходных параметров ЧП [2, 3,4].
    Уравнения ЧП в А-форме и В-форме записи:

_ •
U = au₂ + В/₂
• _ _ •
/1 = си₂ + di₂

IU'

= dU₂ + в/₂ » < = CU₂+A/₂

(1.1)

Z-и У-формы записи:

{U

= Z11/1 + Z12/2 ____ 1 _____ 1 = Z21/1 + Z22/2

■ •     •      •
/1 = Z11U1 + У12/2
>      •       I
./2=Z₂1U1+y₂2/1

(1.2)

1
2

Н-и G-формы записи:

U1 = Н11Л + H12U2 /2 = Н21/1 + H22U2

f'1
(U2

= GnU1 + G12/2 —           — J
= G21U1 + G22^2

(1.3)

    Между A- и В-, Z- и У-, Н- и G-формами записи уравнений имеет место попарная инверсия.
    Уравнения ЧП в В-форме записи получены для схемы ЧП, представленной на рис. 1.2, а, уравнения в Z- и У-, Н- и G-формах записи - для схемы ЧП, представленной на рис. 1.2, б.

а)

Рис. 1.2. Обобщённые схемы ЧП
для В- (a), Z- и F-, Я- и G-форм (б) записи уравнений

б)

    Коэффициенты всех форм записи уравнений ЧП могут быть найдены как теоретически, так и опытным путём. Исторически сложилось так, что A-форма в электротехнике считается основной.
    Коэффициенты A, В, C, D ЧП в A-форме записи являются постоянными комплексными величинами, зависящими от активных и реактивных сопротивлений элементов схемы и от способа их соединения. Связь между обобщёнными коэффициентами у взаимных ЧП имеет вид [1, 2, 3, 4, 5]: AD — ВС = 1.

10