Основы автоматизированного электропривода

 
 
 
 
 
 
ǧ. ȅ. ǧǻǧǴǧǸȃǬǩ 
 
 
 
 
 
 
ǵǸǴǵǩȂ 
ǧǩǹǵdzǧǹǯǮǯǷǵǩǧǴǴǵǪǵ 
ȄDzǬDZǹǷǵǶǷǯǩǵǫǧ 
 
 
ǺȞȌȈȔȕȌ ȖȕȘȕȈȏȌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dzȕȘȑȉȇ    ǩȕȒȕȊȋȇ 
«ǯȔțȗȇ-ǯȔȍȌȔȌȗȏȦ» 
2024 

 
УДК 621.34  
ББК 31.21  
А94  
 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор В. Ю. Корнилов  
(Казанский государственный энергетический университет); 
кафедра электропривода и электротехники 
Казанского национального исследовательского  
технологического университета 
 
 
 
 
Афанасьев, А. Ю.  
А94  
Основы автоматизированного электропривода : учебное пособие / 
А. Ю. Афанасьев. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 188 с. : 
ил.  
ISBN 978-5-9729-1562-0 
 
Рассматривается анализ и синтез автоматизированных электроприводов. Приводятся методы анализа во временной, операторной, частотной и дискретной формах. 
Приведены примеры типовых звеньев электропривода. Даются примеры автоматизированных электроприводов с электромеханическими преобразователями постоянного и 
переменного тока, их математическое описание. Приведены схемы вторичных источников питания. Рассматривается синтез модального управления, управляемость, 
наблюдаемость, погрешности электропривода и идентификация его параметров. Рассмотрены алгебраические и частотные критерии устойчивости. Приведен синтез оптимального регулятора и оптимальных программ для электроприводов постоянного и переменного тока методами вариационного исчисления, динамического программирования и принципа максимума Л. С. Понтрягина. Рассмотрен электропривод при случайных процессах.  
Для студентов направления 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 
изучающих дисциплины «Электрический привод», «Автоматизированный электропривод», «Электромеханические системы», а также для магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области электромеханики. 
 
УДК 621.34  
ББК 31.21  
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1562-0 
” Афанасьев А. Ю., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Электропривод содержит исполнительный механизм (объект управления), 
передаточное, электродвигательное и усилительно-преобразовательное устройства. Он предназначен для вращения исполнительного механизма по определенному закону с помощью электрической энергии. 
Автоматизированный электропривод дополнительно имеет управляющее 
устройство для выработки управляющего воздействия согласно значениям 
входных воздействий, фазовых координат и алгоритму управления, а также 
датчики угла, частоты вращения и тока обмотки двигателя для определения текущих значений фазовых координат.  
Сначала выбирается тип исполнительного двигателя и рассчитывается его 
мощность по типовому закону движения и моменту нагрузки. Затем проводится 
расчет передаточного устройства. По типу двигателя и виду питающей электрической сети выбирается тип усилительно-преобразовательного устройства, 
проводится его расчет согласно мощности двигателя.   
Для построения управляющего устройства (регулятора) необходимо знать 
описание силовой части электропривода (усилителя мощности, двигателя, редуктора, объекта управления) и основную цель функционирования электропривода. После определения алгоритма управления устанавливается набор датчиков сигналов, разрабатывается структура управляющего устройства, его схема 
и аппаратная реализация. 
Если задача электропривода заключается в стабилизации значения некоторой физической величины (угла поворота, частоты вращения объекта управления), то имеем систему регулирования. Если требуется изменять физическую 
величину по заранее заданному закону, то получаем электропривод программного движения. Когда требуемый закон изменения регулируемой величины заранее неизвестен и представляет собой случайную функцию времени, говорят о 
следящем электроприводе. Встречается задача отработки большого начального 
рассогласования (задача наведения на цель) и задача сканирования (периодический просмотр одномерной или двумерной области). 
Автоматизированный электропривод должен быть устойчивым. Он должен 
обладать высокой точностью, т. е. иметь малую погрешность как в установившемся режиме, так и при типовых входных сигналах. Переходный процесс 
электропривода должен иметь требуемое качество, например, малый динамический выброс. Электропривод должен иметь высокие динамические характеристики, в частности, он должен быть быстродействующим. Часто ставится требование оптимальности по параметрам и по управлению, т. е. требование минимальности некоторого функционала (показателя качества). 
3 
 

В настоящем пособии основное внимание уделено математическому описанию автоматизированного электропривода и его типовых звеньев, функциональным схемам электроприводов разных типов. Рассмотрены схемы вторичных источников питания. Описан синтез модального управления, управляемость, наблюдаемость, погрешности и идентификация параметров электропривода. Приведены алгебраические и частотные критерии устойчивости электропривода, а также метод функций Ляпунова. Приведен синтез оптимального регулятора и оптимальных программ для электроприводов постоянного и переменного тока методами вариационного исчисления, динамического программирования и принципа максимума Л. С. Понтрягина. Рассмотрен электропривод 
при случайных процессах. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА 
1.1. Анализ электропривода во временной области 
При анализе установившихся и переходных процессов в автоматизированном электроприводе наиболее естественной является временная область,  
т. е. рассмотрение законов изменения физических величин в функции от времени. Обычно электропривод описывается в виде системы дифференциальных 
уравнений в нормальной форме [16]: 
½
 
);
,
,
(
1
1
t
u
x
f
dt
dx
°
°
.
  
.
  
.
  
.
  
.
  
.
  
.
  
.
  
.
  
.
 
 
(1.1) 
¾
).
,
,
(
 
°
°
n
n
t
u
x
f
dt
dx
¿
Здесь x = (x1, ..., xn) – вектор фазовых координат (переменных состояния), 
которые изменяются по непрерывным законам и характеризуют энергетическое 
состояние электропривода; u = (u1, …, um) – вектор управляющих воздействий 
(управлений), которые могут изменяться скачком, иметь разрывы первого рода. 
Например, при поступательном движении массы m в качестве фазовой координаты выступает ее скорость v, а в качестве управления – действующая на 
нее сила F. При вращательном движении тела с двумя закрепленными точками 
и с моментом инерции J фазовой координатой является частота вращения Ȧ,  
а управляющим воздействием – приложенный момент М. Для катушки с индуктивностью L фазовой координатой может быть ток iL или потокосцепление Ȍ,  
а управлением – напряжение на зажимах катушки uL. У конденсатора с емкостью С 
фазовой координатой является напряжение на его зажимах uC или заряд q,  
а управляющим воздействием – ток iC, и т. д. 
Чтобы проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.1), 
нужно задать законы изменения управляющих воздействий u1(t), …, um(t) на отрезке [t0, tf], а также начальные условия: 
x1(t0) = x10; …; xn(t0) = xn0. 
В результате решения системы дифференциальных уравнений (1.1) получаются законы изменения фазовых координат x1(t), ..., xn(t) на отрезке [t0, tf]. 
Пространство с координатами x1, ..., xn называется фазовым пространством, а 
точка x в нем – изображающей точкой. В процессе движения электропривода 
изображающая точка пробегает множество точек, которое называется фазовой 
траекторией. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет. 
5 
 

Система дифференциальных уравнений (1.1) описывает разомкнутый электропривод. Если к ней добавить уравнения регулятора: 
 
u1 = ij1(x);  …; um = ijm(x), 
(1.2) 
то получится описание замкнутого электропривода. 
Если электропривод является линейным и стационарным, т. е. его математическое описание явно не зависит от времени, то он может быть описан системой линейных дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме 
 
,
Bu
Ax
x

 

 
(1.3) 
где   А – (n×n)-матрица;   
В – (n×m)-матрица. Обе матрицы постоянные. 
 
Дифференциальное уравнение в случае скалярных x и u 
n
m
n
0
1
0
1
...
...



 



 
(1.4) 
x
d
c
m
m
n
 
u
b
dt
du
b
dt
u
d
b
x
c
dt
dx
c
dt
может быть записано с помощью оператора дифференцирования 
dt
d
D
/
 
 в 
виде 
 
.
)
(
)
...
(
)
(
)
...
(
0
1
0
1
t
u
b
D
b
D
b
t
x
c
D
c
D
c
m
m
n
n



 



  
(1.5) 
Рассмотрим линейный электропривод с одним входным воздействием u(t) 
и одним выходным воздействием x(t). Реакция электропривода на входное воздействие в виде единичной функции при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой: 
u(t) = 1(t),     x(t) = h(t). 
Единичная функция определяется равенствами 
1(t) = 0   при   t ” 0;   1(t) = 1  при   t > 0. 
Нулевые начальные условия означают, что токи всех катушек индуктивности и напряжения всех конденсаторов равны нулю, а также равны нулю угол 
поворота Į и частота вращения Ȧ электродвигателя. 
Реакция электропривода на входное воздействие в виде į-функции при нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой: 
u(t) = į(t),     x(t) = g(t). 
Здесь į-функция определяется равенствами: 
H
 
G
į(t) = 0   при  t  0;   į(t) = ’  при  t = 0;  ³
0
.
1
)
( dt
t
 
 
6 
 

Между переходной и импульсной характеристиками существует связь: 
).
(
)
(
t
g
dt
t
dh
 
 
Реакция электропривода на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях может быть найдена с помощью интегралов суперпозиции (наложения): 
;
IJ
)
IJ
(
)
IJ
(
)
(
)
0
(
)
(
0
³


 
t
d
t
h
u'
t
h
u
t
x
 
t
d
t
g
u
t
x
 
.
)
(
)
(
)
(
0
³
W
W

W
 
При ненулевых начальных условиях следует добавить скалярное произведение вектора фундаментальных решений на вектор начальных условий. Это 
выходные сигналы при нулевом входном сигнале и единичных начальных 
условиях для каждой из переменных состояния. 
В качестве примера приведем дифференциальные уравнения, описывающие электропривод постоянного тока: 
 
;
Ȧ
Į  
dt
d
   
;
/
)
Ф
(
Ȧ
с
J
M
i
c
dt
d

 
  
.
/
)
Ȧ
Ф
(
L
c
ri
u
dt
di


 
  
(1.6) 
Здесь Į – угол поворота ротора двигателя;   
Ȧ – его скорость вращения;  
i, u – ток и напряжение якоря двигателя постоянного тока;   
r – активное сопротивление обмотки якоря;  
L – ее индуктивность;  
Ф – основной магнитный поток;  
J – момент инерции подвижных частей;  
Мс – статический момент нагрузки, приведенный к валу двигателя;  
с – конструктивный коэффициент. 
 
1.2. Анализ электропривода в операторной форме 
Если функция f (t) определена при t • 0, удовлетворяет условиям Дирихле 
и экспоненциально ограничена, т. е. существуют такие А, а, что: 
| f (t)| < AÂeat;  
),
,
0
[
f

t
 
или если существует интеграл: 
f
³
0
,
|
)
(
|
dt
t
f
 
7 
 

то для такой функции возможно прямое и обратное преобразования Лапласа [1]: 
f

 
³
0
;
)
(
)
(
dt
t
f
e
p
F
pt
 
j
ı
0
³
 
f

pt
dp
p
F
e
j
t
f
j
f

ı
.
)
(
ʌ
2
1
)
(
 
0
Комплексная переменная p = ı + jȦ, причем ı > a. Здесь функция 
)
(t
f
 
называется оригиналом, а функция 
)
( p
F
 – изображением. Соотношение между 
ними устанавливается символом 
:
 
 œ  
).
(
 
 
)
(
p
F
t
f
œ
 
Простейшие функции имеют следующие изображения по Лапласу: 
;
1
)
(
į
œ
t
    
;
p
A
A œ
      
;
1
2
p
t œ
 
;
!
2
3
2
p
t œ
   . . . ;   
;
!
1

œ
n
n
p
n
t
;
1
a
p
eat

œ
 
;
ȍ
ȍ
ȍ
sin
2
2 
œ
p
t
    
.
ȍ
ȍ
cos
2
2 
œ
p
p
t
 
Основные свойства преобразования Лапласа выражаются следующими 
формулами. 
Если 
),
(
)
(
1
1
p
F
t
f
œ
 
),
(
)
(
2
2
p
F
t
f
œ
 то: 
)
(
Ȝ
)
(
Ȝ
)
(
Ȝ
)
(
Ȝ
2
2
1
1
2
2
1
1
p
F
p
F
t
f
t
f

œ

 (свойство линейности). 
Если  
),
(
)
(
p
F
t
f
œ
 то: 
);
0
(
)
(
)
(


œ
f
p
pF
t
'
f
 
³
œ
t
p
F
p
dt
t
f
0
).
(
1
)
(
 
Отсюда следуют соотношения: 
);
0
(
)
0
(
)
(
)
(
2




œ
'
f
pf
p
F
p
t
''
f
 
³
œ
³
t t
p
F
p
dtdt
t
f
0
2
0
).
(
1
)
(
 
Если функция u(t) имеет изображение U(p), то смещенная на время IJ функция v(t) = u(t – IJ) имеет изображение V(p) = U(p) exp(–pIJ) (теорема запаздывания). 
Имеются два предельных соотношения (предельные теоремы): 
 
);
0
(
lim

 
f
o
f
p
pF
p
 
8 
 

 
),
(
lim
lim
0
t
f
p
pF
t
p
f
o
o
 
 если предел существует. 
Символ «+0» означает предел справа при t ĺ 0. 
Передаточной функцией линейного электропривода со скалярным входным сигналом u(t) и скалярным выходным сигналом x(t) является отношение 
изображений по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях: 
.
)
(
)
(
)
(
p
U
p
X
p
W
 
 
Изображение импульсной характеристики равно передаточной функции,  
т. е. 
).
(
)
(
p
W
t
g
œ
 Это следует из свойства: 
.
1
)
(
į
œ
t
 
Если изображение по Лапласу представляет собой дробно-рациональную 
функцию: 


 
,
...
...
)
(
)
(
)
(
0
1
1
b
p
b
p
b
a
p
a
p
a
p
N
p
M
p
F
n
n
n
n
0
1
1
m
m
m
m






 
 


причем степень числителя меньше степени знаменателя, корни числителя (нули 
функции F(p))  
m
p
,...,
p
 
 
1
  не совпадают с корнями знаменателя (с полюсами 
функции F(p))  
,
 
...,
 
,
1
n
p
p
  и все корни знаменателя простые, то справедлива 
теорема разложения:  
1
n
p
p
A
p
p
A
p
F




 
 
;
...
)
(
1
n
t
p
n
k
n
.
 
)
(
)
(
)
(
1
1
k
t
p
k
k
k
e
p
N'
p
M
e
A
t
f
¦
 
¦
 
 
 
 
k
k
Дифференциальное уравнение (1.4) при нулевых начальных условиях имеет в операторной форме вид: 
),
(
)
...
(
)
(
)
...
(
0
1
0
1
p
U
b
p
b
p
b
p
X
c
p
c
p
c
m
m
n
n



 



 
который по форме совпадает с уравнением (1.5). 
Переходная характеристика линейной системы – реакция на входное воздействие в виде единичной функции при нулевых начальных условиях. Справедливы соотношения: 
;
1
)
(
1
p
t œ
 
( )
( )
.
W p
h t
p
œ
 
Согласно предельным теоремам, имеем: 
 
);
0
(
lim

 
f
o
h
p
W
p
 
 
),
(
lim
lim
0
t
h
p
W
t
p
f
o
o
 
 если предел существует. 
9 
 

1.3. Анализ электропривода в частотной области 
Рассмотрим стационарный линейный электропривод с входным воздействием: 
).
sin(
D

Z
 
t
U
u
m
 
В установившемся режиме выходной сигнал: 
).
sin(
E

Z
 
t
X
x
m
 
Введем комплексные амплитуды: 
;
D
 
j
m
m
e
U
U
    
E
 
j
m
m
e
X
X
 
и найдем их отношение: 
m
m
 
 
 

 
);
Ȧ
(
)
Ȧ
(
)
Ȧ
(
ij
)
Į
ȕ
(
j
W
e
w
e
U
X
U
X
j
j
m
m
m  
 
).
Ȧ
(
ij
Į
ȕ
 

 
);
Ȧ
(
w
U
X
m
Здесь W(jȦ) – частотная характеристика;  
w(Ȧ) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ), равная отношению 
амплитуд выходного и входного сигналов;  
ij(Ȧ) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ), равная углу сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.  
 
Частотная характеристика W(jȦ) получается из передаточной функ- 
ции W(p) заменой комплексной переменной p на jȦ. 
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) представляет собой зависимость А(Ȧ), где А = 20lgw, дБ (децибелы). Частота Ȧ 
обычно откладывается по горизонтальной оси в логарифмическом масштабе, но 
подписываются значения самой частоты. Фаза на логарифмической фазовой частотной характеристике (ЛФЧХ) откладывается по вертикальной оси в линейном масштабе. Характерный вид осей координат для ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на 
рисунке 1.1.  
Здесь показаны ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена. ЛАЧХ имеет 
наклон –20 дБ/дек, а ЛФЧХ представляет собой горизонтальную линию  
на уровне –ʌ/2. Штриховой линией показан отрезок с наклоном –20 дБ/дек. Декада – расстояние между частотами, отличающимися в 10 раз. 
 
10