Дискретизация сигналов

А. Л. Тимофеев, А. Х. Султанов 
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 621.391 
ББК 32.88 
Т41 
 
 
Рецензент: 
к. т. н., доцент Уфимского университета науки и технологий (УУНиТ)  
Мешков И. К. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тимофеев, А. Л. 
Т41   
Дискретизация сигналов : учебное пособие / А. Л. Тимофеев,  
А. Х. Султанов. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 64 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-1797-6 
 
Приведены доказательства и варианты использования аналогов теоремы Котельникова для прямоугольной и косинусоидальной весовых 
функций. Изложены специальные способы дискретизации, позволяющие 
уменьшить динамическую погрешность преобразования широкополосных 
сигналов. 
Для подготовки бакалавров и магистров по группе направлений и 
специальностей «Электроника, радиотехника и системы связи».  
 
УДК 621.391 
ББК 32.88 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1797-6 
” Тимофеев А. Л., Султанов А. Х., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение ...................................................................................................................... 4 
Глава 1. Теоретические основы дискретизации ................................................. 5 
1.1. Дискретизация по Котельникову 
........................................................................ 5 
1.1.1. Теорема Котельникова во временной области 
............................................... 5 
1.1.2. Теорема Котельникова в частотной области 
.................................................. 8 
1.2. Интегрирующие методы дискретизации ......................................................... 10 
1.2.1. Аналог теоремы Котельникова для прямоугольной весовой  
функции ...................................................................................................................... 12 
1.2.2. Аналог теоремы Котельникова для косинусоидальной весовой  
функции ...................................................................................................................... 17 
1.2.3. Анализ метода дискретизации с косинусоидальными весовыми 
функциями 
.................................................................................................................. 23 
Глава 2. Анализ погрешностей дискретизации 
................................................. 26 
2.1. Методическая погрешность дискретизации 
.................................................... 26 
2.2. Сравнительный анализ погрешностей восстановления сигналов  
по интегральным отсчетам ....................................................................................... 27 
2.3. Инструментальная составляющая погрешности дискретизации 
(динамическая погрешность) ................................................................................... 36 
2.3.1. Составляющие динамической погрешности ................................................ 37 
2.3.2. Расчет оптимального момента дискретизации 
............................................. 41 
(времени датировки отсчета).................................................................................... 41 
2.3.3. Анализ динамической погрешности при использовании  
прямоугольной весовой функции ............................................................................ 46 
2.3.4. Сравнительный анализ динамической погрешности интегрирующих 
устройств дискретизации 
.......................................................................................... 48 
Глава 3. Дискретизация в присутствии шума 
................................................... 52 
3.1. Особенности дискретизации изображений...................................................... 53 
3.2. Выбор частоты дискретизации ......................................................................... 53 
Список литературы 
................................................................................................. 61 
 
 
 
 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Развитие электроники, информатики, инфокоммуникаций привело к тому, что широчайшее распространение получила цифровая обработка информации – она используется везде, от цифрового термометра до системы распознавания лиц при видеосъемке. При этом во многих случаях исходная информация 
поступает в аналоговом виде, то есть в виде непрерывных сигналов, соответствующих каким-либо процессам окружающего мира. И первое, что необходимо сделать – это перевести информацию в цифровую форму. Процесс «оцифровки» информации, или аналого-цифрового преобразования сигналов, состоит 
их двух этапов: дискретизации и квантования. 
При дискретизации входной сигнал заменяется последовательностью 
своих мгновенных значений, взятых в определенные моменты времени. При 
квантовании каждому значению сигнала ставится в соответствие некоторое 
значение единиц шкалы квантования (квантов), которое и станет цифровым 
значением сигнала.  
В литературе очень хорошо и подробно описано множество методов  
аналого-цифрового преобразования, исследованы их возможности и особенности. Но в ряде случаев, обычно, когда быстродействия имеющейся элементной 
базы и аппаратуры не хватает для получения требуемой точности, возникает 
потребность в использовании менее распространенных методов преобразования 
и, в первую очередь, это касается способов дискретизации. 
В данном пособии рассмотрены специальные методы дискретизации, 
позволяющие повысить точность преобразования быстроизменяющихся сигналов. 
 
 
 
 
 
 
4 

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 
 
1.1. Дискретизация по Котельникову 
 
1.1.1. Теорема Котельникова во временной области 
 
При дискретизации сигналов непрерывная по времени функция 
)
(t
x
 преобразуется в функцию 
)
(t
xд
 дискретного аргумента. Такое преобразование может быть выполнено путем взятия отсчетов функции 
)
(t
x
 в определенные дискретные моменты времени 
n
t
t
t
t
.
.
.
,
,
,
2
1
0
. В результате функция 
)
(t
x
 заменяется 
совокупностью мгновенных значений 
n
i
t
x
i
.
.
.
,
2
,
1
,
0
),
(
 
. 
 
Временной интервал 
1


 
i
i
t
t
T
 между двумя соседними фиксированными моментами времени, в которых задается дискретная функция, называется 
интервалом дискретизации. Величина, обратная интервалу дискретизации 
 
 
T
fд
1
 
, 
(1.1) 
 
называется частотой дискретизации. 
 
Частота дискретизации должна выбираться таким образом, чтобы по отсчетам 
)
( i
t
x
 можно было с заданной точностью получить исходную функцию. 
 
Известно несколько критериев выбора частоты дискретизации. Наиболее 
распространенным является частотный, получивший название теоремы Котельникова [1] (используются также названия теорема отсчетов, теорема Найквиста).  
 
Теорема Котельникова формулируется следующим образом: если непрерывная функция 
)
(t
x
 имеет спектр, ограниченный частотой 
c
f , то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках, отстоящих 
на расстоянии 
c
f
T
2
1
 
 друг от друга. 
 
Для доказательства теоремы рассмотрим выражения прямого и обратного 
преобразования Фурье непрерывной функции 
)
(t
x
 
 
5 

f

 
dt
e
t
x
j
S
t
jZ
Z
)
(
)
(
; 
(1.2) 
 
³
f

 
f
 
³
Z d
e
j
S
t
x
t
j
)
(
2
1
)
(
. 
 (1.3) 
f

 
Z
Z
S
 
 
В рассматриваемом частном случае функции с ограниченным спектром 
можно записать 
 
Z
c
Z
Z
Z
S
)
(
2
1
)
(
. 
 
(1.4) 
 
³

 
Z
c
d
e
j
S
t
x
t
j
 
 
Дополним функцию 
)
( Z
j
S
 до периодической с периодом, равным 
c
Z
2
,  
и разложим ее в ряд Фурье 
 
Z
S
Z)
(
, 
(1.5) 
ke
C
j
S
Z
 
¦
f
f

 
c
k
j
 
где 
Z
c
Z
c d
e
j
S
C
k
j

 
Z
S
Z
Z
Z
)
(
2
1
. 
(1.6) 
c
k
 
³

Z
c
 
 
Сравнивая выражения (1.4) и (1.6), замечаем, что они совпадают с точностью до постоянного множителя 
c
t
Z
S
'  
, если принять 
t
k
t
'
˜

 
. Следовательно, 
 
)
(
t
k
x
C
c
k
'
Z
S

 
. 
 
 
 
6 

 
Подставив найденное выражение для 
k
C  в (1.5), получаем 
 
k
j
c
e
t
k
x
j
S
Z
 
¦
f
Z
S
'
Z
S
Z
)
(
)
(
. 
(1.7) 
f
 

 
k
 
 
После подстановки (1.7) в (1.4), замены знака при k  (так как суммирование производится по всем положительным и отрицательным значениям k)  
и перестановки операций суммирования и интегрирования получим 
 
Z
c

f
)
(
)
(
2
1
)
(
. 
 (1.8) 
'
Z
Z
'
Z
k
c
f
 
 
 
³
¦

Z
c
d
e
t
k
x
t
x
t
k
t
j
 
 
Вычислим интеграл 
 
Z
Z
Z
c
c

c
'
Z
Z
'
Z
Z
'
Z
Z
)
(
sin
)
(
cos
)
(
 
 



 
³
³
³



Z
Z
Z
c
d
t
k
t
j
d
t
k
t
d
e
t
k
t
j
c
c
 
'
Z
 
t
k
t
t
k
t
c
'


 
)
(
sin
2
, 
(1.9) 
 
так как  
Z
c
0
)
(
sin
 

³

Z
'
Z
Z
d
t
k
t
c
. 
 
После подстановки (1.9) в (1.8) окончательно имеем 
 
c
t
k
t
t
k
t
t
k
x
t
x
'
Z
'
Z
'
sin
)
(
)
(
. 
(1.10) 
 


>
@


¦
f
f
 


 
k
c
 
 
Полученное выражение представляет аналитически теорему Котельникова. 
7