Прикладная электродинамика пассивных микроволновых линий передач

 
Оглавление 
МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ  И  ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное  
образовательное учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
И. В. МАЛЫШЕВ 
Н. В. ПАРШИНА 
 
 
 
ПРИКЛАДНАЯ  ЭЛЕКТРОДИНАМИКА                            
ПАССИВНЫХ  МИКРОВОЛНОВЫХ                                 
ЛИНИЙ  ПЕРЕДАЧ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2023 
 
1 

 
Оглавление 
УДК 537.8(075.8)+621.372.8(075.8) 
ББК  22.336я73 
         М207 
Печатается по решению кафедры радиотехнической электроники                  
и наноэлектроники Института нанотехнологий, электроники                             
и приборостроения Южного федерального университета                          
(протокол № 7 от 27 апреля 2023 г.) 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, ведущий специалист                                         
ТЦАО «КАЛУГАПРИБОР» И. М. Пономарёв 
кандидат технических наук, доцент кафедры теоретических основ               
радиотехники Института радиотехнических систем и управления  
А. В. Лабынцев 
Малышев, И. В. 
М207       Прикладная электродинамика пассивных микроволновых линий 
передач : учебное пособие / И. В. Малышев, Н. В. Паршина ; Южный 
федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2023. – 222 с. 
ISBN 978-5-9275-4548-3 
В учебном пособии изложена теория распространения ЭМВ в различных линиях передач. Подробно исследованы различные граничные условия 
в волноведущих структурах и основные соотношения описывающие процессы переноса микроволновой мощности в некоторых наиболее известных 
волноводных структурах различных типов, а также линиях передачи полоскового типа. 
В учебном пособии также имеются контрольные вопросы для проверки уровня освоения материала.  
Пособие предназначено для курсов, изучаемых в бакалаврских 
направлениях подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и систе- 
мы связи», но может быть использовано и для обучающихся на других 
направлениях.  
УДК 537.8(075.8)+621.372.8(075.8) 
ББК 22.336я73 
ISBN 978-5-9275-4548-3 
© Южный федеральный университет, 2023 
© Малышев И. В., Паршина Н. В., 2023 
© Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета, 2023 
 
2 

 
Оглавление 
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 
6 
1. ОСНОВНЫЕ  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  СООТНОШЕНИЯ                 
ДЛЯ  РАСЧЁТОВ  ЭМП  И  ХАРАКТЕРИСТИКИ  ЛИНИЙ                     
ПЕРЕДАЧ  В  РАЗЛИЧНЫХ  ЧАСТОТНЫХ  ДИАПАЗОНАХ 
7 
1.1. Основные соотношения для описания векторного и скалярно- 
го полей 
7 
1.2. Примеры решения задач с применением векторного анализа 
11 
1.3. Классификационные шкалы микроволнового диапазона и основная элементная база, используемая в нём 
12 
1.4. Виды линий передачи и их свойства 
15 
1.5. Линии передач квазиоптических трактов 
21 
1.6. Базовые характеристики ЛП 
23 
1.7. Характеристики и параметры волн в ЛП 
24 
1.8. Характеристики и классификации электродинамических структур 
26 
Контрольные вопросы 
29 
2. ОСНОВЫ  КЛАССИЧЕСКОЙ  МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ           
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 
30 
2.1. Основные понятия и законы электродинамики 
30 
2.2. Основные теоретические соотношения для электромагнитных 
полей 
33 
2.3. Интегральная форма записи уравнений Максвелла 
36 
2.4. Классификация естественных и искусственных сред 
37 
2.5. Комплексная форма записи уравнений Максвелла 
42 
2.6. Виды граничных условий 
43 
2.6.1. Основные непрерывные граничные условия 
43 
2.6.2. Эквивалентное граничное условие 
45 
2.6.3. Двухстороннее граничное условие 
48 
2.6.4. Эквивалентные импедансные граничные условие резонансного типа 
51 
2.7. Дифференциальная и интегральная формы леммы Лоренца. 
Теорема взаимности 
58 
2.8. Практическое применение коэффициента киральности и методы его нахождения 
60 
3 

Оглавление 
Контрольные вопросы 
67 
3. ВОЛНОВЫЕ  УРАВНЕНИЯ  И  ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ 
ПОТЕНЦИАЛЫ  В  СРЕДАХ.  ПОНЯТИЕ  О  ФУНКЦИИ  ГРИНА 
68 
3.1. Электродинамические виды записи волновых уравнений. Понятия о волновых уравнениях и их представление для случая акустических колебаний 
68 
3.2. Понятие об электродинамическом потенциале 
70 
3.3. Функция Грина 
71 
3.4. Применение функций Грина в решении электродинамичес-    
ких задач 
73 
3.5. Дифракция ЭМВ. Вторичные источники по принципу Гюйгенса – Френеля − Кирхгофа 
75 
Контрольные вопросы 
76 
4. ПЛОСКИЕ  ВОЛНЫ  В  ОДНОРОДНОЙ                                     
БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ 
77 
4.1. Разновидности плоских волн 
77 
4.2. Эффект поляризации плоских ЭМВ в различных средах 
81 
4.3. Взаимодействие плоской ЭМВ с плоскостью границы двух полубесконечных сред. Формулы Френеля и угол Брюстера 
84 
4.4. Плоскости с анизотропным импедансом и отражение от них 
плоских ЭМВ. Обобщённый вид формул Френеля 
92 
Контрольные вопросы 
94 
5. ВОЛНЫ  ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО  И  СФЕРИЧЕСКОГО  ТИПОВ 
96 
5.1. Цилиндрические волны 
96 
5.2. Сферические волны 
99 
Контрольные вопросы 
100 
6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ  ЭМВ  В  ГИРОТРОПНЫХ  СРЕДАХ 
101 
6.1. Основные соотношения гиротропной среды 
101 
6.2. Поперечное распространение ЭМВ в среде намагниченного 
феррита 
102 
6.3. Продольное распространение ЭМВ в гиротропной среде намагниченного феррита 
106 
Контрольные вопросы 
109 
7. ПОЛЫЕ  ВОЛНОВЕДУЩИЕ  СТРУКТУРЫ  ЛИНИЙ                     
ПЕРЕДАЧ (ВСЛП) 
111 
4 

Оглавление 
7.1. Особенности распространения ЭМВ в волноводных ЛП 
111 
7.2. Собственные волны волноводов и метод разделения переменных 114 
7.3. Электрические волны в прямоугольных волноводах 
117 
7.4. Магнитные волны в прямоугольных волноводах 
120 
7.5. Плоский прямоугольный волновод с электрическими и магнитными стенками 
123 
7.6. Разложение волноводных волн на плоские волны 
125 
7.7. Коаксиальный цилиндрический волновод 
127 
7.8. Круглый волновод 
141 
7.9. Эллиптические волноводы 
146 
7.10. Регулярно-неоднородные волноводы 
150 
7.11. Понятие о волновом сопротивлении линии передачи, его определение и вычисление 
154 
Контрольные вопросы 
157 
8. ПОЛОСКОВЫЕ  ЛИНИИ  ПЕРЕДАЧИ 
159 
8.1. Симметричная полосковая линия 
160 
8.2. Несимметричная полосковая линия 
163 
Контрольные вопросы 
179 
9. ЩЕЛЕВЫЕ  ЛИНИИ  ПЕРЕДАЧИ 
181 
9.1. Симметричная щелевая линия 
182 
9.2. Несимметричная щелевая линия 
190 
9.3. Копланарные линии передачи 
197 
9.4. Реберно-диэлектрические линии передачи 
203 
Контрольные вопросы 
217 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
219 
СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 
220 
 
 
5 

 
Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ 
В настоящем учебном пособии изложены основные вопросы, рассматриваемые в электродинамике, связанные с распространением электромагнитных волн (ЭВМ) (электромагнитного поля (ЭМП)). В основе такого подхода лежит рассмотрение статических и стационарных полей, как частного 
случая электромагнитного поля, после чего на базе постулируемых общих 
законов Максвелла рассматриваются их частные прикладные вопросы применительно к различным типам линий передач.
Данное учебное пособие представляет собой работу, посвященную 
непосредственно основам технической электродинамики и их приложениям 
к анализу процесса распространения электромагнитных полей в волноведущих структурах. 
 
6 

 
1.1. Основные соотношения для описания векторного и скалярного полей 
1. ОСНОВНЫЕ  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  СООТНОШЕНИЯ 
ДЛЯ  РАСЧЁТОВ  ЭМП  И  ХАРАКТЕРИСТИКИ          
ЛИНИЙ ПЕРЕДА
Ч В  РАЗЛИЧНЫХ                                  
ЧАСТОТНЫХ ДИАПАЗОНАХ 
1.1. Основные соотношения для описания                             
векторного и скалярного полей 
Основными понятиями, которые используются для описания электродинамических свойств среды, являются понятия скалярных и векторных полей. Известно, что в произвольной системе координат {𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3} 
 поле f, 
имеющее скалярное происхождение, имеет вид некоторой функции 
𝑓{𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3}. При этом данная функция может принимать действительные 
или комплексные численные значения. В случае, когда поле А имеет векторную природу, оно определяется совокупностью трёх проекций на единичные векторные орты для ранее определенной системы координат.
Таким образом, векторное поле описывается как  
𝐴= 𝐴𝑥1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝟏𝑥1 + 𝐴𝑥2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝟏𝑥2 + 𝐴𝑥3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝟏𝑥3. 
При этом скалярное поле в пространстве характеризуется как величиной, так и направлением скорости его изменения. Для чего вводят операторный параметр – градиент скалярного поля: 
1
𝜕𝜑
1
𝜕𝜑
1
𝜕
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑=
𝜕𝑧1𝑧, 
ℎ1
ℎ2
ℎ3
𝜕𝑥1 1𝑥1 +
𝜕𝑥2 1𝑥2 +
где ℎ1, ℎ2, ℎ3 – коэффициенты Лямэ по декартовым координатам 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. 
Данные коэффициенты представляют собой коэффициенты пропорциональности между дифференциальными значениями обобщенных координат и ребрами элементарного параллелепипеда, которые в данной точке пространства имеют бесконечно малое значение. Таким образом, коэффициенты Лямэ являются связующими элементами для перехода от одних координатных систем к другим [1]. 
В технической электродинамике используют три вида систем координат, для которых эти коэффициенты имеют вид, представленный в табл. 1.1. 
Операторный элемент – градиент для данных систем координат вычисляют по соотношениям, представленным в табл. 1.2. 
7 

1. Основные математические соотношения для расчетов ЭМП и характеристики… 
Таблица 1.1 
Коэффициенты Лямэ для трех видов систем координат 
Декартовая система координат (х, у, z) 
hx = hy = hz = 1 
Цилиндрическая система координат 
(r, f, z) 
hr=1, h = r , hz = 1 
Сферическая система координат             
(r, J, f) 
hr = 1, h = r, h = rsin  
Таблица 1.2 
Операторный элемент для трех видов систем координат 
Декартовая система координат 
𝑔𝑟𝑎𝑑≡𝜕
𝜕𝑥1𝑥+ 𝜕
𝜕𝑦1𝑦+ 𝜕
𝜕𝑧1𝑧 
𝜕
Цилиндрическая система координат 
𝑔𝑟𝑎𝑑≡𝜕
𝜕𝑟1𝑟+ 1
𝑟
𝜕𝜑1𝜑+ 𝜕
𝜕𝑧1𝑧 
𝜕
𝜕
Сферическая система координат 
𝑔𝑟𝑎𝑑≡𝜕
𝜕𝑟1𝑟+ 1
𝑟
𝜕𝜗1𝜗+
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜗
𝜕𝜑1𝜑 
При этом дифференциальные свойства векторных полей описываются 
более сложным способом. Так, векторное поле А обычно характеризуется 
скалярным полем, которое определяется как дивергенция (divА) и одновременно векторным полем, определяемым как ротор (rоtА). 
Физические значения определения параметра дивергенции определяются как плотность источников рассматриваемого векторного поля в некоторой произвольной точке пространства с заданными координатами.  
Физический смысл определения ротора данного векторного поля считается более сложным поскольку оно в данном смысле характеризует степень отличия рассматриваемого векторного поля от однородного (у которого градиент будет равен нулю). 
Рассмотрим эти два понятия более подробно. 
Согласно классическим соотношениям [2] дивергенции векторного 
поля А рассчитывается как сумма дифференциалов его проекции.  
Согласно этому в различных системах координат эта операция также 
имеет вид (табл. 1.3). 
Если при расчётах будет применяться какая-либо произвольная ортогональная криволинейная система координат, то в этом случае справедливо 
следующие обобщённое соотношение: 
1
𝜕
𝜕
𝜕
𝑑𝑖𝑣 𝐴= 
ℎ1ℎ2ℎ3 [
𝜕𝑥1 (ℎ2ℎ3𝐴𝑥1) +
𝜕𝑥2 (ℎ1ℎ3𝐴𝑥2) +
𝜕𝑥3 (ℎ1ℎ2𝐴𝑥3)].    (1.1) 
8 

1.1. Основные соотношения для описания векторного и скалярного полей 
Таблица 1.3 
Дивергенция векторного поля А для трех видов систем координат 
𝜕𝑥+ 𝜕𝐴
𝜕𝑦+ 𝜕𝐴
𝜕𝑧 
Декартовая система  
координат 
𝑑𝑖𝑣 𝐴= 𝜕𝐴
𝑟∙𝜕
𝜕𝑟(𝑟∙𝐴𝑟) + 1
𝑟∙𝜕𝐴𝜑
𝜕𝜑+ 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧 
Цилиндрическая система 
координат 
𝑑𝑖𝑣 𝐴= 1
𝑑𝑖𝑣 𝐴= 1
𝑟2 ∙𝜕
𝜕𝑟(𝑟2 ∙𝐴𝑟) +
1
𝑟∙sin 𝜗∙𝜕
𝜕𝜗(sin 𝜗∙𝐴𝜗) + 
 
Сферическая система  
координат 
+
1
r ∙sin 𝜗∙𝜕𝐴𝜑
𝜕𝜑 
Проекции ротора векторного поля А приведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4 
Проекции ротора векторного поля А для трех видов систем координат 
Декартовая система координат 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑥= 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦 − 𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑦= 𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧 − 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑧= 𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥 − 𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦 
𝜕𝐴𝜑
Цилиндрическая система координат 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑟= 1
𝑟∙𝜕𝐴𝑧
𝜕𝜑 − 
𝜕𝑧 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝜑= 𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧 − 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑧= 1
𝑟∙[𝜕(𝑟∙𝐴𝜑)
𝜕𝑟
 − 𝜕𝐴𝑟
𝜕𝜑] 
Сферическая система координат 
𝜕(sin 𝜗∙𝐴𝜑)
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝑟=
1
𝑟∙sin 𝜗∙[
𝜕𝜗
 − 𝜕𝐴𝜗
𝜕𝜑] 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝜗= 1
𝑟∙[ 1
sin 𝜗∙𝜕𝐴𝑟
𝜕𝜑 − 𝜕(𝑟∙𝐴𝜑)
𝜕𝑟
] 
(𝑟𝑜𝑡 𝐴)𝜑= 1
𝑟∙[𝜕(𝑟∙𝐴𝜗)
𝜕𝑟
 − 𝜕𝐴𝑟
𝜕𝜗] 
В случае использования произвольной системы координат уравнения 
для ротора векторного поля А выражаются через коэффициенты Лямэ и проекции этого поля на соответствующие орты: 
1𝑥1
𝜕(ℎ3∙𝐴𝑥3)
𝜕(ℎ2𝐴𝑥2)
1𝑥2
𝜕(ℎ1∙𝐴𝑥1)
𝜕(ℎ3𝐴𝑥3)
𝑟𝑜𝑡 𝐴=
𝜕𝑥2
 − 
𝜕𝑥3
] +
𝜕𝑥3
 − 
𝜕𝑥1
] +
ℎ2ℎ3 ∙[
ℎ1ℎ3 ∙[
1𝑥3
𝜕(ℎ2∙𝐴𝑥2)
𝜕(ℎ1𝐴𝑥1)
+
𝜕𝑥1
 − 
𝜕𝑥2
]. 
ℎ1ℎ2 × [
9 

1. Основные математические соотношения для расчетов ЭМП и характеристики… 
В технической электродинамике один из важнейших операторов, который позволяет проводить дифференциальные операции с векторными и скалярными полями, является ∇  оператора Гамильтона. Основные свойства 
этого оператора записываются в виде равенств. 
По определению 
 grad U = ∇ U,              div A = ∇ A,         rot A = [∇ A] .             (1.2) 
В общепризнанном случае использования декартовой системы координат оператор Гамильтона представляет собой совокупный вектор 
𝜕
𝜕
𝜕
∇≡
𝜕𝑥1𝑥+
𝜕𝑦1𝑦+
𝜕𝑧1𝑧.                                        (1.3) 
Следующий важный оператор представляет оператор Лапласа, который равен 2 и входит в множество дифференциальных векторных операций, применяемых в электродинамике. Так, оператор Лапласа, который 
представляет собой дифференциальную операцию второго порядка, действующую на скалярное поле, определяется как  
𝛻2 = ∆≡𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑. 
В случае векторного поля A будет иметь место аналогичный оператор, 
который описывается как 
∇2𝐴= 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴−𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐴.                                (1.4) 
В табл. 1.5 сведены основные соотношения для оператора Лапласа в 
различных координатных системах.  
                                                                                                     Таблица 1.5 
Основные соотношения для оператора Лапласа                                        
для трех видов систем координат 
Декартовая система координат 
∇2𝑈= 𝜕2𝑈
𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑈
𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑈
𝜕𝑧2 
𝜕
𝑟
𝜕𝑟(𝑟𝜕𝑈
𝜕𝑟) + 1
𝑟2
𝜕2𝑈
𝜕𝜑2 + 𝜕2𝑈
𝜕𝑧2 
Цилиндрическая система  
координат 
∇2𝑈= 1
Сферическая система координат 
𝜕
𝜕
∇2𝑈= 1
𝑟2
𝜕𝑟(𝑟2 𝜕𝑈
𝜕𝑟) +
1
𝑟2 sin 𝜗
𝜕𝜗(sin 𝜗𝜕𝑈
𝜕𝜗) + 
+
1
𝑟2 𝑠𝑖𝑛2 𝜗
𝜕2𝑈
𝜕𝜑2 
Для удобства графического представления векторных полей используют изображения силовых линий в виде соответствующих векторов,                 
10