Алгебра и геометрия

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Л. В. Веселова, Г. Н. Романова, Р. Н. Хузиахметова 
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 
Учебное пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 512(075) 
ББК 22.14я7 
В38 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. А. Альпин  
канд. физ.-мат. наук, доц. О. Е. Тихонов 
В38 
Веселова Л.В. 
Алгебра и геометрия : учебное пособие / Л. В. Веселова, Г. Н. Романова, Р. Н. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 120 с. 
ISBN 978-5-7882-3270-6 
Содержит необходимый теоретический материал по алгебре и геометрии, а также параметризированные расчетные задания и вопросы для проверки остаточных знаний обучающихся.  
Предназначено для обучающихся направления подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии». 
Подготовлено на кафедре высшей математики. 
УДК 512(075) 
ББК 22.14я7 
ISBN 978-5-7882-3270-6 
© Веселова Л. В., Романова Г. Н., 
Хузиахметова Р. Н., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение 
................................................................................................................................ 
4 
1. Основные алгебраические структуры ............................................................................. 
5 
2. Поле комплексных чисел как простое расширение поля действительных чисел ....... 
9 
3. Кольцо многочленов над произвольным полем 
........................................................... 
15 
4. Неприводимые многочлены. Корни многочленов над полем P 
.................................. 
20 
5. Определители и их свойства 
.......................................................................................... 
25 
6. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы 
............................................................. 
28 
7. Системы линейных уравнений ...................................................................................... 
34 
8. Векторное пространство. Базис и размерность ............................................................ 
39 
9. Евклидово пространство над полем вещественных чисел .......................................... 
48 
10. Линейные операторы в евклидовом пространстве..................................................... 
53 
11. Спектральная теорема для самосопряженного оператора 
......................................... 
58 
12. Билинейные и квадратичные формы на конечномерном евклидовом
пространстве ....................................................................................................................... 
62 
13. Квадратичные формы и скалярное произведение 
...................................................... 
67 
14. Прямые и кривые второго порядка на плоскости. Канонические уравнения
кривых второго порядка 
..................................................................................................... 
71 
15. Аффинные и ортогональные преобразования плоскости и пространства ............... 
81 
16. Общая теория кривых второго порядка на плоскости. Инварианты кривых
второго порядка .................................................................................................................. 
87 
17. Поверхности второго порядка ..................................................................................... 
98 
18. Расчетное задание по линейной алгебре 
................................................................... 
106 
19. Примеры решения заданий по линейной алгебре .................................................... 
107 
20. Расчетное задание по аналитической геометрии ..................................................... 
115 
21. Вопросы для самопроверки ....................................................................................... 
116 
Библиографический список ............................................................................................. 
119 
3 

В В Е Д Е Н И Е
Данное пособие включает в себя курс алгебры и геометрии, 
предназначенный 
для 
обучающихся 
направления 
подготовки 
09.03.02 «Информационные системы и технологии». 
Алгебраические структуры являются основой многих математических дисциплин, но в геометрии группы ортогональных и аффинных 
преобразований играют особенно большую роль. Алгебраическая теория квадратичных форм позволяет легко классифицировать кривые 
и поверхности второго порядка. 
Несмотря на то что предлагаемое пособие не претендует на полноту изложения материала (скорее, авторы старались изложить основные понятия максимально доступно для обучающихся), в нем, на наш 
взгляд, содержится достаточно большое количество примеров в двумерном и трехмерном пространстве, иллюстрирующих более общие понятия в евклидовом пространстве. В то же время введенное определение линейного оператора позволяет рассматривать классы линейных 
преобразований в евклидовом пространстве, не привязывая их к какому-либо определенному базису. 
Кроме необходимого теоретического материала, данное пособие 
содержит также параметризированные расчетные задания и вопросы 
для проверки остаточных знаний студентов, изучающих дисциплину 
«Алгебра и геометрия». 
4 

.  О С Н О В Н Ы Е  А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Е  С Т Р У К Т У Р Ы
Вспомним, какие мы знаем числа, как и откуда они появились. 
Представим себе, что мы живем в первобытно-общинном обществе и не 
умеем считать. Предположим, что вожди нашего племени Острый глаз 
и Верная рука однажды после удачной охоты на мамонтов решили выяснить, кто из них лучший охотник. Вождь Верная рука со своими товарищами добыли определенное количество мамонтов, а Острый глаз и его 
группа охотников – другое количество мамонтов. Так кто же из них оказался более удачливым? Таким образом, вначале возникло не понятие равенства, а понятие сравнения. Но в один прекрасный день обе группы 
охотников пошли на охоту и добыли одинаковое количество мамонтов. 
Каждому мамонту, убитому вождем Острый глаз и его товарищами, соответствовал мамонт, добытый охотниками из группы вождя Верная 
рука. Как вы, наверное, уже поняли, сами мамонты как таковые здесь совершенно ни при чем, а главным является взаимнооднозначное соответствие между элементами двух множеств. Именно это соответствие 
между элементами множеств и лежит в основе понятия натурального 
числа. Название «натуральные числа» показывает происхождение этих 
чисел из натурального сравнения наших условных мамонтов. Далее через N = {1, 2, 3, …} будем обозначать множество натуральных чисел.  
После того как мы научились считать предметы, нам захотелось 
узнать, сколько мамонтов убили оба вождя и их группы охотников вместе. 
Так совершенно естественным образом возникла операция сложения натуральных чисел, обладающая к тому же определенными положительными 
свойствами: 
1) коммутативностью:
a + b = b + a; 
2) ассоциативностью:
a + (b + c) = (a + b) + c. 
Также нам захотелось сравнить, насколько больше мамонтов добыла одна группа охотников по сравнению с другой. Таким образом, 
в противовес операции сложения возникла операция вычитания. Но тут 
обозначилась другая проблема: при вычитании из меньшего числа большего результат уже не является натуральным числом. Это наводит на 
мысль о расширении множества натуральных чисел с сохранением введенных операций и их свойств. Через Z = {…,–2,–1,0,1,2,…} обозначим 
5 

множество целых чисел. Отметим особую роль числа 0 относительно операции сложения: 
Для любого натурального числа a имеем  
a + 0 = a.  
При этом отрицательное число –a можно рассматривать как обратный элемент к положительному a:  
a + (–a) = 0.  
На множестве можно также ввести еще одну операцию – умножение, также обладающую положительными свойствами: 
1) коммуникативностью:  
ba = ab; 
2) ассоциативностью:  
a(bc) = (ab)c. 
3) дистрибутивностью, связывающей между собой операции сложения и умножения:  
a(b + c) = ab + ac. 
Отметим также особую роль числа 1 по отношению к операции 
умножения:  
1* a = a * 1.  
Не правда ли, похоже на роль 0 по отношению к операции сложения? Однако обратный элемент по умножению к целому числу не является целым числом, что ведет нас к введению новых чисел – рациональных дробей. Обозначим:  
n
Q ={
m, n∈Z, m∈N} – множество рациональных чисел; 
R = { lim
n→∞𝑎𝑛: 𝑎𝑛∈Q} – множество действительных чисел.  
Отметим, что во всех введенных множествах сохраняются 
естественные операции сложения и умножения, а также и их свойства. Теперь введем основные определения, обобщающие рассмотренные примеры. 
Определение 1.1. Группой называется множество G с одной групповой операцией *, обладающей следующими свойствами: 
6 

1) ∀aG, bG => a * bG; 
2) ∀aG, bG, cG => a * (b * c) = (a * b) *c; 
3) ∃ 1G : a * 1 = 1 * a для всех aG; 
4) ∀ aG ∃ a–1G: a * a–1 = 1. 
При этом элемент 1 называется единицей группы, а элемент  
a–1 – обратным элементом к элементу a по групповой операции *. 
Определение 1.2. Группа называется коммутативной, если групповая операция коммутативна. 
Очевидно, что множество натуральных чисел не является группой 
ни по сложению, ни по умножению, так как не выполнено упомянутое 
выше свойство 4. Множество целых чисел является коммутативной группой по сложению, но не является группой по умножению опять-таки потому, что не выполнено данное свойство. Множества Q и R являются 
коммутативными группами и по сложению, и по умножению. 
Определение 1.3. Множество K называется кольцом, если оно является коммутативной группой по сложению со второй операцией – 
умножения, обладающей следующими свойствами: 
1) ∀aK, bK => ab = baK; 
2) ∀aK, bK, cK => a(bc) = (ab)c; 
3) ∀aK, bK, сK => a(b + c) = ac + ab. 
Определение 1.4. Кольцо называется кольцом с единицей, если 
в нем есть единица по умножению. 
Очевидно, что множество целых чисел является кольцом с единицей. 
Определение 1.5. Множество P называется полем, если оно является коммутативными группами по сложению и умножению и эти операции связаны отношением транзитивности:  
∀a,b,cP => a(b + c) = ac + ab. 
Определение 1.6. Подмножество G1 группы G называется подгруппой группы G, если G1 является группой с той же групповой операцией и той же единицей, что и G. 
Определение 1.7. Подмножество K1 K называется подкольцом 
кольца K, если K1 является кольцом с такими же групповыми операциями и такими же единицей и нулем, что и K. 
Определение 1.8. Подмножество P1 P называется подполем 
поля P, если P1 является полем с такими же групповыми операциями 
и такими же единицей и нулем, что и P. В таком случае поле P называется расширением поля P1. 
Очевидно, что Z является подкольцом Q, а Q – подполем R. 
7 

Определение 1.9. Ненулевые элементы a, b кольца K называются 
делителями нуля, если ab = 0. 
Теорема 1.1. Если кольцо является полем, то в нем нет делителей нуля. 
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, что существуют ненулевые элементы поля P a и b – такие, 
что ab = 0. Так как P – поле, то ∀a  P, ∃ a–1  P: aa–1 = 1.  
Тогда 
a–1ab = 1 · b = b = 0,  
что противоречит нашему предположению. 
Задачи:  
1. Выяснить, обладают ли свойствами ассоциативности и коммутативности операции * на множестве А: 
1) если А = N, x * y = x + 2y;  
2) если A = N, x * y = 3xy;  
3) если A = N, x * y = xy; 
4) если A = N, x * y = x2 + y;  
5) если A = Z, x * y = x – y;  
6) если A = R, x * y = sinx · cosy. 
2. Какие из числовых множеств являются группами относительно 
заданных операций: 
1) множество степеней данного вещественного числа с целыми 
показателями относительно умножения; 
2) множество рациональных чисел на интервале (0,1) относительно операции умножения; 
3) множество положительных действительных чисел относительно операции умножения; 
4) отрезок [0,1] относительно операции умножения; 
5) отрезок [0,1] относительно операции  
a * b = {a + b}, 
где {a} – дробная часть числа a. 
3. Доказать, что если в группе G выполнено условие  
x * x = 1 
для всех элементов группы G, то группа коммутативна. 
4. Доказать, что пересечение двух подгрупп группы будет подгруппой той же группы. 
8 

.  П О Л Е  К О М П Л Е К С Н Ы Х  Ч И С Е Л  К А К  П Р О С Т О Е  
Р А С Ш И Р Е Н И Е  П О Л Я  Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Х  Ч И С Е Л  
Рассмотрим задачу расширения поля действительных чисел с сохранением свойств операций сложения и умножения, а также 0 и 1. Введем всего одно новое число i и назовем его мнимой единицей. Комплекным числом z назовем сумму  
z = x + iy. 
Множество таких чисел обозначим как C и будем изображать их 
на плоскости, которую назовем комплексной плоскостью. Осью 
Ox здесь является действительная прямая и она называется действительной осью. На оси Oy (она называется мнимой осью) расположены 
числа вида ai (aR). Таким образом, комплексное число обозначается 
вектором на комплексной плоскости и имеет векторную природу: 
 y 
 
 M 
z=x+iy 
 y=|z|sinφ 
 φ 
 0 
 x=|z|cosφ 
 x 
 
Запись комплексного числа  
z = x + iy  
называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительной частью комплексного числа называется  
x = Rez,  
мнимой частью комплексного числа называется  
y = Imz.  
Сложение комплексных чисел определяется покоординатно как 
сложение векторов: 
z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i.  
9 

Коммутативность и ассоциативность сложения очевидна, нулем является обычный 0. Обратным элементом по сложению к числу  
z = x + iy 
является число  
z = –x – iy. 
Таким образом, множество комплексных чисел является коммутативной группой по сложению. Умножение комплексных чисел определим формулой 
z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1 x2 – y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1)i.  
Коммутативность, ассоциативность умножения, а также дистрибутивность относительно сложения легко проверяются, единицей является обычная единица. Однако с делением дело обстоит сложнее. 
Определение 2.1. Комплексно сопряженным к числу  
z = x + iy  
называется число  
z = x – iy. 
Определение 2.2. Модулем комплексного числа называется 
длина вектора OM. 
Определение 2.3. Аргументом комплексного числа z называется 
угол между положительным направлением действительной оси и радиусом-вектором числа, отсчитываемый в направлении против часовой 
стрелки. 
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, так 
как при повороте вектора на угол, кратный 2, комплексное число не 
меняется. Запись комплексного числа в виде  
z = |z|(cosφ+ i sinφ)  
называется тригонометрической формой записи комплексного числа. 
Выведем формулы умножения и деления комплексных чисел 
в тригонометрической форме записи. Перемножим числа в тригонометрической форме записи: 
z1z2 = |z1|(cosφ1 + i sinφ1) |z2|(cosφ2 + i sinφ2) = 
= |z1||z2| (cosφ1 cosφ2 – sinφ1 sinφ2 + i(cosφ1 sinφ2 +  
+ cosφ2 sinφ1)) = |z1||z2| (cos(φ1 + φ2) + i sin(φ2 + φ1)). 
10