Законы сохранения в механике поступательного движения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
А. Н. Темников, Н. А. Кузина, В. С. Минкин 
ЗАКОНЫ  
СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
ПОСТУПАТЕЛЬНОГО 
ДВИЖЕНИЯ  
Учебно-методическое пособие
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 53.351.62 
ББК  22.3 
Т32 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. Р. Б. Зарипов 
д-р техн. наук, доц. А. Н. Туранов 
Т32 
Темников А. Н. 
Законы сохранения в механике поступательного движения : учебнометодическое пособие / А. Н. Темников, Н. А. Кузина, В. С. Минкин; 
Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : 
Изд-во КНИТУ, 2023. – 80 с. 
ISBN 978-5-7882-3317-8 
Изложены основные понятия и законы механики. Содержит описание четырех лабораторных работ. 
Предназначено для студентов 1–2 курсов всех форм и направлений подготовки. 
Подготовлено на кафедре физики. 
УДК 53.351.62 
ББК  22.3 
ISBN 978-5-7882-3317-8 
© Темников А. Н., Кузина Н. А, 
Минкин В. С., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Законы сохранения 
........................................................................................................ 5 
Импульс ...................................................................................................................... 5 
Изменение импульса. Импульс силы 
....................................................................... 5 
Сила как производная импульса .............................................................................. 7 
Импульс системы тел ................................................................................................ 8 
Закон сохранения импульса 
...................................................................................... 9 
Механическая энергия 
............................................................................................. 11 
Закон сохранения полной механической энергии 
................................................ 13 
Работа ........................................................................................................................ 14 
Соударение шаров ................................................................................................... 15 
Центр массы ............................................................................................................. 20 
Коэффициент восстановления 
................................................................................ 23 
Энергия остаточной деформации 
........................................................................... 25 
Средняя сила удара шаров ...................................................................................... 26 
Лабораторная работа 108. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ, 
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ПРОЦЕСС СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ 
......... 27 
Описание экспериментальной установки ............................................................. 27 
Методика определения коэффициента восстановления К .................................. 28 
Проведение измерений 
............................................................................................ 30 
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 31 
Лабораторная работа 108а. ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКОНОВ 
СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ................................................................................ 33 
Описание экспериментальной установки ............................................................. 33 
Подготовка компьютера к измерениям ................................................................. 34 
Эксперимент 1. Проверка закона сохранения импульса при соударении 
двух одинаковых шаров .......................................................................................... 37 
Проведение измерений 
............................................................................................ 38 
Обработка результатов измерений ........................................................................ 41 
Эксперимент 2. Проверка закона сохранения импульса при соударении 
двух разных шаров 
................................................................................................... 42 
Подготовка установки к измерениям .................................................................... 42 
Проведение измерений 
............................................................................................ 42 
3 

Обработка результатов измерений ........................................................................ 45 
Эксперимент 3. Проверка закона сохранения полной механической 
энергии ...................................................................................................................... 46 
Подготовка установки к измерениям .................................................................... 46 
Проведение измерений 
............................................................................................ 46 
Обработка результатов измерений ........................................................................ 48 
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 49 
Лабораторная работа 108б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОГО 
УДАРА ДВИЖУЩЕГОСЯ ШАРА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ 
................ 51 
Краткие теоретические сведения ........................................................................... 51 
Описание экспериментальной установки ............................................................. 55 
Подготовка компьютера к измерениям ................................................................. 57 
Подготовка установки к измерениям .................................................................... 57 
Проведение измерений 
............................................................................................ 58 
Обработка результатов измерений ........................................................................ 62 
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 63 
Компьютерная лабораторная работа. ИЗУЧЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ 
ЦЕНТРАЛЬНОГО АБСОЛЮТНО УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ РАЗНОЙ 
МАССЫ 
........................................................................................................................ 65 
Краткие теоретические сведения ........................................................................... 65 
Порядок выполнения работы 
.................................................................................. 69 
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 76 
Литература ................................................................................................................... 78 
4

З А К О Н Ы  С О Х Р А Н Е Н И Я
В физике важную роль играют законы сохранения, согласно которым при определенных условиях некоторые физические величины, 
характеризующие систему тел, не изменяются в ходе процессов, происходящих внутри системы.  
Законы сохранения отражают особые свойства пространства 
и времени (изотропность, однородность, равномерность), поэтому они 
являются универсальными законами природы и выполняются в любых 
процессах – механических, тепловых, электрических, магнитных, оптических. Некоторые частные физические законы являются следствием 
более общих законов сохранения.  
Применение законов сохранения позволяет упростить решение 
задач путем сравнения параметров системы в начальном и конечном состояниях без детального анализа взаимодействий между отдельными 
телами, входящими в систему. Законы сохранения используются при 
проверке новых теорий: если в теории нарушается какой-либо закон сохранения, то она неверна или требует доработки. 
В механике широко используются законы сохранения импульса 
и полной механической энергии.  
И м п у л ь с
Импульсом тела называется векторная физическая величина, 
равная произведению массы этого тела на его скорость: 
𝑝
⃗= 𝑚𝜐
⃗. 
(1) 
Импульс, как и скорость, направлен по касательной к траектории движения тела. Единица измерения импульса – кг∙м/с. 
И з м е н е н и е  и м п у л ь с а .  И м п у л ь с  с и л ы
Импульс тела изменяется, если изменяется его скорость по величине и/или по направлению: 
5 

𝛥𝑝
⃗= 𝑚𝛥𝜐
⃗. 
 
 
 
 
(2) 
Векторная величина, численно равная изменению скорости за 
единицу времени, называется ускорением:  
 
𝛥𝜐
⃗
⃗⃗
𝑎
⃗=
𝛥𝑡. 
 
 
 
 
 
(3) 
 
Согласно второму закону Ньютона ускорение тела массой m 
прямо пропорционально действующей на него силе: 
 
𝐹
⃗
𝑎
⃗=
𝑚. 
 
 
 
 
 
(4) 
 
Используя формулы (2), (3) и (4), можно получить следующее соотношение:  
 
𝛥𝑝
⃗= 𝐹
⃗𝛥𝑡. 
 
 
 
 
 
(5) 
 
Векторная величина 𝐹
⃗Δ𝑡, равная произведению силы на время ее 
действия, называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на это тело. 

Если на тело действует несколько сил, то F
 – результирующая 
сила, равная векторной сумме всех сил, действующих на тело. Напомним, что сумму векторов находят, используя правило параллелограмма 
или правило треугольника.  

Из формул (2)–(5) следует, что векторы p

, 

, a
  и F
 имеют 
одинаковое направление. Так как сила может быть приложена к телу 
в любом направлении, то все эти векторы могут быть ориентированы 
к траектории движения тела под любым углом. 
Из формулы (5) можно получить следующее соотношение: 
 
𝛥𝑝
⃗
𝐹
⃗=
𝛥𝑡. 
 
 
 
 
 
(6) 
 
Как видно, сила численно равна изменению импульса за единицу 
времени, т. е. скорости изменения импульса.  
Используя формулу (6), можно найти величину и направление 

, действующей на тело, если известны величина и направление 
силы F
вектора изменения импульса p

 и время действия силы t
.  
6 

Вектор изменения импульса p

 равен разности двух векторов – 
вектора конечного импульса p
 (после действия силы) и вектора 
начального импульса 
0
p
 (до начала действия силы): 
 
𝛥𝑝
⃗= 𝑝
⃗−𝑝
⃗0. 
 
Данное выражение можно переписать в следующем виде: 
 
𝑝
⃗0 + 𝛥𝑝
⃗= 𝑝
⃗. 
 
Из этого равенства с учетом правила треугольника для сложения векторов следует, что вектор изменения импульса p

 соединяет конец вектора
0
p
 с концом вектора p
. Напомним, что направление вектора 
p

 

совпадает с направлением вектора F
. 
С и л а  к а к  п р о и з в о д н а я  и м п у л ь с а  

Если сила F
 изменяется со временем, то формула (6) дает среднее значение силы. Чтобы получить мгновенное значение силы, соответствующее определенному моменту времени, необходимо найти предел выражения (6) при t
, стремящемуся к нулю, т. е. найти производную по времени: 
 
𝛥𝑝
⃗
𝑑𝑝
⃗
𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑡=
𝑑𝑡.                                              (7) 
𝑡→0
 
 
При этом формула (6) принимает следующий вид: 
 
𝑑𝑝
⃗
𝐹
⃗=
𝑑𝑡.                                                 (8) 
 
Таким образом, мгновенная сила равна производной от импульса 

по времени, т. е. мгновенной скорости изменения импульса. Направление вектора p
d совпадает с направлением вектора F
. 
В прямоугольной системе координат вектор изменения импульса 
может быть представлен в следующем виде:  
 
7 

𝛥𝑝
⃗= 𝛥𝑝𝑥𝑖
⃗+ 𝛥𝑝𝑦𝑗
⃗+ 𝛥𝑝𝑧𝑘
⃗
⃗, 
 
где 𝛥𝑝𝑥,  𝛥𝑝𝑦,  𝛥𝑝𝑧 – проекции вектора 
p

 на оси координат; 𝑖
⃗, 𝑗
⃗, 𝑘
⃗
⃗ – 
единичные векторы, указывающие направления этих осей. 
Если известно, как с течением времени изменяются проекции 
вектора силы (
z
y
x
F
F
F
,
,
), то величины 
z
y
x
p
p
p



,
,
 можно найти интегрированием: 
 
𝑡
𝑡
𝑡
𝛥𝑝𝑥= ∫𝐹
𝑥
𝑡0
𝑑𝑡,   𝛥𝑝𝑦= ∫𝐹
𝑦
𝑡0
𝑑𝑡,   𝛥𝑝𝑧= ∫𝐹
𝑧
𝑡0
𝑑𝑡. 
 
Каждую из величин 
z
y
x
p
p
p



,
,
 можно найти графически как площадь 
под графиком зависимости проекции силы от времени на интервале 
0
t
t
t
−
=

. 
Модуль вектора p

  определяется выражением следующего вида: 
 
2 + 𝛥𝑝𝑧
2. 
𝛥𝑝= √𝛥𝑝𝑥
2 + 𝛥𝑝𝑦
И м п у л ь с  с и с т е м ы  т е л  
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов отдельных тел, входящих в систему:  
 
𝑁
𝑖=1
,                               (9) 
𝑝
⃗= 𝑝
⃗1 + 𝑝
⃗2+. . . +𝑝
⃗𝑁= ∑
𝑝
⃗𝑖
 
где 𝑝
⃗
⃗
⃗⃗𝑖= 𝑚𝑖𝜐
⃗𝑖 – импульс i-го тела; 𝑁– число тел в системе. 
Отметим, что для нахождения суммы большого числа векторов 
удобнее использовать правило треугольника.  
В некоторых случаях импульс системы может оказаться равным 
нулю. Например, импульс системы, состоящей из двух одинаковых шаров, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, равен нулю. Суммарный импульс всех молекул, находящихся 
в неподвижном сосуде и участвующих в хаотичном тепловом движении, также равен нулю. 
8