Моделирование химико-технологических процессов в пакете Mathcad Prime

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ПАКЕТЕ 
MATHCAD PRIME 
Учебное пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 
1
1
1

УДК 66.011:004.42(075) 
ББК 35.115:32.97я7 
М74 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. А. Г. Лаптев 
д-р техн. наук, доц. М. И. Фарахов 
М74 
Авторы: А. В. Клинов, А. В. Малыгин, И. П. Анашкин, 
Л. Р. Минибаева 
Моделирование химико-технологических процессов в пакете Mathcad 
Prime : учебное пособие / А. В. Клинов, А. В. Малыгин, И. П. Анашкин, Л. Р. Минибаева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 148 с. 
ISBN 978-5-7882-3166-2
Рассмотрены некоторые задачи математического моделирования химикотехнологических процессов: описание свойств веществ и условий фазового равновесия; моделирование процессов разделения и химических превращений в аппаратах. Разобраны математические методы, используемые при решении этих задач, а также их реализация в среде математического пакета Mathcad.  
Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения по направлениям 18.03.01 «Химическая технология» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов». 
Подготовлено на кафедре процессов и аппаратов химической технологии. 
УДК 66.011:004.42(075) 
ББК 35.115:32.97я7
ISBN 978-5-7882-3166-2 
© Клинов А. В., Малыгин А. В., Анашкин И. П., 
Минибаева Л. Р., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 

Содержание 
Введение  
........................................................................................................................ 4 
1. Основы математического пакета Mathcad  
............................................................. 6 
2. Регрессионный анализ, методы аппроксимации ................................................. 22 
3. Решение дифференциальных уравнений  ............................................................. 35 
4. Основы программирования в пакете Mathcad .... 
................................................. 50 
5. Решение дифференциальных уравнений с частными производными  
.............. 58 
6. Оптимизация процессов химической технологии  .............................................. 73 
7. Определение условий фазового равновесия «пар – жидкость»  ........................ 78 
8. Определение фазовой диаграммы вещества на основе аналитического
уравнения состояния 
................................................................................................... 91 
9. Проектный и поверочный расчет абсорбера ........................................................ 98
10. Моделирование процесса теплообмена  ........................................................... 109 
11. Моделирование реакций в реакторах с различной структурой потоков 
....... 118 
12. Моделирование процесса ректификации бинарной смеси
в тарельчатой колонне .............................................................................................. 126 
13. Расчеты гидравлических сетей .......................................................................... 135 
Библиографический список ..................................................................................... 146 
3
3

Введение
Математическое моделирование является эффективным инструментом инженерных и научно-исследовательских расчетов, который позволяет решать задачи проектирования новых и повышения эффективности существующих промышленных процессов. При
этом в качестве объекта исследования выступает не сам аппарат
или процесс, а его математическая модель. Надежность получаемых результатов моделирования во многом зависит от теоретических основ, на которых строится модель, и закладываемых в нее
допущений.
На химико-технологические процессы влияет большое количество элементарных явлений, связанных с гидродинамикой, кинетикой, фазовым равновесием и т. д., которые к тому же и взаимосвязаны. Поэтому эти явления нужно уметь корректно описывать,
чтобы правильно отобразить процессы, протекающие в аппарате,
и, соответственно, получить достоверный результат.
В данном пособии предлагаются примеры моделирования типовых явлений, присутствующих в процессах химической технологии. Рассмотрены задачи описания фазового равновесия в идеальных и неидеальных системах, задачи идентификации параметров
модели, моделирования тепло- и массообменных процессов, химических реакций, протекающих в аппаратах с заданной структурой
потока.
Задачей данного пособия является обучение студентов навыкам
составления математических моделей процессов и разработки алгоритмов их численного решения. Для численного решения этих
задач предлагается использовать математический пакет Mathcad
Prime, который является средой для выполнения на компьютере
разнообразных расчетов. Рассматриваются основы работы с данным математическим пакетом. Разобраны основные функции (нахождение коэффициентов регрессии, решение системы простых
и дифференциальных уравнений), необходимые для реализации
алгоритмов численного решения математических моделей.
В конце каждой темы представлены примеры заданий для
выполнения. Для увеличения вариативности заданий на языке
программирования GNU Octave была написана программа (сви4
4
4
4
4
1
4

детельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№2020662252) генерации вариантов заданий для рассматриваемых
тем. Исходный текст программы может быть найден по ссылке
https://github.com /kstu/mathmodel/.
5

1.
Основы математического пакета Mathcad
Mathcad — программное средство, являющееся средой для выполнения на компьютере разнообразных математических расчетов. Mathcad включает множество операторов, встроенных функций и алгоритмов для решения математических задач. Пользовательский интерфейс системы создан так, что пользователь, имеющий элементарные навыки работы с Windows-приложениями, может сразу начать работу с Mathcad. Элементы управления расположены в меню в виде ленты, широко применяемой в офисных
программных продуктах. Mathcad позволяет интегрировать математические расчеты и их графическое представление в рамках одного документа.
Лента меню содержит следующие пункты:
∙
Математика — содержит базовые математические операторы;
∙
Ввод/вывод — позволяет осуществлять импорт исходных данных или экспорт результатов расчетов во внешние файлы;
∙
Функции — содержит встроенные функции, сгруппированные
по областям применения;
∙
Матрицы/таблицы — позволяет создавать таблицы и матрицы,
содержит функции обработки векторов и матриц;
∙
Графики — позволяет создавать графики и редактировать их
внешний вид;
∙
Форматирование формул — позволяет изменять внешний вид
формул (шрифт, размер шрифта, числовой вид представления и т. д.);
∙
Форматирование текста — позволяет изменять внешний вид текстовой области;
∙
Расчет — позволяет изменять внутренние переменные точности и сходимости численных вычислений, включать и отключать вычисления в блоках;
6
6
6
6
6
3
6

∙
Документ
— позволяет изменять внешний вид документа
(размеры отступов, межстрочного интервала, колонтитулы
и т. д.);
∙
Ресурсы — содержит справочный материал по встроенным
функциям и учебные материалы.
В Mathcad для ввода информации существует два редактора:
текстовый и формульный. Для наглядного представления полученных результатов в Mathcad предусмотрен графический редактор.
По умолчанию ввод осуществляется в формульный блок. Для запуска редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой клавишей
мыши — появится визир в виде крестика. Его можно перемещать
мышкой или клавишами перемещения курсора. Визир указывает
место, с которого начинается набор формул — вычислительных
блоков. Для ввода данных можно указать курсором мыши на нужный шаблон данных и щелчком левой ее клавиши ввести его.
Вызвать нужные математические операторы можно через меню, однако использование горячих клавиш позволяет существенно
повысить скорость создания документов. При наведении на кнопки
меню в программе показывается всплывающая подсказка, в которой содержатся название и краткое описание оператора, а также
соответствующее сочетание горячих клавиш.
Переменные
Используемые в расчете данные хранятся в переменных. Чтобы
определить переменную, необходимо выполнить следующие действия:
∙набрать имя переменной (регистр имеет значение);
∙ввести оператор присваивания :=, это можно сделать либо через меню Математика
Операторы
Определение , либо с помощью
клавиши
: ;
∙на место маркера, появившегося справа от оператора присваивания, ввести значение переменной;
7
7
7
7
4
7

∙также можно ввести размерность переменной.
Mathcad позволяет работать со следующими типами переменных:
∙скалярная величина;
∙вектор (который также может быть задан с помощью оператора ранжированной переменной);
∙матрица.
Работа в Mathcad осуществляется аналогично программированию на других языках программирования, т. е. программа выполняется слева направо и сверху вниз. Это означает, что переменные
должны быть определены в тексте программы левее или выше места их использования. Отделение десятичной части чисел так же,
как и в большинстве языков программирования, осуществляется
через точку:
При задании имен переменных рекомендуется исходить из обозначения данной величины в используемых формулах и не использовать символов кириллицы. При этом нельзя использовать одно
и то же обозначение для различных переменных. В качестве примера можно привести следующее: для плотности газа 𝜌𝑔и плотности жидкости 𝜌𝑙можно использовать индексы. Греческие символы можно найти в меню Математика
Символы . Индекс для скалярной величины можно задать в пункте меню Математика
Стиль
Нижний индекс , при этом в данном случае индекс будет восприниматься программой как часть имени, и не следует путать его с индексом векторов и матриц:
8
8
8
8
8
5
8

Единицы измерения
В пакете Mathcad имеется полный набор единиц измерения по
международной системе СИ, американской системе единиц (USCS)
и системе «сантиметр – грамм – секунда» (СГС). Использование
единиц измерения для значений в расчете позволяет автоматически проводить определение размерности результирующей величины. Это способствует значительному снижению ошибок, возникающих при переводе единиц измерения. Поэтому при решении практических задач рекомендуется задавать размерности для всех используемых величин.
Для задания размерности необходимо при присвоении значения переменной дописать размерность данной величины. Список
единиц измерения можно посмотреть в меню Математика
ЕИ
ЕИ .
Mathcad автоматически проводит пересчет единиц измерения:
Матрицы и таблицы
Массивы (векторы, матрицы) по принципу задания их элементов можно разделить на две группы:
∙векторы и матрицы, при задании которых не существует прямой связи между величиной элемента и его индексами;
∙ранжированные переменные — векторы, величина элементов
которых напрямую определяется индексом.
В Mathcad реализовано несколько способов задания массивов:
∙задание матрицы или вектора вручную с помощью команды
Матрицы/таблицы
Вставить матрицу ;
9
9
9
9
9
6
9

∙определение матрицы последовательным заданием каждого
элемента;
∙использование ранжированных переменных;
∙создание таблицы данных;
∙чтение данных из внешнего файла и др.
Наиболее простым способом задания матрицы является использование меню Матрицы/таблицы
Вставить матрицу , или сочетание
клавиш Ctrl + M . Изменять количество рядов и строк в матрице
можно соответствующими командами в меню Матрицы/таблицы , или
сочетаниями клавиш
+ Enter — вставить столбец,
+ space —
вставить строку.
Элементы матрицы могут быть как числами, так и выражениями. Если среди выражений или символов, выступающих в качестве
элементов матрицы, есть переменные, то они обязательно должны
быть численно определены выше.
В случае заданной матрицы всегда можно получить значение
любого его элемента, используя его матричные индексы. Матричные индексы равняются номеру строки и столбца, на пересечении
которых элемент находится. В Mathcad отсчет строк и столбцов
принято начинать с нуля так же, как и в большинстве языков программирования. В том случае, если такая система неудобна, то точку отсчета можно изменить через переменную ORIGIN на панели
Расчет или переопределив переменную в самом документе.
Чтобы получить значение какого-то матричного элемента, нужно ввести имя матрицы с соответствующими индексами. Для задания индексов необходимо выбрать оператор «Индекс матрицы»
в меню Матрицы/таблицы
Операторы с матрицами , которому соответствует клавиша
[ . Нажав ее, вы увидите, что на месте будущего
индекса, чуть ниже текста имени матрицы, появится маркер ввода
индекса. В него через запятую следует ввести значения индексов.
На первом месте при этом должен стоять номер строки, а на втором — номер столбца. При выделении элемента вектора нужно задать только индекс строки. Индексы также могут быть определены
и через выражения или специальные функции:
10
10
10
10
10
10
10
7
10