Химическая технология. Математическое моделирование и оптимизация параметров

 
 
Г. И. Мальцев 
 
 
 
 
 
 
ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ  
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

УДК 676.026/.024.78 
ББК 35.77 
М21 
 
 
Рецензенты: 
кафедра прикладной математики Уральского энергетического института  
ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет  
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»; 
ведущий научный сотрудник Центра экономической безопасности Института экономики 
Уральского отделения Российской академии наук, доктор физико-математических наук,  
профессор Шориков А. Ф. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Мальцев, Г. И. 
М21   
Химическая технология. Математическое моделирование и оптимизация параметров : учебное пособие / Г. И. Мальцев. – Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2024. – 124 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2107-2 
 
Излагаются основные подходы к использованию положений теории планирования эксперимента и обработки результатов методами математической статистики и 
многомерного регрессионного анализа, полученных при проведении лабораторных, 
опытно-промышленных и технологических испытаний при построении математических моделей с целью анализа протекания и оптимизации исследуемых физикохимических процессов.  
Для 
студентов, 
обучающихся 
по 
направлениям 
подготовки: 
18.03.01 
«Химические технологии», 18.03.02 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы в 
химической технологии, нефтехимии и биотехнологии», 20.03.01 «Техносферная 
безопасность». 
 
УДК 676.026/.024.78 
ББК 35.77 
 
 
ISBN 978-5-9729-2107-2 
” Мальцев Г. И., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
Введение ....................................................................................................................... 5 
Глава 1. Общие положения математического моделирования  
и оптимизации основных технологических параметров 
......................................... 7 
1.1. Область применения ............................................................................................ 7 
1.2. Термины, определения и сокращения 
................................................................ 9 
1.3. Общие положения математического моделирования..................................... 19 
 Контрольные вопросы.............................................................................................. 36 
 
Глава 2. Моделирование технических характеристик  
порошковых изделий  ............................................................................................... 37 
2.1. Характеристика метода порошковой металлургии  
для спекания изделий из медных порошков  
.......................................................... 37 
2.2. Влияние параметров медной композиции  
на удельную электропроводность ........................................................................... 40 
2.3. Влияние параметров композиции на твердость 
по Бриннелю порошковых изделий 
......................................................................... 45 
2.4. Влияние параметров композиции на предел 
прочности при растяжении изделий 
........................................................................ 50 
Контрольные вопросы 
............................................................................................... 56 
 
Глава 3. Очистка технологических сточных вод от примесей ............................. 57 
3.1. Характеристика методов очистки промышленных 
сточных вод от металлов-примесей 
......................................................................... 57 
3.2. Влияние параметров системы на процесс  
сорбции цинка  
........................................................................................................... 61 
3.3. Влияние параметров системы на процесс 
регенерации сорбента ............................................................................................... 67 
Контрольные вопросы  
.............................................................................................. 74 
 
Глава 4. Вакуумная дистилляция металлических сплавов ................................... 75 
4.1. Характеристика метода вакуумной дистилляции 
........................................... 75 
4.2. Возгонка цинка ................................................................................................... 80 
4.3. Возгонка свинца ................................................................................................. 86 
Контрольные вопросы 
............................................................................................... 93 
 
3 
 

Глава 5. Переработка серебросодержащего сырья и отходов .............................. 94 
5.1. Электрохимические способы переработки  
..................................................... 94 
5.2. Растворение золото-серебряного сплава 
.......................................................... 98 
5.3. Электроэкстракция серебра 
............................................................................. 110 
Контрольные вопросы 
............................................................................................. 116 
 
Заключение 
............................................................................................................... 117 
Список рекомендуемой литературы 
...................................................................... 118 
Глоссарий ................................................................................................................. 119 
Темы рефератов ....................................................................................................... 120 
 
4 
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Краткий курс «Химическая технология. Математическое моделирование 
и оптимизация параметров» предназначен для магистрантов второго года 
обучения института химической переработки растительного сырья и промышленной экологии, специализирующихся на кафедре химической технологии 
древесины, биотехнологии и наноматериалов, и содержит основы современных 
методологических подходов к постановке и обработке результатов физикохимических исследований с использованием методов математической статистики и многомерного регрессионного анализа, полученных при проведении 
лабораторных, опытно-промышленных и технологических испытаний при построении математических моделей с целью анализа протекания и оптимизации 
исследуемых физико-химических процессов. 
Изложенный в кратком курсе материал условно систематизирован по главам и представляет собой практическое руководство для рассмотрения конкретных вопросов и задач, возникающих при постановке, планировании и обработке результатов исследования основных физико-химических процессов. 
Многие положения и правила даны без математических доказательств, рассмотрение которых не является целью курса. Проведение с помощью этого пособия лекций-консультаций позволит осуществить решение практических заданий в рамках отведенных на курс учебных часов (традиционно 24 лекционных 
часа и 10 часов семинарских занятий), а также активизировать самостоятельную работу студентов. На каждом занятии после обсуждения теоретических 
вопросов студентам будут предложены практические задачи, основанные на 
экспериментальных исследованиях, выполненных сотрудниками кафедры химической технологии древесины, биотехнологии и наноматериалов. Решенные 
практические задачи, после их апробации, составят в будущем основу для 
написания курсовой работы по теме «Практические методы планирования и обработки результатов физико-химических экспериментов путем построения и 
анализа математических моделей». 
Степень 
научной 
разработанности 
проблемы 
совершенствования 
технологии и методов исследования процессов и аппаратов отражена в работах 
ряда отечественных и зарубежных авторов. Большой вклад в решение проблемы 
внесли работы, выполненные под руководством академика В.В. Кафарова 
(Бирюков Д.П., Дорохов И.Н., Еременко В.В. и др.), где рассмотрены 
конструкции аппаратов и методы расчета параметров, теоретические и 
технологические основы процессов. Вместе с тем, остается ряд нерешенных 
задач в области оптимизации параметров технологических процессов и 
совершенствования конструкций аппаратов. 
Одним из эффективных методов решения рассматриваемых задач является метод математического моделирования, позволяющий получить с помощью 
5 
 

компьютерных технологий достаточно широкий набор данных о вновь создаваемом или реконструируемом объекте без проведения долговременных и дорогостоящих натурных исследований. 
Целью изучения данного курса является совершенствование математических моделей, вычислительных алгоритмов и программных средств для 
исследования процессов и обоснования параметров технологических систем, 
содержащих узлы конвективного типа. Для достижения поставленной цели 
необходимо усвоить следующие задачи: 
 выполнить анализ технологических схем и процессов функционирования оборудования, осуществляющего перемешивание многокомпонентных 
смесей с целью определения особенностей протекания процессов и определения параметров, влияющих на качество конечной продукции; 
 разработать математические модели и провести компьютерные исследования процессов в условиях вариации технологических параметров; 
 проанализировать математические модели и провести моделирование 
процессов в условиях применения конструктивных модификаций оборудования; 
 систематизировать результаты моделирования технологии и разработать алгоритмы обоснования параметров процессов, обеспечивающих повышение эффективности работы оборудования; 
– разработать рекомендации по модернизации параметров технологических процессов и оборудования; 
– разработать методы инженерного расчёта параметров процесса для 
обеспечения оперативной оценки их значений при проектировании; 
– разработать структуру системы автоматизированного проектирования 
оборудования и технологии процессов конвективной обработки многокомпонентных материалов; 
– разработать рекомендации для практического применения результатов 
работы в области производства многокомпонентных материалов методом конвективного воздействия. 
 
Обоснованность и достоверность результатов и выводов, представленных в изучаемом курсе, базируются на применении научно обоснованных 
методов получения новой информации, использовании современных литературных источников. 
 
 
6 
 

 
ГЛАВА 1 
 
 
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 
И ОПТИМИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ  
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ  
 
 
1.1. Область применения 
 
Моделирование предусматривает замещение исследуемого объекта его 
условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и 
обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование выполняется для познания 
свойств оригинала путем исследования и анализа его модели и оправдано, когда оно проще создания самого оригинала или когда последний невозможно создавать. 
Под моделью подразумевается физический или абстрактный объект, 
свойства которого в определенной степени сходны со свойствами исследуемого 
объекта. Требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися 
средствами, а именно: 
1) адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта; 
2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации 
об объекте; 
3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем 
диапазоне изменения условий и параметров; 
4) трудозатраты по разработке должна быть приемлемы для имеющегося 
времени и программных средств. 
 
Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, 
который в процессе познания замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые 
важные его черты. Модель – это упрощенная система, отражающая отдельные 
стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого объекта, позволяет яснее увидеть 
взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения. 
 
 
7 
 

Таким образом, модель нужна для того, чтобы: 
1) понять, как устроен объект, его структуру, свойства, законы взаимодействия с окружающим миром; 
2) научиться управлять объектом или процессом, определить наилучшие 
способы управления; 
3) прогнозировать последствия воздействий на объект. 
 
Процесс построения модели называется моделированием. Условно можно 
выделить материальное и идеальное моделирование. 
Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования 
его свойств путем исследования модели. Предполагаются два основных этапа 
при осуществлении моделирования: 
1) разработка модели; 
2) исследование модели и получение выводов. 
 
При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются 
отличающиеся по сути методы и средства. 
На практике применяют различные методы моделирования, которые в зависимости от способа реализации можно разделить на физические и математические. 
Математическое моделирование – средство исследования процессов или 
явлений с помощью их математических моделей. 
Физическое моделирование – исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его 
физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное 
изучаемому. Физические модели предполагают, обычно, реальное воплощение 
тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. В связи с этим физическое моделирование называют также 
макетированием. 
Действительная польза от моделирования может быть получена только 
при соблюдении двух условий: 
1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств 
оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции; 
2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие 
проведению исследований на реальных объектах. 
 
Материальным (физическим) моделированием принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется увеличенная 
или уменьшенная копия, изученные свойства которой переносятся на объект 
при помощи теории подобия. При материальном моделировании исследование 
объекта происходит при его воспроизведении в ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал. 
Однако для анализа сложных объектов и процессов, каковыми являются большинство электронных схем, конструкций и технологических процессов производства радиоэлектронной техники, приборостроения, машиностроения и других промышленных отраслей, применение материального моделирования затруднительно, поскольку приходится использовать большое число критериев и 
8 
 

ограничений, которые могут быть несовместимы, а зачастую и невыполнимы. 
Примерами материального моделирования являются макеты, механические модели. 
Идеальным моделированием называется моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется описание его в форме речи, графики, 
таблиц, математических выражений. К идеальным моделям относятся:  
௅ модели словесные. Речь является уникальной системой кодирования 
информации. С помощью речи можно описать любые предметы и процессы, 
однако это можно сделать только при помощи человека, то есть эти модели являются субъективными. Построить по словесному описанию действующую модель практически невозможно; 
௅ модели графические. Рисунки, чертежи и блок-схемы содержат большой 
объем информации, но и они являются статическими моделями, оживающими 
только через восприятие их человеком; 
௅ функциональные модели описывают функции, выполняемые основными 
составными частями предприятия. Они разрабатываются для того, чтобы получить общее представление о процессе. Для примера рассмотрим общий план 
части типового цементного завода. Назначением этой части завода является получение однородного материала определенного химического состава с соответствующими размерами зерен для подачи его в сушильную печь. Сырье подается из хранилища в сырьевую мельницу, смешивается в гомогенизаторе и отправляется в сушильную печь. Таким образом, рисунок и описание процесса 
составляют вместе функциональную модель; 
࣓ модели математические. Математическое моделирование является методом качественного или количественного описания объектов или процессов, 
при этом реальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и 
описывается определенным уравнением. В большинстве случаев математическая модель представляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое 
место точек математических ожиданий условных распределений целевой функции. 
 
1.2. Термины, определения и сокращения 
 
Математическое моделирование – это построение формальной конструкции, состоящей из ряда математических объектов, которая максимально 
полно отражает физическую сущность описываемого процесса или объекта исследования. 
Модель – это условный образ или упрощенное изображение реального 
объекта или процесса, который создается для более глубокого изучения действительности. Модели обладают свойствами адекватности, многомерности. 
проверяемости, визуализируемости, ЭВМ-реализуемости (получение результата за реальное время) и др. 
Многомерный регрессионный анализ – метод, позволяющий по имеющимся размерам х2, …хn предсказать (восстановить) неизвестное значение х1. Необ9 
 

ходимо подобрать такую функцию L(х2, …хn), чтобы среднеквадратичная погрешность Е [ȟ2 – L(ȟ2, … ȟn)], была минимальная. Обычно функцию L(х2, …хn) 
берут в классе линейных функций (регрессия II). В этом случае задача сводится 
к нахождению коэффициентов этой линейной функции. Для облегчения нахождения коэффициентов предположим, что средние значения случайных величин 
равны нулю. Формулы для произвольных средних значений будут получаться 
простой заменой ȟ2 на ȟi – mi. 
Плоскость средней квадратичной регрессии величины ȟ0
1 относительно ȟ2, 
… ȟn определяется, как такая гиперплоскость: 
 
 
 L(ȟ2, … ȟn) = ȟ0
1 = Į  ȕ12ȟ2  …  ȕ1nȟn,  
(1.1) 
 
которая дает наилучшую аппроксимацию n-мерного среднеквадратического 
распределения (среднее значение): 
 
 
 G(ȕ1 ... ȕ1n) = E(ȟ1 – ȟ0
1)2 = E(ȟ1 – ȟ2ȕ12 –…– ȟnȕ1n)2  
(1.2) 
 
принимает минимальное значение. Таким образом, выражение в правой части 
соотношения (1.1) можно считать наилучшей линейной оценкой величины ȟ1 
величинами ȟ2, … ȟn в смысле обращения в минимум выражения (1.2).  
Чтобы определить коэффициенты регрессии, дифференцируем выражение G по каждому из n௅1 независимых коэффициентов ȕ: 
 
G/ȕ12 = E(ȟ1 – ȟ2ȕ12 – ȟnȕ1n).ȟ2 = 0. 
 
Получаем n௅1 уравнение: 
 
Ȝ22ȕ12  Ȝ23ȕ13  …  Ȝ2nȕ1n = Ȝ21, 
Ȝ32ȕ12  Ȝ33ȕ13  …  Ȝ3nȕ1n = Ȝ31, 
Ȝ42ȕ12  Ȝ43ȕ13  …  Ȝ4nȕ1n = Ȝ41, 
………………………………….. 
Ȝ n2ȕ12  Ȝ n3ȕ13  …  Ȝnnȕ1n = Ȝ n1, 
 
где Ȝ12 = Еȟ1ȟ2 – Еȟ1Еȟ2 – коэффициент ковариации. 
 
Аналогично определяют плоскость среднеквадратической регрессии для 
любой другой величины ȟi. В этом случае ȟi занимает место зависимой переменной, а остальные переменные ȟ1, … ȟi-1, ȟi1,… ȟn рассматриваются как независимые. 
Можно рассматривать ȟ2, … ȟn как независимые переменные, а ȟ1 – как 
зависимую переменную, которая приближенно представляется или оценивается 
линейной комбинацией независимых переменных. Детерминант этой системы 
уравнений равен алгебраическому дополнению Ȝ11 в детерминанте Ň ȜikŇ. 
10