Механика. Практикум

Б. А. БЕЛЯЕВ 
МЕХАНИКА 
ПРАКТИКУМ 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024

УДК 531.8 
ББК 22.21 
Б44 
 
 
 
Рецензенты: 
 
кандидат технических наук, доцент, доцент Российской академии народного  
хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации 
С. В. Поляков; 
 
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры физики и прикладной  
математики Владимирского государственного университета  
имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых 
А. А. Плеханов 
 
 
 
 
 
 
 
Беляев, Б. А. 
Б44   
Механика. Практикум : учебное пособие / Б. А. Беляев. – Москва ;  
Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 108 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1760-0 
 
Рассматриваются общие вопросы теории механизмов и машин – строение, кинематика и динамика механизмов и машин, синтез различных механизмов. Приводятся краткие теоретические сведения, набор задач по каждому из разделов дисциплины и примеры их решения. Основываясь на этих примерах, студенты смогут самостоятельно выполнять задания из этого пособия. 
Для студентов 1–2 курсов всех форм обучения по направлениям подготовки бакалавриата 15.03.04 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 15.03.05 «Автоматизация технологических процессов и производств», 28.03.02 «Наноинженерия», 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 
27.03.05 «Инноватика», 20.03.01 «Техносферная безопасность», 12.03.05 «Лазерная 
техника и лазерные технологии», 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника» и др. 
 
УДК 531.8 
ББК 22.21 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1760-0 
” Беляев Б. А., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Предложенное учебно-методическое пособие разбито на три самостоятельных раздела.  
Первый раздел посвящён основам сопротивления материалов – науке  
о прочности и деформируемости материалов и элементов строительных и технических конструкций. Изучение этого раздела невозможно без знания основ 
статики из дисциплины «Теоретическая механика».   
Во втором разделе рассматриваются общие вопросы теории механизмов  
и машин (ТММ) – строение, кинематика и динамика механизмов и машин, синтеза различных механизмов. Из названия этого раздела следует, что основными 
понятиями ТММ являются понятия машины, а основу любой машины составляют механизмы.  
Третий раздел «Основы конструирования и детали машин» является прикладным разделом механики и изучает возможность практического применения 
методов и приёмов теоретической механики и сопротивления материалов при 
конструировании и проектировании машин, механизмов, сооружений и других 
технических конструкций.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Механика (греч. ȂȘȤĮȞȚțȒ – искусство построения машин) – одна из 
древнейших наук. Она развивалась по мере накопления человечеством знаний 
об окружающем мире, своевременно отвечая на многочисленные запросы практики. В древности не существовало деления науки по отраслям, поэтому механика, как и философия, естествознание, являлась составной частью учения  
о природе и обществе. И только в IV в. до н. э. началось отделение частных 
наук от общего естествознания. 
Изучение дисциплины требует от студентов твёрдых знаний основ высшей математики, физики, навыков решения задач по этим дисциплинам, а также необходимы знания и навыки по начертательной геометрии, инженерной  
и компьютерной графике. 
В процессе изучения дисциплины студенты выполняют практические задания. Каждый раздел необходимо изучать в порядке, предусмотренном в рабочей программе. Ведение конспекта обязательно. Только в этом случае можно 
получить прочные знания и навыки расчётов по разделам дисциплины. 
Работать с учебниками и конспектом лекций рекомендуется в такой последовательности: 
– ознакомиться с содержанием данной темы по программе; 
– изучить материал темы. Если тема имеет большой объём, надо разбить 
её на отдельные части; 
– разобрать узловые вопросы темы, записать основные определения, правила, формулы, если необходимо, снабдить их схемами или рисунками. 
В целях закрепления учебного материала и приобретения навыков в пользовании расчётными формулами необходимо разобрать примеры и задачи, помещённые в учебнике и в конспекте лекций.  
К экзамену или дифзачёту допускаются студенты, не имеющие задолженности по практическим занятиям. 
 
Выполнение практического задания 
 
К выполнению практического задания можно приступить только после 
изучения соответствующей темы. На практических занятиях можно пользоваться конспектом лекций, учебной и справочной литературой, калькулятором.  
Практические задания даны в последовательности тем и должны решаться постепенно. Все задачи и расчёты обязательно должны быть доведены до 
окончательного числового результата.  
 
Требования к выполнению практического задания 
 
Практическое задание, сдаваемое студентом на проверку, должно быть 
выполнено и оформлено в соответствии со следующими требованиями. 
 
4 

Задание выполняется на бумаге формата А4 аккуратным почерком с интервалом между строками. Тексты условий задач переписывать обязательно, 
схемы или рисунки к задачам должны быть выполнены чётко карандашом  
с помощью чертёжных инструментов.  
Решение задачи делится на пункты. Каждый пункт должен иметь подзаголовок с указанием, что и как определяется, по каким формулам или на основе 
каких теорем, законов, правил, методов. Преобразования формул, уравнений в 
ходе решения производить в общем виде, а уже затем подставлять исходные 
данные. Порядок подстановки числовых значений должен соответствовать порядку расположения в формуле буквенных обозначений этих величин. После 
подстановки исходных значений вычислить окончательный или промежуточный результат. 
В соответствии с требованиями стандарта при решении задач необходимо 
применять только Международную систему единиц физических величин (СИ) и 
стандартные символы для обозначения этих величин.  
Правильность всех вычислений следует тщательно проверить, обратить 
особое внимание на соблюдение единиц, подставляемых в формулу значений 
величин и оценить правдоподобность полученного ответа. 
Если задание не зачтено, то согласно указаниям преподавателя оно выполняется частично или заново.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
5 

Раздел 1. ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 
 
Краткие теоретические сведения 
 
Сопротивление материалов – раздел механики, рассматривающий прочность и деформируемость материалов и элементов различных технических сооружений, деталей механизмов и машин. 
Основоположником сопротивления материалов заслуженно считают Архимеда (ок. 287–212 гг. до н. э.). 
Напомним, что такое твёрдое тело в механике – это неизменимая система материальных точек, т. е. такая идеализированная система, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы 
остаются неизменными (материальные точки – достаточно малые макроскопические частицы). 
Силы притяжения и отталкивания обусловливают механическую прочность твердых тел, т. е. их способность противодействовать изменению формы 
и объёма.  
Растяжению тел препятствуют силы межатомного притяжения, а сжатию – силы отталкивания. 
Недеформируемых тел в природе не существует. 
Растяжение-сжатие – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные продольные силы N,  
а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю. Это самый простой и часто встречающийся вид деформации – 
изменение формы или объёма тела под действием внешних сил. 
Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его 
концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными 
способами, как это показано на рис. 1. 
  
 
 
Рис. 1. Передача усилий к стержню 
  
Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий 
крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях 
(рис. 2, а, б) оказывается единой (рис. 2, в) согласно принципу Сен-Венана. 
6 

Если воспользоваться методом сечений (рис. 2, а), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F (рис. 2, б). 
Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком 
силы Nz. При растяжении нормальная сила Nz направлена от сечения (рис. 2, б), 
а при сжатии – к сечению. 
 
 
 
Рис. 2. Метод сечений: а – условное сечение стержня;  
б – растяжение (слева) и сжатие (справа) 
 
Растягивающие 
нормальные 
продольные 
силы 
принято 
считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 3, б). 
 
 
 
Рис. 3. Растягивающие продольные силы:  
а – положительные; б – отрицательные 
 
При расчёте стержней, испытывающих деформацию растяжения, на 
прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две 
основные задачи: это определение напряжений (от N), возникающих в стержне, 
и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки. 
Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жёстко заделанным, и 
другим – свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р 
(рис. 4). 
До нагружения стержня его длина равнялась l, после нагружения она стала равной l + ¨l. Величину ¨l называют абсолютной деформацией стержня. 
 
 
 
Рис. 4. Нагруженный стержень силой Р 
 
 
 
7 

Отношение абсолютной деформации Δl к первоначальной длине образца l 
называют относительной деформацией İ = ǻl/l. 
Английский учёный Роберт Гук (1635–1703) в пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии вывел закон: механическое 
напряжение прямо пропорционально модулю относительной деформации 
ı = E · İ. 
Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука называется модуль 
продольной упругости – модуль Юнга, названный в честь английского физика 
Томаса Юнга (1773–1823). Физический смысл: модуль Юнга численно равен 
такому нормальному напряжению, которое должно было бы возникнуть в теле 
при увеличении его длины в 2 раза (если бы для такой большой деформации 
выполнялся закон Гука). В СИ модуль Юнга выражают в паскалях (1 Па =  
= 1 Н/м2). 
Продольные силы N, возникающие в поперечных сечениях стержня, 
определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений. График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил. Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие, называют опасным. 
Перед построением эпюр необходимо установить границы участков, 
в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами 
таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или 
начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется 
перелом стержня. 
Применяя метод сечений и учитывая правила знаков, изложенные выше, 
получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого 
участка стержня. 
 
 РАСЧЁТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ  
РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ  
 
Пример 1. На рис. 5, а представлена схема стержня постоянного сечения, 
нагруженного осевыми силами. 
Требуется:  
1) построить эпюру продольной силы;  
2) построить эпюру перемещений. 
8 

 
 
Рис. 5. Расчётная схема стержня постоянного сечения 
  
 Решение 
 Для контроля правильности расчета продольных сил определим реакцию R в заделке, направив ее предварительно на растяжение по отношению к 
стержню. Уравнение равновесия вдоль продольной оси стержня z 
 Ȉz = 0; R + 3F – 2F + F = 0; R = – 2F.    
 Минус в ответе означает, что реакция направлена не на растяжение, как 
было предварительно выбрано, а на сжатие. 
 Для определения продольных сил применим метод сечений: 
 1. Разбиваем стержень на силовые участки I, II, III. Проводим на каждом 
участке произвольные поперечные сечения и отбрасываем части стержня. 
 2. Заменяем действие отброшенных частей на каждом участке неизвестными продольными силами N1, N2, N3, направив их от сечений, то есть на растяжение (рис. 5, б, в, г). 
3. Для каждого из участков составляем уравнение равновесия: 
Участок I (рис. 5, б) ȈZ = 0; N1 + F = 0; N1 = – F; 
Участок II (рис. 5, в) ȈZ = 0; N2 – 2F + F = 0; N2 = F;   
Участок III (рис. 5, г) ȈZ = 0; – N3 + R = 0; N3 = – 2F. 
 Отсюда Ni = ȈFi, т. е. продольная сила N в произвольном сечении стержня 
численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. 
 Это вывод позволит в дальнейшем определять продольные силы N без 
использования описанной процедуры составления уравнений равновесия. Так, 
например, согласно (3) для участка II N2 = – F + 2F = F. 
 4. По полученным данным строим график распределения продольных 
сил по длине стержня – эпюру продольных сил N (рис. 5, д). Для построения 
эпюры проводим базовую линию (ось стержня) и, выбрав масштаб, откладываем на каждом участке величины продольных сил.  
9 

 Так как на схемах рис. 5, б, в, г продольные силы были направлены на 
растяжение, то знаки в ответах после решений уравнений равновесия указывают: (+) – растяжение, (–) – сжатие. На эпюрах проставляют значения найденных 
продольных сил, их знак и наносят штриховку перпендикулярно оси стержня. 
 Из анализа эпюры N вытекает следующее правило ее проверки: в поперечных сечениях стержня, в которых приложены внешние активные (F) или реактивные (R) силы, на эпюре продольных сил возникают скачки, равные по величине этим нагрузкам. 
 Определим полную абсолютную деформацию стержня, показанного на 
рис. 5, а. Зная продольные силы N1, N2, N3, с учетом формулы  
 ǻl = ǻl1 + ǻl2 + ǻl3 + … + ǻln = Ȉni=1 (Nili/Ei Ai) получим ǻl = ǻl1 + ǻl2 + 
+ ǻl3 =N1l/EA + N2l/E A + N3l/EA = – Fl/EA + Fl/EA – 2Fl/EA = – 2Fl/EA. 
 Построенные эпюры перемещений į сечений стержня производят от заделки (или от любого конца, если стержень не защемлен): 
įа = 0; įb = ǻl3 = – 2Fl/EA; 
įс = ǻl2 = – 2Fl/EA + Fl/EA = – Fl/EA; 
įв = ǻl1 = – Fl/EA – Fl/EA = – 2Fl/EA. 
 Выбирают масштаб и откладывают перемещения каждой точки (сечения) 
с учетом знаков. Полученную эпюру штрихуют (рис. 5, ж).  
 Перемещение любого поперечного сечения численно равно удлинению 
(укорочению) части стержня, расположенного между заделкой и этим сечением.  
 Например, перемещение сечения d равно 
įd = ǻl3 + ǻl2 + ǻl0 = – 2Fl/EA + Fl/EA – Fl/2EA = – 3Fl/2EA. 
 Перемещение сечения d показано на эпюре į (рис. 5, ж). 
 
Практическое задание 
  
Задача. Для стального стержня круглого постоянного поперечного сечения диаметром D (рис. 6) требуется: 
1) построить эпюры продольной силы; 
2) определить грузоподъемность стержня, если [ı] = 240 МПа; 
3) определить полное удлинение стержня, если Е = 2 Â 105 МПа. 
Данные взять из табл. 1 и рис. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10