Цифровые фильтры

 
 
 
 
 
А. В. Никитин 
 
 
 
 
 
 
 
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
 

УДК 004:621.397 
ББК 32.811.3 
Н62 
 
 
Рецензенты: 
д. ф.-м. н., проф. кафедры теоретической физики и волновых процессов 
ФГАОУ ВО «Волгоградский государственный университет»  
Лебедев Николай Геннадьевич; 
к. ф.-м. н., начальник отдела разработки ООО «ЗПО СКАТ»  
Гринев Сергей Николаевич 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Никитин, А. В. 
Н62  
Цифровые фильтры : учебник / А. В. Никитин. - Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2024. - 128 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2122-5 
 
Даны основы теории дискретных линейных систем. Показаны формы построения цифровых фильтров, быстрые методы вычисления дискретных сверток, методы 
расчета цифровых фильтров с конечными и бесконечными импульсными характеристиками, а также основные типы погрешностей, возникающих при реализации цифровых фильтров, и способы минимизации этих погрешностей. 
Для студентов направления «Радиофизика». 
 
УДК 004:621.397 
ББК 32.811.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2122-5 
” Никитин А. В., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 
1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВЗВЕШИВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ ...... 6 
1.1. Операции дискретизации и взвешивания .................................................. 6 
1.2. Непрерывные и дискретные преобразования Фурье 
................................ 7 
1.3. Наложение спектров .................................................................................. 12 
1.4. Контрольные вопросы и упражнения ...................................................... 17 
 
2. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ......................................................... 19 
2.1. Z-преобразование и его свойства ............................................................. 19 
2.2. Дискретные линейные системы и их характеристики ........................... 21 
2.3. Контрольные вопросы и упражнения ...................................................... 25 
 
3. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ..................................... 27 
3.1. Структура системы цифровой обработки сигналов ............................... 27 
3.2. Уравнения цифровых фильтров 
................................................................ 28 
3.3. Формы построения рекурсивных цифровых фильтров 
.......................... 29 
3.4. Формы построения трансверсальных цифровых фильтров 
................... 32 
3.5. Быстрые методы вычисления дискретных сверток ................................ 34 
3.6. Этапы расчета цифровых фильтров ......................................................... 37 
3.7. Контрольные вопросы и упражнения ...................................................... 38 
 
4. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ  
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ......................................................................................... 39 
4.1. КИХ-фильтры с линейной фазо-частотной характеристикой 
............... 39 
4.2. Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания 
......................................... 46 
4.3. Временные окна и их спектры .................................................................. 49 
4.4. Расчет КИХ-фильтров по частотной выборке ........................................ 55 
4.5. Контрольные вопросы и упражнения ...................................................... 67 
 
5. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ  
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ......................................................................................... 68 
5.1. Основные характеристики БИХ-фильтров 
.............................................. 68 
5.2. Характеристики аналоговых фильтров 
.................................................... 68 
5.3. Метод отображения дифференциалов ..................................................... 71 
5.4. Инвариантное преобразование импульсной характеристики ............... 75 
5.5. Согласованное Z-преобразование ............................................................ 78 
5.6. Билинейное Z-преобразование ................................................................. 81 
3 

5.7. Прямые методы расчета БИХ-фильтров 
.................................................. 84 
5.8. Расчет БИХ-фильтров методами оптимизации 
....................................... 86 
5.9. Контрольные вопросы и упражнения ...................................................... 88 
 
6. ПОГРЕШНОСТИ СИСТЕМ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ......... 89 
6.1. Основные типы погрешностей.................................................................. 89 
6.2. Системы счисления и коды представления чисел .................................. 89 
6.3. Типы и характеристики квантователей 
.................................................... 91 
6.4. Погрешности аналого-цифрового преобразования ................................ 94 
6.5. Погрешности цифро-аналогового преобразования ................................ 99 
6.6. Шум округления в рекурсивных структурах с фиксированной  
запятой 
.............................................................................................................. 101 
6.7. Шум округления в рекурсивных структурах с плавающей  
запятой 
.............................................................................................................. 106 
6.8. Погрешности квантования коэффициентов цифровых фильтров ...... 108 
6.9. Контрольные вопросы и упражнения .................................................... 111 
 
7. ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО  
АНАЛИЗА ................................................................................................................ 113 
7.1. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием по времени .......... 113 
7.2. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием по частоте 
............ 115 
7.3. Скользящее преобразование Фурье ....................................................... 117 
7.4. Фильтр Блюстейна ................................................................................... 121 
7.5. Контрольные вопросы и упражнения .................................................... 123 
 
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 124 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
Курс «Цифровая обработка сигналов» более 30 лет преподается автором 
на кафедре радиофизики Волгоградского государственного университета для 
студентов, обучающихся по специальностям «радиофизика» и «радиотехника». 
В 2009 году разделы, посвященные современным цифровым методам спектрального анализа, были выделены в отдельный курс. В настоящее время курс 
«Цифровая обработка сигналов» содержит описание типов, характеристик и 
методов проектирования цифровых фильтров и сопровождается практическими 
занятиями, на которых студенты учатся проектировать цифровые фильтры, исследовать их характеристики и возникающие при их реализации погрешности с 
помощью оригинального программного обеспечения. 
Учебник содержит семь разделов, в которых используется единая система 
обозначений. В первом разделе исследуется переход от непрерывных сигналов 
к дискретным временным последовательностям и возникающие при этом эффекты и проблемы. Второй раздел посвящен описанию дискретных линейных 
систем и методов их анализа. В третьем разделе рассматриваются характеристики и формы построения цифровых фильтров. Четвертый раздел содержит 
анализ цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой и линейной фазо-частотной характеристикой, а также описание методов расчета их коэффициентов. В пятом разделе приводятся способы расчета коэффициентов 
цифровых фильтров с бесконечными импульсными характеристиками, основанные на отображении в дискретную область временных и частотных характеристик аналоговых фильтров. Здесь же рассматриваются прямые методы расчета и методы, основанные на оптимизации какого-либо критерия. В шестом разделе анализируются погрешности, возникающие при аппаратной реализации 
дискретных линейных систем на основе цифровых фильтров. Последний раздел 
посвящен описанию нескольких методов цифрового спектрального анализа, которые реализуются на основе цифровых фильтров. В конце каждого раздела содержится список контрольных вопросов и упражнений, необходимых для лучшего усвоения изложенного материала. 
Список рекомендованной литературы приведен в конце учебника и содержит 12 источников, в которых можно найти более подробное описание характеристик цифровых фильтров различных типов и методов их реализации. 
Автор выражает благодарность Д.А. Станкевичу за помощь, оказанную в 
процессе создания учебника, и моральную поддержку. 
5 

1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВЗВЕШИВАНИЕ  
НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ 
В этом разделе рассмотрены определения и понятия, необходимые для 
описания временных последовательностей и процесса их преобразования при 
прохождении через дискретные системы. Приведены условия, при которых переход от непрерывных функций к дискретным последовательностям является 
взаимно однозначным и не приводит к потере информации. Рассмотрены различные варианты представления этой информации в спектральной области.  
1.1. Операции дискретизации и взвешивания 
При цифровой фильтрации используются не непрерывные сигналы, а их 
дискретные образы  конечные наборы чисел, представленные с какой-либо 
точностью. Операция, которая непрерывному сигналу x(t) ставит в соответствие 
последовательность x[n] = x(n'), называется операцией дискретизации. Временной интервал ' между двумя соседними значениями сигнала называют шагом или интервалом дискретизации, а обратная величина fd = 1/' является частотой дискретизации. На рис. 1.1 показан пример  исходный непрерывный 
сигнал x(t) и соответствующая ему дискретная последовательность x[n].  
 
Рис. 1.1. Непрерывный сигнал x(t) и последовательность x[n]  
 
Пусть последовательность x[n] содержит конечное число значений: n = 0,..., 
N  1. Это ограничение можно трактовать как умножение исходного непрерывного сигнала x(t) перед дискретизацией на функцию прямоугольного временного окна: 
t
N
w
t
t
t
N
 
(1.1) 
 
 
0
1,
0
,
0,
0,
.
d d
'
-
 ®

!
'
¯
Эта операция называется взвешиванием. Таким образом, последовательное применение операций дискретизации и взвешивания позволяет поставить в 
6 

соответствие исходному непрерывному сигналу x(t) конечную последовательность x[n] (n = 0,..., N  1). 
В общем случае операция дискретизации необратима, поскольку одна и 
та же дискретная последовательность x[n] может соответствовать множеству 
различных сигналов, как показано на рис. 1.2. Таким образом, произвольный 
непрерывный сигнал x(t) в общем случае невозможно восстановить по его дискретному образу x[n]. Однако эту неоднозначность можно разрешить наложением определенных условий на спектр исходного сигнала. Прежде, чем формулировать эти условия, введем частотно-временные преобразования, связывающие непрерывный сигнал x(t) и соответствующую ему последовательность x[n] 
с непрерывными функциями частоты и дискретными частотными последовательностями. 
 
Рис. 1.2. Дискретная последовательность x[n]  
и соответствующие ей непрерывные сигналы 
1.2. Непрерывные и дискретные преобразования Фурье 
Взаимосвязь между сигналом x(t) и его непрерывным спектром X(Z) задается парой непрерывно-временных преобразований Фурье (НВПФ): 
f
f
 
 
 


 
 


1
exp
,
exp
.
2
f
f
Z  
 Z
 
Z
Z
Z
S
³
³
X
x t
j t dt
x t
X
j t d
  
(1.2) 
Условием существования функции X(Z) является абсолютная интегрируемость сигнала x(t): 
f
 
f
 f
³ x t dt
. 
Поочередное применение операций дискретизации и взвешивания во 
временной и частотной области позволяет перейти от НВПФ к трем другим парам соотношений. Первая пара - дискретно-временные преобразования Фурье 
(ДВПФ): 
2
d
Z
f
 
> @


> @
 


1
exp
,
exp
2
t
t
n
X
x n
j n
x n
X
j n
d
. 
 f
Z
Z  '
 Z '
 
Z
Z '
Z
S
¦
³
2
d
7 

Здесь Zd = 2Sfd = 2S/'. Функция Xt(Z) является периодической с периодом 
Zd, поэтому пределы интегрирования во втором выражении можно изменить: 
d
Z
f
 
 
> @


> @
 


1
exp
,
exp
2
t
t
n
X
x n
j n
x n
X
j n
d
.  (1.3) 
 f
Z  '
 Z '
 
Z
Z '
Z
S
¦
³
0
На рис. 1.3 показан конкретный сигнал x(t), последовательность x[n] и соответствующие им НВПФ и ДВПФ.  
 
Рис. 1.3. Сигнал x(t), НВПФ _X(Z)_ (красным) последовательность x[n]  
и ДВПФ _Xt(Z)_ (синим) 
 
Выделим фрагмент сигнала x(t) на интервале [0, N'] с помощью функции 
временного окна (1.1) и для этого фрагмента построим непрерывно-временной 
ряд Фурье (НВРФ): 
N
'
2
exp
,
Z
³
X
m
x t
j
mt dt
N
S
§
·
 

¨
¸
'
©
¹
0
 
(1.4) 
 
> @
 
f
1
2
exp
.
 
> @
¦
x t
X
m
j
mt
N
N
S
§
·
 
¨
¸
'
'
©
¹
m
Z
 f
Фрагмент сигнала и соответствующий ему НВРФ показаны на рис. 1.4. 
Полученная в результате обратного преобразования функция будет совпадать с 
сигналом x(t) только на интервале [0, N'], а при t < 0 и при t ! N' периодически 
продолжится. 
 
Рис. 1.4. Сигнал x(t), НВПФ _X(Z)_ (красным),  
фрагмент сигнала и НВРФ _XZ[m]_ (синим) 
 
8 

Последняя пара преобразований связывает последовательность x[n] (n = 0,..., 
N  1) с дискретным спектром XtZ[m] (m = 0,...,N  1) и имеет следующий вид: 
N

1
2
exp
,
¦
X
m
x n
j
mn
N
S
§
·
 '

¨
¸
©
¹
t
n
Z
 
0
 
> @
> @
 
(1.5) 
N

1
1
2
exp
.
> @
> @
¦
x n
X
m
j
mn
N
N
S
§
·
 
¨
¸
'
©
¹
t
m
Z
 
0
Эти выражения называются дискретно-временными рядами Фурье (ДВРФ) 
и именно они используются при реализации численных методов расчета. Последовательности (1.5) периодичны по частоте и по времени, а полученная в результате обратного преобразования последовательность совпадает с x[n] только при  
n = 0,..., N  1. Последовательность x[n] и модуль ДВРФ показаны на рис. 1.5. 
 
Рис. 1.5. Сигнал x(t), НВПФ _X(Z)_ (красным), 
ограниченная последовательность x[n] и ДВРФ _XtZ[m]_ (синим)  
 
Прежде, чем перечислить основные свойства ДВРФ, введем дискретную 
свертку конечных последовательностей равной длины x1[n] и x2[n] (n = 0,...,N – 1): 
m
f m
x k x
m
k .  
(1.6) 
k
 
> @
> @
>
@
1
2
0
 
 

¦
Эта свертка называется линейной и ее результат f[m] содержит 2N - 1 отсчетов. Введем также свертку бесконечных периодических последовательностей xС1[n] и xС2[n] с периодами по N отсчетов, построенных как периодическое 
продолжение x1[n] и x2[n]: 
N

1
f
m
x
k x
m
k .  
(1.7) 
 
> @
> @
>
@
C
C
C
k
 
 

¦
1
2
0
Результатом свертки (1.7) является последовательность fC[m], содержащая 
N отсчетов и не совпадающая с f[n] на интервале [0, N - 1]. Свертка (1.7) называется циклической. На рис. 1.6 показаны примеры вычисления циклической и 
линейной свертки. 
Свойства ДВРФ во многом схожи со свойствами НВПФ и НВРФ, но есть 
особенности, которые надо учитывать при обработке сигналов. Приведем основные свойства ДВРФ. 
9 

1. Линейность. Это свойство очевидно и следует из выражений (1.5): 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Z
Z

l

t
t
ax n
by n
aX
k
bY
k . 
2. Дуальность или частотно-временная симметрия. Если последовательности x[n] в частотной области соответствует ДВРФ XtZ[m], то последовательности > @
> @
n
X
n
y
t


Z
 
 будет соответствовать ДВРФ YtZ[k] = Nx[k].  
 
Рис. 1.6. Линейная (а) и циклическая (б) дискретные свертки 
 
Для доказательства этого утверждения построим последовательность y[n]: 
N
1
2
exp
> @
> @
> @
S
§
·
 
 
¨
¸
©
¹
¦
t
n
y m
X
m
x n
j
mn
N
 



Z
 
0
и соответствующий ей ДВРФ: 
N
N
N



1
1
1
2
2
exp
exp
> @
> @
> @


S
S
§
·
§
·
 

 


¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
¦
¦
¦
t
m
n
m
Y
k
y m
j
mk
x n
j
m k
n
N
N
. 
Z
 
 
 
0
0
0
Используя формулу для суммы N членов геометрической прогрессии, получим: 
N

1
1
2
exp
> @
> @





N
Y
k
x n S
k
n
j
k
n
N
N
. 
t
N
n
Z
 
0
S

§
·
S
§
·
 



¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
¦
Здесь возникла функция SN(x) = sin(Nx)/sin(x), равная нулю при x = 2Sk/N 
(k z 0) и равная N при x = 0 (k = 0). В результате получается следующее выражение: 
> @
> @
Z
 
t
Y
k
Nx k . 
10