Современные подходы к анализу и численному решению задач пластичности и ползучести при однократном и переменном нагружении

 
 
 
 
 
В. Б. Порошин, А. О. Чернявский  
 
 
 
 
 
СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К АНАЛИЗУ 
И ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 
ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ 
ПРИ ОДНОКРАТНОМ  
И ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

 
УДК 539.4 
ББК 22.251 
П59 
 
 
 
Рецензенты: 
д. т. н., проф., действ. член Академии наук респ. Башкортостан,  
академик-секретарь отделения математики, физики и машиноведения В. С. Жернаков; 
гл. науч. сотр. ФГУП «РФ ЯЦ-ВНИИТФ» д. т. н. А. П. Журавлев 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Порошин, В. Б.  
П59  
Современные подходы к анализу и численному решению задач пластичности и ползучести при однократном и переменном нагружении : 
учебник / В. Б. Порошин, А. О. Чернявский. - Москва ; Вологда : Инфра- 
Инженерия, 2024. - 116 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1908-6 
 
Первый раздел учебника посвящен структурной модели реологических свойств 
циклически стабильных металлических материалов. С ее помощью выявлены базовые 
характеристики материала, определяющие его поведение в изо- и неизотермических 
условиях, в том числе при сложном напряженном состоянии и непропорциональном 
нагружении. 
Особенностям численного анализа неупругого деформирования посвящен второй 
раздел, в котором описаны модели материалов из библиотек МКЭ-пакетов, их применение в условиях однократного и повторного нагружения с выдержками. Обсуждаются 
также требования к исходным данным и вопросы оценки корректности результатов. 
Для магистрантов направления «Прикладная механика», а также инженеров, занимающихся расчетами на прочность высоконагруженных теплонапряженных конструкций. 
УДК 539.4 
ББК 22.251 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1908-6 
” Порошин В. Б., Чернявский А. О., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
2 
 

 
 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 
............................................................................................................. 5
Раздел А. Описание реологических свойств сталей и сплавов   
при повторно-переменном нагружении на основе структурной модели 
упруговязкопластической среды ........................................................................... 7
А1. Определяющие уравнения 
....................................................................... 9
А2. Идентификация структурной модели (базовый вариант  
с горизонтальной асимптотой на диаграмме 
деформирования) 
................................................................................... 13
А3. Моделирование основных свойств конструкционных 
материалов ............................................................................................. 19
А3.1. Диаграммы деформирования ..................................................... 20
А3.2. Быстрое неизотермическое деформирование .......................... 22
А3.3. Ползучесть ................................................................................... 25
А4. СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ И ПРИНЦИП ПОДОБИЯ....................... 26
А5. Свойства подобия, отражаемые уравнением состяния ...................... 33
А5.1. Быстрое изотермическое нагружение ....................................... 34
А5.2. Быстрое неизотермическое иагружение ................................... 35
А5.3. Повторно-переменное нагружение с выдержками .................. 35
А6. Циклическая ползучесть 
........................................................................ 40
А7. Структурная модель с упругим подэлементом. 
Корректировка процедуры идентификации ....................................... 43
А8. Структурная модель при произвольном напряженном 
состоянии ............................................................................................... 48
А9. Экспериментальная проверка адекватности модели .......................... 51
А9.1. Быстрое изотермическое нагружение ....................................... 51
А9.2. Быстрое неизотермическое нагружение ................................... 52
А9.3. Циклическая ползучесть 
............................................................. 55
А9.4. Нестационарные нагружения 
..................................................... 59
А9.5. Непропорциональное нагружение 
............................................. 66
А10. О применении структурной модели ................................................... 68 
 
 
3 
 

 
Раздел Б. Современные подходы к численному решению задач  
пластичности и ползучести .................................................................................. 70
Б1. Модели материалов ................................................................................ 70
Б1.1. Однократное нагружение 
............................................................ 70
Б1.2. Повторное нагружение 
................................................................ 78
Б1.3. Ползучесть 
.................................................................................... 85
Б1.4. Неметаллические материалы 
...................................................... 88
Б2. Расчет конструкций. Особенности организации вычислений ........... 89
Б2.1. Требования к конечным элементам ........................................... 89
Б2.2. Интегрирование уравнений по «времени»   
(параметру программы нагружения) ........................................ 91
Б2.3. Оценка сходимости и вопросы единственности решения 
....... 93
Библиографический список 
................................................................................ 100
Приложение В. Методика и пример идентификации структурной модели 
жаропрочной аустенитной стали XI8Н9T (650 ƒС) ......................................... 102
В1. Методика проведения испытаний 
....................................................... 102
В2. Обработка экспериментальных данных и определение 
параметров модели 
.............................................................................. 103
 
4 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Повышение эффективности использования материалов, и, в первую очередь, конструкционных сталей и сплавов, является одной из наиболее актуальных современных задач. Отсюда вытекает требование к рациональному проектированию - обеспечению надежности конструкции при наиболее полном использовании прочностных свойств материала. Его выполнение возможно лишь 
на основе достаточно адекватных математических моделей и расчетных методов, 
позволяющих определить механическое состояние объекта и оценить его опасность с точки зрения исчерпания работоспособности. 
Прогресс в теории неупругого деформирования в существенной мере связан с актуальностью проблемы малоциклового разрушения теплонапряженных  
и высоконагруженных конструкций. Необходимость расчета полей напряжений 
и деформаций при изменяющихся нагрузках и температурах потребовала переоценки простейших классических теорий пластичности и ползучести с точки зрения отражения ими множества деформационных эффектов, которые при однократном нагружении не проявляются или признаются несущественными. 
Оказалось, что разработка теории неупругого деформирования, удовлетворяющей современным требованиям, связана с немалыми принципиальными 
трудностями; значительные затруднения возникали также при реализации поцикловых расчетов кинетики деформирования в связи с исключительно высокой 
их трудоемкостью. На определенном этапе это предопределило преимущества 
приближенного подхода к оценке несущей способности конструкций, опирающегося на представления и методы предельного упругопластического анализа. 
Развитие, которое получил этот подход за последние десятилетия [1, 2], обеспечило ему довольно высокую эффективность при решении прикладных задач.  
С другой стороны, полученные в рамках теории приспособляемости (и ее дальнейшего обобщения - теории стационарных циклических состояний) представления о различных типах поведения конструкции способствовали более глубокому пониманию многих характерных особенностей повторно-переменного деформирования. 
Тем не менее, проблема более адекватного описания процессов неупругого 
деформирования и, в частности, определения параметров, характеризующих 
долговечность конструкции, по-прежнему остается актуальной. К настоящему 
времени предложен целый ряд вариантов и схем, реализующих применимость 
теорий пластичности и ползучести в отдельных областях и отличающихся между 
собой степенью обобщения и экспериментальной обоснованностью, а также 
практической пригодностью для решения инженерных задач. 
5 
 

 
Среди этих теорий особое место принадлежит моделям, которые базируются на представлениях физического характера, в частности, на концепции  
микронеоднородности реальных материалов. Об одной из них - структурной модели упруговязкопластической среды - пойдет речь в разделе А, при написании 
которого были использованы материалы справочника [3]. Подготовка данного 
пособия в качестве учебного, разумеется, потребовала адаптации этих материалов для не слишком искушенного читателя, были исправлены некоторые огрехи 
в исходном тексте, для улучшения восприятия добавлен ряд рисунков и примеров, в частности, Приложение В. 
Практическое использование подходов теории пластичности, включая модели материала, в настоящее время неразрывно связано с применением численных методов и реализующих их программных комплексов. Эти вопросы обсуждаются в разделе Б. Математическое моделирование деформирования конструкций требует, помимо подробного описания геометрии детали и программы 
нагружения, адекватной модели материала. Сложность описания большого 
числа эффектов - упрочнение и разупрочнение, взаимное влияние циклического 
деформирования и ползучести - усугубляется трудностью получения (и зачастую недостаточным объемом) экспериментальных данных. При этом критически важным становится вопрос о том, какие из полученных результатов являются 
надежными, т. е., могут быть использованы при оценке прочности и долговечности конструкции. Кроме того, рассматриваются технические вопросы организации вычислений - особенности конечных элементов разных типов, технология 
интегрирования уравнений по выбранному параметру программы нагружения, 
оценка сходимости численных процедур и корректности результатов.  
6 
 

 
РАЗДЕЛ А  
ОПИСАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ  
СВОЙСТВ СТАЛЕЙ И СПЛАВОВ  
ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ  
НА ОСНОВЕ СТРУКТУРНОЙ МОДЕЛИ 
УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ 
 
 
Известно, что природа неупругого деформирования поликристаллических 
материалов весьма сложна и характеризуется существенной неоднородностью в 
масштабе зерен, субзерен, дислокаций и систем скольжения. Феноменологический подход игнорирует тонкости механизма неупругой деформации с тем, 
чтобы наиболее просто описать закономерности деформационного поведения 
материала в параметрах напряжения V, деформации H, температуры T, времени t. 
Этого оказывается вполне достаточно при определенных типах программ нагружения, но в случае рассмотрения всего комплекса закономерностей неупругого 
деформирования при циклическом неизотермическом нагружении с выдержками приводит к значительным трудностям. Для их преодоления пытаются использовать онтологический подход: моделирование зерен, систем скольжения, 
законов их взаимовлияния [4, 5]. Однако чрезвычайная громоздкость этого подхода пока не позволяет считать соответствующие модели пригодными для широкого применения в инженерной практике. 
Наиболее эффективным для данной цели оказывается компромиссный 
путь, состоящий в формализованном, характерном для механики, моделировании реальной микронеоднородности материалов. Полагается, что каждый элемент объема материала представляет собой некоторую конструкцию, составленную из частей, которые будем называть подэлементами (в дальнейшем сокращенно ПЭ). Свойства ПЭ и способ их «сборки» могут быть заданы различными. 
Задача состоит в том, чтобы моделируемый элемент объема (модель среды)  
своими реологическими закономерностями максимально приблизился к реальному материалу. Если для определения реологических (пластичность, ползучесть) свойств ПЭ используют инкрементальные (т. е., сформулированные в скоростях) теории пластичности и (или) ползучести, то данный подход формально 
может быть сведен к обобщенной гипотезе упрочнения Ю. Н. Работнова [6]  
с конкретизацией скрытых параметров состояния. Модели такого типа называют 
структурными. Главным свойством гипотетической конструкции из ПЭ, 
7 
 

 
необходимым в такой модели, является ее статическая неопределимость. Системы самоуравновешенных напряжений, возникающих и изменяющихся в 
связи с неупругим деформированием ПЭ, служат аналогами реальных микронапряжений, возникающих в материале и определяющих эффекты деформационной анизотропии. В остальном конструкция может быть произвольна. Рассматривались варианты модели с параллельным и параллельно-последовательным 
соедиением ПЭ. Простейшей схемой соединения является модель [7, 8], в соответствии с которой все ПЭ деформируются одинаково. При одноосном нап- 
ряженном состоянии такую модель можно представить как пакет параллель- 
ных, одинаково растягиваемых стержней с различающимися значениями параметров реологических свойств (например, с разными значениями предела текучести) - рис. А1. 
 
Рис. А1. Структурная модель в варианте пакета 
параллельных, одинаково растягиваемых стержней с разными значениями предела текучести 
Для отражения процессов ползучести 
подэлементы необходимо наделить также реономными свойствами. Простейший вариант - 
идеальная вязкость, в соответствии с которой 
скорость ползучести ПЭ зависит только от текущих значений его напряжения и температуры. Тогда реологические свойства 
каждого ПЭ определяются единственной для него функцией, характеризующей 
эту зависимость, - реологической. 
Анализ рассмотренной модели и сопоставление ее поведения с экспериментальными данными о неупругом циклическом деформировании структурностабильных металлических конструкционных материалов, находящихся в циклически стабильном состоянии, показали практическую возможность еще одного кардинального упрощения такой модели - путем постулирования подобия 
реологических функций всех ПЭ, составляющих элементарный объем. Разброс 
характеристик по ПЭ в этом случае может быть определен единственным параметром - параметром подобия реологической функции ПЭ - некоторой выбранной среднестатистической функцией, далее называемой реологической функцией модели. Таким образом, для определения (идентификации, т. е., отождествления с конкретным материалом) модели достаточно найти из испытаний 
лишь две функции, характеризующие реологические свойства конкретного материала: реологическую функцию и функцию неоднородности, описывающую 
8 
 

 
распределение упомянутых параметров подобия по ПЭ. Эти функции будем 
называть определяющими, или базовыми. 
Им можно дать отчетливую физическую интерпретацию: первая характеризует чувствительность микросоставляющих среды к скорости деформирования, изменение этой чувствительности с повышением температуры; вторая - степень микронеоднородности среды, распределение сопротивления микросоставляющих деформированию, характеризующее соотношение между числом относительно более 
прочных и более слабых частиц. 
Обе функции достаточно просто находятся из соответствующих базо- 
вых экспериментов стандартного типа (в ходе которых определяют диаграм- 
мы деформирования и кривые ползучести). По простоте и удобству иденти- 
фикации данная модель может конкурировать с наиболее простыми фено- 
менологическими моделями реономной среды. В то же время, с помощью  
структурной модели данного типа удается описать весьма широкий круг де- 
формационных свойств конструкционных материалов, проявляемых ими при 
разных программах нестационарного однократного и циклического нагруже- 
ния. 
Рассматриваемый базисный вариант модели не отражает лишь комплекс 
эффектов, связанных с изотропным упрочнением материала (обычно существенных только для начальных циклов нагружения). Включение в описание и этой 
группы свойств потребует добавления еще двух определяющих функций [7]  
и приведет к усложнению техники идентификации и использования модели  
в расчетах элементов конструкций. 
Базисный вариант модели, рассматриваемый в этом разделе, позволит  
в дальнейшем наиболее удобным образом систематизировать информацию, получаемую при испытаниях материалов, обобщить результаты и связать между 
собой внешне разнородные явления, характеризующие влияние истории нагружения на реологические свойства материала и проявляющиеся в виде разнообразных эффектов деформационной анизотропии. 
А1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ 
При одноосном напряженном состоянии (обобщение на случай произвольного напряженного состояния будет рассмотрено ниже) полная система уравнений, описывающих свойства моделируемого элемента объема, имеет следующий 
вид: 
9 
 

 
k
k
k
k
 
 
 
 
r
p
r
p
H
H
-
-
;
k
 
T
T
;
k
k
k
 
 
V
V
-
-
,
,
,
;   
А1
 




0
r
r
T T
E T
E T
 
 
V
˜
 
 












,
;
k
k
k
 
p
Ф
T
z
k
 
V
V
.
-
½
°
°
°
°
 
 


 


°
°
°
°
 
°
°
°
°
 
 
 
®
¾
°
°
°
°
§
·
°
°
 
¨
¸
¨
¸
°
°
©
¹
°
°
°
°
 
¯
¿
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Поясним смысл приведенной системы определяющих уравнений. Предполагается, что элемент объема, характеризуемый напряжением V, деформацией H, 
температурой Т, представляет собой совокупность ПЭ (их параметры помече- 
ны индексами k; k = 1, 2, …, N - номер ПЭ). Деформации H (k) всех ПЭ одинаковы 
и равны деформации элемента H; то же относится и к температуре. Деформа- 
ция ПЭ H (k) разделена на три составляющие: упругую r (k), тепловую 
 
k
-
 и неупругую р(k). Первая однозначно связана с напряжением ПЭ, при этом мо- 
дуль упругости у всех ПЭ принимается одинаковым. В итоге, согласно соотношениям (А1), он оказывается равен модулю упругости материала в целом, зависящему от температуры. Вторая составляющая 
 
k
-
 определяется температурой; 
свойства теплового расширения так же, как и температура, для всех ПЭ считаются одинаковыми; в итоге величины 
 
k
-
 одинаковы и оказываются равны тепловой деформации всего элемента 

0
,
T T
-
. 
Остаток р(k) = H (k)- (r (k)  
 
k
-
) - неупругая деформация ПЭ, развивающаяся, согласно предположению, со скоростью ݌ሶሺ௞ሻ, зависящей только от напряжения и температуры данного ПЭ. Реологическая функция двух аргументов Ф, как 
было отмечено, в силу принятого закона подобия одна для всех ПЭ. Различие 
свойств ПЭ определяется неизменяющимся, индивидуальным для каждого ПЭ, 
параметром подобия zk. 
В качестве примера на рис. А2 приведены реологические функции трех ПЭ 
при некотором значении температуры; основная функция Ф (совпадающая с реологической функцией ПЭ, имеющего значение zk = 1) и две функции ПЭ, имеющих параметры подобия, равные 0,5 и 1,5. Соответственно отношения ВА/СА  
и DA/CA при любых значениях ݌ሶሺ௞ሻ, характеризуемых отрезком ОА, одинако- 
вы: 0,5 и 1,5. Предполагается, что с изменением температуры распределение 
10