Числовые и функциональные ряды

 
 
 
 
Е. Г. Плотникова, В. В. Логинова 
 
 
 
 
 
 
 
 
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 

УДК 517.11 
ББК 22.161 
П39 
 
 
 
Рецензенты: 
 
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, 
теории и методики обучения математике ФГБОУ ВО «Ярославский государственный  
педагогический университет им. К. Д. Ушинского» Е. И. Смирнов; 
 
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики 
ФГАОУ ВО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»  
А. Р. Абдуллаев 
 
 
 
 
 
 
 
 
Плотникова, Е. Г. 
П39  
Числовые и функциональные ряды : учебник / Е. Г. Плотникова, 
В. В. Логинова. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 172 с. : 
ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1983-3 
 
Даны определения и свойства числовых рядов, признаки сходимости числовых 
рядов, определения и свойства функциональных рядов, понятие правильно сходящегося функционального ряда. Представлен теоретический материал со строгими математическими формулировками и доказательствами, а также подробно разобранные примеры. Каждая глава завершается заданиями для самостоятельного решения, в конце 
разделов приводится по два варианта тестов для самоконтроля и систематизации знаний. Имеются ответы ко всем заданиям, что позволит организовать самостоятельную 
работу студентов при изучении учебного материала разделов. 
Для бакалавров, специалистов и аспирантов математических, инженерно-технических, экономических направлений вузов, подробно изучающих математический анализ, а также для преподавателей математических дисциплин.   
 
УДК 517.11 
ББК 22.161 
 
 
ISBN 978-5-9729-1983-3 
© Плотникова Е. Г., Логинова В. В., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
2 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Предисловие ............................................................................................................. 5 
Введение .................................................................................................................... 7 
 
РАЗДЕЛ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ........................................................................... 8 
Глава 1. Общие определения и свойства числовых рядов ............................. 8 
1.1. Определение и примеры числового ряда 
......................................................... 8 
1.2. Свойства числовых рядов 
................................................................................ 13 
1.3. Необходимый признак сходимости 
................................................................ 17 
Задания для самостоятельного решения ............................................................. 21 
Глава 2. Исследование сходимости числовых рядов  
с положительными членами ............................................................................... 23 
2.1. Условие сходимости числового ряда ............................................................. 23 
2.2. Признаки сравнения 
......................................................................................... 25 
2.3. Достаточные признаки Даламбера, Коши, Коши – Маклорена .................. 29 
Задания для самостоятельного решения ............................................................. 36 
Глава 3. Исследование сходимости знакопеременных числовых рядов ... 39 
3.1. Знакочередующиеся числовые ряды 
.............................................................. 39 
3.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных  
числовых рядов 
........................................................................................................ 43 
Задания для самостоятельного решения ............................................................. 47 
Тесты для самоконтроля и систематизации знаний ...................................... 48 
 
РАЗДЕЛ II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 
..................................................... 68 
Глава 4. Функциональные ряды: общие определения и свойства ............. 68 
4.1. Область сходимости функционального ряда ................................................ 68 
4.2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства 
.................... 70 
Задания для самостоятельного решения ............................................................. 75 
Глава 5. Степенные ряды .................................................................................... 78 
5.1. Определение, область и радиус сходимости степенного ряда .................... 78 
5.2. Вычисление радиуса и исследование области сходимости  
степенного ряда ....................................................................................................... 81 
5.3. Свойства степенных рядов .............................................................................. 85 
Задания для самостоятельного решения ............................................................. 86 
Глава 6. Разложение функций в степенные ряды .......................................... 87 
6.1. Ряды Тейлора и Маклорена 
............................................................................. 87 
6.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена ............. 93 
6.3. Разложение функции в степенной ряд с помощью известных  
разложений и свойств ............................................................................................. 98 
Задания для самостоятельного решения ........................................................... 103 
Глава 7. Приложение числовых рядов к приближенным  
вычислениям ........................................................................................................ 105 
7.1. Вычисление значений функций .................................................................... 105 
7.2. Приближенное вычисление интегралов 
....................................................... 108 
3 

7.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений .......................... 111 
Задания для самостоятельного решения ........................................................... 115 
Глава 8. Ряды Фурье 
........................................................................................... 117 
8.1. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье 
...................................................... 117 
8.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций .............................. 128 
8.3. Ряд Фурье в произвольном интервале 
.......................................................... 132 
Задания для самостоятельного решения ........................................................... 136 
Тесты для самоконтроля и систематизации знаний .................................... 137 
 
Ответы к заданиям для самостоятельного решения ................................... 155 
Ответы к тестам .................................................................................................. 166 
Литература 
............................................................................................................ 167 
 
4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Данный учебник состоит из двух разделов: «Числовые ряды» и «Функциональные ряды». Его содержание соответствует программе подготовки бакалавров и специалистов математических, инженерно-технических, экономических 
направлений вузов, подробно изучающих математический анализ.  
Раздел «Числовые ряды» содержит следующие главы: Общие определения 
и свойства числовых рядов; Исследование сходимости числовых рядов с положительными членами; Исследование сходимости знакопеременных числовых 
рядов. В раздел «Функциональные ряды» вошли главы: Функциональные ряды: 
общие определения и свойства; Степенные ряды; Разложение функций в степенные ряды; Приложение числовых рядов к приближенным вычислениям; Ряды 
Фурье. 
В результате изучения материала учебника обучающиеся должны: 
знать 
определения и свойства числовых рядов; признаки сходимости числовых 
рядов; определения и свойства функциональных рядов; понятие правильно сходящегося функционального ряда;  
уметь 
исследовать сходимость числовых радов; определять радиус, интервал и область сходимости степенного ряда; осуществлять разложение функций в ряды 
Тейлора и Маклорена; осуществлять разложение функций в ряд Фурье; 
владеть 
навыками использования рядов к приближенным вычислениям. 
Для успешного овладения учебным материалом обучающиеся должны: 
знать теорию пределов и методику их вычисления; владеть умениями и навыками дифференциального и интегрального исчисления.  
В теоретической части глав учебника изложение осуществляется строго математически с выводом всех положений и доказательством теорем. Теория сопровождается многочисленными примерами, иллюстрирующими математические понятия и методы исследования рядов. Там, где это возможно, приводятся 
алгоритмы исследования. 
Каждая глава завершается заданиями для самостоятельного решение, количество которых достаточно для организации аудиторной и домашней работы студентов. Например, задания с нечетными номерами могут быть разобраны на занятии в аудитории, а задания с четными номерами предложены студентам для 
самостоятельной домашней работы. В конце учебника приведены ответы ко всем 
заданиям, что позволит обучаемым проверить правильность выполненной работы. 
Разделы учебника завершаются двумя вариантами тестов для контроля и систематизации полученных знаний, умений и навыков. В каждом тесте 30 заданий 
закрытого типа разного уровня сложности. Все задания на одиночный выбор: из 
предложенных пяти вариантов ответов правильным является только один. Ответы на задания тестов также приведены в конце учебника, тем самым студенты 
5 

могут самостоятельно оценить результат своего решения. На основе данных тестов преподаватели дисциплины могут составить варианты проверочных работ 
разного уровня сложности и объема. 
Указанные особенности учебника позволяют использовать его в организации самостоятельной работы студентов, в том числе в формате дистанционного 
обучения.   
 
 
 
6 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Уже в Древней Греции ученые использовали бесконечные суммы для 
нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т. д. Например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (фигуры, ограниченной 
прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со 
знаменателем 1/4. 
Как самостоятельное понятие, ряд математики стали использовать в  
XVII веке. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. В XVIII–XIX веках теория рядов развивалась в работах Якоба и Иоганна Бернулли, Брука Тейлора, Колина 
Маклорена, Леонардо Эйлера, Жана Даламбера, Жозефа Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX веке на основе понятия предела в трудах 
Карла Гаусса, Бернарда Больцано, Огюстена Коши, Петера Дирихле, Нильса 
Абеля, Карла Вейерштрасса, Бернхарда Римана и др. 
В настоящее время ряды широко используются при решении самых разнообразных задач. Прежде всего, для приближенных вычислений, для представления функций, описывающих изучаемые процессы или явления. Этим и объясняется обязательное изучение теории числовых и функциональных рядов студентами математических, инженерно-технических, экономических направлений 
подготовки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 

Раздел  I 
 
ЧИСЛОВЫЕ  РЯДЫ 
 
 
 
Раздел «Числовые ряды» является одним из наиболее важных и интересных 
разделов вузовского курса математического анализа, как с теоретической, так и 
с практической точки зрения. В этом разделе обобщаются ранее рассмотренные 
понятия и методы курса, а также предлагается новый инструмент решения самых 
разнообразных задач.  
 
 
Глава 1 
 
ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ  
И СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 
 
Изучение теории рядов мы начнем с введения общих понятий для числовых рядов, рассмотрим их примеры, свойства и необходимый признак сходимости.  
 
1.1. Определение и примеры числового ряда  
 
Пусть дана числовая последовательность 
{
}
n
a
A =
. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов данной числовой последовательности вида 
 
∞
 
¦
n
n
n
a
a
a
a
a
, 
(1.1) 
1
3
2
1
...
...
=
=
+
+
+
+
+
 
здесь числа 
...
,
...
,
,
,
3
2
1
n
a
a
a
a
 называются членами ряда, а член 
n
a  с произвольным номером называется общим членом ряда.  
Правило, записанное в виде формулы и позволяющее каждому номеру 
N
n∈
 поставить в соответствие член 
n
a  ряда (1.1), называется формулой общего члена ряда. Ряд считается заданным, если задан его общий член.  
 
Пример 1.1. Дана формула общего члена числового ряда 
 
(
)
(
)
n
−
⋅
−
=
, 
!
1
2
1
n
n
a
n
 
записать его первые пять членов.  
8 

−
=
−
⋅
⋅
−
=
a
;       
(
)
(
)
2
=
−
⋅
⋅
−
=
a
; 
2
3
!
2
1
2
2
1 2
Решение.  
Подставляем в формулу общего члена номер n и находим соответствующий член ряда:  
 
(
) (
)
1
!
1
1
1
2
1 1
 
(
)
(
)
3
−
=
−
⋅
⋅
−
=
a
;    
(
)
(
)
4
=
−
⋅
⋅
−
=
a
; 
6
5
!
3
1
3
2
1 3
24
7
!
4
1
4
2
1 4
 
(
)
(
)
5
−
=
−
=
−
⋅
⋅
−
=
a
. X 
40
3
120
9
!
5
1
5
2
1 5
 
Ряд также может быть задан рекуррентным соотношением, связывающим 
последующий член ряда с предыдущим, при этом задаются один или несколько 
членов ряда и формула, по которой находятся последующие члены ряда.  
 
Пример 1.2.  
Записать третий, четвертый и пятый члены ряда, определяемого рекуррентными соотношениями 
1
1 =
a
, 
3
2 =
a
, 
2
1
3
2
−
−
⋅
+
⋅
=
n
n
n
a
a
a
. 
Решение.  
Последовательно находим:  
 
9
1
3
3
2
3
2
1
2
3
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
a
a
a
; 
 
27
3
3
9
2
3
2
2
3
4
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
a
a
a
; 
 
81
9
3
27
2
3
2
3
4
5
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
a
a
a
. X 
 
Возможно также решение обратной задачи: по известным нескольким последовательным членам ряда записать формулу его общего члена. 
 
Пример 1.3.  
Записать формулу n-го члена для данных рядов: 
 
1) 
...
120
25
24
16
6
9
2
4
1
+
+
+
+
; 
 
2) 
...
9
1
7
1
5
1
3
1
1
+
−
+
−
; 
 
3) 
...
37
1
20
1
11
1
6
1
3
1
+
+
+
+
. 
9 

Решение.  
1. По условию 
24
16
,
6
9
,
2
4
,
1
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
, 
120
25
5 =
a
. Очевидно, что об2
щий член ряда имеет вид 
!
n
n
an =
. 
2. По условию члены ряда меняют знак, начиная с «+», при этом в знаменателе наблюдаются последовательные значения нечетных чисел. Следовательно, 
общий член ряда имеет вид 
(
)
n
.  
n
a
n
1
2
1
1
−
−
=
+
3. По условию 
37
1
,
20
1
,
11
1
,
6
1
,
3
1
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
a
a
a
a
a
. Так как 3 = 2 +1,
2
3
4
6
4
2
2
2, 11
2
3, 20
2
4
=
+
=
+
=
+
=
+
, то общий член ряда имеет вид 
1
. X 
n
a
n
n
+
=
2
В некоторых случаях формулу общего члена можно получить и для ряда, 
заданного рекуррентными соотношениями. Так, для ряда примера 1.2 несложно 
заметить, что формула его общего члена 
1
3 −
=
n
n
a
. 
Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Конечная сумма n первых 
членов ряда (1.1) обозначается 
n
S  и называется его n-й частичной суммой. 
Частичные суммы  
 
...
,
...
...,
,
,
2
1
2
1
2
1
1
n
n
a
a
a
S
a
a
S
a
S
+
+
+
=
+
=
=
, 
 
образуют числовую последовательность {
}
n
S
.  
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм 
{
}
n
S
, т. е. выполняется равенство  
 
 
S
Sn
n
=
∞
→
lim
, 
(1.2) 
 
то ряд (1.1) называется сходящимся, а значение предела – число S  называется 
суммой ряда. Символически сходящийся ряд может быть представлен равенством:  
 
∞
S
a
a
a
n
=
+
+
+
+
...
...
2
1
    или    
S
a
n
n =
¦
=1
. 
 
Если предел (1.2) не существует или равен бесконечности, то ряд (1.1) называется расходящимся.  
10