Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

 
 
 
 
 
 
И. В. Войтко, С. А. Старостина, М. В. Сухотерин 
 
 
 
 
 
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 
РЯДЫ ФУРЬЕ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024

УДК 517.2/.3 
ББК 22.161 
В65 
 
 
 
Рецензенты: 
кандидат физико-математических наук Распутина Елена Ивановна; 
доктор технических наук Кондратьева Лидия Никитовна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Войтко, И. В. 
В65  
Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье : учебное пособие / 
И. В. Войтко, С. А. Старостина, М. В. Сухотерин. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 148 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-1747-1 
 
Изложены основные теоретические понятия и формулы курса высшей математики 
для технических вузов по темам «Числовые ряды», «Степенные ряды» и «Ряды Фурье». 
Содержит большое количество подробно разобранных примеров, задачи для самостоятельной работы с ответами, вопросы для самоконтроля, решение типового варианта и 
30 вариантов индивидуальных заданий.  
Для студентов 2 курса технических направлений и специальностей, изучающих 
данные темы в курсе высшей математики. 
 
УДК 517.2/.3 
ББК 22.161 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1747-1 
” Войтко И. В., Старостина С. А., Сухотерин М. В., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 
..................................................................................................... 6 
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ................................................... 6 
1.1. Определение числового ряда .......................................................................... 6 
1.2. Необходимый признак сходимости ряда ....................................................... 6 
1.3. Основные свойства числовых рядов .............................................................. 7 
1.4. Геометрический ряд ......................................................................................... 8 
2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ  
ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ ...................................................................... 9 
2.1. Признак Даламбера .......................................................................................... 9 
2.2. Радикальный признак Коши 
.......................................................................... 11 
2.3. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд ............ 12 
2.4. Признаки сравнения 
....................................................................................... 14 
3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 
............................................................................ 16 
3.1. Общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. 
Абсолютная и условная сходимость ................................................................... 16 
3.2. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов 
..................................... 18 
3.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 
........................................... 19 
3.4. Оценка погрешности при приближённом вычислении суммы 
знакочередующегося ряда .................................................................................... 21 
4. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 
.......................................... 23 
4.1. Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 
4.2. Задания для самоконтроля 
............................................................................. 25 
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ................................................................................................ 28 
5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
................................ 28 
6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ............................................................................................ 29 
6.1. Степенной ряд. Теорема Абеля 
..................................................................... 29 
6.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда ........................................ 30 
6.3. Основные свойства степенных рядов 
........................................................... 34 
6.4. Ряды Тейлора и Маклорена 
........................................................................... 35 
6.5. Разложение некоторых элементарных функций в степенной ряд ............ 38 
7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ................................... 42 
7.1. Приближенное вычисление значений функций 
.......................................... 42 
7.2. Приближенное вычисление определенных интегралов 
............................. 45 
7.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом 
последовательного дифференцирования ............................................................ 47 
8. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 
.......................................... 50 
8.1. Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 50 
8.2. Задания для самоконтроля 
............................................................................. 51 
РЯДЫ ФУРЬЕ ............................................................................................................ 53 
9. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ И ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ 
............ 53 
10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ ........................................................ 56 
3 

11. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ 2Ȇ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ .............................................................................................. 57 
12. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЁТНЫХ И НЕЧЁТНЫХ 2Ȇ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ 
ФУНКЦИЙ 
................................................................................................................. 62 
13. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ  
С ПЕРИОДОМ 2L 
...................................................................................................... 66 
14. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА 
ПРОМЕЖУТКЕ 

0; l . РАЗЛОЖЕНИЕ ТОЛЬКО ПО СИНУСАМ  
ИЛИ ТОЛЬКО ПО КОСИНУСАМ 
.......................................................................... 70 
15. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 
........................................ 76 
15.1. Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 76 
15.2. Задания для самоконтроля........................................................................... 78 
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И РАЗБОР ТИПОВОГО 
ВАРИАНТА ............................................................................................................... 80 
16. ТИПОВОЙ ВАРИАНТ И ЕГО РЕШЕНИЕ ...................................................... 80 
17. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ........................................... 94 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 141 
Приложение 1. ......................................................................................................... 142 
Приложение 2. ......................................................................................................... 143 
Приложение 3. ......................................................................................................... 144 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
.................................................................... 145 
 
 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
Степенные ряды и ряды Фурье часто применяются при решении различных 
прикладных физических задач, связанных с приближенными вычислениями, интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в 
частных производных. Числовые ряды используются в качестве оценки сходимости соответствующих рядов в отдельных точках и на интервале. 
Предлагаемое учебное пособие «Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье» 
возникло как итог многолетней преподавательской работы авторов: чтения лекций, проведения практических занятий, зачетов и экзаменов со студентами и курсантами различных направлений и специальностей в ГУМРФ имени адмирала 
С. О. Макарова. 
Авторы видели свою главную задачу в том, чтобы создать учебное пособие, 
которое не только не отпугнет читателей, но и даст им необходимую математическую базу для дальнейшего изучения профессиональных дисциплин. 
Учебное пособие состоит из четырёх разделов. В первых трёх разделах кратко 
изложены основные теоретические понятия и формулы по темам «Числовые 
ряды», «Степенные ряды» и «Ряды Фурье». Изложение теоретического материала сопровождается поясняющими теорию примерами с подробным решением. 
В конце каждого раздела приведены вопросы и задания для самоконтроля с ответами. Четвёртый раздел содержит 30 вариантов индивидуальных заданий, которые могут быть использованы преподавателями для организации самостоятельной индивидуальной работы студентов. Варианты состоят из 14 заданий различной степени сложности. Преподаватель может выбрать набор заданий, соответствующий объёму курса и количеству часов практических занятий. В помощь 
обучающимся разобран типовой вариант с методами решения заданий. В конце 
пособия в приложениях размещен краткий справочный материал по пределам, 
интегралам и тригонометрическим формулам. 
Пособие предназначено для студентов технических вузов, изучающих данные темы в курсе высшей математики, а также может быть полезно аспирантам 
и инженерно-техническим работникам. 
Содержание учебного пособия соответствует программам математики для 
технических специальностей вузов последнего поколения. 
 
 
5 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
1.1. Определение числового ряда 
Рядом называется выражение вида 
f
1
2
3
1
...
...,
k
n
n
a
a
a
a
a
 
 





¦
 
где 
1
2
3
,
,
, ... ,
,...
n
a
a
a
a
 - последовательность чисел или функций. Слагаемые 
1
2
3
,
,
...
a
a
a
 называются членами ряда, 
n
a  - общим членом ряда. Если все члены 
ряда являются числами, то ряд называется числовым; если все члены ряда - 
функции, то ряд называется функциональным. 
Рассмотрим числовой ряд 
f
 
 





¦
 
1
2
3
1
...
....
n
n
n
a
a
a
a
a
Сумма n первых членов ряда 
1
2
...
n
n
S
a
a
a
 



 называется его n-ой частичной суммой. Если существует конечный предел lim
n
n
S
S
of
 
, ряд называется 
сходящимся, а число S называется суммой ряда. Если предел lim
n
n
S
of
 не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы 
не имеет. 
1
1
n
a
n
n
 
˜

 записать ряд. 
Пример 1.1. По заданному общему члену 


Решение. Придавая n последовательно значения 1, 2, 3, …, получим: 
f
1
1
1
1
1
...
...
.
1 2
2 3
3 4
1
1
n
n
n
n
n
 





 
˜
˜
˜
˜

˜

¦
 




1
1.2. Необходимый признак сходимости ряда 
 
 




¦
 
Необходимый признак сходимости. Если ряд 
1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
f
сходится, то lim
0.
n
n
a
of
 
 
Замечание. Этот признак не является достаточным, т. е. если 
0
n
a o
, то никакого заключения о сходимости ряда сделать нельзя; ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. 
6 

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если lim
0
n
n
a
of
z
 
или этот предел не существует, то ряд расходится. 
f
Пример 1.2. Доказать расходимость ряда 
n
n
2
2
1
n
 

¦
. 
1
Решение. Общий член ряда 
2
2
1
n
n
a
n
 
 . 
Так как 
 
2
2
2
lim
lim
lim
lim
1,
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
of
of
of
of
 
 
 
 

§
·


¨
¸
©
¹
то выполняется достаточный признак расходимости ряда (общий член ряда не 
стремится к нулю). Следовательно, ряд расходится. 
f
Пример 1.3. Доказать расходимость ряда 


1
3
5 sin
2
k
n
n
n
 


¦
. 
2
2
1
Решение. Используя достаточный признак расходимости числового ряда, вычислим предел 


>
@
2
2
2
2
1
3
5
1
lim
lim
3
5 sin
0
lim
.
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
of
of
of


§
·
 


 f˜
 
 
¨
¸
©
¹
 
При вычислении предела использована эквивалентность бесконечно малых: 
2
2
1
1
sin
.
2
2
n
n
n
of

 
Таким образом, lim
0
n
n
a
of
z
, следовательно, ряд расходится. 
1.3. Основные свойства числовых рядов 
f
 
 





¦
 сходится и его сумма равна S, то 
1. Если ряд 
1
2
3
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
a
ряд 
 
 





¦
 
1
2
3
1
...
...,
n
n
n
сa
ca
ca
ca
ca
f
где с - произвольное число, также сходится и его сумма равна сS . Если ряд 
 
¦
 тоже расходится. 
 
¦
 расходится и 
0
c z
, то ряд 
1
n
n
сa
f
1
n
n
a
f
7 

f
 
 



¦
 сходящиеся ряды, 
2. Если 
1
2
3
1
...
n
n
a
a
a
a
 
 



¦
 и 
1
2
3
1
...
n
n
b
b
b
b
f
суммы которых равны 
1
S  и 
2
S  соответственно, то сходятся и ряды 
f
f




1
1
,
,
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
 
 


¦
¦
 
причем сумма каждого из них равна соответственно 
1
2
S
S

 и 
1
2
S
S

. 
Замечание 1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. 
Замечание 2. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как 
сходящимся, так и расходящимся рядом. 
3. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение 
в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда 
(в смысле его сходимости или расходимости). 
f
 
¦
 отбрасыванием 



 



 ¦
, полученный из ряда 
1
n
n
a
f
Ряд 
1
2
3
1
...
n
n
n
k
k n
a
a
a
a
n первых его членов, называется n-м остатком ряда и обозначается n
r : 
1
2
3
...
n
n
n
n
r
a
a
a



 



 
Согласно свойству 3, ряд и его остаток одновременно сходятся или расходятся. 
1.4. Геометрический ряд 
Ряд 
f

2
3
1
n
a
aq
aq
aq
aq
aq
1
...
...
,
n
n
 






 ¦
 
образованный из членов геометрической прогрессии со знаменателем 

0
q q z
 
и первым членом 

0
a a z
, называется геометрическим. 
Геометрический ряд сходится, если 
1
q  , и его сумма равна 
1
a
S
q
 
.  
Если 
1
q t , то геометрический ряд расходится. 
Пример 1.4. Найти сумму ряда: 
1
1
1
1
1
...
...
3
6
12
3 2n





˜
 . 
Решение. Это геометрический ряд, где  
1
1
,
.
3
2
a
q
 
 
 
8 

Так как 
1
q  , то данный ряд сходится и его сумма равна 
S  
 

. 
1
2
3
1
3
1
2
n
f
Пример 1.5. Установить сходимость или расходимость ряда 
7
2
n
 
¦
. 
1
Решение. Этот ряд образован геометрической прогрессией, в которой 
7 ,
7
2
a
q
 
 
. Так как 
1
q ! , то данный ряд расходится. 
2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ  
ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 
f
 
 





¦
, все члены которого неотрицательны, 
Ряд 
1
2
3
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
a
называется знакоположительным (или положительным рядом). 
Замечание. Знакоотрицательный ряд 
 
¦
 

0
n
a d
 может быть представлен 
1
n
n
a
f
в виде произведения знакоположительного ряда на множитель 
1
с   , что по 
свойству 1 числовых рядов не влияет на сходимость ряда. 
Рассмотрим пять достаточных признаков сходимости знакоположительных 
рядов. 
2.1. Признак Даламбера1 
f
Признак Даламбера. Пусть для ряда 
 
t
¦
 существует предел отно1
,
0
n
n
n
a
a
шения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании 

номера n, т. е. 
1
lim
n
of
 O. Тогда при 
1
O   ряд сходится, а при 
1
O !  расходится. 
a
a
n
n
Замечание 1. Если 
1
O  , то сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. В этом случае требуется дополнительное исследование. 

Замечание 2. Если 
1
lim
n
of
 f, то ряд также расходится, так как в этом слуa
a
n
n
чае lim
0
n
n
a
of
z
. 
 
1 Жан Лероғн Даламбеғр (Д¶Аламбеғр) (1717-1783), французский математик, механик и философ. 
9 

Замечание 3. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий 
член ряда содержит выражения вида 
п  или 
n
а . 
n
f
2 .
n
n
 
¦
 
Пример 2.1. Исследовать сходимость ряда 
2
1
Решение. Общий член ряда содержит выражение вида 2n. Применим признак Даламбера.  
n
n

1
2
2 ,
n
a
n
  

 
1
2
2
,
1
n
a
n
 
 




a
n
n
n
a
n
n
n
of
of
of
of
§
·
 
 
 
 
¨
¸

©
¹


n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
2
1
2
2
2
lim
lim
2 lim
2 lim
1
1
2
1




2
2 lim
2
1,
1
n
n
n
of
1
§
·
¨
¸
§
·
 
 
!
¨
¸
¨
¸

©
¹
¨
¸
¨
¸
©
¹

	

 
то, в соответствии с признаком Даламбера, ряд расходится. 
f
Пример 2.2. Исследовать сходимость ряда 

¦
 
n
n
2
1.

n
 
1
Решение. Общий член ряда содержит факториал 
п . Применим признак Даламбера. 
1
2
1
1
2
1 ,
1 

1
n
n
n
a
n
n n




 
 


 
2
1

n
n
a
n

 
, 






n
n
n
a
n
a
n n
n
n
n



 
 




, 





1
2
2
1

2
1

1 2
1
2
1
n
 

of
of
of
of
n
n
n
n
n
n
2
1
2
1
2
1
lim
lim
lim
lim
0
1.
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
n
a
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
§
·


¨
¸

©
¹
 
 
 
 

§
·






¨
¸
©
¹
Следовательно, согласно признаку Даламбера, ряд сходится. 
n
f
Пример 2.3. Исследовать сходимость ряда 
n
n
n
ln
2

n
n
 
¦
. 
1
Решение. Общий член ряда содержит выражения вида 
п  и 
n
а . Применим 
признак Даламбера.  
10