Уравнения математической физики

 
 
 
А. И. Канарейкин  
 
 
 
 
 
 
 
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
 
1 
 

УДК 519.2 
ББК 22.17 
К19 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики  
и математики ФГБОУ ВО «Калужский государственный университет  
им. К. Э. Циолковского» Степович Михаил Адольфович; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры систем 
автоматического управления Калужского филиала МГТУ им. Н. Э. Баумана 
Серегина Елена Владимировна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Канарейкин, А. И. 
К19  
Уравнения математической физики : учебник / А. И. Канарейкин. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 148 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-2071-6 
 
Рассматриваются основные типы уравнений математической физики 
и различные методы их решения. Приводится физическая интерпрета- 
ция полученных результатов, рассматриваются теоремы существования 
и единственности решений краевых задач. Дано значительное количество 
примеров и задач различного уровня сложности.  
Для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика», «Математика», «Физика». 
 
УДК 519.2 
ББК  22.17 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2071-6 
” Канарейкин А. И., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

Оглавление 
 
Введение ...................................................................................................................... 5 
 
РАЗДЕЛ 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ..................................................................... 6 
Лекция № 1. Основные дифференциальные операции векторного анализа 
...... 6 
Лекция № 2. Поверхностные интегралы. Основные интегральные                  
соотношения векторного анализа 
......................................................................... 11 
Лекция № 3. Гармонические функции ................................................................. 17 
 
РАЗДЕЛ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ........................................................................ 20 
Лекция № 4. Волновое уравнение ........................................................................ 20 
Лекция № 5. Уравнение теплопроводности ........................................................ 23 
Лекция № 6. Уравнения Пуассона и Лапласа 
...................................................... 26 
Лекция № 7. Основные уравнения электростатики, электродинамики                
и квантовой механики 
............................................................................................ 27 
Лекция № 8. Классификация уравнений второго порядка................................. 30 
Лекция № 9. Канонический вид уравнений второго порядка ........................... 31 
Лекция № 10. Корректность постановки задач математической физики 
......... 41 
 
РАЗДЕЛ 3. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА .......................... 44 
Лекция № 11. Теорема единственности 
............................................................... 44 
Лекция № 12. Метод Даламбера ........................................................................... 45 
Лекция № 13. Метод Фурье 
................................................................................... 49 
Лекция № 14. Колебания пластины 
...................................................................... 53 
Лекция № 15. Операционный метод .................................................................... 59 
Лекция № 16. Формула Пуассона 
......................................................................... 60 
Лекция № 17. Функция Бесселя 
............................................................................ 65 
Лекция № 18. Колебания нити .............................................................................. 69 
 
РАЗДЕЛ 4. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 
.......................... 73 
Лекция № 19. Принцип максимума 
...................................................................... 73 
Лекция № 20. Теорема единственности для неограниченной области ............ 75 
Лекция № 21. Распространение тепла на прямой, на плоскости                          
и в пространстве. Функция источника ................................................................. 76 
Лекция № 22. Распространение тепла на полупрямой.                                     
Операционный метод 
............................................................................................. 79 
Лекция № 23. Распространение тепла на отрезке. Метод Фурье 
...................... 82 
Лекция № 24. Задача о фазовом переходе ........................................................... 87 
3 
 

РАЗДЕЛ 5. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ............................ 91 
Лекция № 25. Дополнительные сведения о гармонических функциях.            
Интегральное представление функций ................................................................ 91 
Лекция № 26. Основные краевые задачи для эллиптических уравнений ........ 96 
Лекция № 27. Функция Грина оператора Лапласа ............................................. 98 
Лекция № 28. Решение задачи Дирихле для шара и круга .............................. 101 
Лекция № 29. Решение задачи Дирихле для полупространства 
и полуплоскости ................................................................................................... 104 
Лекция № 30. Поведение производных гармонической функции                      
на бесконечности 
.................................................................................................. 107 
Лекция № 31. Теорема единственности решения внешней задачи Неймана      
и внешней смешанной задачи ............................................................................. 108 
Лекция № 32. Конформные отображения 
.......................................................... 109 
Лекция № 33. Применение конформных отображений к решению задач       
математической физики 
....................................................................................... 115 
Лекция № 34. Метод разделения переменных .................................................. 118 
Лекция № 35. Вариационные методы решения краевых задач ....................... 120 
 
РАЗДЕЛ 6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА .............................................................. 125 
Лекция № 36. Понятие о потенциалах ............................................................... 125 
Лекция № 37. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 
............... 128 
Лекция № 38. Объемный потенциал .................................................................. 130 
Лекция № 39. Потенциал двойного слоя ........................................................... 131 
Лекция № 40. Потенциал простого слоя 
............................................................ 137 
Лекция № 41. Применение поверхностных потенциалов  
к решению краевых задач 
.................................................................................... 142 
 
Список литературы 
............................................................................................... 145 
 
 
4 
 

Введение 
 
Термин «математическая физика» в научной литературе не имеет однозначного определения. В широком смысле его трактуют как теорию математических моделей физических процессов и явлений. При таком понимании ма- 
тематическая физика занимает особое положение на стыке физики и математики 
и включает в себя все математические методы, которые применяются для изучения физических явлений и процессов. 
Математическая физика как теория математических моделей в физике 
возникла вместе с открытием дифференциального и интегрального исчислений. 
Классические задачи математической физики часто сводились к исследованию 
дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому в узком смысле под математической физикой понимают теорию краевых задач для уравне- 
ний в частных производных. 
В предлагаемом курсе основное внимание уделено трем типам уравнений 
в частных производных: эллиптическим, гиперболическим и параболическим. 
Рассматриваются физические задачи, приводящие к уравнениям того или иного 
типа, даются различные методы решений полученных уравнений, приводится 
краткая физическая интерпретация результатов. Книга содержит значительное 
количество примеров, а также задачи различного уровня сложности для самос- 
тоятельной работы. 
Для удобства читателей в книгу включены необходимые сведения из векторного анализа, теории аналитических и гармонических функций, операционного и вариационного исчислений, функционального анализа. 
5 
 

РАЗДЕЛ 1 
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 
 
Лекция № 1. Основные дифференциальные операции 
векторного анализа 
 
Определение 1. Функция f с областью определения 
n
D
R

, значениями 
которой являются векторы, называется вектор-функцией (векторной функцией, 
векторным полем). Если значениями являются вещественные числа, то  f  называется скалярной функцией (скалярным полем). 
Пример 1. Пусть 


, ,
M x y z  – точка из множества 
3
D
R

 с координатами 


, ,
x y z , и пусть 




1
1
, ,
a
M
a
x y z
 
, 




2
2
, ,
a
M
a
x y z
 
, 




3
3
, ,
a
M
a
x y z
 
 – скалярные 
функции, определенные на D. Векторное поле в D можно задать равенством 








1
2
3
a M
ia
M
ja
M
ka
M
 


 (здесь , ,
i j k  – ортонормированный базис в 
3
R ). 
Пример 2. Пусть 
 
 
 
,
,
x
x t
y
y t
z
z t
 
 
 
 – скалярные функции скалярного 
аргумента t
D
R


. Тогда 
 
 
 
 
r t
ix t
jy t
kz t
 


                                             (1) 
является вектор-функцией одного аргумента t. 
Определение 2. Годографом вектор-функции (1) при t
D

 называется 
множество точек из 
3
R , соответствующих концам векторов 
 
r t , отложенных 
из начала координат (рис. 1). Если D – промежуток и функции  
 
 
,
,
x t
y t
z t  непрерывны на D, то годограф вектор-функции  
r t  является кривой в 
3
R . 
Если интерпретировать t как время, а  
 
 
,
,
x t
y t
z t  – как координаты некоторой движущейся точки в момент времени t, то годограф можно понимать 
как траекторию этой точки. 
 
 
Рис. 1 
 
Поле, не зависящее от времени, называют стационарным. В противном 
случае поле называют нестационарным. 
6 
 

Определение 3. Производной 
 
r t
c
 вектор-функции  
r t  в точке 0
t
D

 называется предел 


 
0
0
0
0
lim
lim
t
t
r t
t
r t
r
t
t
' o
' o
 '

'
 
'
'
 (обозначается также dr
dt ).  
Производная 
 
0
r t
c
 в точке 
0
t  – это направляющий вектор касательной 
к годографу вектор-функции  
r t  в точке 
0
t  (рис. 1). Если вектор-функция  
r t  
представлена равенством (1), то 
 
 
 
 .
r t
ix t
jy t
kz t
c
c
c
c
 


 
Если вектор-функцию 
 
r t  рассматривать как закон движения точки по 
кривой, то производная 
 
r t
c
 равна скорости движения этой точки. 
Как было сказано, вектор-функции одного аргумента можно использовать для задания кривой. Для задания поверхности в 
3
R  естественно использовать вектор-функции двух аргументов: 








,
,
,
,
r
r u v
ix u v
jy u v
kz u v
 
 


.                                 (2) 
Для характеристики векторных полей вводится ряд понятий: векторная 
линия, векторная трубка, циркуляция, ротор (вихрь), дивергенция и др. 
Определение 4. Пусть в области 
n
D
R

 задано векторное поле 


a M . 
Линия J , лежащая в D, называется векторной линией (линией тока) этого поля, 
если вектор касательной в каждой ее точке M  направлен по вектору 


a M  
(рис. 2). Часть области D, состоящая из векторных линий, называется векторной трубкой (рис. 2). 
 
 
Рис. 2 
 
Если прибегнуть к гидродинамической интерпретации поля 


a M  как 
поля скоростей стационарного потока жидкости, то векторные линии – это 
траектории частиц жидкости. 
 
7 
 

Пример 3. Найдем все векторные линии поля 


a M
yi
xj
zk
 


 и, в частности, ту, которая проходит через точку 


0 0,1,0
M
. 
Решение. Если поле 

a M  задано в 
3
R  равенством  








1
2
3
, ,
, ,
, ,
a M
ia
x y z
ja
x y z
ka
x y z
 


, 
то для отыскания векторных линий нужно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений 
dx
dy
dz
dt
dt
dt
f x y z t
a
x y z
a
x y z
a
x y z
 
 
 
,                            (3) 








1
2
3
, , ,
, ,
, ,
, ,
с произвольной функцией f . Решения 
 
x
x t
 
, 
 
y
y t
 
, 
 
z
z t
 
 параметрически 
зададут векторные линии. Выбор функции f  влияет только на способ параметризации этих линий. 
В формуле (3) возьмем 

, , ,
1
f
x y z t   и решим систему уравнений 
,
,
x
y
y
x
c
c
 
 
 
z
z
c   . Получим параметрические уравнения векторных линий 
1
2
,
t
t
x
c e
c e
 

 
1
2
3
,
t
t
t
y
c e
c e
z
c e


 

 
. Положив здесь 
0
t  , найдем постоянные 
1
2
3
1 ,
0
2
c
c
c
 
 
  
и векторную линию 
,
x
sh t
 
 
,
y
ch t
 
 
0
z  , проходящую через точку 
0
M . 
Определение 5. Циркуляцией (вращением) векторного поля 


a M  вдоль 
кривой J  называется криволинейный интеграл первого рода 


a M
dl
J
˜
³
 (здесь 
dl
idx
jdy
kdz
 


). Если 








a M
x M i
y M
j
z M k
 


– силовое поле, то циркуляцию поля a  вдоль кривой J  можно истолковать как работу этого поля по 
перемещению пробного тела по кривой J . В координатной форме 








.
a M
dl
x M dx
y M dy
z M dz
J
J
˜
 


³
³
 
Пример 4. Найти работу поля 



a M
r M
 
 вдоль винтовой линии J , определенной вектор-функцией 
cos
sin
r
ia
t
ja
t
kbt
 


 (0
2 ,
t
S
d d
 
,
)
a
const b
const
 
 
. 
Решение. 
Работа 


cos
sin
A
a M
dl
a
t dx
a
t dy
bt dz
J
J
 
˜
 


³
³
. 
Так 
как
 
cos ,
x t
a
t
 
  
sin ,
y t
a
t
 
  
z t
bt
 
, то 
2
2
2
2
2
2
2
2
S
S
S
 



 
 
³
³
 
0
0
(
cos sin
sin cos
)
2
.
A
a
t
t
a
t
t
b t dt
b
tdt
b
Определение 6. Дивергенцией (расхождением) векторного поля 








, ,
, ,
, ,
a M
X x y z i
Y x y z j
Z x y z k
 


 
 
8 
 

называется сумма 
.
X
Y
Z
diva
x
y
z
w
w
w
 


w
w
w
 
Если вектор a  интерпретировать как скорость частицы в установившем- 
ся течении жидкости, то diva  в точке 


, ,
M x y z  характеризует интенсивность 
источника 

0
diva !
 или стока 

0 ,
diva 
 находящегося в этой точке, или отсутствие источника и стока 

0 .
diva  
Векторное поле a  называется соленоидальным, если 
0
diva  
 во всех точках, в которых определено поле. 
Определение 7. Ротор (вихрь) векторного поля 








, ,
, ,
, ,
a M
X x y z i
Y x y z j
Z x y z k
 


 
это вектор-функция, обозначаемая rota  и имеющая удобную формальную запись в виде «определителя» 
 
.
§
·
§
·
w
w
w
w
w
w
w
w
w
§
·
 
 





¨
¸
¨
¸
¨
¸
w
w
w
w
w
w
w
w
w
©
¹
©
¹
©
¹
                 (4) 
i
j
k
Z
Y
X
Z
Y
X
rota
i
j
k
x
y
z
y
z
z
x
x
y
X
Y
Z
В частности, для плоского поля 






, ,
, ,
a M
X x y z i
Y x y z j
 

 получаем 
Y
X
rota
k
x
y
§
·
w
w
 

¨
¸
w
w
©
¹
. Поле 

a M
 называется безвихревым, если 
0.
rota  
 
Поясним механический смысл ротора векторного поля. Рассмотрим твердое 
тело, вращающееся вокруг оси Oz
 с постоянной угловой скоростью Z  (рис. 3).  
 
 
Рис. 3 
 
Векторное поле скоростей точек M  этого поля можно представить в виде  
i
j
k
v M
r
i
y
j
x
Z
Z
Z
Z
 
u
 
 

 


0
0
,
x
y
z
9 
 

где 
,
k
r
Z
Z
 
– вектор, параллельный плоскости Oxy , начало которого распо- 
ложено на оси Oz , конец – в точке M  тела. Найдем ротор поля 

v M . По формуле (4) получим 
2
rotv
k
Z
 
. Таким образом, ротор v  является вектором, направленным вдоль оси вращения тела, а его модуль равен удвоенной угловой 
скорости вращения. 
Определение 8. Векторное поле 


a M  называется потенциальным по- 
лем, если оно является градиентом некоторой скалярной функции 

M
M
: 

a M  


grad
M
M
 
. Функция 


M
M
 называется при этом потенциалом векторного по- 
ля 

a M . 
Если в односвязной области D  задано потенциальное поле 


a M , то потенциал 

M
M
 этого поля можно найти по формуле 


,
M
a dl
J
M
 
˜
³
 
                                             (5) 
где J  – любая гладкая кривая, лежащая в D  и соединяющая некоторую фиксированную точку A
D

 с точкой M . Таким образом, потенциал определяется 
с точностью до постоянного слагаемого. Действительно, из равенства 


a M  






, ,
, ,
, ,
X x y z i
Y x y z j
Z x y z k
grad
i
j
k
x
y
z
M
M
M
M
w
w
w
 


 
 


w
w
w  следует система уравнений 


, ,
X x y z
x
M
w
 
w
, 


, ,
Y x y z
y
M
w
 
w
, 


, ,
Z x y z
z
M
w
 
w
. Решив эту систему, получим 
требуемый результат (5). 
Задание дифференциальных операций упрощается, если использовать оператор Гамильтона 
,
i
j
k
x
y
z
w
w
w
’ {


w
w
w
 
называемый также «вектором набла» или «оператором набла»  
’ . При этом, 
если 


, ,
x y z
M
M
 
 – скалярное поле, 







, ,
, ,
, ,
a M
X x y z i
Y x y z j
Z x y z k
 


 – векторное поле, то 
,
grad
i
j
k
x
y
z
M
M
M
M
M
w
w
w
 


 ’
w
w
w
 
,
X
Y
Z
diva
a
x
y
z
w
w
w
 


 ’˜
w
w
w
 
i
j
k
.
w
w
w
 
 ’u
w
w
w
 
rota
a
x
y
z
X
Y
Z
10